数学准备矢量分析与场论

a ,
b 的点乘也称标量积)
1122b a b ++cos a b =a ,b 的叉乘1
1
a a
b a =⨯
sin a b 方向：既垂直于a
，又垂直于与b a ,满足右手螺旋关系。

=()()(2133113223321b a c b a b a c b a b a c -+-+-若只把两个矢量对调,混合积反号。

若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做1
232
3113
1221
e c c a b a b a b a b a b =
---(c a b =-223)()c b b c a ⋅-⋅
()()c b a c a b =⋅-⋅ ()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅
()
F x
=（）T T x
((),(x l y l dl φ=x φ∂∂=
+方向上的方向余弦。

其余三个数
∂可视为某一矢量的坐标从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数
叫做矢量场F 向积分所沿一侧穿过曲面s
⎰正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。

根据通量的正负可以得知S 内有产生通量。

但仅此还不能了解源在s
s
F dS V ⋅⎰
散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。

也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处divf 就相应的表
l
F dl ⋅⎰
称为此矢量场按积分所取方向沿曲线我们已知磁场中有l
H dl I ⋅=⎰
由上式可以知道，磁场面积S 的总的电流强度。

显然，仅此还不能了解磁场中任一点构成右手螺旋关系。

则矢之正向的环量∆Γ与面积点时，若∆Γ的极限存在，则称其为
n μ，即，l
S
∆∆⎰
H 所构成的磁场中的一点lim
l
S S
∆∆→=∆⎰
又如在流速场v 中的一点M lim l
S M v dl
S
∆∆→⋅=∆⎰
M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，
R ，则称矢量rotF ，即 rotF R =
lim
l
rotF S
∆=∆⎰
1:在磁场H 中，旋度rotH 是在给定处，它的方向乃是最大电流其模即为最大电流密度的数值，
影，就给出该方向上的环流密度。

x z
x y
e e x y z y
f f ∂
=
∂∂∂∂一个线速度场。

由运动学知道，矢径为12()j y x k ωω+-，求线速度解：由速度场的雅可比（
这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点z z f x
⎪∂ ∂
（由方向导数的公式0l dl
φ=∇⋅，
得d (S
V
⎰⎰S 为V 的表面，s d 等于ds 乘以外法线方向单位矢量。

（在矢量场中任取体积V 坐标轴的三组平行面把体积s
s
F dS V ⋅⎰可知，
f fdV ∇⋅=∇⋅∑⎰，在S 所围中，小六面体的表面可以分成两种：一种是内部的面，它们s
⎰
(S
V
⎰⎰3.斯托克斯（stokes ）公式
(L
S
⎰⎰S 的边界。

S 方向与L 成右手螺旋关系。

A 中，任取一个非闭合面l
S
∆∆⎰
，
()n i
n e l F dl e dS rotF rotF dS ⋅=⋅=⎰()()n n i
e e l s
F dl rotF dS rotF dS ⋅==∑⎰⎰，沿小面积元
的边界取线积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，积分的方向相反，在求和时这两部分互相抵消，合部分的积分值，因而得到i
l l
F dl F dl
⋅=
⋅⎰⎰(L
S
dS ⎰⎰）
4.标量场本质上可以由该场的梯度确定，矢量场本质上由该场的散度、旋度确定。

)f⎛∂
∇⨯=
()f
∇⋅∇⨯≡
如果某一矢量A的散度为零（
称为矢量场A的矢量势
∂∂
++
4）2
f f f
∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇
()()
⨯=⋅-⋅=
()()()(
a b c b a c a b a c
)()()()
f f f f f
∇⨯=∇∇⋅-∇⋅∇=∇∇⋅-∇
∇
(I.20)
(I.21)
(I.22)
(I.23)
(I.21)()
f g ∇⋅⨯根据∇的微分性质，应分别作用到()f f g ∇⋅⨯=∇质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到()()(f f f g f g ⨯=∇⨯⋅=∇⨯)
f g ⨯不能写成()g f g ∇⨯⋅， 因g ∇要作用在)(
()g g g g =-∇⋅∇⨯=)()()g g f f g ⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯
()()
()f g f g f g f g ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯ ()()
a c
b a b
c =⋅-⋅ 因而由矢量性得
()()()(f f f f g g f g f ⨯⨯=⋅∇-∇⋅=())g f g f =⋅∇， 因f ∇只作用在f 上 ]
()()g g f g f g ∇⨯⨯=∇⋅-)()()()()g f f g f g g f =⋅∇+∇⋅-⋅∇-∇⋅
()()()
f g f g f g f g ⋅=∇⋅+∇⋅ （ 由微分性） )()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅ ()()()
b c a c b a b c ⋅=⋅-⨯⨯
()()()f f f f g g f f g ⋅=⋅∇-∇⨯⨯=
，然后根据三个矢量叉乘进行运算分析即可。

⋅=⨯∇⨯+⋅∇+⨯∇⨯+⋅∇
)()()()(
g f g f g g f g
δ
点，()x
选择性(f⎰附近的连
选择性(
f⎰
V
通常电荷密度是与空间位置有关的有限连续函数。

如果不是有限
i
()x 函数的导数是奇函数，以电偶极子)2y z y e z e ''∆+∆，于是当
()()()
x x x x ρδδ∂'其中'∇=-∇.)
④在曲线坐标系中用δ2()()(x x y y z ''-+-+
r （如果积分面所包含的体积包含原点）；或等于零，（如果积分面所包这个式子的意义仅是原来的这个式子是有实际用途的。

处，30r
r
∇⋅=，但在0r =点为中心，34S dS r ⋅=-⎰由关于δ函数的定义，有
4dV π=（当x
严谨证明
二阶张量可以写为
从上面公式可以看出，212122222323A B e e A B e e A B e e A ++++。

通常称标量为零阶张量，称矢量为一阶张量，称并矢
2.单位张量3e 称为单位张量，它的三个对角分
）张量与标量的乘法
)B C ⋅
()()C AB C A B ⋅=⋅
因此并矢与矢量的点乘是一个矢量。

并且一般有（2）张量T →→和矢量f 的点乘ij l i T f e δ∑i ij j T f T e =∑
f T T →→→→
⋅≠（不满足交换律）（3）两个二阶张量点乘
kl k l ij i j ki ij k j e e T e e R T e e ⋅=∑∑
（不满足交换律）
张量与矢量的矢量积（叉乘）)()AB C A B C ⨯=⨯
()()C AB AB C ⨯≠⨯
）张量与矢量的矢量积
()i jk j k i T f f T e e e ≠=⨯∑
双点乘（张量的收缩或缩并，二次点乘）:()()CD B =
即先把靠近的两个矢量点乘，再把剩下的两个矢量点乘。

（满足交换律）
)()f g f g ⋅+⋅∇
I =
)()Ar A r A =∇⋅+
)()Arr A rr Ar rA =∇⋅++ S V ⎝⎰⎰(()S V
dS fg ⋅=⎰⎰V S AdV dSA ∇=⎰⎰。