最短路径及作图
13.4 中考尺规作图及最短路径问题(共31张PPT)
知识点 4 轴对称——最短路径问题 ☞ 例 4 如图，在河岸 l 的同侧有 A，B 两村，在河边 修一个水泵站 P，使所用的水管最短，试画出 P 所在的 位置．
解：如答图，点 P 即为所求．
变式 4 如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民 区 A，B 提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使 A， B 到它的距离之和最短？请在图中画出来．
知识点 3 作线段的垂直平分线 ☞ 例 3 如图，已知线段 AB，用尺规作线段 AB 的垂 直平分线．
解：如答图，CD 即为所求．
变式 3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＞∠ B，请你用尺规作边 AB 的垂直平分线，交 AB 于点 D， 交 BC 于点 E.
解：如答图，DE 即为所求．
解：如答图，OC 即为所求．
变式 1 如图，过点 C 作角平分线 CF(请用尺规作图， 保留作图痕迹)．
解：如答图，CF 即为所求．
知识点 2 作直线的垂线 ☞ 例 2 如图，已知直线 AB 和 AB 上一点 C，用尺规 作 AB 的垂线，且该垂线经过点 C.Biblioteka 解：如答图，CD 即为所求．
变式 2 如图，过点 P 作∠O 两边的垂线． 解：如答图，直线 m，l 即为所求．
3．如图，已知两点 P，Q 在∠AOB 内，分别在 OA， OB 上求作点 M，N，使 PM＋MN＋NQ 的值最小．
解：如答图，点 M，N 即为所求．
4．如图，M，N 分别为△ABC 的边 AB，AC 上的点， 在边 BC 上求作一点 P，使△MNP 的周长最小．
解：如答图，点 P 即为所求．
解：如答图②，作点 M 关于 OC 的对称点 M′，连 接 M′N 交 OC 于点 P，则 M′N 的长度即为 PM＋PN 的最小值．
第05讲 最短路径(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(人教版)
第05讲最短路径课程标准学习目标①最短路径的基本原理②最短路径的基本模型 1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。
2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。
知识点01最短路径的基本原理1.最短路径的基本原理：①两点之间，线段最短。
如图，②号线最短②点到直线的距离最短。
如图，PC最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。
如图，MN是垂直平分线，CA=CB。
知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短1.如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小：方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。
解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。
连接P’Q，P’Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。
证明：∵P与P’关于直线l对称∴直线l是PP’的垂直平分线∴MP＝MP’∴MP＋MQ＝MP’＋MQ＝P’Q。
∴MP＋MQ此时有最小值，为P’Q的长度题型考点：①基本作图。
②求值计算。
【即学即练1】1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（）A．A点B．B点C．C点D．D点【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，∵M′N与直线l交于点C，∴点P应选C点．故选：C．【即学即练2】2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，连接CE，∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∴EB＝EC，∴BE+EF＝CE+EF，∴当C、F、E三点共线时，EF+EC＝EF+BE＝CF，∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD＝CF＝6，即EF+BE的最小值为6．故选：B．知识点03最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短1.如图，已知∠MON 以及角内一点P ，角的两边OM 与ON 上存在点A 与点B ，使得△PAB 的周长最小：方法点拨：分别作点P 关于OM 与ON 的对称点P ’与P ’’，连接P ’P ’’。
13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.
初中数学中考复习专题 最短路径问题 (24张PPT)
【例题分层探究】 问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题． 问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称 求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT） 初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ， 即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
初中数学中考复习专题 最短路径问题 （24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一 点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交 点即为P
图形
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
原理
两点之间线段 最短
PA+PB最小值 为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上 点P＇和P＂，连 分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的 值最小．
作点A关于l2的 对称点A＇，作 点B关于l1的对 称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段 最短．
AM+MN+NB 的最小值为线 段A＇B＇的
离散数学 最短路径问题ppt课件
比较以上各点的指标可知，b是最小指标点。但b不是目标
点，所以挖去b,于是可得： 精选ppt
14
（2）令T2=T1-{b}={c,d,e,f,g,z}，T2中各点的指标为： DT2(c)=min(DT1(c), DT1(b)+W(b,c))=min(4,2+3)=4 (a c) DT2(d)= min(DT1(d), DT1(b)+W(b,d))=min(3,∞)=3 (a d)
最短路径问题
例:如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的
数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1出
发，经过这个交
通网到达v6， 要寻求总路 程最短的线 v1
路。
v2
6
3 14
5 1
v4
3
2
v6
6
v3
v5
精选ppt
1
从v1到v6的路线是很多的。比如从v1出发， 经过v2 ,v4到达v6或者从v1出发，经过v2，v3， v5到达v6等等。但不同的路线，经过的总长 度是不同的。例如，按照第一个线路，总长 度是3+6+3=12单位，按照第二个路线，总长 度是3+1+1+6=11单位。
精选ppt
2
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法——寻求网络中两点间的最 短路就是寻求连接这两个点的边的总权数为 最小的通路。
（2）应用背景——管道铺设、交通网络、线 路安排、厂区布局、设备更新等。
精选ppt
3
二、赋权图的定义
在图的点或边上表明某种信息的数称为权。 含有权的图称为赋权图。 如图
c) b e) d f)
DT3（g）=min(DT2(g), DT2(d)+W(d,g))=min(∞,3+7)=10(a d g) DT3（z）=min(DT2(z), DT2(d)+W(d,z))=min(∞,∞)=∞
人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
《最短路径问题》PPT课件
A
a 3、连接PA，PB，由对称轴 的性质知，PA= P1A，
P1
PB=P2B
∴先到点A处吃草，再到点B
处饮水，最后回到营地，
这时的放牧路线总路程最
短，即 (PB+BA+AP)min
• 证明：
P2
b ∵ PA1+A1B1+B1P
B1 B
.P
河
= P1A1+A1B1+B1P2 > P1A+AB+BP2
前面和右面
D D1
③
A 1 A1
C1
2
4
B1
AC1 =√52+22 =√29
左面和上面
• 1、如图是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁 在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 7 4 。
D
4
C
A
5
B3
• 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点 与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽 度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面 圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的 最小值为 10cm 。
在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B
的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥
要与河垂直）
.A M
作法： 1、将点B沿垂直与河岸的方
向平移一个河宽到E
N
2、. E连接AE交河对岸与点M,则
.点BM为建桥的位置，MN为 所建的桥。
A C
M ND E
B
• 证明： ∵ AC+CD+DB = AC+CD+CE = AC+CE+CD > AE+CD = AM+ME+CD = AM+NB+MN ∴ AC+CD+DB > AM+NB+MN
《最短路径问题》PPT课件
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
最短路径问题 课件
知识点1：两点在直线异侧时的最短路径问题 【例1】 如图1-13-30-1，在直线l上找一点P，使得 PA+PB的和最小.
解：答图13-30-1,点P即为所求.
知识点2：两点在直线同侧时的最短路径问题 【例2】 如图1-13-30-3,已知直线l和l外两点A,B， 点A,B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且 使PA+PB最短．
解：如答图13-30-6，作点A的对称点A′， 连接A′B，与直线l相交于点C，连接AC， 点C即为所求．
6. 如图1-13-30-9，正方形网格中每个小正方形边 长都是1．在直线l上找一点P，使PB+PC的值最小.
略.
7. 如图1-13-30-10，在平面直角坐标系中，点 A（4，4），B（2，-4）．在y轴上求作一点P，使 PA+PB的值最小.（不写作法，保留作图痕迹）
略.
8. 如图1-13-30-11，∠XOY内有一点P，请在射线OX上 找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM+MN+NP最短．
解：如答图13-30-7,作点P关于OX对称的点 P1，关于OY对称的点P2，连接P1P2，交OX， OY于点M，N，则M,N两点即为所求．
9. 如图1-13-30-12，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边 上的高，P是AB边上的一点，请在高AD上找一点E， 使得△PEB的周长最短．
解：作图略, 作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B与直线l交于点P， 则P点即为所求．
4. 如图1-13-30-7，直线l旁有两点A，B，在直线上 找一点CA，B两点的距离相等．
解：如答图13-30-5,点C,点D即为所求.
5. 如图1-13-30-8，l为某河流的南岸线，一天傍晚 某牧童在A处放牛，欲将牛牵到河边饮水后再回到家 B处，牧童想以最短的路程回家．请你在找中画出牛 饮水C的位置．
专题02 尺规作图与最短路径(解析版)
专题02 尺规作图与最短路径几何中，用（无刻度）的直尺和圆规作图为尺规作图.一. 五种基本作图1. 作一条线段等于已知线段2. 作一个角等于已知角3. 作已知角的平分线（理论依据：SSS）4. 过一点（直线上或外）作已知直线的垂线5. 作已知线段的垂直平分线二. 尺规综合作图1. 已知三边作三角形2. 已知两边及夹角作三角形3. 已知两角及夹边作三角形三. 最短路径1. 单动点（P为直线l上一动点，P A+PB最小）2. 双动点（B、C为直线OM，ON上的动点，△ABC周长最小）其中，∠O=90°－12∠BAC. △ABC周长为A’A’’的长.3. 造桥选址【典例解析】【例1-1】（2020·庆云县月考）某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P的位置就是饭馆的位置．【例1-2】（2019·舞钢市月考）小安的一张地图上有A，B，C3三个城市，地图上的C城市被墨污染了（如图），但知道∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，你能用尺规作图帮他在下图中确定C城市的具体位置吗？（不作法，保留作图痕迹）【答案】见解析.【解析】根据作一个角等于已知角的方法分别以AB为边，作∠BAC=∠α，∠ABC=∠β，两个角的边的交点处就是C的位置．点C为所求的点.【变式1-1】（2020·丽水市莲都区教研室期末）下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A 【解析】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故答案为：A ．【变式1-2】（2019·河北南宫期末）下面是黑板上出示的尺规作图题，需要回答横线上符号代表的内容：如图，已知AOB ∠，求作：DEF ∠，使DEF AOB ∠=∠．作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，长为半径画弧交EG 于点D ； （3）以点D 为圆心，长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ； （4）作，DEF ∠即为所求作的角．A ．表示点E B ．表示PQ C ．表示OQ D ．表示射线EF【答案】D【解析】作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、OB 于点P 、Q ；（2）作射线EG ，并以点E 为圆心，OP 为半径画弧交EG 于点D ；（3）以点D 为圆心，PQ 长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F ；（4）作射线EF ，∠DEF 即为所求作的角．故答案为D ．【变式1-3】（2020·山东青岛期中）如图，AB 是某条河上的一座桥，现要在河的下游点C 处再建一座与AB 平行的桥CD ，请用直尺和圆规画出CD 的方向．【答案】见解析【解析】解：如图，线段CD 即为所求．【变式1-4】（2020·广州月考）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S【答案】A 【解析】解：由作图知OC =O ’C ’，OD =O ′D '，CD =C ′D '，∴△OCD ≌△O ′C ′D ′，∴∠A ′O ′B ′=∠AOB ，判断依据为SSS ，故答案为：A ．【例2-1】（2020·曲阜月考）如图，在△ABC 中，∠C =90°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ；②分别以点M 和点N 为圆心、大于12MN 的长为半径作圆弧，在∠BAC 内，两弧交于点P ；③作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =15，则△ABD 的面积是（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【解析】解：过D 作DE ⊥AB 于E ， AP 平分∠CAB ．∵AP 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DE =DC =4，∴△ABD 的面积=12×AB ×DE =30 故答案为B ．【例2-2】（2020·广东广州月考）如图，△ABC 中，90C ∠=︒，AC =BC ．（1）用直尺和圆规作BAC ∠的平分线交BC 于点D （保留作图痕迹）（2）过点D 画△ABD 的边AB 上的高DE ，交线段AB 于点E ，若△BDE 的周长是5cm ，求AB 的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，AD 即为所作；（2）∵AD 平分∠BAC ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD CD DE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB，∴AB=5cm．【变式2-1】（2020·山东博山二模）已知∠AOB＝60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC的度数为（）A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【答案】D【解析】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，∴∠AOP=∠AOB=30°（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC＝15°，则∠BOC＝15°或45°，故答案为：D．【变式2-2】（2020·广东）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm．（1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长．【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，DE为所作；（2）∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）．【变式2-3】（2020·山东省陵城区月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=________．【答案】125°【解析】解：由题意可得：AD平分∠CAB，∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°，∴∠CAD=∠BAD=35°，∴∠ADB=180°﹣20°﹣35°=125°．故答案为125°．【变式2-4】（2020·长春月考）如图，依据尺规作图的痕迹，计算=α∠（ ）A ．56︒B ．68︒C ．22︒D ．34︒【答案】A 【解析】解：如图所示，AE 平分∠DAC ，EF ⊥AC ，∵∠ACB =68°，∴∠DAC =68°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =∠EAC =34°，∵EF ⊥AC ，∴∠AEF ==α∠90°-34°=56°．故答案为A .【例3】（2020·禹城市期末）如图，等边ABC 中，D 为BC 边中点，CP 是BC 的延长线．按下列要求作图并回答问题：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（1）作ACP ∠的平分线CF ；（2）作60ADE ∠=︒，且DE 交CF 于点E ；（3）在（1），（2）的条件下，可判断AD 与DE 的数量关系是__________；请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）（2）尺规作图，如下图；（3）AD =DE ，连接AE ，∵等边△ABC 中，D 为BC 边中点，∴BD =CD ，∠ADB =∠ADC =90°，∵∠B =∠ADE =60°，∴∠BAD =∠EDC =30°，∵∠ACP =120°，CE 为∠ACP 的平分线，∴∠ACE =∠ECP =60°，∴∠DEC =30°，∴CE =CD =BD ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AE =AD ，又∵∠ADE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴AD =DE .【变式3-1】（2020·福建学业考试）如图，ABC ∆为一钝角三角形，且90BAC ∠>︒∆和等腰Rt EAC（要求：尺规作图，不写作法，保留作（1）分别以AB，AC为底向外作等腰Rt DAB图痕迹）⊥并证明．（2）已知P为BC上一动点，通过尺规作图的方式找出一点P，连接PD，PE，使得PD PE【答案】见解析.【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示，作线段BC的垂直平分线交BC于点P，则P点为所求．证明：延长DP使PF=PD，连接FC，EF∵P为BC中点，∴PB=PC又∵PD=PF，∠DPB=∠CPF∴△BDP≌△CFP∠AD =BD =CF ，∠PBD =∠PCF∴BD ∥CF∵AE =CE延长DG ，FC 交于点G∵BD ∥CF∴∠FGD =90°又∠AEC =90°∴∠EAG =∠ECG∴∠DAE =∠ECF又AE =CE ，AD =CF∴△AED ≌△CEF∴EF =ED∵P 为DF 中点∴DP ⊥PD【变式3-2】（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交BC 于点D ，则下列说法中：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S =．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】解：①连接NP ，PM ，易证∠ANP∠∠AMP则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故∠正确；②∵∠C=90°，∠B=30°∠∠CAB=60°∠AD是∠BAC的平分线∠∠BAD=∠CAD=30°∠∠ADC=∠BAD+∠B=60°，故∠正确；③∵∠BAD=∠CAD=30°∠∠BAD=∠B∠AD=BD，即D在AB的垂直平分线上，故∠正确；④∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°∴AD=2CD∴BC=BD+CD=1.5AD，S△DAC=12AC·CD=14AC·AD∴S△ABC=12AC·BC=12AC·32AD=34AC·AD∴S△DAC：S△ABC=1：3，故④正确故答案为：D．【例4-1】（2020·长沙月考）在∠ABC中，∠A=50°，点O为∠ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当∠OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为______度．【答案】80°【解析】解：作点O关于AC的对称点O’，作点O关于AB的对称点O’’，连结O’O’’，易知当O ’，P ，Q ，O ’’四点共线时，△OPQ 周长最小，最小值为O ’O ’’的长此时，∠A =90°－12∠POQ ∴∠POQ =180°－2∠A =80°；故答案为：80°.【例4-2】（2020·重庆期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，BD 是ABC 的角平分线，点P ，点N 分别是BD ，AC 边上的动点，点M 在BC 上，且1BM=，则PM PN +的最小值为___________．【答案】52． 【解析】解：作点M 关于BD 的对称点M ’，连接PM ’，则PM =PM ’，BM =BM ’=1，易知，当N ，P ，M ’共线时，且M ’N ⊥AC 时，PN +PM ’的最小值为线段M ’N 的长由∠A =30°，知M ’N =12AM ’=52， 故答案为：52.【变式4-1】（2020·江苏无锡二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB 上，且60AOB ∠=︒点P 为距离地面OB 为8cm 的一个光源，光线射出经过镜面D 处反射到地面E 点，当光线经过的路径长最短为10cm 时，PD 的长为___________．【答案】4【解析】解：作点P 关于AO 的对称点P ’，当P ’E ⊥OB 时，光线经过的路径长最短，∠P ’E =10，过P 作PF ⊥P ’D 于F ，则P ’F =2，又∠AOB =60°∴∠ODE =30°，∴∠P ’DA =∠PDA =30°，∠P ’DP =60°，PD =P ’D∴△PP ’D 为等边三角形，∴P ’F =DF =2，PD =P ’D =4故答案为：4.【变式4-2】（2020·宜兴市月考）如图，P 为AOB ∠内一定点，M ，N 分别是射线,OA OB 上的点，当PMN周长最小时，80MPN ∠=︒，则AOB ∠=_________．【答案】50°【解析】解：作P 关于OA ，OB 的对称点P 1、P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2．则当M ，N ，P 1、P 2共线时，△PMN 的周长最小．易知，∠AOB =90°－12∠MPN =50°. 故答案为：50°.【习题专练】1. （2020·南京月考）有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有_________________个．【答案】4【解析】解：如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个． 故答案为4．2.（2020·江阴市月考）在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，且顶点在格点上，在ABC △内部有E 、F 、G 、H 四个格点，到ABC △三个顶点距离相等的点是（ ）A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B【解析】解：∠到∠ABC三个顶点距离相等，∠该点是三角形三边垂直平分线的交点，根据网格作AC、BC的垂直平分线，可得交点为F，故答案为：B．3.（2020·洛阳市二模）如图，在ABC中，AB＝4，AC＝9，BC＝11，分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE，交BC于点M；分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交BC于点N；连接AM、AN．则MAN的周长为（）A．9B．10C．11D．13【答案】C【解析】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，PQ垂直平分线段AC，∠MA＝MB，NA＝NC，∠∠AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝11．故答案为：C ．4.（2020·河南一模）如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，8AD =，120BAD ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P 、Q ，作直线PQ ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则CF 的长为_______．【答案】2.【解析】解：由题意可得，AB ⊥OP ，AE =BE =3∵BC =AD =8，∠B =60°∴∠BFE =30°，∠BEF =90°∴BF =2BE =6∴CF =8-6=2故答案为：2.5．（2020·宜兴市月考）如图，在∠ABC 中，AB ＞AC ．按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结CD ．若AB =6，AC =4，则∠ACD 的周长为 ．【答案】10．【解析】解：易知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，∴BD =CD ，∴BD +AD =CD +AD =AB ，∵AB =6，AC =4，∴△ADC 的周长=（CD +AD ）+AC =AB +AC =6+4=10．故答案为10．6.（2020·商城县第二中学月考）如图，已知∠AOB（1）尺规作图：作出∠AOB的角平分线OP，补充完整作图步骤，（保留作图痕迹）①____________________________分别交OA、OB于F，E两点；②____________________________，两条圆弧交于点P；③____________________________即为所求．（2）过点F作FD∥OB交OP于点D，FM⊥OD，垂足为M，求证：△FMO≌△FMD．【答案】见解析.【解析】解：(1)如下图所示：①以O点为圆心，任意长为半径作圆弧分别交OA、OB于F，E两点；②分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧两条圆弧交于点P；③作射线OP，则射线OP即为所求．故答案为：以O点为圆心，任意长为半径作圆弧；分别以E、F为圆心，大于二分之一EF长为半径作两段圆弧；作射线OP，则射线OP；(2)根据题意，作出如下图所示：由(1)知，OP是∠AOB的角平分线，∴∠2=∠3，又FD∥OB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴△FMO≌△FMD．7．（2019·广东阳山期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC则∠BCD即为所求作．8．（2020·陕西清涧期末）如图，直线AB与BC相交于点B，D是直线BC上一点，请用尺规求作一点E，DE AB，且点E到B，D两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）使直线//【答案】见解析【解析】解：如图，点E即为所求．9．（2020·北京月考）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∠l作法：如图∠在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．∠连接AC，AB，延长BA到点D；∠作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∠AB＝AC，∠∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∠∠DAC是∠ABC的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （填推理的依据）∠∠DAC ＝2∠ABC∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP∠∠DAP ＝∠ABC∠AP ∠l （填推理的依据）【答案】见解析．【解析】解：（1）如图所示，直线AP 即为所求．（2）证明：∠AB ＝AC ，∠∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），∠∠DAC 是∠ABC 的外角，∠∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （三角形外角性质），∠∠DAC ＝2∠ABC ，∠AP 平分∠DAC ，∠∠DAC ＝2∠DAP ，∠∠DAP ＝∠ABC ，∠AP ∠l （同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．10．（2020·辽宁昌图期末）已知三角形的两角及夹边，求作这个三角形（保留痕迹，不写作法） 已知：,αβ∠∠ ， 线段c ，求作ABC ∆，使,,A B AB c αβ∠=∠∠=∠=【答案】见解析．【解析】解：∠ABC为所求作11．（2020·北京期末）尺规作图之旅下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．（作图原理）在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画×．（1）过一点作一条直线．()（2）过两点作一条直线．()（3）画一条长为3㎝的线段．()（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．()（回顾思考）还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：∠AOB ．求作：A O B '''∠使A O B AOB '''∠=∠作法：（1）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；（3）以点C '为圆心，____________________；（4）过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠．说理：由作法得已知：,,OC O C OD O D CD C D ''''''===求证：A O B AOB '''∠=∠证明：OC O C OD O D CD C D ''''=⎧⎪=⎨⎪=''⎩OCD O C D '''∴∆≅∆( )所以A O B AOB '''∠=∠( )（小试牛刀）请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l 与直线外一点A ．求作：过点A 的直线l '，使得//l l '．（创新应用）现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．【答案】见解析．【解析】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；（2）过两点作一条直线．可以求作；（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；故答案为：√，√，×，√；[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O’A’于点C’；（3）以点C′为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．说理：由作法得已知：OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，求证：∠A′O′B′＝∠AOB．证明：在∠OCD 和∠O ′C ′D ′中, OC O C OD O D CD C D ''''⎧⎪'⎪'⎨⎩＝＝＝，∠∠OCD ∠∠O ′C ′D ′（SSS ），∠∠A ′O ′B ′＝∠AOB （全等三角形的对应角相等），故答案为：以C ′为圆心，CD 长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D ′，SSS ，全等三角形的对应角相等；[小试牛刀]：如图，直线l ′即为所求（方法不唯一），；[创新应用]：如图所示（答案不唯一）.．12．（2020·山东安丘月考）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点坐标分别是()2,3A -，()1,1B m -，()1,2C -，点B 关于x 轴的对称点P 的坐标为()3,2n --．（1）求m ，n 的值；（2）画出ABC ，并求出它的面积；（3）画出与ABC 关于y 轴成轴对称的图形111A B C △，并写出111A B C △各个顶点的坐标． （4）在y 轴上找一点Q ，使QA QB +最小（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解析】解:（1）B 、P 两点关于x 轴对称，∠1321m n -=-⎧⎨-=-⎩，解得：21m n =-⎧⎨=⎩． （2）()1111125435212222ABC S =⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=△． （3）如图， ()12,3A ，()13,1B ，()1,2C --．（4）连结A 1B 交y 轴于点Q ，则Q 为求．13.（2020·宜兴市月考）现有三个村庄A ，B ，C ，位置如图所示，线段AB ，BC ，AC 分别是连通两个村庄之间的公路．现要修一个水站P ，使水站不仅到村庄A ，C 的距离相等，并且到公路AB ，AC 的距离也相等，请在图中作出水站P 的位置．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）【答案】见解析【解析】解：如图所示：14.（2020·滨州渤海中学月考）尺规作图：如图，某地有两个工厂M、N和两条相交又的公路a，b现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两个工厂的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．(保留作图痕迹)．【答案】见解析.【解析】解：如图所示：点P、P′即为所求．15.（2020·南京师范大学附属中学树人学校月考）如图，已知ABC（AC AB BC），请用无刻度的直尺和圆规，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）；∠=∠；（1）如图1，在AB边上寻找一点M，使AMC ACB+=．（2）如图2，在BC边上寻找一点N，使得NA NB BC【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：（1）；（2）．16.如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ． （1）若70B ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）连接MB ，若8AB cm =，MBC △的周长是14cm ．∠求BC 的长；∠在直线MN 上是否存在点P ，使由P ，B ，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠AB ＝AC ，∠∠B ＝∠C ＝70°，∠∠A ＝180°－70°－70°＝40°∠MN 垂直平分AB 交AB 于N∠MN ∠AB , ∠ANM ＝90°，在∠AMN 中，∠NMA ＝180°－90°－40°＝50°；（2）∠如图所示，连接MB ，∠MN 垂直平分AB 交于AB 于N∠AM ＝BM ，∠∠MBC 的周长＝BM ＋BC ＋CM ＝AM ＋BC ＋CM ＝BC ＋AC ＝14cm又∠AB＝AC＝8cm，∠BC＝14 cm－8 cm＝6cm；∠如图所示，∠MN垂直平分AB，∠点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；∠∠MBC的周长就是∠PBC周长的最小值，∠∠PBC周长的最小值＝∠MBC的周长＝14 cm．。
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，
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2014年秋季同步课
初二年级
学生姓名：
上课时间：
最短路径及作图问题
内容
基本要求
略高要求
较高要求
最短路径
了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
掌握简单图形之间的轴对称关
系，并能指出对称轴；掌握基本
图形（等腰三角形、矩形、菱形、
等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。
能运用轴对称进
行图案设计
知识点讲解
1. 将军饮马
如图所示，从A 出发向河岸引垂线，垂足为D ，在AD 的延长线上，取A 关于河岸的对称点A'，连结A'B ，与河岸线相交于C ，则C 点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到C ，饮马之后，再由C 沿直线走到B ，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B ，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB ．可见，在C 点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的：
（1）由作法可知，河流l 相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D 。
（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC ，就等于A'C+BC ，而两点确定一线，所以C 点为最优。
2. 勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边；股——较长的直角边；弦——斜边。
C
A
B c
b
a
中考考纲
知识体系
河流L
营地山峰C
D
A
B
C'
常见模型： （1）PA PB +最小
同侧
图1
B
l
A
B
图2
异侧
（2）①PA PB -最小
图4
同侧
异侧
图5
A
A
图6
异侧
②PA PB
-最大
A
l
同侧
异侧
l
【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB ∠的角平分线
（3）周长最短
类型一 类型二 类型三
B
A'
A'
（4）“过河”最短距离
类型一 类型二
l
N
M
（5）线段和最小
l2
l2
（6）在直角坐标系里的运用
∠APE=∠BPE
EF=1
1. “两点一线”问题
【例1】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离
和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
a
B
A
【变式】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．
A B
M
N
【拓展】如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，
N 是AC 上的一动点．
求：（1）DN MN +的最小值与最大值． （2）DN MN -的最小值与最大值．
【习题1】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P
使得PC PE +长度之和最小．
例题精讲
D C
N
M
B A
E P
B
C A
2. “两点两线”问题
【例2】 如图，A B ，两村相隔一条河，为使两村之间行程最短，应在河的什么位置架一座桥？（河岸可看成平
行线，桥是垂直于河岸的）
l 2
l 1B
【变式】如图，在a 上找到M 、N 两点，且MN=10，M 在N 的左边，使四边形ABMN 的周长最短。
B
A
a
【拓展】在平面直角坐标系中，点()()2332P Q ，
、，，请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点， （1）请在x 轴和y 轴上分别找到M 点和N 点使四边形PQMN 周长最小，作出M 点和N 点． （2）请在x 轴上找到一点E ，使得PE PQ -最大，作出E 点．
3、一点两线问题
【例3】如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，OP=1，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小并求出最小值．
【变式】已知：如图，C 、D 分别是AOB ∠内两点，OC OD =，
（1）分别在角两边各取两点E F 、，使得CEF △周长1l （2）分别在角两边各取两点M N 、，使得DMN △周长2l 最小 （3）12l l 、是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．
A B
C D
O。