2017上海高三数学一模汇总(普陀、奉贤)
07.2017年上海高三数学一模分类汇编：解析几何
2（2017徐汇一模）. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为4（2017青浦一模）. 等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且||AB =，则该双曲线的实轴长等于4（2017崇明一模）. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为4（2017宝山一模）. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5（2017普陀一模）. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是6（2017浦东一模）. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6， 则b =6（2017金山一模）. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 6（2017奉贤一模）. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =7（2017虹口一模）. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于8（2017普陀一模）. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是9（2017浦东一模）. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交 双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为9（2017金山一模）. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）9（2017杨浦一模）. 已知直线l 经过点(且方向向量为(2,1)-，则原点O 到直线l 的距离为10（2017松江一模）. 设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ， 则12||||PF PF +的最大值为10（2017闵行一模）. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y +=，则22x y +的取值范围是10（2017杨浦一模）. 若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为11（2017虹口一模）. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于 抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于11（2017杨浦一模）.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是12（2017虹口一模）. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取 值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是12（2017金山一模）. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称；③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ；其中，所有正确结论的序号是13（2017奉贤一模）. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线 是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14（2017静安一模）. 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均 为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之 间的距离为（ ）A.1 B. 1 C. 1 D. 215（2017崇明一模）. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y +=16（2017杨浦一模）. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥16（2017闵行一模）. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过201716（2017徐汇一模）. 如图，两个椭圆221259y x +=、221259y x+=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17（20172017静安一模）. 设双曲线22:123x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ⋅的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为19-，求动点P 的轨迹方程； 18（2017普陀一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；18（2017宝山一模）. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-；（1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB =试求直线l 的倾斜角；18（2017杨浦一模）. 如图所示，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段，点A 、B 在1l 上，且位于M 点的两侧，C 在2l 上，AM BM NM CN ===； （1）求证：异面直线AC 与BN 垂直；（2）若四面体ABCN 的体积9ABCN V =，求异面直线1l 、2l 之间的距离；19（2017青浦一模）. 如图，1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；19（2017浦东一模）. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+，且长轴长与短轴长； （1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；19（2017金山一模）. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；19（2017崇明一模）. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；19（2017杨浦一模）. 如图所示，椭圆22:14x C y +=，左右焦点分别记作1F 、2F ，过1F 、2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD ，且1l ∥2l ；（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：12k k ⋅为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值；20（2017闵行一模）. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围；（3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；20（2017奉贤一模）. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程； （3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；20（2017虹口一模）. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；20（2017松江一模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；20（2017徐汇一模）. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ；（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；。
【高考数学】2016~2017学年上海市奉贤区数学高考一模卷(含答案)
上海市奉贤区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{2,1}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =2. 已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 是虚数单位，则z =3. 方程lg(3)lg 1x x -+=的解x =4. 已知()log a f x x =(0,1)a a >≠，且1(1)2f --=，则1()f x -=5. 若对任意正实数x ，不等式21x a ≤+恒成立，则实数a 的最小值为 6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p = 7. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为9. 已知互异复数0mn ≠，集合22{,}{,}m n m n =，则m n +=10. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，0n S >恒成立，则公比q 的取值范围是 11. 参数方程|sin cos |221sin x y θθθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，[0,2)θπ∈表示的曲线的普通方程是12. 已知函数()sin cos f x x x ωω=+(0)ω>，x R ∈，若函数()f x 在区间(,)ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图像可能是（ ）A. B. C. D.15. 已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩([0,2))απ∈是奇函数，则α=（ ） A. 0 B. 2π C. π D. 32π 16. 若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合11{|,{1,2,3,4},i j x A B A B i j ⋅∈∈ {1,2,3,4}}中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点；（1）求三棱锥P ACO -的体积；（2）求异面直线MC 与PO 所成的角；18. 已知函数22()log (2)x x f x a a =+-(0)a >，且(1)2f =；（1）求a 和()f x 的单调区间；（2）(1)()2f x f x +->；19. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A 、B 在一直线上，并与航线成角α(090)α︒︒<<，轮船沿航线前进b 米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45︒方向，灯塔B 在北偏东β(090)β︒︒<<方向，090αβ︒︒<+<，求CB ；（结果用,,b αβ表示）20. 过双曲线2214y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中 P 是AB 的中点； （1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程；（3）求证：||||OA OB ⋅是一个定值；21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n n a a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”； （1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的 取值范围；参考答案一. 填空题1. {1}-2. 1i +3. 54. 1()2x 5. 1a ≤- 6. 47. 5 8. 9. 1- 10. (1,0)(0,)-+∞11. 2y x =，x ∈ 12.2二. 选择题 13. C 14. D 15. D 16. A三. 解答题17.（1）8；（2）arctan 3； 18.（1）2a =，递增区间(0,)+∞；（2）2(0,log 3)；19.（1）sin cos()b CB ααβ=+；20.（1）2y x =±；（2）2y =-；（3）5；21.（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；。
2017高考上海各区数学一模(含答案)
上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。
2017年上海高三数学一模客观压轴题解析(上)
ymax
a a, 2 1 2 a a 1, 1 1 2 4 a a, 2 1
a 1 1 a a 1 1 2 或 2 或2 3 a 3 。 问题转化为 2 a 1 3 a 3 a 3 4
4 f ( ) | AP AB | ( R) 的最小值为 m ，当点 P 在单位圆上运动时， m 的最大值为 ， 3
则线段 AB 长度为 【答案】
4 2 3
M
【详解】如图，若 AB 长度一定，先假定 P 点确定，取 P 点如图所示， 设 AD= AB ，则 f ( ) | AP AB | = | PA AB | = | PD | ，要使
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a 、 ab 、 b 成等比数列，则 a 、 b 、
ab 、 ab 不能组成等比数列 2
（2） 、若 a、b 都小于零，不妨设 a b 0 ，则 a 若 a 、b 、
ab b 0 ab ， 2
ab ab 、 ab 按一定顺序构成等比数列，则必 a 、 、 b 、 ab 为等差数列， 2 2
1 2 1 2 b 4a b 4a ( )(2a b) 42 48 a b a b a b a b
1 2 ( )min 8 a b
【教法指导】考查 1、“ A 、 B 、 C 三点共线的充要条件”；2、基本不等式中“1 的代换”。
2、 （2017 届长宁嘉定一模 12）如图，已知正三棱柱的底面边长为 2 cm ，高为 5 cm ， 一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为 【答案】 13 【详解】将两个（注意是两个）正三棱柱的侧面展开图（是一个矩形）放在一起如图，
上海市各区2017届高三一模数学试卷
1 x P x ≥ 0, x R ， x 1 ≤ 2, x R ， 则 M ∩P 等于 x 2
．
．
4．抛物线 y x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为 5．已知无穷数列 {an } 满足 an 1
18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分. 在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域．点 D 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A． 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与 点 A 相距 40 2 海里的位置 B 处， 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 （其
你认为正确论断的序号都填上）
（注：把
12．已知 AB 为单位圆 O 的一条弦，P 为单位圆 O 上的点．若 f ( ) AP AB ( R) 的
最小值为 m ，当点 P 在单位圆上运动时， m 的最大值为 为 ．
4 ，则线段 AB 的长度 3
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）
x 1 0 的解集为 x2 x 5cos 4. 椭圆 （ 为参数）的焦距为 y 4sin
3. 不等式 5. 设复数 z 满足 z 2 z 3 i （ i 为虚数单位） ，则 z 6. 若函数 y
cos x sin x
sin x cos x
n
求实数 x 的取值集合；
21. 设集合 A 、 B 均为实数集 R 的子集，记： A B {a b | a A, b B} ； （1）已知 A {0,1, 2} ， B {1,3} ，试用列举法表示 A B ；
上海市普陀区2017届高三一模数学试卷Word版含答案
上海市普陀区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 若集合2{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =2. 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1()f x -=4. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=5. 设k R ∈，2212y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是7. 方程22log (95)2log (32)x x -=+-的解x =8. 已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒， 1AB BC ==，若1AC 与平面11B BCC 所成的角为6π， 则三棱锥1A ABC -的体积为 10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为4R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函 数()F x 零点的个数是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）A. 11a b> B. 11a b a >- C. 1133a b < D. 22a b >14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞=”成立的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）A. a 与b 可能垂直，但不可能平行B. a 与b 可能垂直，也可能平行C. a 与b 不可能垂直，但可能平行D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，||a tb + 的最小值为1，则下列判断正确的是（ ）A. 若||a 确定，则θ唯一确定B. 若||b 确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b 唯一确定D. 若θ确定，则||a 唯一确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知a R ∈，函数1()||f x a x =+； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤； （2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；18. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=，12PF F ∆的面积为（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值，并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83/g cm ，总重量为5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）；（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？（结果精确到0.01）20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-； （1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+；（3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得 1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；21. 已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ， 均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2x g x a =+的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围；参考答案一. 填空题1. [0,1]2. 7243. 12x -(1)x ≥4. 315. )+∞6. [0,)+∞7. 1x =8. 2k <-或0k >9.6 10. 23 11.3R π 12. 13二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）[1,)+∞；（2）9[,3]2--；18.（1）221123x y +=；（2）(M -，max ||2MQ =+ 19.（1）252个；（2）0.05千克；20.（1）21n n a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；21.（1）是；（2）平衡数对(2,0)；（3）(1,8]。
2017年上海各区高三一模填空题难题解析
2017年上海市高三一模数学考试客观题难题解析一. 长宁/嘉定区11. 设向量(1,2)OA =-，(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值为 【解析】∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥AC ，(1,1)AB a =-，(1,2)AC b =--，可 得12(1)b a --=-，即21a b +=，∴122424228a b a b b a a b a b a b+++=+=+++≥，本 题以向量共线的方式转化出a 与b 的关系，然后通过“1的代换”转化为基本不等式求最值 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱 的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为 cm【解析】绕行两周，∴侧面展开两次，如右图所示，最短路线即斜线段1AA 的长度13cm ， 这类求几何体表面距离最短的问题，都是通过几何体的展开图，化空间为平面来解决的 16. 如果对一切正实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范 围是（ ）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-【解析】不等式转化为29sin cos 4y a x x y +≤+，∵934y y +≥，即94y y+的最小值为3， ∴2sin cos 3a x x +≤，即2sin sin 20x a x -+≥恒成立，法一：二次函数分类讨论，① 当12a≤-，即2a ≤-，将sin 1x =-代入，120a ++≥，即3a ≥-，∴32a -≤≤-，② 当112a -<<，即22a -<<，280a ∆=-≤，即a -≤≤22a -<<，③ 当12a≥，即2a ≥，将sin 1x =代入，120a -+≥，即3a ≤，∴23a ≤≤；综上，[3,3]a ∈-，故选D ；法二：分离参数讨论，2sin 2sin a x x ≤+，当0sin 1x <≤，2sin sin a x x ≤+，∴3a ≤，当1sin 0x -≤<，2sin sin a x x≥+，∴3a ≥-，故选D11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为4R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 【解析】如图所示，OB OA R ==，45OBO ︒'∠=，∴2O B O A R ''==，∵小圆上弧长为4R ， 根据弧长公式，可得2AO B π'∠=，∴AB R =，∴3AOB π∠=，∴球面距离3Rl R πθ==；球面上两点会经过无数的小圆和唯一的一个大圆，但两点之间的线段距离是确定的，所以解决球面 距离问题的关键就是求出两点之间的线段距离，“两点的线段距离”就像是一座桥，连接着 “两点的小圆弧长”和“两点的球面距离”12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是【解析】这是一道典型的数形结合题，∵(2)()f x f x +=，∴周期为2，由此可得()f x 的图像，()F x 的零点个数，即()f x 与()g x 图像的交点个数，由图可知，有15个，本题 的易错点在于容易漏掉(0,1)这个点，还有(10,1)附近的一个点，即[9,10]上有两个交点， ∵如果在[9,10]上只有一个交点(10,1)的话，(10,1)又是()f x 在[9,10]上的顶点，()g x 必 须要平行于x 轴，而()g x 在[9,10]上明显是递增的，∴在[9,10]上会有两个交点16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +的最小值为1，则下列判 断正确的是（ ）A. 若||a 确定，则θ唯一确定B. 若||b 确定，则θ唯一确定C. 若θ确定，则||b 唯一确定D. 若θ确定，则||a 唯一确定【解析】本题需理解“对任意实数t ，||a tb +的最小值” 的几何意义，如图，即线段1AC =，故选D ，||b 是无法 确定的，A 选项错在θ不是唯一确定，还有πθ-12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为【解析】本题与普陀区16题类似，m 的几何意义为P 点 到AB 的距离，即PC 的长，当PC 经过圆心O 时取最大，43PC =，13OC =，1OA =，3AC =，3AB =15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C. 2213616x y += D. 2214525x y += 【解析】本题不难，但比较有意思，体现了“重思维，轻计算”的命题原则，取PF 中点A ，F '为右焦点， 联结AO 、PF '，∵OP OF =，∴AO PF ⊥，法一：2AF =，OF =4AO =，8PF '=， ∴212PF PF a '+==，即6a =，选C法二：21tan481642PFF S b π'∆==⨯⨯=，即216b =，选C16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+（ ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列【解析】0ab >且a b ≠，有两种情况，① 设0a b >>，∴02a ba b +>>>>，∵a 、2a b +、b 成等差，a b 成等比，∴a 、2a b+、b 不可能是等差或等比数列；② 设0a b <<，∴02a ba b +<<<<不可能是等比数列，若为等差数列，必有22a bb +=，即3()()0b a -+-=，0=， ∴9a b =，此时四个数为953b b b b <<<-，为等差数列，综上，选B四. 黄浦区11. 已知点O 、A 、B 、F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F 作OB 平行线，它与椭圆C 在第一象限部分交于点P ，若AB OP λ=，则实数λ的值为【解析】如图所示，(,0)A a -，(0,)B b ，2(,)b P c a，∵AB OP λ=，∴2b b a ac =，即c b =，acλ==12. 已知()22ax x f x x=-（a 为常数），221()x g x x +=，且当1x 、2[1,4]x ∈时，总有12()()f x g x ≤，则实数a 的取值范围是【解析】2()22f x ax x =+，1()2g x x x=+，[1,4]x ∈，∴min ()(1)3g x g ==， ∵12()()f x g x ≤恒成立，即()3f x ≤在[1,4]x ∈时恒成立，分类讨论，① 当0a ≥，()f x在[1,4]上单调递增，∴(4)3283f a =+≤，不符，舍去；② 当0a <，(1)223f a =+≤，24()348f a a --=≤，(4)3283f a =+≤，综上解得，16a ≤-16. 若函数()y f x =在区间I 上是增函数，且函数()f x y x=在区间I 上是减函数，则称函数()f x 是区间I 上的“H 函数”，对于命题：① 函数()f x x =-+(0,1)上的“H函数”；② 函数22()1xg x x=-是(0,1)上的“H 函数”；下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题【解析】① ()f x x =-+t =，∴2()2h t t t =-+，(0,1)t ∈，结合图像，()h t 在(0,1)t ∈时是递增的，根据复合函数同增异减，()f x x =-+(0,1)上递增， ()1f x yx ==-+(0,1)上递减，∴是“H 函数”；② 12()g x x x -=-，∵函数 1y x x -=-在(0,1)上递减，∴12()g x x x -=-在(0,1)上递增，2()21g x x x =-，∵函数21y x =-在(0,1)上递减，∴()g x x 在(0,1)上递增，∴不是“H 函数”，综上，选B五. 奉贤区12. 已知函数()sin cos f x x x ωω=+(0)ω>，x R ∈，若函数()f x 在区间(,)ωω-内单 调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为【解析】())4f x x πω=+，根据题意，24T πωω=≥，22πω≤，且()f ω=∴2sin()14πω+=，∴24πω=，2ω=16. 若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合11{|,{1,2,3,4},i j x A B AB i j ⋅∈∈ {1,2,3,4}}中元素的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】熟悉向量数量积的几何意义的话，这道题就很简单， ∵i j A B 在11A B 方向上投影始终是1，111i j A B A B ⋅=，选A六. 闵行区11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）【解析】S 的所有可能取值有2222a b +、222a b a b ++⋅、4a b ⋅，∵222a b a b +≥⋅， ∴最小值为4a b ⋅，本题看起来的难度远远大于实际做起来的难度12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nb n中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为【解析】根据题意211b b -=、322b b -=、431b b -=、……，累加可得2132n b b n -=-，2132n b n b =-+，2123n b b n n-=+，∴满足要求的12b =15. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，则实数a 的取值范围是（ ）A. [0,)+∞B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞ 【解析】分类讨论，0a ≤时，最大值(1)(1)1f f a =-=-，不符，当0a >时，最大值在(0)f 或(1)f 处取到，要使得最 大值是a ，需满足(0)(1)f f ≥，即|1|a a ≥-，解得12a ≥16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过2017 D. 可超过2017【解析】数形结合，当r 趋向无穷大，交点会有无穷多，选D七. 虹口区11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于【解析】有两种情况，如图，① 当24040p >，即40p <，作MA x ⊥轴，M 、P 、F 三点一线时，||||PM PF +最小，即41MF =，∵40MA =，∴9FA =，∴(11,0)F 或(29,0)F ，∵40p <，∴(11,0)F ；② 当40p >，∵PA PF =，∴当M 、P 、A 三点一线时，||||PM PF +最小，∴41MA =，(21,40)A -，(21,0)F ，综上，22p =或4212. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是【解析】∵221x y +=，∴320x y -->，∵|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均 无关，∴20x y a ++≥，此时满足|2||32|3x y a x y a +++--=+，与x 、y 均无关，即20x y a ++≥恒成立，∴2a x y ≥--，设cos x θ=，sin y θ=，可得a ≥16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④【解析】取特值法，① 当0.1x =，(2)(0.2){0.2}1f x f ===，(){0.1}1f x ==，(2)2()f x f x ≠，不符；④ 当0.1x =，1()()(0.1)(0.6)1122f x f x f f ++=+=+=，(2)(0.2){0.2}1f x f ===，不符；故选C八. 静安区9. 直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为【解析】向量数量积几何意义在这次一模考试中出现很多， 如图，max ||||AB AM AB AE ⋅=⋅，3AB =， 1.5OD =，2.5OM =，4DM =，4AE =，∴max 12AB AM ⋅=10. 已知()xf x a b =-（0a >且1a ≠，b R ∈），()1g x x =+，若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为【解析】对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，∴()f x 单调递减，且经过(1,0)-，∴a ∈(0,1)，且1ab =，∴14a b +≥，即14a b+的最小值为415. 已知()y g x =与()y h x =都是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，2,01()(1),1x x g x g x x ⎧<≤=⎨->⎩，2()log h x k x =（0x >），若()()y g x h x =-恰有4个零点， 则正实数k 的取值范围是（ ）A. 1[,1]2B. 1(,1]2C. 31(,log 2]2D. 31[,log 2]2【解析】∵都是奇函数，∴当0x >时，()g x 与()h x 有2个交点，∴有两个临界状态，当 恰好有2个交点时，()h x 经过(3,1)，解得3log 2k =，当恰好有3个交点时，()h x 经过(4,1)，解得12k =，但取不到，∴31(,log 2]2k ∈，选C 九. 浦东新区11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是边BC 、CD 上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的取值范围是【解析】()()AM AN AB BM AD DN AB DN BM AD ⋅=+⋅+=⋅+⋅，设NC x =，x ∈，2DN x =-，MC =，2BM =，22AM AN DN BM ⋅=+2(2)2(282(x x =-+=-，根据基本不等式，当0a ≥，0b ≥，22222()2()a b a b a b +≤+≤+，∴22(4x ≤≤，∴[4,8AM AN ⋅∈-12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=【解析】当1n =时，((1))3f f =，∵在*N 上单调递增，∴(1)2f =，∴(2)3f =，∴(3)((2))6f f f ==，(6)((3))9f f f ==，(9)((6))18f f f ==，(18)((9))27f f f ==观察规律可得(3)kf 到(23)kf ⋅之间是连续正整数，∴(4)7f =，(5)8f =，∴(7)f =((4))12f f =，(8)((5))15f f f ==，(10)19f =，(11)20f =，(12)21f =，……，(18)27f =，(19)((10))30f f f ==，(20)((11))33f f f ==，(21)((12))36f f f ==， ……，观察规律可得(23)kf ⋅到1(3)k f +之间是以3为公差的等差数列，∵6231999⋅<<720173<，∴(2017)(1999)3(20171999)54f f -=⨯-=16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定 【解析】设玫瑰价格x 元，康乃馨价格y 元，∴28x y +>……①，4522x y +<……②，2-⨯①+②得，36y <，5-⨯①+②得，618x -<-，即263x y >>，故选A十. 宝山区12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为【解析】设数列首项为a ，项数为n ，可得(1)26682a a n n ++-=，即266812na n -=+， ∵a 为正整数，266829234=⨯⨯，当n 为奇数时，只有29n =或23符合条件，当n 为偶数时，只有8n =符合条件，∴2668型标准数列的个数为316. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2【解析】将已知条件转化一下，即(2)2f -+、(0)2f +、(2)2[0,4]f +∈，∴(2)f -、(0)f 、(2)[2,2]f ∈-，且 1[1,3]t +∈-，即[2,2]t ∈-，求|()|y f t =的最大值，如图是取到最大值的一种情况，抛物线过(2,2)--，(0,2)，(2,2)，21()22f x x x =-++，最大值5(1)2f =，选C十一. 青浦区11. 若定义域均为D 的三个函数()f x 、()g x 、()h x 满足条件：对任意x D ∈，点(,())x g x 与点(,())x h x 都关于点(,())x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，已知()g x =()2f x x b =+，()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，且()()h x g x ≥ 恒成立，则实数b 的取值范围是【解析】转化已知条件，即()()g x f x ≤要恒成立，[1,1]x ∈-2x b ≤+，参变分离，即2b x ≥，设cos x θ=sin θ=∴sin 2cos b θθ≥-恒成立，即b ≥12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值 的和为【解析】133n n a ka k +=+-，∴13(3)n n a k a ++=+，① 当3n a ≠-时，即{3}n a +为等比 数列，∴3i a +∈{675,75,0,25,225,2225}--，观察可得，等比数列为25、75-、225、675-或675-、225、75-、25，∴12533a +=-或2025，1343a =-或2022；② 当 3n a =-时，符合题意，∴13a =-；∴3460232022333-+-=16. 已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①21{(,)|}M x y y x ==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|22}xM x y y ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+；其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 【解析】②的反例是点(1,0)，不符，故选C十二. 杨浦区11.平面直角坐标系中，给出点(1,0)A 、(4,0)B ，若直线10x my +-=上存在点P ，使得||2||PA PB =，则实数m 的取值范围是【解析】设点(1,)P my y -，由已知得224PA PB =，∴222224(3)4m y y my y +=++，整理得22(1)8120m y my +++=，由226448(1)0m m ∆=-+≥，解得23m ≥，∴实数m的取值范围是(,[3,)-∞+∞12. 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[2,0]x ∈-时，()21f x x =+，若存 在1x 、2x 、⋅⋅⋅、n x 满足120n x x x ≤<<⋅⋅⋅<，且1223|()()||()()|f x f x f x f x -+-+⋅⋅⋅1|()()|2016n n f x f x -+-=，则n n x +最小值为【解析】()f x 的图像如图所示，根据题意，当10x =、22x =、34x =、46x =、……、n n x +最小，此时1|()()|4n n f x f x --=，20164504÷=，∴505n =，此时n x 为等差数列，2(1)n x n =-，∴5051008x =，即min 505()5051513n n x x +=+= 16. 若直线1x ya b+=通过点(cos ,sin )P θθ，则下列不等式正确的是（ ） A. 221a b +≤ B. 221a b +≥ C. 22111a b +≤ D. 22111a b+≥【解析】将点(cos ,sin )P θθ代入直线得cos sin 1a bθθ+=)1θϕ+=，∵sin()1θϕ+≤，∴22111a b+≥，故选D ；法二：直线经过单位圆上一点，说明原点到直线的距离1d =≤，∴22111a b +≥十三. 金山区11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有 的数从小到大排列成的数列，即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，⋅⋅⋅，将数列{}n a 中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表， 则15a 的值为【解析】观察每一行最右边的数，01433=+，121233=+，233633=+，……，∵15a是第5行最右边的数，∴451533324a =+=12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的41012283036⋅⋅⋅点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ； ④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称 的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是【解析】曲线方程为2|1||1|k y x -=+，由2k y x=平移对称变换得到，如图所示，∴①错误，②正确， ③PA PB PC PD +≥+≥2k =，正确，④0123P PP P 面积012320044P PP P S PC P D k =⋅=，正确， ∴正确结论序号为②③④16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334【解析】∵递减，∴01a <<，430a -≤，且31a ≥，∴1334a ≤≤，|()|2f x x =-恰 好有两个不相等的实数解，数形结合，如图所示，可知当0x ≥，|()|y f x =与2y x =-仅有一个交点，∴当0x <时，2(43)32x a x a x +-+=-只有一解，∴32a ≤，或0∆=， 即34a =，综上，1233a ≤≤或34a =，故选C十四. 松江区10. 设(,)P x y是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF + 的最大值为【解析】如图所示，曲线C 的图像是一个菱形，作出椭圆：221259x y +=，1(4,0)F -、2(4,0)F 为椭圆焦点， 根据题意，P 不在椭圆外，即12||||2PF PF a +≤，∴12||||PF PF +的最大值为1011.已知函数13()28,3xx f x x ≤≤=->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈【解析】数形结合，作出()f x 的函数图象，根据题意， 函数()y f x =与y kx =有3个交点，∴0k >，其中在[1,3]x ∈上有2个交点，即直线y kx =与半圆相交，点 (2,0)到直线距离1d =<，综上，(0,3k ∈ 12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→∞=【解析】由题得，21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，212a a -=，2322a a -=，3432a a -=-，4542a a -=，5652a a -=-，……，212212n n n a a ---=-，累加可得21343n n a -=，∴212646n n a -+=，∴2121lim 2n n na a -→∞=-16. 解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-【解析】263arcsin arcsin x x x x +>--，∴2233arcsin()()arcsin()()x x x x +>-+-，设3()arcsin g x x x =+，()g x 为奇函数，且单调递增，定义域为[1,1]-，∴2()()g x g x >-，即2x x >-，解得0x >或1x <-，结合定义域，∴解集为(0,1]，选A ，十五. 徐汇区11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2nn nS b n =⋅ *()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是【解析】(1)2(1)2n n n m S n n mn n -⋅=+=+-，122n n n n mn m Sb n -+==⋅，∵1n n b b +>， ∴11122nn mn m mn +-++>，化简得(2)1n m ->-，对*n N ∈恒成立，当1n =时，1m <， 当2n =时，m R ∈，当2n >时，12m n ->-，∴0m ≥，综上，[0,1)m ∈12. 若使集合2{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值 范围是【解析】当0k ≥时，集合A 中的元素有无数个，∴0k <，∴6[()](4)0x k x k-+-<，∵60k k +<，∴64k x k +<<，∵0k <，∴64.9k k+≤-≈-，要使集合A 元素个 数最少，65k k+≥-，∴265k k +≤-，解得32k -≤≤-15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在函数f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（ ）A. (1,1)-B. (1,3)C. 2(0,log 3)D. 2(1,log 3) 【解析】据题意，(1)3f -=，(1)1f =，∴1(3)1f-=-，1(1)1f -=，1()f x -单调递减，∴11|(2)|11(2)1x x f f --<⇒-<<，∴111(3)(2)(1)x f f f ---<<，即123x<<，可解得2(0,log 3)x ∈，故选C（分析整理 谭峰）。
2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题
2017年上海高三数学各区一模试题-数列专题1.（2017宝山区一模）如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有 项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列， 则2668型标准数列的个数为 32.（2017宝山区一模）设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；3.（2017崇明县一模）实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+构成的数列（ D ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列4.（2017崇明县一模） 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和；（1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式；（3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；解：（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略； 5.（2017金山区一模）若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 2 6.（2017金山区一模）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a与1i a +之间插入i 个(1)ii b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和；（3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由； 解：（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；7.（2017虹口区一模）若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 2 8.（2017虹口区一模）已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ； 解：（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；9.（2017闵行区一模）已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=， 数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无 数次，则满足要求的1b 的值为 210.（2017松江区一模）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2nn n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→∞= 12-11.（2017松江区一模）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；解：（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在； （3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；12.（2017浦东新区一模）设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-； （1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ； （3）若11a =，n n c bn =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数； 解：（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；13.（2017青浦区一模）已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有133n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{678,78,3,22,222,2222}i a ∈---，2,3,4,5i =，则满足条件的1a 所有可能值的和为 22010314.（2017青浦区一模）如图，已知曲线12:1x C y x =+（0x >）及曲线21:3C y x=（0x >），1C 上的点1P 的横坐标为1a （1102a <<），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P （1,2,3,n =⋅⋅⋅）的横坐标构成数列{}n a ； （1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系； （3）证明：21212n n a a -<； 解：（1）12(,)23；（2）116n n na a a ++=；（3）略；15.（2017奉贤区一模）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 516.（2017奉贤区一模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”；（1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的 取值范围；解：（1）[2,3]；（2）是；（3）1[,1]2；17.（2017嘉定区一模）若数列{}n a23n n=+（*n N ∈），则1221lim()231n n a a a n n →∞++⋅⋅⋅+=+ 218.（2017嘉定区一模）已知无穷数列{}n a 的各项都是正数，其前n 项和为n S ，且满足：1a a =， 11n n n rS a a +=-，其中1a ≠，常数r N ∈；（1）求证：2n n a a +-是一个定值；（2）若数列{}n a 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意*n N ∈，都有n T n a a +=成立，则称{}n a 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期； （3）若数列{}n a 是各项均为有理数的等差数列，123n n c -=⋅（*n N ∈），问：数列{}n c 中的所有项是否都是数列{}n a 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例； 解：（1）2n n a a r +-=；（2）2T =；（3）不是；19.（2017普陀区一模）已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*n N ∈，均有2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+； （3）设11n n n d b b +=⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；解：（1）21nn a =-；（2）11202；（3）2m =，12n =；20.（2017徐家汇区一模）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 [0,1) 21.（2017徐家汇区一模）正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，ka 是1k a -与1kb -的等差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项； （1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列； （3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++与1c 的大小关系并说明理由； 解：（1）12a =12b =（2）略；（3）21n c c c ++<；。
上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析
2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是．12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1}．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集的定义求解．【解答】解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，∴A∩B={﹣1}．故答案为：{﹣1}．2．已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．【解答】解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．3．方程lg（x﹣3）+lgx=1的解x=5．【考点】对数的运算性质．【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x﹣3）+lgx=1，得：，即，解得：x=5．故答案为：5．4．已知f（x）=log a x（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）=．【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得f（2）=log a2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可．【解答】解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2，∴f（2）=log a2=﹣1；故a=；故f﹣1（x）=；故答案为：．5．若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到x的取值范围．【解答】解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，∴等价于a≥x2﹣1，∴a≥（x2﹣1）max0≥（x2﹣1）max﹣1≤x≤1∴实数x的最小值为﹣1．6．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=4．【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可．【解答】解：椭圆的右焦点（2，0），抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，可得：，解得p=4．故答案为：4．7．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【考点】等差数列．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：58．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，即：3×=．故答案为：．9．已知互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，则m+n=﹣1．【考点】复数相等的充要条件．【分析】互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，可得：m=m2，n=n2；n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．解出即可得出．【解答】解：互异复数mn≠0，集合{m，n}={m2，n2}，∴m=m2，n=n2，或n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．由m=m2，n=n2，mn≠0，m≠n，无解．由n=m2，m=n2，mn≠0，m≠n．可得n﹣m=m2﹣n2，解得m+n=﹣1．故答案为：﹣1．10．已知等比数列{a n}的公比q，前n项的和S n，对任意的n∈N*，S n＞0恒成立，则公比q的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】q≠1时，由S n＞0，知a1＞0，从而＞0恒成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围．【解答】解：q≠1时，有S n=，∵S n＞0，∴a1＞0，则＞0恒成立，①当q＞1时，1﹣q n＜0恒成立，即q n＞1恒成立，由q＞1，知q n＞1成立；②当q=1时，只要a1＞0，S n＞0就一定成立；③当q＜1时，需1﹣q n＞0恒成立，当0＜q＜1时，1﹣q n＞0恒成立，当﹣1＜q＜0时，1﹣q n＞0也恒成立，当q＜﹣1时，当n为偶数时，1﹣q n＞0不成立，当q=﹣1时，1﹣q n＞0也不可能恒成立，所以q的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．11．参数方程，θ∈[0，2π）表示的曲线的普通方程是x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sinθ，代入第二个参数方程得到x2=y，根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程．【解答】解：∵∵θ∈[0，2π），∴|cos+sin|=|sin（+）|∈[0，]1+sinθ=（cos+sin）2∈[0，2]故答案为：x2=y（0≤x≤，0≤y≤2）12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，解得：﹣，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．14．若方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据方程f（x）﹣2=0在（﹣∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（﹣∞，0）上有交点．【解答】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（﹣∞，0）上有交点，故正确．故选D．15．已知函数（α∈[0，2π））是奇函数，则α=（）A．0 B．C．πD．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解．【解答】解：由题意可知，函数f（x）是奇函数，即f（﹣x）+f（x）=0，不妨设x＜0，则﹣x＞0．则有：f（x）=﹣x2+cos（x+α），f（﹣x）=x2﹣sinx那么：﹣x2+cos（x+α）+x2﹣sinx=0解得：（k∈Z）∵α∈[0，2π）∴α=故选：D．16．若正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，则集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数．【解答】解：∵正方体A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱长为1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴•=•（++）=•++=1．∴集合{x|x=•，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的个数为1．故选：A．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P﹣ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P﹣ACO的体积．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．【解答】解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，∴PO===3，∴三棱锥P﹣ACO的体积V P﹣ACO===8．（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣4，0），P（0，0，3），M（0，﹣2，），C（4，0，0），O（0，0，0），=（4，2，﹣），=（0，0，﹣3），设异面直线MC与PO所成的角为θ，cosθ===，故异面直线MC与PO所成的角为arccos．18．已知函数（a＞0），且f（1）=2；（1）求a和f（x）的单调区间；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可．【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，∴，解得a=2，∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，∴f（x）的递增区间（0，+∞）；（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），∴2x＜3，∴x＜log23，∵x＞0∴0＜x＜log23∴不等式的解集为（0，＜log23）19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，0°＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示）【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论．【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，PC=b，由正弦定理可得．20．过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程；（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值．【解答】解：（1）双曲线的a=1，b=2，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x；（2）令y=2可得x02=1+=2，解得x0=，（负的舍去），设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2，2m﹣2n=4，解得m=+1，n=﹣1，即有A（+1，2+2），可得PA的斜率为k==2，则直线l的方程为y﹣2=2（x﹣），即为y=2x﹣2；（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣=1，设A（m，2m），B（n，﹣2n），由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0，解得m=x0+y0，n=x0﹣y0，则|OA|•|OB|=|m|•|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|=5|x02﹣|=5为定值．21．设数列{a n}的前n项和为S n，若（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”；（1）若a1=1，，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若{a n}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{a n}是否为“紧密数列”；（3）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．【考点】数列的应用．【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d， ==1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．【解答】解：（1）由题意，且，∴2≤x≤3，∴x的取值范围是[2，3]；（2）由题意，a n=a1+（n﹣1）d，∴==1+，随着n的增大而减小，所以当n=1时，取得最大值，∴≤2，∴{a n}是“紧密数列”；（3）由题意得，等比数列{a n}的公比q当q≠1时，所以a n=a1q n﹣1，S n=， =，因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，所以，≤2，解得，当q=1时，a n=a1，S n=na1，则=1， =1+∈（1，]，符合题意，∴q的取值范围是．2017年4月3日。
2017年上海高考数学一模卷(分类汇编--三角H
2017年高考数学一模分类汇编--三角一、填空题汇编：（第1--6题4分/题；第7--12题5分/题）1、（17年普陀一模2） 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=2、（17年浦东一模8） 函数()3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期为3、（17年长宁/嘉定一模2） 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=4、（17年长宁/嘉定一模9）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为5、（17年杨浦一模4）若ABC ∆中，4=+b a ，︒=∠30C ，则ABC ∆面积的最大值是 .6、（17年松江一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为7、（17年闵行一模1）集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈=_____________ ．（用列举法表示）8（17年松江一模）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是_____________．9、（17年静安一模2）．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ．10、（17年静安一模6）．已知为锐角，且，则________ ．11、（17年静安一模9）．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为___________．12、（17年金山一模3）．如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 13、（17年金山一模4）．函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是14、（17年虹口一模3）．设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则sin2α= ． 15、（17年虹口一模6）．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin A =的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．16、（17年奉贤一模11）．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是_________.3cos()45πα+=sin α=17、（17年奉贤一模12）．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.18、（17年崇明一模9）．已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是19、（17年崇明一模11）．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）20、（17年宝山一模6）． 若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为二、选择题汇编：（5分/题） 1、（17年徐汇一模13）、“4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要2、（17年青浦一模13）、已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为 （ ）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种3、（17年浦东一模13） 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=- 4、（17年长宁/嘉定一模15）给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x =图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、（17年长宁/嘉定一模16） 如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-6、（17年杨浦一模13）若直线1=+bya x 通过点()θθsin ,c os P ，则下列不等式正确的是 （ ）（A ）122≤+b a （B ）122≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）11122≥+ba7、（17年松江一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-8、（17年虹口一模14）．已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．.A 02a <≤π.B 012a π<≤.C ,12a k k N ππ*=+∈ .D 22,12k a k k N <≤+∈πππ9、（17年奉贤一模15）．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（ ）A ．0 B ．2πC ．πD ．23π10、（17年崇明一模13）． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =三、解答题汇编1、（17年徐汇一模18）、已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若()2Af =4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；2、（17年青浦一模18）、本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数()()221cos 42f x x x x π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R .（1） 求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.3、（17年浦东一模13）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积S =a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；4、（17年长宁/嘉定一模18）（14分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=；（1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；5、（17年杨浦一模17）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题6分. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中︒=∠60BAC . （1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）.6、（17年松江一模19）松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求： （1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）60° A B PC7、（17年松江一模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角． （1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.8、（17年静安一模18）．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？9、（17年金山一模18）． 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；10、（17年虹口一模18）．（本题满分14分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30︒方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1︒，速度精确到0.1海里/小时)．A11、（17年奉贤一模19）．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东β()0900<<α方向，0090αβ<+<．求．（结果用,,b αβ的表达式表示）．12、（17年崇明一模18）．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒︒<<）且与点A相距海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；P A B ，C A 45︒B CB。
2017上海高三数学一模汇总(普陀、奉贤)
普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研2016.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．若集合{}R,|2∈==y x y x A ，{}R ,sin |∈==x x y y B ，则=B A I .2. 若22παπ<<-，53sin =α，则=α2cot . 3. 函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f.4. 若5522105)1(x a x a x a a x ++++=+Λ，则=+++521a a a Λ .5. 设∈k R ，若1222=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值围是 .6. 设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .7. 方程()()23log 259log 22-+=-xx 的解=x .8. 已知圆C :022222=++++k y kx y x （R k ∈）和定点()1,1-P ，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值围是 .9. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1==BC AB ， 若CA 1与平面11BCCB 所成的角为6π，则三棱锥ABC A -1的体积 为 . 10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2--∈d 出现 的概率的最大值为 （结果用最简分数表示）.11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬︒45，且两地所在纬度圈上的弧长为R π42，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示）.12. 已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.若b a <0<，则下列不等关系中，不能成立．．．．的是………………………………………（ ）.)A (ba 11>()B ab a 11>- ()C 3131b a <()D 22b a >14.设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S .则“11=+q a ”是“1lim =∞→n n S ”成立的…………………………………………………（ ）.)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设βα--l 是直二面角，直线a 在平面α，直线b 在平面β，且a 、b 与l 均不垂直，则……………………………………………………………（ ）. )A (a 与b 可能垂直，但不可能平行 ()B a 与b 可能垂直，也可能平行()C a 与b 不可能垂直，但可能平行 ()D a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t +的最小值为1，则下列判断正确的是……………………………………………………………（ ）.)A (θ唯一确定 ()B 确定，则θ唯一确定()C 若θ ()D 若θ三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，数a 的取值围.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限的点，x PQ ⊥轴，垂足为Q ,且621=F F ，935arccos21=∠F PF ，△21F PF 的面积为23.（1）求椭圆 的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求MQ 的最大值,并求出MQ 取得最大值时M 的坐标.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为8.73/cm g ，总重量为8.5kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克， 共需要多少千克防腐材料（结果精确到01.0）20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，对于任意的*N n ∈，均有()14121+⋅=-+n n n a a a ， =n b ()11log 22-+n a .（1）求证：{}n a +1是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求10021c c c +++Λ；（3）设11+⋅=n n n b b d ，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m（n m <<1），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数)(x f y =,若存在实数m 、k （0≠m ），使得对于定义域的任意实数x ，均有)()()(k x f k x f x f m -++=⋅成立，则称函数)(x f 为“可平衡”函数，有序数对()k m ,称为函数)(x f 的“平衡”数对.（1）若1=m ，判断x x f sin )(=是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若∈a R ，0≠a ，当a 变化时，求证：2)(x x f =与xa x g 2)(+=的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m ∈R ，且⎪⎭⎫⎝⎛2,1πm 、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πm 均为函数x x f 2cos )(=的“平衡”数对. 当40π≤<x 时，求2221m m +的取值围.普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1-6:：4分；7-12：5分。
10.2017年上海高三数学一模分类汇编：二项式定理
3（2017青浦一模）. 在二项式6
2
()x x +的展开式中，常数项是 3（2017浦东一模）. 8
(1)2
x -的二项展开式中含2x 项的系数是
4（2017普陀一模）. 若550125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+= 4（2017静安一模）. 二项式251()x x +的展开式中，x 的系数为
5（2017闵行一模）. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）
5（2017徐汇一模）. 在622()x x +
的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示）
5（2017长宁/嘉定一模）. 已知(3)n a b +展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n =
8（2017松江一模）. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313
a a =，则n = 8（2017崇明一模）. 若21
(2)n x x +*
()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n = 8（2017杨浦一模）. 设常数0a >
，9(x +展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞
++⋅⋅⋅+= 10（2017虹口一模）. 设函数61()211
x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达
式的展开式中含2x 项的系数是
11（2017宝山一模）. 设常数0a >，若9()a x x
+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =。
12.2017年上海高三数学一模分类汇编：概率、统计
概率：5（2017浦东一模）. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的 质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6（2017松江一模）. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7（2017奉贤一模）. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列 的首项为7（2017杨浦一模）. 抛掷一枚均匀的骰子（刻有1、2、3、4、5、6）三次，得到的数字依次记作a 、b 、c ，则a bi +（i 为虚数单位）是方程220x x c -+=的根的概率是 10（2017普陀一模）. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值为 （结果用最简分数表示）10（2017宝山一模）. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选 出的3人中男、女生均有的概率为 （结果用最简分数表示）15（2017宝山一模）. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； 其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4统计：14（2017宝山一模）. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人， 高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的 样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 11015（2017杨浦一模）. 一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）A. 5800B. 6000C. 6200D. 6400。
上海市奉贤区高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word版)
奉贤区2017-第一学期高三级质量调研考试 数 学 试 卷 2017.12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。
考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6每题每个空格填对得4分，7-12每题填对得5分，否则一律得零分． 1．已知全集U N =，集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则()U C A B =I ________. 2．复数i+12的虚部是________. 3．用1,2,3,4,5共5个数排成一个没有重复数字的三位数，则这样的三位数有________个. 4．已知tan 2θ=-，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则cos θ=________. 5．圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的侧面积等于________.6．已知向量(a =r ，()3,b m =r ．若向量b r 在a r方向上的投影为3，则实数m =________.7．已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积为________. 8．921()x x +的二项展开式中，常数项的值为________.9．已知(2,0)A ，(4,0)B ，动点P 满足PA =，则P 到原点的距离为________. 10．设焦点为1F 、2F 的椭圆()013222>=+a y a x 上的一点P 也在抛物线x y 492=上，抛物线焦点为3F ，若16253=PF ，则21F PF ∆的面积为________. 11．已知13a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是________.12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,02ωϕπ>≤<是R 上的偶函数，图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是单调函数，则符合条件的数组(),ωϕ有________对.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13． 1x >是21x >的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21c c 不平行 15．等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q +>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（ ）．A ．4B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定16．设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（ ）．A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b aD ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 17．已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值．18．已知圆柱的底面半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆1O ，OA 与底面所成角为60︒；（1）试用r 表示圆柱的表面积S ；（2）求异面直线DC 与OA 所成的角．19．如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动， 乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,．设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．20．设{}22(,)1M x y x y =-=，{}22(,)1N x y x y =-=.设任意一点()M y x P ∈00,，M 表示的曲线是C ，N 表示的曲线是1C ，1C 的渐近线为1l 和2l . （1）判断M 与N 的关系并说明理由；（2）设10±≠x ，()()121,0,1,0A A -，直线1PA 的斜率是1k ，直线2PA 的斜率是2k ， 求21k k 的取值范围.（3）过P 点作与1l 和2l 的平行线分别交曲线C 的另外两点于,Q R ，求证：PQR ∆的面积为定值；21．若存在常数p ()10≤<p ，使得数列{}n a 满足n n n p a a =-+1对一切*N n ∈恒成立，则称{}n a 为可控数列.01>=a a（1）若1,2==p a ，问2017a 有多少种可能？（2）若{}n a 是递增数列，312+=a a ，且对任意的i ，数列()1*,3,2,21≥∈++i N i a a a i i i 成等差数列，判断{}n a 是否为可控数列？说明理由；（3）设单调的可控数列{}n a 的首项01>=a a ，前n 项和为n S ，即n n a a a S +++=Λ21．问n S 的极限是否存在，若存在，求出a 与p 的关系式；若不存在，请说明理由．2017-第一学期奉贤区高三数学调研数学卷参考答案一、填空题（1-6每个4分，7-12每个5分，合计54分） 1、{}5 2、1-3、604、5、3π 67、36π 8、849、10、3211、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、4 二、选择题（13-16每个5分，合计20分）13、A 14、C 15、B 16、B 三、解答题（14+14+14+16+18=76分）17、解：（1）定义域()3,3- 3分 关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分 所以()f x 是奇函数 2分 （2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分 2,2k k Z παπ=+∈ 2分18、（1）11OO OAO OA ⊥∴∠底面，为所成的线面角 3分1111=tan OO A OO AO OAO ⋅∠=直角三角形中， 2分2222(2S r r r πππ=+=+ 3分（2）,DC FA OAF ∠P 因为所以为所求角或其补角 2分2,2,OAF OA r OF r AF r ===三角形中， 1分222441cos =224r r r OAF r r +-∠=⨯⨯ 2分1arccos所以，所求角为 1分19300,100D E BD BE ==设甲在处，乙在处,2分2222cos 700DE BD BE BDBE B DE =+-=所以 3分（2）,3DEB B BDE πθ∠=∠=三角形中， 1分2002cos BE BC CE y θ=-=- 1分[0,]sin sin 2DE BE y B DEB πθ==∈∠∠由得 1分 （式子出来3分）[0,]22sin 3y πθθ=∈+ ⎪⎝⎭ 1分6y πθ=时，取最小值 2分答：6y πθ=时，取最小值 1分20、解（1）N 是M 是的真子集的真子集 1分 任意一点()()222200000000,,1,,P x y N x y x y P x y M ∈=∴∈-=1,一定- 2分 反之()00,,P x y M ∈()22222200000000,1,,,x y x y y x P x y N =∴∉--=1或-=1 1分 （2）()2200002000122000,11111x y x y y y y k k x x x -==•==+--a)设P 在曲线上，2分()22000022000012220000,111111x y x y y y y x k k x x x x -=-+=•==+---b)设P 在曲线上，3分(]()12,11,k k ∈-∞-+∞U (][)12,11,k k ∈-∞-+∞U 1分说明第一种定值2分，第2种范围3分，合并1分必需有，即2+3+1=6分 （3）不妨设()00,y x P 在122=-y x 上，联立⎩⎨⎧-=--=-12200y x x x y y 得(),1200200x y x y x ---=化简得0y x -= 1分(),,00x y Q -- 1分同理(),,00x y R 2分()221112202020202020002000000=-=-+++--=--x y x y y x y x y x x y x y y x所以三角形的面积为1 2分 法二：()()00020021y x y x y x Q -=---= ()()00020021y x y x y x R =+-+=0022y x x x PQ Q +=-=0022y x x x PR R -=-=122212120200000=-=+⨯-⨯==y x y x y x PR PQ S PQR21、（1）1,1,3,50,2,41,3432-===a a a依次下去，Λ,2014,2016,20182017=a ，一共有2017 种 4分（2）213,2,++i i i a a a 成等差数列1243++=+i i i a a a()12133+++-=-i i i i a a a a 2分 {}n a Θ单调递增，01>-∴+i i a a()121211333++++++-=-=-=-i i i i i i i i a a a a a a a a1211123131a a a a a a i i i i i -==-=-+++Λ 2分 31,31122=-∴+=a a a a Θ12111231a a a a i i i -=-+++nn n a a ⎪⎭⎫⎝⎛=-+311 2分所以得证（3）当()1,0∈p11112111112){a },,()11(1)(),1(1)){a },-,(-)+11(1)(-)+,1(1)1n n n n nn n n n n n n nn n n n a a a p p p a a p pp p p S n a p p b a a p p p a a p pp p p pS n a a a S p p p-----==+----∴=+----==---∴===---若单调递增累加法得极限不存在若单调递减累加法得当时，极限存在。
2017上海高考各区数学一模函数题库
2017上海高考各区一模《函数》精编1.（2017嘉定区一模）有以下命题：①若函数()f x 既是奇函数又是偶函数，则()f x 的值域为{0}；②若函数()f x 是偶函数，则(||)()f x f x =；③若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；④若函数()f x 存在反函数1()f x -，且1()f x -与()f x 不完全相同，则()f x 与1()f x -图 像的公共点必在直线y x =上；其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）2.（2017普陀区一模）已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，2()1f x x =-，函数lg ||,0()1,0x x g x x ≠⎧=⎨=⎩. 若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函数()F x 零点的个数是 153.（2017崇明县一模）设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数； （1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由； 解：（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞； 4.（2017虹口区一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞；（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；解：（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 5.（2017金山区一模）已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x R ∈；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式 01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；解：（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；6.（2017青浦区一模）已知函数2()2f x x ax =-（0a >）；（1）当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；（2）函数()y f x =在[,2]t t +的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0,()]M a 上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式；7.（2017嘉定区一模）已知函数()9233x xf x a =-⋅+；（1）若1a =，[0,1]x ∈，求()f x 的值域；（2）当[1,1]x ∈-时，求()f x 的最小值()h a ；（3）是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①3n m >>；②当()h a 的定义域为[,]m n 时，其值域为22[,]m n ，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由；8.（2017宝山区一模）设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）；（1）当2m =时，解不等式1()1f x>；（2）若(0)1f =，且()x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围； （3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg 2nf x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；9.（2017普陀区一模）已知函数()y f x =，若存在实数m 、k （0m ≠），使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(,)m k 称为函数()f x 的“平衡”数对；（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化，求证：2()f x x =与()2x g x a =+的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m R ∈，且1(,)2m π、2(,)4m π均为函数2()cos f x x =（04x π<≤）的“平 衡”数对，求2212m m +的取值范围；10.（2017闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；11.（2017浦东新区一模）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈， 都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=12.（2017浦东新区一模）已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数，设011i i n a t t t t t b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，其中分点1t 、2t 、⋅⋅⋅、1n t -将区间[,]a b 划分为n *()n N ∈个小区间1[,]i i t t -，记0112{,,}|()()||()()|M a b n t t t t ϕϕϕϕ=-+-1|()()|n n t t ϕϕ-+⋅⋅⋅+-，称为()x ϕ关于区间[,]a b 的n 阶划分的“落差总和”；当{,,}M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”0{,,}M a b n ；（1）已知()||x x ϕ=，求{1,2,2}M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[,]a b 上存在“最佳划分”{,,1}M a b 的充要条件是()x ϕ在[,]a b 上单调递增；（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”0{,,}M a a n -，求证：0n 是偶数，且 00110i i n t t t t t -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=；。
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普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研2016.12一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．若集合{}R,|2∈==y x y x A ，{}R ,sin |∈==x x y y B ，则=B A .2. 若22παπ<<-，53sin =α，则=α2cot . 3. 函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f.4. 若5522105)1(x a x a x a a x ++++=+ ，则=+++521a a a .5. 设∈k R ，若1222=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 .6. 设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .7. 方程()()23log 259log 22-+=-xx 的解=x .8. 已知圆C :022222=++++k y kx y x （R k ∈）和定点()1,1-P ，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是 . 9. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ABC ，1==BC AB ， 若C A 1与平面11BCC B 所成的角为6π，则三棱锥ABC A -1的体积 为 .10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2--∈d 出现 的概率的最大值为 （结果用最简分数表示）.11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬︒45，且两地所在纬度圈上的弧长为R π42，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示）.12. 已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.若b a <0<，则下列不等关系中，不能成立．．．．的是………………………………………（ ）.)A (ba 11>()B ab a 11>- ()C 3131b a <()D 22b a >14.设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S .则“11=+q a ”是“1lim =∞→n n S ”成立的…………………………………………………（ ）.)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设βα--l 是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则……………………………………………………………（ ）.)A (a 与b 可能垂直，但不可能平行 ()B a 与b 可能垂直，也可能平行 ()C a 与b 不可能垂直，但可能平行 ()D a 与b 不可能垂直，也不可能平行16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t +的最小值为1，则下列判断正确的是……………………………………………………………（ ）.)A (θ唯一确定 ()B 确定，则θ唯一确定()C 若θ ()D 若θ三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，x PQ ⊥轴，垂足为Q ,且621=F F ，935arccos21=∠F PF ，△21F PF 的面积为23. （1）求椭圆Γ的方程；（2）若M 是椭圆上的动点，求MQ 的最大值,并求出MQ 取得最大值时M 的坐标.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为8.73/cm g ，总重量为8.5kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克， 共需要多少千克防腐材料（结果精确到01.0）20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，对于任意的*N n ∈，均有()14121+⋅=-+n n n a a a ， =n b ()11log 22-+n a .（1）求证：{}n a +1是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求10021c c c +++ ；（3）设11+⋅=n n n b b d ，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m（n m <<1），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数)(x f y =,若存在实数m 、k （0≠m ），使得对于定义域内的任意实数x ，均有)()()(k x f k x f x f m -++=⋅成立，则称函数)(x f 为“可平衡”函数，有序数对()k m ,称为函数)(x f 的“平衡”数对.（1）若1=m ，判断x x f sin )(=是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若∈a R ，0≠a ，当a 变化时，求证：2)(x x f =与xa x g 2)(+=的“平衡”数对相同；（3）若1m 、2m ∈R ，且⎪⎭⎫⎝⎛2,1πm 、⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πm 均为函数x x f 2cos )(=的“平衡”数对. 当40π≤<x 时，求2221m m +的取值范围.普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1-6:：4分；7-12：5分。
1．[]1,0. 2.247. 3. ()12-x （1≥x ）. 4. 31. 5. 2>c . 6. [)+∞,0. 7. 1. 8.2-<k 或0>k . 9.62. 10.61. 11.3R π. 12. 15. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）三、解答题17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*） ①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。
（2）02)(=-x x f ⇔02||1=-+x x a ，即xx a 12+=其中[]1,2--∈x 令)(x g =xx 12+，其中[]1,2--∈x ，对于任意的1x 、[]1,22--∈x 且21x x < 则()=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2211211212)(x x x x x g x g ()()21212112x x x x x x --由于1221-≤<≤-x x ，所以021<-x x ，021>x x ，4121<<x x ，所以01221>-x x所以()()21212112x x x x x x --0<，故())(21x g x g <，所以函数)(x g 在区间[]1,2--上是增函数 所以=-29()≤-2g )(x g ()31-=-≤g ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈3,29)(x g ,故a ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,2918. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）在△21F PF 中，由935arccos21=∠F PF 得935cos 21=∠F PF 96sin 21=∠F PF 因为△21F PF 的面积为23，621=F F ,所以23sin 2121121=∠⋅⋅F PF PF F F . 解得331=PF ……2分在△21F PF 中，由余弦定理得，212112212122cos 2F PF F F PF F F PF PF ∠⋅⋅-+=，所以322=PF ,故32=PF ，于是34221=+=PF PF a ,故32=a ……4分，由于3=c ，所以3=b ,故椭圆Γ的方程为131222=+y x（2）设()00,y x P ，根据题意可知2321021=⋅⋅y F F ，故20±=y ,由于00>y ,所以20=y ……7分，将20=y 代入椭圆方程得，1321220=+x ，解得20±=x ，由于00>x ，所以20=x ，故Q 的坐标为()0,2……8分 令()y x M ,，则131222=+y x ,所以4322x y -=()2222y x MQ +-=74432+-=x x 3538432+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x ，其中3232≤≤-x ……11分，所以当32-=x 时，2MQ 的最大值为3816+，故MQ 的最大值为()132+…13分，此时点M 的坐标为()0,32-.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正六棱柱的底边边长为a ，高为h ，圆孔的半径为r ，并设螺帽的表面积为表S ，根据三视图可知，12=a ，10=h ，5=r ，则（1）设螺帽的体积为V ,则h S V ⋅=底，其中=底S 2260sin 216r a π-⨯⨯⨯︒=π253216-高10=h ，螺帽的体积()10253216⋅-=πV ，()252102532161008.710008.5≈⋅-⨯÷⨯π个（2）⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⨯⨯⨯⨯+=︒2260sin 21626r a ah S π表h a ⋅⋅+π2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=2252312216210126π1052⋅⋅+π()05.011.02521010025321627206≈⨯⨯+-⨯+ππ（千克）答：这堆零件至少有252个，防腐共需要材料05.0千克。