复变函数项级数

说明：
对于上述级数在圆周z z0 z1 z0 上及其外 部的收敛性，除了点z 1外要另行判定.
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推论
如果幂级数 C n ( z z0 )在点z2发散，则级数
n 0
对满足 z z0 z1 z0 点z, 都使得级数发散.
推论的几何意义
如果幂级数在点z2发散，那么幂级数在以z 0 为圆心，以 z 2 z0 为半径的圆周外部的任意 点z处必然也发散.
第四章 解析函数的级数表示
第二节
复变函数项级数
一、复变函数项级数
二、幂级数 三、幂级数的运算和性质 四、典型例题
一、复变函数项级数
定义
设 { f n ( z )} ( n 1,2,) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn ( z ) n 1

f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
z2 当 1时 ， 有 2 1 z2 z2 2 z2 n 1 ( )( ) ( ) z2 2 2 2 1 2
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1 通 常 ， 先 把 函 数 做 代变 数形 ， 将 其 写 成 ， 1 g( z ) 1 然后把 展开式中 z的 换 成 g( z ). 1 z
称为复变函数项级数, 记作
fn ( z) . n 1

2
部分和
sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
级数收敛
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 那末称级数 f n ( z ) 在 z0 收敛, s( z0 )称为
(anb0 an1b1 a0bn ) z n ,
n0
n 0
n 0
n 0
n 0
n 0
zR
R min(r1 , r2 )
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2. 幂级数的代换(复合)运算
如果当 z r 时, f ( z ) an z , 又设在
n n 0
z R 内 g ( z ) 解析且满足 g( z ) r , 那末当 z R
z z0 z z0 | Cn ( z z0 ) | | Cn ( z1 z0 ) | M z1 z0 z1 z0
n n n n
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z z0 当 z z0 z1 z0 时， 1,因此级数 z1 z0
z z0 (M ) z1 z0 n 1
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对于形如 C n ( z z0 ) n的幂级数, 当z z0时，可能
n 1

出现如下的三种情况
(1)对任意的z z0 , 级数 C n ( z z0 )n均发散 ( 2)对任意的z, 级数 C n ( z z0 ) 均收敛。
n n 1 n 1

( 3)存在一点z1 z0 , 使得级数 C n ( z1 z0 )n收敛.

简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
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n 2 n z 1 z z z 例3 求幂级数 n0

的收敛范围与和函数.
解
级数的部分和为
sn 1 z z z
2
n 1
1 zn , ( z 1) 1 z
时, f [ g ( z )] an [ g ( z )] .
n n 0
说明: 此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.
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1 2 练习：把函数 表示成形如 C ( z 2 ) 的幂级数。 n z n 1
1 1 1 z 2 ( z 2) 2
1 z2 1 2
解答
1 因为 cn p ， n

1 cn1 n p lim lim( ) lim 1. n 1 p n c n n 1 n (1 ) n 1 所以 R 1.
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3.幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
注意: 在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作 出一般的结论,要对具体级数进行具体分析. 例1：求下列级数的收敛半径,并讨论它们在 收敛圆周上的敛散性。
n 1

它的和.
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和函数 如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 s( z ) :
s ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
称为该级数在区域D上的和函数.
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二、 幂级数 （函数项级数的特殊情形）
n 2 c ( z a ) c c ( z a ) c ( z a ) n 0 1 2 n 0
cn ( z a )
n
或
cn z n 1

n
c0 c1 z c2 z cn z .
2 n
级数称为幂级数.
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1. 幂级数的收敛集合 定理1 (阿贝尔定理)
如果幂级数 C n ( z z0 ) n在点z1 ( z1 z0 )收敛，
n 0
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n
收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，
n C ( z z ) n 0 n 1
n C ( z z ) 收敛， 从而级数 n 绝对收敛. 0 n 0

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定理1的几何意义
如果幂级数在点z1收敛，那么幂级数在以z0 为圆心，以 z1 z0 为半径的圆周内部的任意 点z处收敛.
即 f ( z ) ncn ( z a )n1 .
n 1
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(3) f ( z ) 在收敛圆内可以逐项积分,
即
c
f ( z )dz cn ( z a )n dz , c z a R.
n 0 c
z

或
a
cn f ( )d ( z a ) n 1 . n0 n 1
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3. 复变幂级数在收敛圆内的性质
性质
那末
设幂级数
n 的收敛半径为 R, c ( z z ) n 0 n 0

(1) 它的和函数 f ( z ) cn ( z a )n 是收敛圆
n0

z a R 内的解析函数 .
(2) f ( z ) 在收敛圆 z a R 内的导数可将其幂 级数逐项求导得到,
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2. 收敛半径的求法
方法1: 比值法:
c n 1 如果 lim 0, n c n
方法2: 根值法
那末Baidu Nhomakorabea敛半径
R
1

.
如果 lim cn 0, 那末收敛半径 R n
n
1

.
说明:
0 如果
R R0
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课堂练习 试求幂级数
zn p ( p为正整数) 的收敛半径. n 1 n
n 0
g( z ) bn z n , R r2 .
n 0

f ( z ) g( z ) an z n bn z n (an bn ) z n , f ( z ) g( z ) ( an z n ) ( bn z n ),
z
n 1

n
1 n z n 1 n

1 n z 2 n 1 n

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例2 求幂级数的收敛半径: ( z 1)n z 0 , 2 ( 并讨论 时的情形) n n 1 解
cn 1 n lim lim 1 , 即 R 1. n c n n 1 n
n
1 当z 0时, 原级数成为 ( 1) , 交错级数, 收敛. n n 1 1 当z 2时, 原级数成为 , 调和级数，发散. n 1 n
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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三、幂级数的运算和性质
1.幂级数的有理运算
设 f ( z ) an z n , R r1 ,
n 1

同时存在一点z2 z0 , 使得级数 C n ( z2 z0 ) 发散.
n n 1

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综合上述三种情况，可证明存在一个有限 正数R使得级数 Cn ( z z0 ) n 在 z z0 R内绝对
n 1
收敛, 而在 z z0 R外部处处发散.
把存在的有限正数R称为幂级数的收敛半径 ， 圆周 z z0 R称为收敛圆。
则级数在圆域 z z0 z1 z0 内绝对收敛.
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证明： 因为级数 C n ( z1 z0 )n 收敛，
n 1

所以由定理4.3
lim C n ( z1 z0 ) 0
n n
因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有，
| Cn ( z1 z0 )n | M