地图投影的基本理论

第一节地图投影的概念与若干定义一、地图投影的产生我们了解地球上的各种信息并加以分析研究，最理想的方法是将庞大的地球缩小，制成地球仪，直接进行观察研究。

这样，其上各点的几何关系——距离、方位、各种特性曲线以及面积等可以保持不变。

一个直径30厘米的地球仪，相当于地球的五千万分之一；即使直径1米的地球仪，也只有相当于地球的一千三百万分之一。

在这一小的球面上是无法表示庞大地球上的复杂事物。

并且，地球仪难于制作，成本高，也不便于量测使用和携带保管。

通过测量的方法获得地形图，这一过程，可以理解为将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特征点（测量控制点、地形点、地物点）用垂直投影的方法投影到图纸（图4－1）。

因为测量的可观测范围是个很小的区域，此范围内的地表面可视为平面，所以投影没有变形；但对于较大区域范围，甚至是半球、全球，这种投影就不适合了。

由于地球（或地球仪）面是不可展的曲面，而地图是连续的平面。

因此，用地图表示地球的一部分或全部，这就产生了一种不可克服的矛盾——球面与平面的矛盾，如强行将地球表面展成平面，那就如同将桔子皮剥下铺成平面一样，不可避免地要产生不规则的裂口和褶皱，而且其分布又是毫无规律可循。

为了解决将不可展球面上的图形变换到一个连续的地图平面上，就诞生了“地图投影”这一学科。

二、地图投影的定义鉴于球面上任意一点的位置是用地理坐标（）表示，而平面上点的位置是用直角坐标（X,Y）或极坐标（）表示，因此要想将地球表面上的点转移到平面上去，则必须采用一定的数学方法来确定其地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。

这种在球面与平面之间建立点与点之间对应函数关系的数学方法，称为地图投影。

三、地图投影的实质球面上任一点的位置均是由它的经纬度所确定的，因此实施投影时，是先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面上，并将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬线，构成经纬网；然后再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面上相应位置处。

由此可见，地图投影的实质就是将地球椭球体面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面上，建立球面上点（）与平面上对应点之间的函数关系。

这是地图投影的一般方程式，当给定不同的具体条件时，就可得到不同种类的投影公式，依据各自公式将一系列的经纬线交点（）计算成平面直角坐标系（X，Y），并展绘在平面上，连各点得经纬线得平面表象（图4－2）。

经纬网是绘制地图的“基础”，是地图的主要数学要素。

四、地图投影的基本方法（一）几何透视法系利用透视关系，将地球表面上的点投影到投影面上的一种投影方法。

例如，我们假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般球体，在其球心、球面或球外安置光源，将透明球体上的经纬线、地物和地貌投影到球外的一个平面上，所形成的图形，即为地图。

图4－3即是将地球体面分别投影在平面和圆柱体面上的透视投影示意图。

几何透视法只能解决一些简单的变换问题，具有很大的局限性，例如，往往不能将全球投影下来。

随着数学分析这一学科的出现，人们就普遍采用数学分析方法来解决地图投影问题了。

（二）数学解析法在球面与投影平面之间建立点与点的函数关系（数学投影公式），已知球面上点位的地理坐标，根据坐标转换公式确定在平面上的对应坐标的一种投影方法。

五、地图投影变形及研究对象与任务经过地图投影这一方法，虽然解决了球面与平面之间的矛盾，但在平面上表示地球的各部分，完全无误的表示是不可能的，即是说它们之间必有差异，存在变形。

总体来讲，共有三种变形：一是长度变形，即投影后的长度与原面上对应的长度不相同了；二是面积变形。

即投影后的面积与原面上对应面积不相等了；三是角度变形。

即投影前后任意两个对应方向的夹角不相等了。

从图4－4、4－5，4－6和4－7可知地图投影产生了变形，产生这种情况的基本原因是什么?原来地球表面是一个不规则的曲面，即使把它当作一个椭球体或正球体表面，在数学上讲，它也是一种不能展开的曲面。

要把这样一个曲面表现到平面上，就会发生裂隙或褶皱。

在投影面上，则以经纬线的“拉伸”或“压缩”(通过数学手段)来避免之，从而可形成一幅完整的地图（图4－8），也就因此而产生了变形。

因此，地图投影研究的对象主要是研究将地球椭球面（或球面）描写到地图平面上的理论、方法及应用，以及地图投影变形规律。

此外，还研究不同地图投影之间的转换和图上量算等问题。

地图投影的任务是建立地图的数学基础，它包括把地球面上的坐标系转化成平面坐标系，建立制图网——经纬线在平面上的表象。

地图测制的最初过程，概略地分为两步：一是选择一个非常近似于地球自然形状的规则几何体来代替它，然后将地球面上的点位按一定法则转移到此规则几何体上；二是再将此规则几何体面（不可展曲面）按一定数学法则转换为地图平面。

前者是大地测量学的任务，后者是地图投影学的任务。

所以整个地图投影过程见图4－9。

总之球面与平面之间的矛盾——地图投影来解决把将地球椭球面上的点转换成平面上的点。

大与小的矛盾——比例尺来解决。

六、基本定义我们已经知道，地球表而上的长度、面积、角度经过投影，一般地其量、值都会发生某种变化，而这些变化是在解决具体投影中必须认识和研究的。

为此，我们需要给定以下一些基本定义。

1．长度比与长度变形如图4－10，4－11所示，ABCD是原面上一微分图形，是投影面上对应图形、投影面上某一方向上无穷小线段与原面上对应的无穷小线段之比叫长度比，用表示，则（4－6）长度比与1之差叫长度相对变形，简称长度变形，用表示，则（4－7）当时，表明投影后长度增加了；时，表明投影后长度缩短了；时，表明无长度变形。

长度比是一个变量，不仅随点位不同而变化，而且在同一点上随方向变化而变化。

任何一种投影都存在长度变形。

没有长度变形就意味着地球表面可以无变形地描写在投影平面上，这是不可能的。

2．面积比与面积变形和两微分区域的面积分别为、。

投影面上某区域无穷小面积和相应原面上无穷小面积之比叫面积比，用表示，则（4－8）面积比与1之差叫面积相对变形，简称面积变形，用表示，则（4－9）当时，表示投影后面积增大；时，表示投影后面积缩小；时，表示面积无变形。

面积比或面积变形也是一个变量，它随点位的变化而变化。

3．角度变形投影面上任意两方向线所夹之角（）与原面上对应之角（）之差叫角度变形，用表示，则（4－10）角度变形有正有负，当时，投影后角度增大；时，投影后角度减小；时，投影前后角度相等，无角度变形。

角度变形也是一个变量，它随着点位和方向的变化而变化。

在同一点上某特殊方向上，其角差具有最大值，这种最大值称为该点上的角度最大变形。

4．标准点和标准线标准点，系地图投影面上没有任何变形的点，即投影面与地球椭球体面相切的切点。

离开标准点愈远，则变形愈大。

标准线，系地图投影面上没有任何变形的一种线，即投影面与地球椭球体面相切或相割的那一条或两条线。

标准线分为标准纬线和标准经线（分别称为标纬和标经），并又各自切纬线和割纬线或切经线和割经线。

离开标准线愈远，则变形愈大。

标准点和标准线，在确定地图比例尺、分析地图投影变形分布规律、确定地图投影性质和在地图上进行量算，均要用作依据。

地图投影不可避免地产生变形，这是不依人们意志为转移的客观规律。

我们研究投影的目的在于掌握各种地图投影变形大小及其分布规律，以便于正确控制投影变形。

一般来说，地图投影变形越小越好，但对于某些特殊地图，要求地图投影满足特殊条件，则就不是说投影变形越小越好了。

第二节变形椭圆一、变形椭圆的基本概念我们还可以利用一些解析几何的方法论述上面所阐述过的变形问题。

变形椭圆就是常常用来论述和显示投影变形的一个良好的工具。

变形椭圆的意思是，地面一点上的一个无穷小圆－－微分圆(也称单位圆)，在投影后一般地成为一个微分椭圆，利用这个微分椭圆能较恰当地、直观地显示变形的特征。

他是由法国数学家底索（Tissort）提出来的，亦称为底索曲线(指线)。

图4－12是微分圆及其表象。

由于斜坐标系在应用上不甚方便，为此我们取一对互相垂直的相当于主方向的直径作为微分圆的坐标轴，由于主方向投影后保持正交且为极值的特点，则在对应平面上它们便成为椭圆的长短半轴，并以和表示沿主方向的长度比(如图4－13)如果用表示椭圆的长短半轴，则上式中。

为着方便起见，令微分圆半径为单位1，即r=1，在椭圆中即有。

a=μ1，及b=μ2。

因此，可以得出以下结论：微分椭圆长，短半轴的大小，等于O点上主方向的长度比。

这就是说，如果一点上主方向的长度比(极值长度比)已经决定，则微分圆的大小及形状即可决定。

从图4－14可以看出，变形椭圆在不同投影中是各不相同的。

我们知道，一个椭圆只要知道它的长短半径，则这个椭圆就可以完全确定了。

关于计算的解析式，将在后面研究。

图4－14中0栏表示投影中只有个别点或线上能保持主比例尺。

1栏表示变形椭圆长、短半径都比实地的r放长或缩短，但，因此形状没有变化。

2栏表示中的一个等于1,另一个不等于1，因此形状有变化。

3栏表示都不等于1，但它们之间保持有一定的关系,即或，因此形状变了但面积没有变化。

4栏里的形状和面积均发生了变化。

任何地图投影的变形性质，必属于图4－14中的某一栏。

二、极值长度比和主方向（1）极值长度比鉴于在某一点上，长度比随方向的变化而变化，通常不一一研究各个方向的长度比，而只研究其中一些特定方向的极大和极小长度比。

地面微分圆的任意两正交直径，投影后为椭圆的两共扼直径，其中仍保持正交的一对直径即构成变形椭圆的长短轴。

沿变形椭圆长半轴和短半轴方向的长度比分别具有极大和极小值，而称为极大和极小长度比，分别用和b表示。

极大和极小长度比总称极值长度比，是衡量地图投影长度变形大小的数量指标。

在经纬线为正交的投影中，经线长度比（m）和纬线长度比（n）即为极大和极小长度比。

经纬线投影后不正交，其交角为，则经纬线长度比m、n和极大、极小长度比之间具有下列关系：（4－11）或其中（4－11）式也称为阿波隆尼定理（2）主方向过地面某一点上的一对正交微分线段，投影后仍未正交，则这两正交线段所指的方向均称为主方向。

主方向上的长度比是极值长度比，一个是极大值，一个是极小值。

在经纬线为正交的投影中，因交角，故可得：由此表明，此时经纬线长度比与极值长度比一致。

经纬线方向亦为主方向。

在经纬线不正交的网格上，变形椭圆的主方向与经纬线不一致，因此在实用时要研究经纬线的长度比。

三、变形椭圆的作用图4－15和图4－16是两个投影的示例。

在投影中不同位置上的变形椭圆具有不同的形状或大小。

我们把它们的形状同经纬线形状联系起来观察：在图4－15中，不同位置的变形椭圆形状差异很大，但面积大小差不多。

实际上这是一个等面积投影。

在图4－16中，变形椭圆保持为圆形(但在不同位置上面积差异很大)。