基本不等式几大题型(教师版)

题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab例1：（1）函数f (x )＝x ＋1x(x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x(x ∈R )值域为________；（2）函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)；当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；(2)x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2 x 2＋1 ·1x 2＋1－1＝1， 当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞)(－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)例2：(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5例3：(1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋ －x . ∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x ＋ －x ≤2－4＝－2， ∴f (x )的最大值为－2. 例4：当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．例5：函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是________．解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥2x －13x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 答案：23＋2例6：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x的最小值为2－a2.题型2 基本不等式反用ab ≤a ＋b2例7：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________；(2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解析：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ 1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋ 1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 (2)⎝⎛⎭⎪⎫0，18例8：(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：12例9：函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解析：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋ 1－x 2 2＝12. 例10：已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23 答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．例11：已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求函数y ＝x (a －2x )的最大值； 解：∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋ a －2x 22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.题型三：利用基本不等式求最值例12：已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．答案 －2解析：∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．例13：当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．例14：(1)求函数f (x )＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； (2)求函数f (x )＝x 2－3x ＋1x －3(x ＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y ＝M ＋aM的形式．解析：(1)∵x ＞3，∴x －3＞0.∴f (x )＝1x －3＋(x －3)＋3≥21x －3· x －3 ＋3＝5. 当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号，∴f (x )的最小值是5.(2)令x －3＝t ，则x ＝t ＋3，且t ＞0. ∴f (x )＝t ＋3 2－3 t ＋3 ＋1t＝t ＋1t＋3≥2t ·1t＋3＝5. 当且仅当t ＝1t，即t ＝1时取等号，此时x ＝4， ∴当x ＝4时，f (x )有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y ＝cx 2＋dx ＋fax ＋b (a ≠0，c ≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y ＝t ＋p t(p 为常数)型函数，要注意t 的取值范围；例15：设x >－1，求函数y ＝x ＋4x ＋1＋6的最小值； 解：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1＋5≥2x ＋1 ·4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号． ∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9.例16：若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________．答案：81解析：由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81.例17：已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为_______________．答案：3解析：∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 例18：(2013·大连期中)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12， 则xy 的最大值为________．解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎨⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3.答案：3例19：已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为________． 解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 答案：18例20：已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：2例21：(2012·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.例22：设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( ) A ．2B.32C ．1D.12答案：C解析：由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立， 则1x ＋1y的最大值为1.例23：(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 答案：9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．例24：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ， ∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号． ∴xy 的最小值为1225. 例25：若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案：18解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.例26：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.112解析：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2 x ＋1 2y ＋1 ＝6， 即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎨⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.例27：若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30.(1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围．解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ，则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2＋30xx ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋2 ＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)． 例28：已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a24， 当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a＝22，b＝2时，a2＋16b a－b取得最小值16.例29：设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值是________．解析：由已知条件可得y＝x＋3z 2，所以y2xz＝x2＋9z2＋6xz4xz＝14⎝⎛⎭⎪⎫xz＋9zx＋6≥14⎝⎛⎭⎪⎫2xz×9zx＋6＝3，当且仅当x＝y＝3z时，y2xz取得最小值3.答案：3例30：已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.例31：已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值是2；又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2. 答案：2例32：已知关于x的不等式2x＋2x－a≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x>a，所以2x＋2x－a＝2(x－a)＋2x－a＋2a≥22 x－a ·2x－a＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.答案：32例33：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 答案：A解析：由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14.典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 的最小值．易错分析：在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．审题视角：(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．规范解答：解：方法一 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝⎝⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab ＋1ab －3ab 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－322＝254.[10分]当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分]方法二 y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a ＝ab ＋1ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋ a ＋b 2－2abab＝2ab＋ab －2.[8分]令t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，14上是单调递减的，[10分]∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝12.∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值254.[12分]温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如：(1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2＋2＝4.(2)0<x <83，x (8－3x )＝13(3x )(8－3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163. 失误与防范1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．题型四：利用基本不等式整体换元例34：若正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值范围．思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想．自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0. 即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号．又∵ab ≤a ＋b2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2－4()a ＋b －12≥0， (a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0.∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，则b ＝a ＋3a －1. ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5 ≥2a －1 ·4a －1＋5＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝a ＋3a －1， a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2 ≥2()a －1·4a －1＋2＝6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b .例35：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b的最小值是____．试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·a b＝3＋2 2.易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。