2017上海高三数学一模汇总(普陀、奉贤)

普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研

2016.12

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1．若集合{

}

R

,|2

∈==y x y x A ，{}R ,sin |∈==x x y y B ，则

=B A I .

2. 若2

2

π

απ

<

<-

，5

3

sin =

α，则=α2cot . 3. 函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1

x f

.

4. 若5

522105)1(x a x a x a a x ++++=+Λ，则=+++521a a a Λ .

5. 设∈k R ，若

12

2

2=--k x k y 表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 .

6. 设∈m R ，若函数()11)(3

2+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .

7. 方程()()

23log 259log 22-+=-x

x 的解=x .

8. 已知圆C :0222

2

2

=++++k y kx y x （R k ∈）和定点()1,1-P ，

若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是 . 9. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，?

=∠90ABC ，

1==BC AB ， 若C A 1与平面11BCC B 所成的角为

6

π

，则三棱锥ABC A -1的体积 为 .

10.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{}2,1,0,1,2--∈d 出现 的概率的最大值为 （结果用最简分数表示）.

11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬?

45，且两地所在纬度圈上的弧

长为

R π4

2

，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示）.

12. 已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，

21)(x x f -=；

函数??

?=≠=.

0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点

的个数是 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13.若b a <0<，则下列不等关系中，不能成立．．．．的是………………………………………（ ）.

)A (b

a 11>

()

B a

b a 1

1>- ()

C 3

131b a <

()D 22b a >

14.设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S .则“11=+q a ”是“1lim =∞

→n n S ”成立的…………………………………………………（ ）.

)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件

()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件

15. 设βα--l 是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则……………………………………………………………（ ）.

)A (a 与b 可能垂直，但不可能平行 ()B a 与b 可能垂直，也可能平行 ()C a 与b 不可能垂直，但可能平行 ()D a 与b 不可能垂直，也不可能平行

16. 设θ是两个非零向量a 、b 的夹角，若对任意实数t +的最小值为1，则下列判断正确的是……………………………………………………………（ ）.

)A (θ唯一确定 ()B 确定，则θ唯一确定

()C 若θ ()D 若θ

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知∈a R ，函数|

|1)(x a x f +

= （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；

（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

已知椭圆Γ：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是

椭圆上位于第一象限内的点，x PQ ⊥轴，垂足为Q ,且621=F F ，

9

3

5arccos

21=∠F PF ，△21F PF 的面积为23. （1）求椭圆Γ的方程；

（2）若M 是椭圆上的动点，求MQ 的最大值,

并求出MQ 取得最大值时M 的坐标.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为

8.73/cm g ，总重量为8.5kg .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.

（1）这堆螺帽至少有多少个；

（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克， 共需要多少千克防腐材料（结果精确到01.0）

20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，对于任意的*

N n ∈，均有

()14121+?=-+n n n a a a ， =n b ()11log 22-+n a .

（1）求证：{

}n a +1是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求

10021c c c +++Λ；

（3）设1

1

+?=

n n n b b d ，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m

（n m <<1），使得1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知函数)(x f y =,若存在实数m 、k （0≠m ），使得对于定义域内的任意实数x ，均有)()()(k x f k x f x f m -++=?成立，则称函数)(x f 为“可平衡”函数，有序数对()k m ,称为函数)(x f 的“平衡”数对.

（1）若1=m ，判断x x f sin )(=是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若∈a R ，0≠a ，当a 变化时，求证：2

)(x x f =与x

a x g 2)(+=的“平衡”数对相同；

（3）若1m 、2m ∈R ，且???

?

?2,1πm 、??

? ??4,2πm 均为函数x x f 2

cos )(=的“平衡”数对. 当4

0π

≤

221m m +的取值范围.

普陀区2016-2017学年第一学期高三数学质量调研评分标

准

一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1-6:：4分；7-12：5分。 1．[]1,0. 2.

24

7

. 3. ()12-x （1≥x ）. 4. 31. 5. 2>c . 6. [)+∞,0. 7. 1. 8.2-k . 9.

62. 10.61. 11.3

R π. 12. 15. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）

三、解答题

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +

=，所以x x f 2)(≤x x 2|

|1

1≤+

?……（*） ①若0>x ，则（*）变为，

0)1)(12(≥-+x x x 02

1

<≤-?x 或1≥x ，所以1≥x ；

②若0

01

22≥+-x

x x 0>?x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。 （2）02)(=-x x f ?02||1=-+

x x a ，即x

x a 1

2+=其中[]1,2--∈x 令)(x g =x

x 1

2+

，其中[]1,2--∈x ，对于任意的1x 、[]1,22--∈x 且21x x < 则()=???? ?

?+-???? ?

?+

=-2211211212)(x x x x x g x g ()()21212112x x x x x x --

由于1221-≤<≤-x x ，所以021<-x x ，021>x x ，4121<

01221>-x x

所以

()()2

1212112x x x x x x --0<，故())(2

1

x g x g <，所以函数)(x g 在区间[]

1,2--上是增函数 所以=-

29()≤-2g )(x g ()31-=-≤g ，即??

?

???--∈3,29)(x g ,故a ∈??

?

???--3,29

18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

【解】（1）在△21F PF 中，由9

3

5arccos

21=∠F PF 得935cos 21=

∠F PF 9

6

sin 21=∠F PF 因为△

2

1F PF 的面积为

2

3，

621=F F ,所以

23sin 2

1

21121=∠??F PF PF F F . 解得331=PF ……2分在△21F PF 中，由余弦定理得，

21211221212

2

cos 2F PF F F PF F F PF PF ∠??-+=，所以32

2

=PF ,故

32=PF ，

于是34221=+=PF PF a ,故32=a ……4分，由于3=c ，所以

3=b ,

故椭圆Γ的方程为13

122

2=+y x

（2）设()00,y x P ，根据题意可知

232

1

021=??y F F ，故20±=y ,由于00>y ,所以20=y ……7分，将20=y 代入椭圆方程得，13

2

122

0=+x ，解

得20±=x ，由于00>x ，所以20=x ，故Q 的坐标为()0,2……8分 令()y x M ,，

则13

1222=+y x ,所以4322

x y -=

()22

2

2y x MQ +-=74432+-=x x 3

5

38432

+??? ??-=x ，

其中3232≤≤-x ……11分，所以当32-=x 时，2

MQ 的最大值为

3816+，故MQ 的最大值为()132+…13分，此时点M 的坐标为()

0,32-.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8

分

【解】设正六棱柱的底边边长为a ，高为h ，圆孔的半径为r ，并设螺帽的表面积为表S ，根据三视图可知，12=a ，10=h ，5=r ，则（1）设螺帽的体积为

V ,则h S V ?=底，其中

=底S 2260sin 2

1

6r a π-????=π253216-

高10=h ，螺帽的体积()

10253216?-=πV ，

()

25210

253216100

8.710008.5≈?-?÷?π个

（2）??

?

???-???

?+=?2260sin 21626r a ah S π表h a ??+π2 ???

? ???-????+??=2

252312216210126π1052??+π

()

05.011.02521010025321627206

≈??+-?+π

π（千克）

答：这堆零件至少有252个，防腐共需要材料05.0千克。

20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

【解】（1）由()1412

1+=-+n n n a a a 得()2

2

112+=+n n a a ，由于0>n a

故121+=+n n a a ，即)1(211+=++n n a a ，所以

21

1

1=+++n n a a

故数列{}1+n a 为等比数列，且211=+a ，所以12-=n

n a （2）()

1121log 22--+=n

n b ，故12-=n b n ，11=b

其中21=-+n n b b （常数），所以数列{}n b 是以1为首项、2为公差的等

差数列

111==a b ,12764=b ，211106=b ，213107=b

由（1）可得，1277=a ，2558=a 因为127764==a b ，81077a b a <<

所以10021c c c +++Λ()()72110721a a a b b b +++-+++=ΛΛ ()[]

7)222(2

2131107721-+++-+?=

Λ

()

72

121222141077

+---?=

=+-=921078211202 11+?=

n n n b b d ()()??

? ??+--=+-=1211212112121n n n n

=??

??????? ??+--++??? ??-+??? ??-=

121121

5131311121n n T n Λ??? ??+-121121n 12+=n n 其中3

11=

T ,12+=m m T m ，12+=n n

T n

假设存在正整数m （n m <<1），使得1T 、m T 、n T 成等比数列

则有n m T T T ?=12

，即()=

+22

12m m ()

123+n n ,所以0142322>++-=m m m n ， 解得2

61261+<<-

m ,又因为*

N ∈m ,1>m ,所以2=m ,此时12=n , 所以存在满足题设条件的m 、n ..

21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

【解】（1）若1=m ，则x x f m sin )(=?

()()k x k x k x f k x f -++=-++sin sin )()(k x cos sin 2=

要使得)(x f 为“可平衡”函数，需使故()0sin cos 21=?-x k 对于任意实

数x 均成立，只有21

cos =

k ……3分，此时3

2ππ±=n k ，Z n ∈，故k 存在，所以x x f sin )(=是“可平衡”函数

（2）2)(x x f =及x

a x g 2)(+=的定义域均为R

根据题意可知，对于任意实数x ，()()2

22

2

222k x k x k x mx +=-++=

即2

2222k x mx +=,即()0222

2

=--k x m 对于任意实数x 恒成立

只有0,2==k m ，故函数2

)(x x f = 的“平衡”数对为()0,2

对于函数

x

a x g 2)(+=而言，

()()

k k x k x k x x a a a a m --++?+=+++=+?2222222

所以(

)()

k k

x

x

a a m -+?+=+?22

222

()[

]

()02222=-?++-?-m a m k

k

x

，()?

??=-?+=-0222m a m k

k ，

即??

?=≥2

2m m ，故2=m ，只有0=k ，……9分，所以函数x

a x g 2)(+=的“平

衡”数对为()0,2

综上可得函数2

)(x x f =与x

a x g 2)(+=的“平衡”数对相同 （3）??? ?

?-+???

?

?+

=2cos 2cos cos 22

2

1ππx x x m ，所以x x m 2

21sin 2cos = ??? ?

?-+???

?

?+=4cos 4cos cos 22

22ππx x x m ，所以1cos 2

2=x m 由

于

40π

≤

所

以

1cos 2

1

2<≤x ，故

x m 21tan 2=(]2,0∈,(]2,1sec 22∈=x m

2

2

21m m +=

()()

1

tan 2tan 5tan

4tan 122

24

2

2

++=++x x x x 5451tan 52

2+??? ?

?

+=x ，

由于4

0π

≤

≤

5

6

tan 51512≤+

832tan 212

2≤-+

22

1m m +8≤

2017届奉贤区高三数学调研测试题

（满分150分，完卷时间120分钟）

一、填空题(本大题满分54分)(本大题1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)考生必须在

答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，A B =I ____________. 2．已知复数z 满足2)1(=-i z ,其中i 是虚数单位，则z =____________. 3．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________. 4．已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，且2)1(1

=--f ，则=-)(1x f ____________.

5．若对任意实数x ，不等式2

1x a ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是____________.

6．若抛物线px y 22

=的焦点与椭圆15

22

=+y x 的右焦点重合，则p =____________. 7．中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____________.

8．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积____________.

9．互异复数0≠mn ，集合{}{

}2

2

,,n

m n m =，

则=+n m ____________.

10．已知等比数列{}n a 的公比q ，前n 项的和n S ，对任意的

*n N ∈,0n S >恒成立，则公比q 的取值范围是___________.

11．参数方程[)πθθθ

θ2,0,sin 12

cos 2sin ∈??

?

??+=+=y x 表示的曲线的普通方程是____________.

主视图 俯视图

左视图

12．已知函数()()

sin cos0,

f x wx wx w x R

=+>∈，若函数()

f x在区间()

,ωω

-内单调递增，

且函数()

f x的图像关于直线xω

=对称，则ω的值为____________.

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在

答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．13．对于常数m、n，“0

mn<”是“方程221

mx ny

+=”表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

14．若方程()20

f x-=在(,0)

-∞内有解，则()

y f x

=的图像可能是（）

15．已知函数

2

2

sin,

()

cos(),

x x

f x

x xα

?+

?

=?

-++

??

x

x

≥

<

([0,2)

απ

∈是奇函数，则α=（）

A．0B．

2

π

C．πD．

2

3π

16．若正方体

12341234

A A A A

B B B B

-的棱长为1，则集合

{}{}

{}

11

|,1,2,3,4,1,2,3,4

i j

x x A B A B i j

=?∈∈

u u u u r u u u u r

中元素的个数（）

A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（第17-19每个满分14分，第20满分是16分，第21满分18分）

17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，点C 是弧AB 的中点． （1）求三棱锥ACO P -的体积； （2）求异面直线MC 与PO 所成的角．

18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分

已知函数()(

)

2log 22-+=x x

a a

x f ()0>a ，且()21=f ．

（1）求a 和()x f 的单调区间；

（2）解不等式 ()()12f x f x +->．

19．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分

一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P 观测到灯塔A B ，在一直线上，并与航线成

角α(

)0

90

0<<α．轮船沿航线前进b 米到达C 处，此时观测到灯塔A 在北偏西45?方向，灯塔B 在北偏东β()0

900<<α方向，0

090αβ<+<．求CB ．（结果用,,b αβ的表

A

B

达式表示）．

20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3

小题满分6分

过双曲线14

2

2

=-y x 的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点.

（1）求双曲线的渐近线方程； （2）当()2,0x P ，求直线l 的方程； （3）求证：OA OB ?是一个定值．

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分

设数列{}n a 的前n 项和为n S .若

()*1

122n n

a n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. （1）若{}n a 是“紧密数列”，且4,,2

3

,14321===

=a x a a a ，求x 的取值范围； （2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，公差10a d ≤<，判断{}n a 是否为“紧密数列”；

（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围.

2017高三数学调研参考答案

填空题1（1-6，每个4分）

1．{}1- 2．1i +

3．5 4．12x

??

???

5．1a ≤- 6．4 填空题2（7-12，每个5分）

7．5 8．

2

3

3+

9．1- 10．()()1,00,-+∞U

11．(

2

,0x y x =≤≤ 12 选择题（每个5分）

13．C 14．D 15．D 16．A

三、解答题（17-19每个满分14分，20满分是16分 ，21满分18分） 17．（1）点C 是弧AB 的中点，OC AB ⊥， 2分

PO ⊥面AOC 4分

三棱锥ACO P -的体积11

443832

V =

????= 7分 （2）如图，建立空间直角坐标系，

D O

C

B

A

M

P

()

0,4,0A -，()0,4,0B ，()4,0,0C ，()0,0,3P 9分

30,2,2M ??- ?

?

?

10分

34,2,2MC ????

=-??

????u u u u r

{}0,0,3PO =-u u u r

33

cos MC PO MC PO θ??===u u u u r u u u r u u u u r u u u r

13分

所以异面直线所出的角是arccos

14分

也可以用平移法:

连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ． 又3PO ==，32MD ∴=

．又542

OC OM ==，． //MD PO Q ，

∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角． 可知MD DC ⊥,DC =tan 2

DC DMC MD ∠=

==

异面直线MC 与PO 所成的角

18．解：（1）2

2(1)log (2)2f a a =+-= 1分

A

所以2

24a a +-= 2分 所以2a = 或 3()a =-舍 3分

所以函数2()log (422)x x

f x =+-

又因为4220x x

+-> 4分 得(22)(21)0x x

+->，21x >，所以定义域(0,)D =+∞ 5分

所以2()log (422)x x

f x =+-的单调递增区间为(0,)+∞ 6分

设()422x x

t x =+- 任取120x x <<

112212()()422(422)

x x x x t x t x -=+--+-

=1212

12124422

(22)(221)x

x

x

x x x x x -+-=-++ 7分

因为2x

y =为增函数，1212

2210,22

0x

x

x

x ++>-<，12()()0t x t x ∴-<

()()()122122()log log 0f x f x t x t x -=-<

()12()f x f x ∴< 9分

所以2()log (422)x x

f x =+-的单调递增区间为(0,)+∞ 9分

（2）()()12f x f x +->得()()12f x f x +>+

1122log (422)log 4(422)x x x x +++->+- 11分

1114224(422)4428x x x x x x ++++->+-=+?-

所以23x

<， 12分

2log 3x < 13分

所以不等式的解集为2(0,log 3) 14分