2020高考理科数学大题专项练习：统计与概率问题

大题专项：统计与概率问题

一、解答题

1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;

(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解：(1)由已知,有P (A )=

C 22C 32+C 32C 3

2C 8

4=6

35.

所以,事件A 发生的概率为6

35.

(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X=k )=

C 5k C 3

4-k C 8

4(k=1,2,3,4).

所以,随机变量X 的分布列为

随机变量X 的数学期望E (X )=1×1

14+2×3

7+3×3

7+4×1

14=5

2.

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率; (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk =1”表示第k 类电影得到人们喜欢,用“ξk =0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D (ξ1),D (ξ2),D (ξ3),D (ξ4),D (ξ5),D (ξ6)的大小关系.

解：(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A ,

第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P (A )=50

140+50+300+200+800+510=50

2 000=0.025.

(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.

(3)由题意可知,定义随机变量如下:

ξk={0,第k类电影没有得到人们喜欢, 1,第k类电影得到人们喜欢,

则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:

第一类电影:

ξ110

P0.40.6

D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;

第二类电影:

ξ210

P0.20.8

D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;

第三类电影:

ξ310

P0.150.85

D(ξ3)=0.15×0.85=0.127 5;

第四类电影:

ξ410

P0.250.75

D(ξ4)=0.25×0.75=0.187 5;

第五类电影:

ξ510

P0.20.8

D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;

第六类电影:

ξ610

P0.10.9

D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.

综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).

3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

解：(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.

又P(AB)=P(B),

故P(B|A)=P(AB)

P(A)=P(B)

P(A)

=0.15

0.55

=3

11

.

因此所求概率为3

11

.

(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为

E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.

4.(2019北京,理17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:

(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;

(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望;

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.

解：(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有

10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率估计为40

100

=0.4.

(2)X的所有可能值为0,1,2.

记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”.

由题设知,事件C,D相互独立,