南京大学数学物理方法课件08 分离变数(傅里叶级数)法

X ' 'X 0, （8.1.37） X (0) 0, X ' (l ) 0, （8.1.38）
T 'a 2T 0
（8.1.39）
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0: X 0 0 : X C1 cos x C2 sin x,
代边值
0,
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例2 细杆导热问题 ut a 2uxx 0, (a 2 k/c ) , (8.1.33) u |x 0 0, ux |x l 0, (8.1.34) u |t 0 u0 x / l , (0 x l ) , (8.1.35) 解 u( x, t ) X ( x)T (t ),
两端固定弦的自由振动： 泛定方程 2 初始条件 utt a uxx 0, (0 x l ) (8.1.1) u |x l 0, (8.1.2) 边界条件 u |x 0 0,
u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ),
(8.1.3)
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2
4l
2
， (k 0,1,2,)
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(2k 1)x X ( x ) C2 sin (k 0,1,2,) , 2l
( k 1 / 2) 2 2 a 2 T ' T 0 2 l
( k 1 / 2 ) 2 2a 2t － l2
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分离变量
常微分方程
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弦的振动虽然是一个特殊的问题，但它能比较 直观地显示出波动问题的一般特征，并形象地 说明波动的一些基本概念，如驻波、波节、波 腹、本征频率、波的叠加等。该方法亦因此称 为驻波法。
用分离变数法得到的数学解式特别清楚地反映 了波动的这些基本概念。3
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X ( x)T (0) ( x), X ( x)T ' (0) ( x),
即
X ( x) ( x) / T (0),
X ( x) ( x) / T ' (0)
而 (x) 和 (x) 是任意函数，一般不满足 X ( x ) 的方程
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第三步：解问题：
if C1 0, then X ( x ) 0; C1 0, sin l 0, so n 2 2 l n (n 1,2,) 2 l
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nx X ( x ) C1 cos (n 1,2,) , l
综合
0及 0: 2 2 n 2 , (n 0,1,2,)
u0 ( x, t ) A0 B0t
n=1,2,…
na na n un ( x, t ) An cos t Bn sin t cos x l l l
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一般解为
u( x, t ) A0 B0t na na n An cos t Bn sin t cos x l l l n 1

代入初值
n A0 An cos x ( x) l n 1

na n B0 Bn cos x ( x) l n 1 l

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1 l 2 l nx A0 ( )d , An ( ) cos d l 0 l 0 l 1 l 2 l nx B0 ( )d , Bn ( ) cos d , l 0 l 0 l
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问题：上述特解能否满足初始条件（2）？
n un |t 0 An sin x; l
un na nx |t 0 Bn sin t l l
显然，un(x,t) 是不可能满足初始条件的， 因为(x) 和 (x) 是任意函数。
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C1 0, C2 cos l 0.
if C2 0, then X ( x ) 0; C2 0, cos l 0, so
l (k 1 / 2)， (k 0,1,2,)
2 2
k 1 / 2
l
2
2k 1 2 ＝
1、可见 un(x,t) 代表驻波。
Cn sin kn x ：弦上各点的振幅分布
(nt n ) ：相位因子
n ：圆频率 n ：初位相
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2、波节：振动中始终不动的点称为：
sin kn x 0
ml x , (m 0,1,2,n) n
波腹：而 |un(x,t)| 极大点
X 0 X C0 D0 x
边值
X C0
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0 : X C cos x C sin x, 1 2
代边值
C2 0
(C1 sin l C2 cos l ) 0,
0,
C2 0, C1 sin l 0.
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即：
nx u |t 0 An sin ( x) l n 1

na nx ut |t 0 Bn sin ( x) l l n 1

其中
2 n An ( ) sin d l 0 l
l
n Bn ( ) sin d na 0 l 2
第一步：泛定方程的分离变量： 考虑如下形式的特解： u( x, t ) X ( x)T (t ),
(8.1.4)
代入方程（8.1.1）：XT ' 'a X ' ' T 0
2
两边同除 a 2 XT
T'' X '' 2 aT X
分析：左边：x 的函数；右边 t 的函数， 而 x 和 t 是 独立变量，故只有两边为同一常数 (-)。 由此得到二个常微分方程：
X ' 'X 0 (8.1.8) X (0) X (l ) 0
(1) 0 :
X ( x) C1e
由边值
x
C2e
x
C1 C2 0, C1e
l
C1 0
l
C2e
0,
C2 0
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(2) 0 :
nx X ( x ) C1 cos , (n 0,1,2,) l l
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相应的T之方程
T'' 0
解为
及
n a T ' ' T 0 2 l
2 2 2
T0 A0 B0t
na na Tn An cos t Bn sin t l l
本征解为
X ( x) C1 x C2
由边值
(3)
C2 0, C1l C2 0,
C1 0, C2 0,
0:
X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值
C1 0 C2 sin l 0
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C2 0 无意义 或 sin l 0 要求 l n
第八章分离变数
§8.1 齐次方程的分离变量法 (一) 分离变数法介绍 驻波法
常微分方程：求出通解，然后由初始条件或边界 条件确定待定常数； 偏微分方程：求通解较困难，求得通解定解亦难， 因通解中含有任意函数。因此直接求满足定 解条件的特解。 分离变量法的基本思想：将解偏微的问题化为解 常微的问题 偏微分方程 的定解问题
变量能分离的条件 方程及边界条件 必须为齐次的！
◆本征值问题能否
得到完满解决
本课程所得到的本征值 问题均有解，且本征函数 均构成完备正交系。
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（二）例题 例1 两端自由杆的纵振动
utt a uxx 0, (0 x l ) (8.1.17)
2
ux |x 0 0,
n 2 , l
2
2
(n 1,2,3, )
最后得到问题的解为：
nx X ( x ) C2 sin x, l 2 2 n 2 , (n 1,2,3, ) l
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的取值不是任意的，只能取某些特定的数 值，方程(8.1.8)才有满足条件的非零解。这 些特定的 值称为本征值，(8.1.8)相应的非 零解称为本征函数。求本征值和相应的本征 函数的问题称为本征值问题。
l
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解的物理意义
可把 u(x,t) 改写作：
u( x, t ) Cn sin kn x cos(nt n )
其中：
n 1

Cn A B ,
2 n 2 n
Bn n tg , An
1
na n , l
n kn , l
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sin kn x 1 x (m 1 / 2)l , (m 0,1,2,n 1)
n
3、满足定解条件的解由各不同频率、不同位相、不同振 幅的驻波叠加而成。其中振幅和位相与初值有关，而 频率与初值无关，故称本征频率或固有频率。
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1 0.8 0.6 0.4 n=1
ux |x l 0,
(8.1.18) (8.1.19)
u |t 0 ( x ), ut |t 0 ( x ),