数学准备矢量分析与场论

a ,

b 的点乘也称标量积)

1122b a b ++cos a b =a ,b 的叉乘1

1

a a

b a =⨯

sin a b 方向：既垂直于a

，又垂直于与b a ,满足右手螺旋关系。

=()()(2133113223321b a c b a b a c b a b a c -+-+-若只把两个矢量对调,混合积反号。

若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做1

232

3113

1221

e c c a b a b a b a b a b =

---(c a b =-223)()c b b c a ⋅-⋅

()()c b a c a b =⋅-⋅ ()()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅

()

F x

=（）T T x

((),(x l y l dl φ=x φ∂∂=

+方向上的方向余弦。其余三个数

∂可视为某一矢量的坐标从该式可以看出梯度是方向导数的一种，方向为标量函数

叫做矢量场F 向积分所沿一侧穿过曲面s

⎰正方向，穿出曲面为正，穿入曲面为负，相切为零。根据通量的正负可以得知S 内有产生通量。但仅此还不能了解源在s

s

F dS V ⋅⎰

散度表示在场中一点处通量对体积的变化率，又称为通量体密度。

也就是在该点处对一个单位体积来说所穿过的通量，称之为该点处divf 就相应的表

l

F dl ⋅⎰

称为此矢量场按积分所取方向沿曲线我们已知磁场中有l

H dl I ⋅=⎰

由上式可以知道，磁场面积S 的总的电流强度。显然，仅此还不能了解磁场中任一点构成右手螺旋关系。则矢之正向的环量∆Γ与面积点时，若∆Γ的极限存在，则称其为

n μ，即，l

S

∆∆⎰

H 所构成的磁场中的一点lim

l

S S

∆∆→=∆⎰

又如在流速场v 中的一点M lim l

S M v dl

S

∆∆→⋅=∆⎰

M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，

R ，则称矢量rotF ，即 rotF R =

lim

l

rotF S

∆=∆⎰

1:在磁场H 中，旋度rotH 是在给定处，它的方向乃是最大电流其模即为最大电流密度的数值，

影，就给出该方向上的环流密度。 x z

x y

e e x y z y

f f ∂

=

∂∂∂∂一个线速度场。由运动学知道，矢径为12()j y x k ωω+-，求线速度解：由速度场的雅可比（

这说明，在刚体转动的线速度场中，任一点z z f x

⎪∂ ∂

（由方向导数的公式0l dl

φ=∇⋅，

得d (S

V

⎰⎰S 为V 的表面，s d 等于ds 乘以外法线方向单位矢量。（在矢量场中任取体积V 坐标轴的三组平行面把体积s

s

F dS V ⋅⎰可知，

f fdV ∇⋅=∇⋅∑⎰，在S 所围中，小六面体的表面可以分成两种：一种是内部的面，它们s

⎰

(S

V

⎰⎰3.斯托克斯（stokes ）公式

(L

S

⎰⎰S 的边界。S 方向与L 成右手螺旋关系。A 中，任取一个非闭合面l

S

∆∆⎰

，

()n i

n e l F dl e dS rotF rotF dS ⋅=⋅=⎰()()n n i

e e l s

F dl rotF dS rotF dS ⋅==∑⎰⎰，沿小面积元

的边界取线积分时，内部沿每两个面积元的边线都计算了两次，积分的方向相反，在求和时这两部分互相抵消，合部分的积分值，因而得到i

l l

F dl F dl

⋅=

⋅⎰⎰(L

S

dS ⎰⎰）

4.标量场本质上可以由该场的梯度确定，矢量场本质上由该场的散度、旋度确定。

)f⎛∂

∇⨯=

()f

∇⋅∇⨯≡

如果某一矢量A的散度为零（

称为矢量场A的矢量势

∂∂

++

4）2

f f f

∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇

()()

⨯=⋅-⋅=

()()()(

a b c b a c a b a c

)()()()

f f f f f

∇⨯=∇∇⋅-∇⋅∇=∇∇⋅-∇

∇

(I.20)

(I.21)

(I.22)

(I.23)

(I.21)()

f g ∇⋅⨯根据∇的微分性质，应分别作用到()f f g ∇⋅⨯=∇质，可通过矢量混合积的性质改写，使其分别直接作用到()()(f f f g f g ⨯=∇⨯⋅=∇⨯)

f g ⨯不能写成()g f g ∇⨯⋅， 因g ∇要作用在)(

()g g g g =-∇⋅∇⨯=)()()g g f f g ⨯=⋅∇⨯-⋅∇⨯

()()

()f g f g f g f g ∇⨯⨯=∇⨯⨯+∇⨯⨯ ()()

a c

b a b

c =⋅-⋅ 因而由矢量性得

()()()(f f f f g g f g f ⨯⨯=⋅∇-∇⋅=())g f g f =⋅∇， 因f ∇只作用在f 上 ]

()()g g f g f g ∇⨯⨯=∇⋅-)()()()()g f f g f g g f =⋅∇+∇⋅-⋅∇-∇⋅

()()()

f g f g f g f g ⋅=∇⋅+∇⋅ （ 由微分性） )()()a b c c a b c b a ⨯⨯=⋅-⋅ ()()()

b c a c b a b c ⋅=⋅-⨯⨯

()()()f f f f g g f f g ⋅=⋅∇-∇⨯⨯=