高一数学必修2空间几何体测试题(答案)
高中数学高一必修2空间立体几何试卷(有详细答案)
高中数学立体几何测试试卷学校：___姓名：___班级：___考号：__一．单选题1．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D．2．设α为平面，m，n为直线（）A．若m，n与α所成角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m，n与α所成角互余，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m⊥n3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；则上述命题中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A．2cm B．C．4cm D．8cm6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中，P是正方体的底面A l B1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个7．如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（）A．②③B．①③C．③④D．④二．填空题8、如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是______．9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______．10．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③若m∥α，n∥α，则m∥n．④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．三．简答题11、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．12、正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．13、已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，（1）求证AF⊥BC（2）求线段AF的长．参考答案一．单选题1．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设圆锥的母线为l，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：=，底面面积为：．圆锥的侧面积为：，所以圆锥的表面积为：+=a，底面面积为：=．故选A．2．设α为平面，m，n为直线（）A．若m，n与α所成角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m，n与α所成角互余，则m⊥nD．若m∥α，n⊥α，则m⊥n答案：D解析：解：对于选项A，若m，n与α所成角相等，m，n也可能相交、平行、异面；故A错误；对于选项B，若m∥α，n∥α，直线m，n也可能平行，也可能相交，还有可能异面；故B 错误；对于选项C，若m，n与α所成角互余，如与α所成角分别为30°和60°，直线m，n所成的角有可能为30°；故C错误；对于选项D，根据线面垂直的性质，容易得到m⊥n；故D正确；故选D．3．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答案：C解析：解析：如图，四棱锥P-ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选C．4．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，①若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；②若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；③若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；④若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；则上述命题中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④答案：B解析：解：①根据线面垂直的判定，当m，n相交时，结论成立，故①不正确；②根据平行线的传递性，可得l∥n，故l⊥α时，一定有n⊥α，故②正确；③由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故③正确．④m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故④不正确故正确的命题是②③故选B．5．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（）A．2cm B．C．4cm D．8cm答案：C解析：解：∵铜质的五棱柱的底面积为16cm2，高为4cm，∴铜质的五棱柱的体积V=16×4=64cm3，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，则a3=64解得a=4cm故选C6、在正方体ABCD-A l B1C1D1中，P是正方体的底面A l B1C1D1（包括边界）内的一动点（不与A1重合），Q是底面ABCD内一动点，线段A1C与线段PQ相交且互相平分，则使得四边形A1QCP面积最大的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个答案：C解：∵线段A1C与线段PQ相交且互相平分，∴四边形A1QCP是平行四边形，因A l C的长为定值，为了使得四边形A1QCP面积最大，只须P到A l C的距离为最大即可，由正方体的特征可知，当点P位于B1、C1、D1时，平行四边形A1QCP面积相等，且最大．则使得四边形A1QCP面积最大的点P有3个．故选C．7．如图所示几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有（）A．②③B．①③C．③④D．④答案：D解析：解：根据棱柱的放置和“看见的棱用实线、看不见的棱用虚线”，则①②③正确，④错误，故选D．二．填空题8、如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90°的点E的个数是______．答案：2解：连接BE，则∵SB⊥底面ABCD，∠SEC=90°，∴BE⊥CE．故问题转化为在梯形ABCD中，点E是线段AD上的动点，求满足BE⊥CE的点E的个数．设AE=x，则DE=3-x，∵AB⊥AD，AB∥CD，AB=1，AD=3，CD=2，∴10=1+x2+4+（3-x）2，∴x2-3x+2=0，∴x=1或2，∴满足BE⊥CE的点E的个数为2，∴满足∠SEC=90°的点E的个数是2．故答案为：2．9、一个正方体的六个面上分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是______．答案：B解析：解：由此正方体的两种不同放置可知：与C相对的是F，因此D与B相对．故答案为：B．10．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，下列四个命题中所有正确命题的序号是______．①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．③若m∥α，n∥α，则m∥n．④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β．答案：①④解析：解：①若m⊥α，n⊂α，利用线面垂直的性质，可得m⊥n，正确；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；两条相交直线才行，不正确．③m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面，不正确．④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β，正确．故答案为：①④．三．简答题11、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．答案：解：（1）∵CD∥AB，AB⊂平面SAB，∴CD∥平面SAB面EFCD∩面SAB=EF，∴CD∥EF．∵∠D=90°，∴CD⊥AD，又SD⊥面ABCD，∴SD⊥CD，∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，∴EFCD为直角梯形．（2）当=2时，能使DM⊥MC．∵AB=a，∴，∴，∴SD⊥平面ABCD，∴SD⊥BC，∴BC⊥平面SBD．在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，∴MD⊥SB．∴MD⊥平面SBC，MC⊂平面SBC，∴MD⊥MC，∴△DMC为直角三角形．12、正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为2和4，求这个棱台的侧棱长和斜高．答案：解：如图所示，正三棱台ABC-A1B1C1中，高OO1=3，底面边长为A1B1=2，AB=4，∴OA=×AB=，O1A1=×A1B1=，∴棱台的侧棱长为AA1==；又OE=×AB=，O1E1=×A1B1=，∴该棱台的斜高为EE1==．13、已知三棱椎D-ABC，AB=AC=1，AD=2，∠BAD=∠CAD=∠BAC=90°，点E，F分别是BC，DE的中点，如图所示，（1）求证AF⊥BC（2）求线段AF的长．答案：解：（1）分别以AB、AC和AD为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示：记A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，2），∴E（，，0），F（，，1）；∴（，，1），=（-1，1，0），∴•=×（-1）+×1+1×0=0，∴⊥，即AF⊥BC；（2）∵=（，，1），∴||===，即线段AB=．。
人教版必修二高一数学：空间几何体练习与答案
人教版必修二高一数学：空间几何体练习与答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.有下列三组定义：①有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．其中正确定义的个数为（）A．0 B．1C．2 D．32．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的投影不可能是（）A．B．C．D．3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆中的（）A．①②B．②③C．③④D．①④4．用斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD ABCD 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．2D5．已知边长为1的正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A ．43π B ．2π C ．3π D ．4π6．如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（ ）A ．1mB ．3m 2C ．4m 3D ．2m7．已知圆锥的母线长为5，底面周长为8π，则它的体积为（ ） A ．48π B ．64π3 C ．16πD ．80π38．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A．73B．143C．3 D．69．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（）A．12πB．4πC．3D．16π310．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A．4 B．．11．边长为）A．4B．1C．D．812．如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．24πC．16πD．8π二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．(1) (2) (3) (4)14．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为__________．15．若将边长为2 cm的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，则所得圆柱的侧面积为__________ cm2．16．已知一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图是一个正四棱台的直观图，它的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求此四棱台的表面积．18．在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P．问：①依据题意画出这个几何体；②这个几何体由哪几个面构成，每个面的三角形是什么三角形；③若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少．19．已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．20．如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm．如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形．（1）求该几何体的全面积；（2）求该几何体的外接球的体积．21．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．（尺寸不作严格要求）22．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为11的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的表面积S ．1．【答案】B【解析】由棱柱的定义可知只有①正确；②截面必须平行于底面；③其余各三角形应有一个公共顶点，所以②③都不正确．故选B ． 2．【答案】B【解析】光线由上向下照射可以得到A 的投影，光线有面ABB 1A 1照射，可以得到C 的投影，光线由侧面照射可以得到D 的投影，故选B ． 3．【答案】B【解析】若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立．所以其俯视图不可能为②正方形；③圆，故选B ． 4．【答案】A【解析】斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD 的直观图，如图所示，设正方形的边长为a ，则直观图的面积为a •12a •sin45° a =2，∴正方形ABCD 的面积为a 2=4．故选A ．5．【答案】C【解析】由题意，正方体的中心为其外接球的球心，∵正方体的棱长为12，∴外接球的表面积为24π3π⨯=．故选C ． 6. 【答案】C【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如下图所示：该小虫爬行的最短路程为PP '，在OPP '△中，OP =OP '=4，P P '=120P OP '∠=．设底面圆的半径为r ，则有1202ππ4180r =⋅，∴34=r ．故C 正确．7．【答案】C【解析】∵圆锥的底面周长为8π，∴圆锥的底面半径r =4； 又∵圆锥的母线长l =5，∴圆锥的高h =3， 所以圆锥的体积为V 13=⨯π•42×3=16π，故选C ． 8．【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A9．【答案】A【解析】底面圆的半径为r ，则12π2π42r =⋅⋅，所以r =2，所以圆锥的表面积为：221π2π412π2⋅+⋅=．故选A ． 10．【答案】B【解析】设长方体的三条棱的长分别为：,,x y z ，则2()524()36xy yz zx x y z ++=⎧⎨++=⎩，===．故选B ．11．【答案】C【解析】边长为(2=8，水平放置的正方形的面积与斜二测画法所得的直观图的面积之比为：1，=C ．12．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得，该几何体的外接球，相当于一个棱长为1，1，2的长方体的外接球，故外接球直径2R ==S =4πR 2=24π，故选B ．13．【答案】（2）（3）【解析】 (2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．14【解析】因为正方体内接于球，所以2R =R 2a =， 过球心O 和点E 、F 的大圆的截面图如图所示， 则直线被球截得的线段为QR ，过点O 作OP ⊥QR 于点P ，所以在△QPO 中，QR =2QP =． 15．【答案】8π【解析】将边长为2 cm 的正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周， 所得圆柱的底面圆半径为r =2 cm ，母线长为l =2 cm ．则圆柱的侧面积为S 侧=2πrl =2π×2×2=8π（ cm 2）．故答案为：8π． 16．【答案】363π2-【解析】几何体的直观图如图是一个棱柱挖去一个圆柱的几何体，几何体的体积为：213334π()232⨯⨯-⋅⋅⋅=363π2-．故答案为：363π2-．17．【答案】20+【解析】依题意，上底面和下底面的面积分别是222,4， ∵侧面是全等的等腰梯形，且侧棱长2，∴侧面高==，∴侧面面积为()1242⨯+=∴该四棱台的表面积2224420S =++=+． 18．【解析】①如图所示．②这个几何体由四个面构成，即面DEF 、面DFP 、面DEP 、面EFP ． 由题意可知DE =DF ，∠DPE =∠EPF =∠DPF =90°，所以△DEF 为等腰三角形，△DFP 、△EFP 、△DEP 为直角三角形．③由②可知，DE =DF =，EF =，所以，S △DEF 32=a 2．DP =2a ，EP =FP =a ， 所以S △DPE =S △DPF =a 2，S △EPF 12=a 2．19．【解析】设圆台的母线长为l ，∵圆台的上下底面半径分别是2、5，∴圆台的上底面面积：2π2S =⨯=上4π， 圆台的下底面面积：2π525πS =⨯=下，∴圆台的底面面积：S =S 上+S 下=29π， 又圆台的侧面积：S 侧=π（2+5）l =7πl ． ∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴7πl =29π，解得l 297=． ∴该圆台的母线长为297．20．【解析】（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：2×4×4＋4×4×2=64 cm 2． 所以几何体的全面积是64 cm 2．（2）由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d ，球的半径是r ，则d =，所以球的半径r =3． 因此球的体积V =344π27π36π 33r =⨯=(cm 3)， 所以外接球的体积是36π cm 3．21．【解析】由题可知题目所述几何体是正六棱台，画法如下：画法： （1）画轴画x 轴、y 轴、z 轴，使∠x ′O ′y ′=45°，∠x ′O ′z ′=90°（图1） （2）画底面以O ′为中心，在XOY 坐标系内画正六棱台下底面正方形的直观图ABCDEF ． 在z ′轴上取线段O ′O 1等于正六棱台的高；过O 1 画O 1M 、O 1N 分别平行O ’x ′、O ′y ′，再以O 1为中心，画正六棱台上底面正方形的直观图A ′B ′C ′E ′F ′（3）成图连接AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′，并且加以整理，就得到正六棱台的直观图（如图2）．22．【解析】（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1∴V=1×1=（2）由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥面ABCD，CD⊥面BCC1B1，∴AA1=2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形∴S=2×（1×1+11×2）。
精品解析：人教版高一数学必修2第一章《空间几何体》专题检测(含答案)(解析版).docx
人教版高一数学必修2第一章《空间几何体》专题检测一.选择题1. 在三棱锥P-ABC 屮，PA = PB = AC = BC = 2,AB = 2A //3,PC= 1,则三棱锥P-ABC 的外接球的表而积为( )4兀 52兀 A. — B. 4兀 C. 12n D. ---------------------- 3 3【答案】D【解析】取AB 中点D,连接PD,CD,则AD = \$, PD = ^AP 2-AD 2 = h 所以ABZAPD = 60°, ^APB= 120°,设△ APB 外接圆圆心为0】，半径为「则2T = ------------ = 4 sinl20°所以r = 2.同理可得：CD = L ZACB = 120°, A ABC 的外接圆半径也为2,因为PC = PD = CD= 1,所以APCD 是等边三角形，ZPDC = 60%即二面角P-AB-C 为60。
，球心O 在平面PCD 上, 过平面PCD 的截血如图所示，则O 】D = L PD=1,所以001=^01D = —,所以OF 2 = OO J + O J F 2 = - 3 3 3D.【点睛】本小题主要考查儿何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法•在解决有关儿何体外 接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径•找球心的方法是先找到一个 血的外心，再找另一个血的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.2.直三棱柱ABC ・AiB 】C ］的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2,则此球的表面积等于()52兀52兀 A. ---- B. 20兀 C- 10n D. 9 ・ 13 _ + 4 =—— ； 3 即R 2 = -,所以外接球的表而积S = 4TT R 2 = —.故选【答案】B【解析】设三角形BAC 外接圆半径为「，则= 盂=薯・•・「= 2・・・球的半径等于、夕+ 1 = “5,表面积等于4HR 2 = 20n.选B ・3. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（—2—H —2T【答案】C【解析】该儿何体为三棱锥，其直观图如图所示，体枳V = 1x （lx2 ><2卜2=±.故选C.4. 已知正四棱锥P-ABCD 的顶点均在球0上，且该正四棱锥的各个棱长均为2,则球0的表面积为A. 4兀B. 6兀C. 8兀D. 16n 【答案】c【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ；贝|JAO‘=-AC = Q, PA = 2, PCT 丄平面ABCD,故 2PO = 7P A 2-AO 2 = 而底iklABCD 所在截面圆的半径AO‘ = ©，故该截血圆即为过球心的圆，则球的半径 R = &‘故球O 的表面积$ = 4?rR 2 = 87T»故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切 问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的A.B. 1C.-D.俯视图关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做岀轴截面.5. 己知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为【答案】D【解析】由三视图可知，该儿何体为三棱锥，如图所示:C. 6 cm 3D. 7 cm 3【答案】A 【解析】 几何体如图四棱锥’体积为+ 2) x 2 = 4,选A.俯觀图A. 4cm 3B. 5 cm 3()A. 6yj2B. 6&C. 8D. 9AAB = 6, BC = 3忑,BD = CD = 3屈 AD = 9,故选：D点睛：思考三视图还原空间儿何体首先应深刻理解三视图Z间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等” 的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7.我国古代数学名箸《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺•问：须工儿何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为38丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A. 24642B. 26011C. 52022D. 78033【答案】B20 + 54【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为------ x 38 x 5500 = 7803300 （立方尺），一个秋夭工期2所需人数为------- = 26011,故选B.3008.已知某儿何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该儿何体外接球的表面积为（）A. 2兀B. 2#5兀C. 4兀D. 8兀【答案】D【解析】由已知三视图得：该几何体的直观图如下可知该儿何体外接球的半径为Q则该儿何体外接球的表而积为4兀•(厨=8TI故选D9. 在空间直角坐标系O-xyz 中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是A(0Q2), B(220), C(1.2,l), D(222).则该四而体的体积V=()二、填空题10. 在平行六面体 ABCD —A]B]C]D]中，AB = 4 , AD = 3 , A 】A=5,厶 BAD = 90。
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则四边形 EFGH 是
；
②若 AC BD ， 则四边形 EFGH 是
．
三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分 )．
15．（ 12 分）将下列几何体按结构分类填空
①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；
⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○ 11 量筒；○12 量杯；○13 十字架．
（ 1）具有棱柱结构特征的有
；（ 2）具有棱锥结构特征的有
；
（ 3）具有圆柱结构特征的有
；（ 4）具有圆锥结构特征的有
；
（ 5）具有棱台结构特征的有
；（ 6）具有圆台结构特征的有
；
（ 7）具有球结构特征的有
；（ 8）是简单集合体的有
；
（ 9）其它的有
．
16．（ 12 分）已知： a ,b ,a b A, P b, PQ // a.求证： PQ .．
C．③④
3．棱台上下底面面积分别为 16 和 81,有一平行于底面的截面面积为
（） D ． ①②③④
36,则截面戴的两棱台高
的比为
（）
A ．1∶ 1
B． 1∶ 1
C． 2∶ 3
D ．3∶4
4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形 ,则这个平行六面体是
（）
A ．正方体
B．正四棱锥
C．长方体
D ．直平行六面体
2la
Q1 2 Q2 2
S侧 4al 2 Q12 Q2 2
19．解：设 A1B1C1D1 是棱台 ABCD －A2B2C2D 2 的中截面，延长各侧棱交于
P 点.
a
∵ BC=a ，B2C2=b ∴ B1C1=
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第一章章节测试题YC一、选择题：1．不共面的四点能够确立平面的个数为（）A ． 2 个B． 3 个C． 4 个 D ．没法确立2．利用斜二测画法获得的①三角形的直观图必定是三角形；②正方形的直观图必定是菱形；③等腰梯形的直观图能够是平行四边形；④菱形的直观图必定是菱形 .以上结论正确的选项是（）A ．①②B．①C．③④ D ．①②③④3．棱台上下底面面积分别为16 和 81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为（）A ．1∶ 1B． 1∶ 1C． 2∶ 3 D ． 3∶44．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）A ．正方体B．正四棱锥C．长方体 D ．直平行六面体5．已知直线 a、 b 与平面α、β、γ，以下条件中能推出α∥β的是（）A ．a⊥α且 a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a α， b β， a∥ b D． a α， bα， a∥β， b∥β6．如下图，用符号语言可表达为（）A ．α∩β＝ m， nα， m∩ n＝AB ．α∩β＝ m，n∈α， m∩ n＝ AC．α∩β＝ m，nα， A m， A nD ．α∩β＝ m， n∈α， A ∈ m， A ∈ n7．以下四个说法① a//α， b α ,则 a// b②a∩α＝ P， bα，则 a 与 b 不平行③ a α，则 a//α④a// α， b //α，则 a// b此中错误的说法的个数是（）A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm, 高是 1cm,它的侧面积为（）97B．9 7 cm223 cm2 D ． 3 2 cm2A ．cm2C．239．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶ 4.再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥体积之比为（）A ．3∶ 4B． 9∶ 16C． 27∶64 D ．都不对10．将边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a，则三棱锥D— ABC 的体积为（）a3a33a32a3A ．B．C． D ．6121212二、填空题：11．螺母是由 _________和两个简单几何体组成的．12．一个长方体的长、宽、高之比为2：1： 3，全面积为 88cm2，则它的体积为 ___________ ．13．如图，将边长为 a 的正方形剪去暗影部分后，围成一个正三棱锥，则正三棱锥的体积是．14．空间四边形、 、 G 、H 分别是ABCD 中， E F、 BC 、CD 、DA 的中点 .①若 AC=BD ，AB则四边形 EFGH 是；②若 ACBD ， 则四边形 EFGH 是．三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分 )．15．（ 12 分）将以下几何体按构造分类填空①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方；⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○11量筒；○ 量杯；○ 十字架．1213（ 1）拥有棱柱构造特点的有 ；（ 2）拥有棱锥构造特点的有 ；（ 3）拥有圆柱构造特点的有 ；（ 4）拥有圆锥构造特点的有 ；（ 5）拥有棱台构造特点的有 ；（ 6）拥有圆台构造特点的有 ；（ 7）拥有球构造特点的有；（ 8）是简单会合体的有；（ 9）其余的有．16．（ 12 分）已知： a,b ,a b A, P b, PQ // a.求证： PQ .．17．（ 12 分）正四棱台的侧棱长为 3cm ，两底面边长分别为 1cm 和 5cm ，求体积．18．（ 12 分）直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 Q 1， Q 2 ，求直平行六面体的侧面积．19．（14 分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a，b，试求此中截面把此棱台侧面分红的两部分面积之比．20．（ 14 分）如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中， AC ＝ BC ＝1，∠ ACB ＝ 90°， AA1＝ 2 ，D是 A1B1中点．（1）求证 C1 D ⊥平面 A1B ；（ 2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论．参照答案（五）一、 CBCDA ACADD ．二、 11．正六棱柱，圆柱； 12．48cm 31313) 13a2； 14．菱形，矩形 .；．(212三、 15．⑴①⑦⑨；⑵⑧；⑶⑾；⑷⑩；⑸⒁；⑹⑿⒃；⑺③⑥⒂；⑻②④⒀；⑼⑤. 16．此题主要考察用平面公义和推论证明共面问题的方法.证明∵ PQ∥ a,∴PQ 与 a 确立一个平面,直线 a,点P.p b,b,p又 a与重合PQ17．解：正四棱台ABCD A1 B1C1 D1O1 , O是两底面的中心A1 C1 2 ，AC 5 2A1O12AO 5 2 222O1O 3 252212211 1 [125212 52]1[1 25 5]31( cm 3 )Vh[ S SSS ]333318．解：设底面边长为 a ， 侧棱长为 l ， 两对角线分别为c ， d.c lQ 1 (1)则d l Q 2 (2)1 21 2c22da (3)2消去 c ， d 由（ 1）得 cQ 1，由（ 2）得 dQ 2， 代入（ 3）得ll221 Q 1 1 Q 2a 2Q 1 2 Q 2 2 4l 2a 22laQ 12Q 2 22 l 2 lS 侧 4al2 Q 1 2 Q 2219．解：设 A 1B 1C 1D 1 是棱台 ABCD －A 2B 2C 2D 2 的中截面，延伸各侧棱交于P 点.2 21 1a b∵ BC ∥B 11 S ∵ BC=a ，B C =b ∴ B C =C ∴2S(a b)2∴ S PB 1 C 14a2S PBCPBCa 2 PB 1C 1a b 2 ()2同理SPB 2 C 2b 2SPBCSB 1C 1CBSPB 1C 1SPBCa2∴S B C C BSPB C2SPB C2 2 1 121 1(a b) 24a2122ab2(b3a)(b a) b 3ab3ab 2 (ab) 23b 2 2ab a 2(3b a)(b a)3b aa 24a 2同理：SABB 1 A 1S DCC 1 D 1SADD 1 A 1b 3a SA 1B 1 B 2 A 1SD 1 C 1C 2 D 2SA 1D 1D 2 A 13b a由等比定理，得S 上棱台侧＝ 3a bS 下棱台侧a 3b20．（ 1）证明：如图 ，∵ABC — A 1B 1C 1 是直三棱柱，∴ A 1C 1 ＝ B 1C 1 ＝ 1，且∠ A 1C 1B 1 ＝90°．又D 是B 的中点 ，∴CD ⊥ A B 1．A 1 111∵ AA 1 ⊥ 平面 A 1B 1C 1 ， C 1D 平面 A 1B 1C 1 ，∴ AA 1 ⊥ C 1D ，∴ C 1D ⊥ 平面 AA 1B 1B ．（2）解：作DE ⊥ AB 1 交 AB 1 于 E ， 延伸 DE 交 BB 1 于 F ， 连接 C 1F ， 则 AB 1 ⊥ 平面 C 1DF ， 点 F 即为所求．事实上，∵C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1平面 AA1B1B ，∴C1D ⊥AB1．又 AB1⊥DF ， DF C1D ＝ D ，∴AB 1⊥ 平面C1DF ．。
数学《必修2》第一章“空间几何体”测试题与答案
数学《必修2》第一章“空间几何体”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)１．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是正方形；③等腰梯形的直观图一定是等腰梯形；④平行四边形的直观图一定是平行四边形。
以上结论正确的是（）Ａ.①②Ｂ.①④Ｃ.③④Ｄ. ①②③④2．下列说法正确的是（）A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展开成平面图形D.棱柱的各条棱都相等3．圆台的母线长为6，两底面半径分别为2、7，则圆台的侧面积为（）A.54πB.8πC.4πD.164．给出下列结论：①圆柱的母线是其上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线；②圆锥的母线是圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线；③圆台的母线是圆台上、下底面圆周上任意两点的连线。
其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.②。
5．已知底面为正方形的长方体的各顶点都在一个球面上，长方体的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π6．下列说法错误的是（）A.棱柱最少有5个面B.棱锥最少有4个面C.棱台的底面有2个D.棱锥的底面边数和侧棱数不一定相同7．下列四个图形不是下图1中几何体的三视图之一的是（）图1 A B C D8．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台 9．正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ）A. B.64 C.16 D. 96 10．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．半径为2的球的体积等于 ，表面积等于12．圆锥的侧面展开图为圆心角为120、半径为1的扇形，则圆锥的侧面积为 13．如下图所示，等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰AD CB ==3AB =，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画的直观图''''A B C D 的面积为 14．某几何体的三视图如下图所示, 则其体积为_______.15．某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是____________.第13题图14题图第15题图三、解答题：(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．求下列几何体的体积与表面积。
高中数学必修2空间几何体测试试卷 含答案
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心，其中正确命题的命题是______．
19．已知三棱锥O-ABC，OA=5，OB=4，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M、N分别是棱OA、BC的中点，则MN=______．
①f（1）= π
②f（ ）= π
③f（ ）= π
④函数f（r）在（0，1）上是增函数，f（r）在（ ， ）上是减函数
其中为真命题的是______（写出所有真命题的序号）
如图是边长分别为a、b的矩形，按图中实线切割后，将它们作为一个正四棱锥的底面（由阴影部分拼接而成）和侧面，则 的取值范围是______．
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
3．下列命题：
（1）三棱锥的四个面不可以都是钝角三角形；
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（3）有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台．
其中正确命题的个数是 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个（ ）
其中正确命题的个数为（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
答案：C
解析：
解：根据正方体的表面展开图，可画出正方体直观图，如右图所示．
易知AF与NC异面，故①错；
由四边形BENC为平行四边形可知，BE∥NC，故②错；
∵DE∥FC，∴AF与DE所成角即为AF与FC所成角，
高中数学必修2第一章空间几何体试题(含答案)
高一数学必修2第一章测试题班别姓名考号得分一、选择题：（每小题5分，共50分）1. 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D2．若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台3.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2=（）A. 1：3B. 1：1C. 2：1D. 3：14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A.1：2：3B.1：3：5C.1：2：4D.1：3：95.棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A. 3B. 32 C. 33 D. 346.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A.8:27B. 2:3C.4:9D. 2:97.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积及体积为：（）俯视图主视图侧视图A.24πcm2，12πcm3B.15πcm2，12πcm3C.24πcm2，36πcm3D.以上都不正确8．下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2 C．3 D．49．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）10．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为（ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对二、填空题:（每小题6分，共30分）11．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
12．图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。
高中数学必修二第一章测试题及答案
第一章 空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图 左视图 俯视图 (第1题)A ．棱台B ．棱锥C ．棱柱D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )． A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1B ．3∶2C ．2∶3D ．3∶36．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )． A ．130B ．140C ．150D ．1607．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第7题)8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题9．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 是上底面ABCD 的中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥O －AB 1D 1的体积为_____________． 11．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．三、解答题12 ．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．13．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第13题)15.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．B M ANCS第一章 空间几何体参考答案一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台． 2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2． 3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径，l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160．7．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．8．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 9.A 二、填空题10．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．11．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点， 三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3．另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面． 12．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1，l ＝1＋2＋3＝6．三、解答题 13．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第14题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2， 即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 14．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π．V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π． 15.证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS∠QNB＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BNCO A。
高中数学必修2第一章空间几何体综合练习题及答案
AB D E F第一章 空间几何体综合型训练一、选择题1． 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ． 22+B ． 221+ C ． 222+ D ． 21+ 2． 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）A ． 33RB ． 33RC ． 35RD ． 35R 3． 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）Ａ． 28cm π Ｂ． 212cmπ Ｃ． 216cm π Ｄ． 220cm π 4． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）A ． 7 Ｂ． 6 Ｃ． 5 Ｄ． 35． 棱台上、下底面面积之比为1:9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( )A ． 1:7 Ｂ． 2:7 Ｃ． 7:19 Ｄ． 5:166． 如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ,32EF =,且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为（ ） A ． 92Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 152 二、填空题1． 圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成060,则圆台的侧面积为____________．2． Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________．3． 等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球___S 正方体4． 若长方体的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________．5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________．6． 若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________．三、解答题1． 有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190L ，假如它的两底面边长分别等于60cm 和40cm ，求它的深度为多少cm ？2． 已知圆台的上下底面半径分别是2,5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长．参考答案图（1） 图（2）一、选择题1． A恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =⨯=+ 2． A2312,,,22324R r R r h V r h R πππ===== 3． B正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2R =，2412R S R ππ===4． A (3)84,7S r r l r ππ=+==侧面积5． C 中截面的面积为4个单位， 12124746919V V ++==++ 6． D 过点,E F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，1313152323234222V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 二、填空题1． 6π 画出圆台，则12121,2,2,()6r r l S r r l ππ====+=圆台侧面2． 16π 旋转一周所成的几何体是以BC 为半径，以AB 为高的圆锥，2211431633V r h πππ==⨯⨯= 3． <设334,3V R a a R π====2264S a S R π=====<正球4．从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案==5． （1）4 （2）圆锥6．设圆锥的底面的半径为r ，圆锥的母线为l ，则由2l r ππ=得2l r =， 而22S r r r a ππ=+⋅=圆锥表，即23,r a r π===，即直径为3π三、解答题1.解：'1(),3V S S h h =+= 319000075360024001600h ⨯==++数学试卷及试题2．解：2229(25)(25),7l lππ+=+=。
人教版高中数学必修2第一章空间几何体练习题及答案全
第一章空间几何体1.1 空间几何体的构造一、选择题1、以下各组几何体中是多面体的一组是〔〕A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球2、以下说法正确的选项是〔〕A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面相互平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面相互平行，侧面均为平行四边形3、下面多面体是五面体的是〔〕A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥4、以下说法错误的选项是〔〕A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成5、下面多面体中有12条棱的是〔〕A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个〔〕A 1 个B 2 个C 3个D 4个二、填空题7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。
8、一个棱柱有10个顶点，全部侧棱长的和为60，那么每条侧棱长为————————————9、把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是——————10、程度放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面〞表示。
图中是一个正方体的平面绽开图，假设图中的“似〞表示正方体的前面，“锦〞表示右面，“程〞表示下面。
那么“祝〞“你〞“前〞分别表示正方体的—————三、解答题：祝你前程似锦11、长方体—A 1B 1C 1D 1中，＝3，＝2，1＝1，由A 到C 1在长方体外表上的最短间隔 为多少？12、说出以下几何体的主要构造特征 〔1〕 〔2〕 〔3〕 一、选择题1、两条相交直线的平行投影是〔 〕A 两条相交直线B 一条直线C 一条折线D 两条相交直线或一条直线2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是〔 〕① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱A ②①③B ①②③C ③②④D ④③②正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图侧视图 俯视图甲 乙 丙3、假如一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，那么这个几何体可能是〔 〕A 长方体或圆柱B 正方体或圆柱C 长方体或圆台D 正方体或四棱锥A A 1B 1BC C 1D 1 D4、以下说法正确的选项是〔 〕A 程度放置的正方形的直观图可能是梯形B 两条相交直线的直观图可能是平行直线C 平行四边形的直观图仍旧是平行四边形D 相互垂直的两条直线的直观图仍旧相互垂直5、假设一个三角形，采纳斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的〔 〕 A 21倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍6、如图〔１〕所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是〔 〕二、选择题7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图及俯视图是两个全等的———————三角形。
高一数学必修二第一章空间几何形状练习题及答案
高一数学必修二第一章空间几何形状练习题及答案练题1. 已知立方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$6\text{cm}$ ，点$E$恰好在 $BC$ 上，在 $DE$ 上取点 $F$，试求：(1) $\angle A_1FB_1$ 的大小；(2) $EF$ 的长度。
2. 已知底面为等腰直角梯形的四面体$S-ABC$，$AB=AC=\sqrt{3}\text{cm}$，$BC=2\text{cm}$，$SA\perp AB$，$SA=2\text{cm}$，$M$ 为 $BC$ 中点，过点 $M$ 作 $SA$ 的垂线$MH$，交 $BC$ 于点 $H$。
(1)求 $SA$ 与面 $ABC$ 的夹角；(2) 求 $MH$ 的长度。
3. 在正四面体$S-ABC$中，$M$ 为 $BC$ 中点，过 $S$，$M$ 的平面与直线 $AB$ 交于点 $E$，过 $S$，$M$ 的平面与直线$BC$ 交于点 $F$。
(1) 求 $EF$ 的长；(2) 设 $SE$ 交 $AF$ 于 $N$，求 $SN$ 的长。
4. 已知棱长为 $5\text{cm}$ 的正四棱锥 $S-ABCD$，平面$ABCD$ 与平面 $SAB$ 的夹角为 $60^{\circ}$。
设 $AD$ 与平面$SBC$ 相交于 $E$，$BE$ 交平面 $SAD$ 于点 $F$。
(1) 求过顶点 $S$ 的平面与平面 $ABCD$ 的交线段的长度；(2) 过顶点 $S$ 且垂直于平面 $ABCD$ 的直线交 $EF$ 于点$G$，求 $SG$ 的长度。
答案1.(1) $\angle A_1FB_1=45^{\circ}$(2) $EF=3\sqrt{2}\text{cm}$2.(1) $\cos \angle BSA=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 则 $\angle BSA=45^{\circ}$。
(2) $MH=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{cm}$3.(1) $EF= \dfrac{5\sqrt{3}}{3}$(2) $SN=\dfrac{5\sqrt{2}}{6}$4.(1) $SB=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$(2) $SG=\dfrac{5\sqrt{3}}{6}$以上答案仅供参考，具体求解过程需要参考相关知识点及公式计算。
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高一数学必修2第一章复习题一、选择题：〔每题5分，共50分〕1.以下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的〔〕A B C D2．假设一个几何体的三视图都是等腰三角形，那么这个几何体可能是〔〕A．圆锥 B．正四棱锥 C．正三棱锥 D．正三棱台3.圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，那么V1：V2=〔〕A.1：3B.1：1C. 2：1D.3：14.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三局部的面积之比为〔〕：2：3 ：3：5 ：2：4 ：3：95.棱长都是1的三棱锥的外表积为〔〕A. 3B. 2 3 3 D. 4 36.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的外表积之比为〔〕A.8:27B.2:3C.4:9D.2:97.有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位cm〕，那么该几何体的外表积及体积为：〔〕56俯视图主视图侧视图πcm2，12πcm3πcm2，12πcm3πcm2，36πcm3 D.以上都不正确8．以下几种说法正确的个数是〔〕①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行-1-④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1B．2C．3D．49．正方体的内切球和外接球的半径之比为〔〕A．3:1B．3:2C．2:3D．3:310．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4.再将它们卷成两个圆锥侧面，那么两圆锥的高之比为〔〕A．3∶4B．9∶16C．27∶64D．都不对请将选择题的答案填入下表：题号12345678910答案二、填空题:〔每题6分，共30分〕11．一个棱柱至少有_____个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。
12．图〔1〕为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图〔2〕中的三视图表示的实物为_____________。
2023年高一下数学必修二《空间几何体》测试试卷及答案解析
2023年高一下数学必修二《空间几何体》测试试卷一．选择题（共18小题）1．如图几何体中不是柱体的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等3．在侧棱长为3的正三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝40°过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点，则截面的周长最小值为（）A．4B．2C．10D．94．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，截去三棱锥A1﹣ABC，则剩余部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．五棱锥5．球O的半径为1，该球的一小圆O1上两点A、B的球面距离为，OO1＝，则∠AO1B ＝（）A．B．C．D．π6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．6πB．9πC．3πD．12π7．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5B．6C．7D．88．下列光线所形成的投影不是中心投影的是（）A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线9．如图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（）A．四个图形都正确B．只有②③正确C．只有④错误D．只有①②正确10．如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（）A．任意梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形11．如图是水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到的直观图，其中B′O′＝C′O′＝，A′O′＝，那么△ABC的面积是（）A．B．C．D．312．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．13．△OAB的直观图△O′A′B′如图所示，且O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积为（）A．1B．2C．4D．814．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm315．如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④16．从长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．3cm17．若一个圆锥侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥底面的面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）19．下面三视图的实物图形的名称是20．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯中，所形成的投影是中心投影的是．（填序号）21．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为．22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为4的圆面的四分之一，则该几何体的体积为．三．解答题（共5小题）23．已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE＝EB＝BC＝2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求多面体ABCDE的表面积．24．长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AB＝AD＝2，A1A＝2，M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，求证：AM⊥A1N．25．有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2．将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没与水中．（1）求圆柱体积；（2）求溢出水的体积．26．如图，平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．（I）求证：AB⊥DE（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．27．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝2，连接A1C，BD．（1）求三棱锥A1﹣BCD的体积（2）求证：BD⊥平面A1AC．2023年高一下数学必修二《空间几何体》测试试卷参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图几何体中不是柱体的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】可知柱体分为棱柱和圆柱，从而可判断哪些图形不是柱体，即得出不是柱体的个数．【解答】解：①是三棱柱，②的上下两个平面不平行，不是三棱柱，③是四棱柱，④是圆柱，⑤是四棱柱，⑥是四棱台，⑦三棱锥；∴不是柱体的为②⑥⑦，共3个．故选：C．【点评】考查柱体的定义，以及棱柱和圆柱的定义，棱锥的定义．2．下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等【分析】从棱柱的定义出发判断A、B、D的正误，找出反例否定C，即可推出结果．【解答】解：棱柱的侧面都是四边形，A不正确；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，正确；所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展开为平面图形，C不正确；棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查基本知识的熟练情况，是基础题．3．在侧棱长为3的正三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝40°过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点，则截面的周长最小值为（）A．4B．2C．10D．9【分析】将三棱锥的侧面展开，则截面的周长最小值的最小值，即可转化为求AA1的长度，解三角形PAA1，即可得到答案．【解答】解：将三棱锥的侧面A展开，如图，则图中∠APA1＝120°，AA1为所求，由余弦定理可得AA1＝，故选：D．【点评】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键．4．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，截去三棱锥A1﹣ABC，则剩余部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．五棱锥【分析】画出图形，根据图形和四棱锥的结构特征，即可得出剩余几何体是什么图形．【解答】解：如图所示，三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，剩余部分是四棱锥A′﹣BCC′B′．故选：B．【点评】本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，是基础题目．5．球O的半径为1，该球的一小圆O1上两点A、B的球面距离为，OO1＝，则∠AO1B ＝（）A．B．C．D．π【分析】由题意知应先求出AB的长度，在直角三角形AOB中由余弦定理可得AB＝1，由此知三角形AO1B的三边长，由此可以求出∠AO1B的值．【解答】解：由题设知OO1＝，OA＝OB＝1，在圆O1中有O1A＝O1B＝，又A，B两点间的球面距离为，由余弦定理，得：AB＝1，在三角形AO1B中由勾股定理可得：∠AO1B＝，故选：B．【点评】本题的考点是球面距离及相关计算，其考查背景是球内一小圆上两点的球面距，对空间想象能力要求较高，此类题是一个基本题型，属于基础题．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．6πB．9πC．3πD．12π【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．【解答】解：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即，所以，所以求得表面积为．故选：B．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力和空间想象力，是基础题．7．如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据俯视图可知这个几何体，底面是4个小正方体，根据主视图及左视图，可知里面上方有两个小正方体，从而可得结论．【解答】解：根据俯视图可知这个几何体，底面是4个小正方体，根据主视图及左视图，可知里面上方有两个小正方体，故共有6个小正方体．故选：B．【点评】本题考查三视图还原几何体，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．8．下列光线所形成的投影不是中心投影的是（）A．太阳光线B．台灯的光线C．手电筒的光线D．路灯的光线【分析】利用中心投影和平行投影的定义即可判断出．【解答】解：A．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．B．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；C．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；D．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．综上可知：只有A不是中心投影．故选：A．【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，属于基础题．9．如图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（）A．四个图形都正确B．只有②③正确C．只有④错误D．只有①②正确【分析】按照三视图的作法：上下、左右、前后三个方向的射影，四边形的四个顶点在三个投影面上的射影，再将其连接即可得到三个视图的形状，按此规则对题设中所给的四图形进行判断即可．【解答】解：因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故选：B．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．10．如图所示的水平放置的平面图形的直观图，所表示的图形ABCD是（）A．任意梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形【分析】由直观图可知，BC，AD两条边与横轴平行且不等，边AB与纵轴平行，得到AB与两条相邻的边之间是垂直关系，而另外一条边CD不和上下两条边垂直，得到平面图形是一个直角梯形．【解答】解：根据直观图可知，BC，AD两条边与横轴平行且不等，边AB与纵轴平行，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴平面图形ABCD是一个直角梯形，故选：B．【点评】本题考查平面图形的直观图，考查有直观图得到平面图形，考查画直观图要注意到两条坐标轴之间的关系．11．如图是水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到的直观图，其中B′O′＝C′O′＝，A′O′＝，那么△ABC的面积是（）A．B．C．D．3【分析】′O′＝C′O′＝，A′O′＝，直接计算△ABC即可．【解答】解：因为B′O′＝C′O′＝，A′O′＝，所以△ABC的面积为＝．故选：C．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查．12．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形故该几何体上部分是一个三棱柱下部分是三个矩形故该几何体下部分是一个四棱柱故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，考查学生的识图能力，比较基础．13．△OAB的直观图△O′A′B′如图所示，且O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积为（）A．1B．2C．4D．8【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积．【解答】解：由斜二测画法可知原图应为：其面积为：S＝＝4，故选：C．【点评】本题考查直观图与平面图形的画法，注意两点：一是角度的变化；二是长度的变化；考查计算能力．14．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【分析】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，且三棱柱的高为5，底面是直角三角形，两直角边长分别为3、4，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，且三棱柱的高为5，底面是直角三角形，两直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××4×5＝20（cm3），故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15．如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【分析】分别根据四个几何体的三视图进行判断．【解答】解：①正方体的正视图，侧视图和俯视图都是正方形，不满足条件．②圆锥的正视图为三角形，侧视图为三角形，俯视图为圆，满足条件．③三棱台的正视图为等腰梯形，侧视图为梯形，但正视图和侧视图不相同，不满足条件．④正四棱锥的正视图和侧视图为相同的三角形，俯视图为正方形，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查三视图的识别和判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图，比较基础．16．从长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．3cm【分析】设剪去的正方形的边长为xcm，（0＜x＜10），箱子的容积V＝（32﹣2x）（20﹣2x）•x＝4（x3﹣26x2+160x），V′＝12（x﹣4）（x﹣），由此利用导数性质能求出若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为4cm．【解答】解：设剪去的正方形的边长为xcm，（0＜x＜10），则做成的无盖的箱子的底是长为（32﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm的矩形，箱子的高为xcm，∴箱子的容积V＝（32﹣2x）（20﹣2x）•x＝4（x3﹣26x2+160x），V′＝12（x﹣4）（x﹣），当0＜x＜10时，V′＝0只有一个解x＝4，在x＝4附近，V′是左正右负，∴V有x＝4处取得极大值即为最大值，∴若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为4cm．故选：A．【点评】本题考查棱柱体积的求法及应用，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．17．若一个圆锥侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥底面的面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥底面的面积．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以l＝2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr＝2π，r＝1，所以圆锥底面的面积为π，故选：A．【点评】本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．18．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（）A．B．C．D．【分析】连接BC1，得出点P、E、F在平面BC1D1中，问题转化为在平面内直线BD1上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点E关于直线BD1的坐标即可．【解答】解：连接BC1，则BC1∩B1C＝E，点P、E、F在平面BC1D1中，且BC1⊥C1D1，C1D1＝1，BC1＝，如图1所示；在Rt△BC1D1中，以C1D1为x轴，C1B为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D1（1，0），B（0，），E（0，）；设点E关于直线BD1的对称点为E′，∵BD1的方程为x+＝1①，∴k EE＝﹣＝，′∴直线EE′的方程为y＝x+②，由①②组成方程组，解得，直线EE′与BD1的交点M（，）；所以对称点E′（，），∴PE+PF＝PE′+PF≥E′F＝．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，是难题．二．填空题（共4小题）19．下面三视图的实物图形的名称是四棱锥【分析】只看正视图或侧视图可以判断几何体可能是柱体或锥体，结合俯视图，即可判断几何体的形状．【解答】解：只看正视图或侧视图可以判断几何体可能是柱体或锥体，由正视图和侧视图可以判断几何体是锥体，结合俯视图，几何体是四棱锥．故答案为：四棱锥．【点评】本题是基础题，考查常见几何体的三视图复原几何体的特征，考查空间想象能力．20．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯中，所形成的投影是中心投影的是①②⑤．（填序号）【分析】利用中心投影和平行投影的定义即可判断出．【解答】解：探照灯、车灯、台灯的光线是由源发出的光线，是中心投影；太阳、月亮距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，属于基础题．21．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60°的扇形，则该几何体的侧面积为12+2π．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体已知由圆柱切割获得．【解答】解：由题意，圆柱的底面半径为2，高为3；则曲面面积为：×2×3＝2π，其他两个侧面为矩形，边长为2，3．故面积为2×3×2＝12．故该几何体的侧面积为：12+2π．故答案为：12+2π．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为4的圆面的四分之一，则该几何体的体积为16π．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，代入柱体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，其底面面积S＝＝4π，高h＝4，故几何体的体积V＝Sh＝16π，故答案为；16π【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．三．解答题（共5小题）23．已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE＝EB＝BC＝2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求多面体ABCDE的表面积．【分析】（1）线面平行转化证明线线平面即可．记AC∩BD＝M，连FM，则M为AC的中点；证明FM∥AE，可证AE∥平面BFD；（2）多面体ABCDE的表面积各面的面积之和．根据题设各边长计算即可．【解答】（1）证明：如图，记AC∩BD＝M，连FM，则M为AC的中点；而BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，在△BCE中，∵BE＝BC，∴F为CE的中点；从而FM是△ACE的中位线，所以FM∥AE，又FM⊂平面DBF，AE⊄平面DBF，∴AE∥平面BFD；（2）由题意：由BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF；∵BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC，AE⊥平面BEC，AE⊥BE，因此△ABE为直角三角形，所以，而，所以△CDE为正三角形．所以多面体ABCDE的表面积S ABCD+S△ESC+S△CFD+S AEFD＝．【点评】本题考查了线面平行的证明和多面体ABCDE的表面积的计算．属于基础题．24．长方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AB＝AD＝2，A1A＝2，M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，求证：AM⊥A1N．【分析】两条异面直线垂直的证明，通过平行相交，求角是90°即可．或者是建立空间直角坐标系，用向量进行计算．【解答】解法一：解：由题意：M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，即N是C1D，D1C的中点．取A1B1的中点E，连接ME，MN．∵CD，A1AB，AB＝CD．∴平面MNA1E是平行四边形，则有A1N；所以：AM与A1N所成的角是∠AME．取A1A的中点F，连接NF，由A1B1C1D1﹣ABCD是长方体：∴A1FN是直角三角形，A1F＝A1A＝，FN＝＝∴A1N＝EM＝AE＝AM＝在△AME中，∵AE2＝AM2+EM2，∴△AME是直角三角形，∠AME＝90°，即AM与A1N所成的角是90°．故AM⊥A1N，得证．解法二：解：以A为原点，以为正交基底建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝2，A1A＝2，M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，即中点．则有A（0，0，0），，，∴，，∵，∴AM⊥A1N【点评】本题考查了两条异面直线垂直的证明，常用方法是通过平行相交，求角是90°即可．或者证明其中一条直线垂直另外一条直线所在的平面．或者是建立空间直角坐标系，用向量进行计算．属于基础题．25．有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2．将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没与水中．（1）求圆柱体积；（2）求溢出水的体积．【分析】（1）利用圆柱的体积公式求圆柱体积；（2）利用球的体积公式求溢出水的体积．【解答】解：（1）∵内壁底面半径为5，高为2，∴圆柱体积V＝π•52•2＝50π；（2）溢出水的体积＝•＝12π．【点评】本题着重考查了球体积公式和圆柱体积公式等知识，考查学生的计算能力，属于基础题．26．如图，平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△BCD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．（I）求证：AB⊥DE（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直，证明线面垂直转化为线线垂直．证明AB⊥BD，在证明AB⊥平面EBD，可得AB⊥DE（Ⅱ）三棱锥E﹣ABD的侧面积等于三面之和，由（1）可得ED⊥平面ABCD，可求三个面的面积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意：AB＝2，BD＝2，AD＝4，∵AB2+BD2＝AD2∴AB⊥BD；∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，∴AB⊥平面EBD．∵DE⊆平面EBD，∴AB⊥DE．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD．在三角形DBE中，∵DB＝，DE＝CD＝AB＝2．∴又∵AB⊥平面EBD，EB⊂平面EBD，∴AB⊥BE．∵BE＝BC＝AD＝4，∴．又∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴DE⊥平面ABD，而DE⊂平面ABD，DE⊥AD．∴综上，三个面之和为三棱锥E﹣ABD的侧面积，即为8+2．【点评】本题考查了面面垂直转化为线面垂直来证明线线垂直．以及侧面积的计算．属于基础题．27．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝2，连接A1C，BD．（1）求三棱锥A1﹣BCD的体积（2）求证：BD⊥平面A1AC．【分析】（1）以BCD为棱锥的底面，则AA1为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算即可；（2）连结AC，由底面正方形可知BD⊥AC，由AA1⊥平面ABCD可知AA1⊥BD，故而BD⊥平面A1AC．【解答】解：（1）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1A⊥平面ABCD，即A1A是三棱锥A1﹣BCD的高，∵AA1＝BB1＝2，AB＝BC＝1，∴．∴．证明：（2）连结AC，∵A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．又AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵AC⊂平面A1AC，A1A⊂平面A1AC，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面A1AC．【点评】本题考查了长方体的结构特征，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．。
(完整版)高中数学必修2立体几何测试题及答案
高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分）1，三个平面可将空间分成n 个部分，n 的取值为（ ）A ，4；B ，4，6；C ，4，6，7 ；D ，4，6，7，8。
2，两条不相交的空间直线a 、b ，必存在平面α，使得（ ）A ，a ⊂α、b ⊂α；B ，a ⊂α、b ∥α ；C ，a ⊥α、b ⊥α；D ，a ⊂α、b ⊥α。
3，若p 是两条异面直线a 、b 外的任意一点，则（ ）A ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都平行；B ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都垂直；C ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都相交；D ，过点p 有且只有一条直线与a 、b 都异面。
4，与空间不共面四点距离相等的平面有（ ）个A ，3 ；B ，5 ；C ，7；D ，4。
5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（ ）A ，必有三点共线；B ，至少有三点共线；C ，必有三点不共线；D ，不可能有三点共线。
6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（ ）个A ，0；B ，1；C ，无数 ；D ，涵盖上三种情况。
7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n 边形，则（ ）A ，3≤n ≤6 ；B ，2≤n ≤5 ；C ，n=4；D ，上三种情况都不对。
8，a 、b 为异面直线，那么（ ）A ，必然存在唯一的一个平面同时平行于a 、b ；B ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 平行；C ，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a 、b ；D ，过直线b 存在唯一的一个平面与a 垂直。
9，a 、b 为异面直线，p 为空间不在a 、b 上的一点，下列命题正确的个数是（ ）①过点p 总可以作一条直线与a 、b 都垂直；②过点p 总可以作一条直线与a 、b 都相交；③过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。
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一、选择题：
1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ）
A ． 2个
B ． 3个
C ． 4个
D ．无法确定
2．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是 （ ）
A ．①②
B ． ①
C ．③④
D ． ①②③④
3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高
的比为 （ ）
A ．1∶1
B ．1∶1
C ．2∶3
D ．3∶4
4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ）
A ．正方体
B ．正四棱锥
C ．长方体
D ．直平行六面体
5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ）
A ．a ⊥α且a ⊥β
B ．α⊥γ且β⊥γ
C ．a ⊂α，b ⊂β，a ∥b
D ．a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β
6．如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A ．α∩β＝m ，n ⊂α，m ∩n ＝A
B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A
C ．α∩β＝m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂ n
D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n
7．下列四个说法
①a //α，b ⊂α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ⊂α，则a 与b 不平行
③a ⊄α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b
其中错误的说法的个数是 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ）
A ．279cm 2
B ．79cm 2
C ．32
3cm 2 D ．32cm 2
9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧
面，则两圆锥体积之比为 （ ）
A ．3∶4
B ．9∶16
C ．27∶64
D ．都不对
10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为
（ ）
A ．63a
B ．123
a C ．3123a D ．312
2a 11．螺母是由 _________和 两个简单几何体构成的．
12．一个长方体的长、宽、高之比为2：1：3，全面积为88cm 2，则它的体积为___________．
13．如图，将边长为a 的正方形剪去阴影部分后，围成一个正三棱锥，
则正三棱锥的体积是 ．
14．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是
AB 、BC 、CD 、DA 的中点. ①若AC=BD ，
则四边形EFGH 是 ；
②若A CB D ⊥，则四边形EFGH 是 ． 15．（12分）将下列几何体按结构分类填空
①集装箱；②油罐；③排球；④羽毛球；⑤橄榄球；⑥氢原子；⑦魔方； ⑧金字塔；⑨三棱镜；⑩滤纸卷成的漏斗；○
11量筒；○12量杯；○13十字架． （1）具有棱柱结构特征的有 ；（2）具有棱锥结构特征的有 ；
（3）具有圆柱结构特征的有 ；（4）具有圆锥结构特征的有 ；
（5）具有棱台结构特征的有 ；（6）具有圆台结构特征的有 ；
（7）具有球结构特征的有 ；（8）是简单集合体的有 ；
（9）其它的有 ．
16．（12分）已知：.//,,,,a PQ b P A b a b a ∈=⋂⊂⊂αα求证：.α⊂PQ ．
17．（12分）正四棱台的侧棱长为3cm ，两底面边长分别为1cm 和5cm ，求体积．
18．（12分）直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为21Q Q ，，求直平行六面体的侧面积．
19．（14分）已知四棱台上，下底面对应边分别是a ，b ，试求其中截面把此棱台侧面分成的两部分面积之
比．
20．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，
D 是A 1B 1 中点．
（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；
（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面
C 1DF ？并证明你的结论．
参考答案（五）
一、CBCDA ACADD ．
二、11．正六棱柱，圆柱；12．48cm 3；13．231)32(12
1a +-；14．菱形，矩形. 三、15．⑴①⑦⑨；⑵⑧；⑶⑾；⑷⑩；⑸⒁；⑹⑿⒃；⑺③⑥⒂；⑻②④⒀；⑼⑤.
16．本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
证明∵PQ ∥a ,∴PQ 与a 确定一个平面.,,βββ∈⊂∴P a 点直线
αα∈∴⊂∈p b b p ,,
αβαα⊂∴∴⊂PQ a 重合与又
17．解：1111D C B A ABCD -正四棱台
2,111=C A O O 是两底面的中心，225222511==∴=AO O A AC 12222532
21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∴O O ∴=+'+'V h S S S S 13[])(3
31]5251[31]5151[13132222cm =++=⨯++⨯⨯= 18．解：设底面边长为a ，侧棱长为l ，两对角线分别为c ，d .
则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=⋅)3(2121)
2()
1(22221a d c Q l d Q l c 消去c ，d 由（1）得c
Q l d Q l
==122，由（）得，代入（3）得 222122212222212222124242121Q Q al S Q Q la a l Q Q a l Q l Q +==∴+=∴=+∴=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛侧
19．解：设A 1B 1C 1D 1是棱台ABCD －A 2B 2C 2D 2的中截面，延长各侧棱交于P 点. ∵BC=a ，B 2C 2=b ∴B 1C 1=a b +2∵BC ∥B 1C 1∴2
2
)2
(11b a a S S C PB PBC +=∆∆ ∴PBC C PB S a b a S ∆∆⋅+=2
24)(11 同理PBC C PB S a
b S ∆∆⋅=2222 ∴S S S S S S B C CB B C C B PB C PBC PB C PB C 112211112211==-∆∆∆∆
=
+
-
-
+
()
()
a b
a
b
a
a b
a
2
2
2
2
2
2
4
1
4
=
+-
--
b ab a
b ab a
22
22
23
32
=
+-
+-
()()
()()
b a b a
b a b a
3
3
=
+
+
b a
b a
3
3
同理：S
S
S
S
S
S
b a
b a
ABB A
A B B A
DCC D
D C C D
ADD A
A D D A
11
1121
11
1122
11
1121
3
3
===
+
+
由等比定理，得S
S
a b
a b 上棱台侧
下棱台侧
＝
3
3
+
+
20．（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B．
（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．
事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF C1D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF．。