向量知识点归纳与常见总结

向量知识点归纳与常见题型总结

则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。

A.三边均不相等的三角形

B.直角三角形

C.等腰非等边三角形

⑸0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数 0仅仅是一个无方向的实数

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段 .

（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是一a 。）

2.与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量 ① 当两个向量a 和b 不共线时，a

② 当两个向量a 和b 共线且同向时， ③当向量a 和b 反向时，若|a | > | b | ,

a b 与a 方向相同，且| a —h

—*

—I-

—F-

—I-

—I-

—I-

—¥

—I-

若 | a | < | b | 时，a b 与 b 方向相同，且 | a + b |=| b |-| a |. ⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量

.向量减法的实质是加法的逆运算

三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

AB BC AC ; AB AC CB

例2: P 是三角形ABC 内任一点，若CB PA PB, R ，则P —定在（）

,sin

)(0 w

AB

w 2 n ） 表示） .特力别： --- 表示上 Luu

uuur

|AB|

禺

-uu^)( 0）所在直线过 ABC 的内心（是

|AB | I AC I

AB 同向的单位向量。

（可用（cos BAC 的角平分线所在

例如：向量 一、向量知识点归纳

1.与向量概念有关的问题 ⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量） 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小

而| a | > | b |才有意义.

⑵有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量） .当遇到与起点有关向量时, ⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量 ⑷单位向量是模为

，而向量既有大小又有方向；数量 a > b ”错了,

.记号“ （大小和方向）， 可平移向

量

2 2

1的向量，其坐标表示为（x, y ）,其中x 、y 满足x y = 1

直线）；

例1、0是平面上一个定点，A B C 不共线, uuu uuu P 满足

OP OA

uuu (AB (uuu |AB|

Luur AC 、

-tutu-) I AC

[0,).

AB

（变式）已知非零向量A B 与AC 满足（—— +

|AB| |AC|

AC

)

• §G=0 且 AB

|AB|

AC |AC|

D.等边三角形（06陕西）

.（三角形法则和平行四边形法则）

■ — ■ —

b 的方向与a 、b 都不相同，且|a

—* —P- —P- 1 —

■ b | v| a | + | b | ；

bi iai ibi ；

b |=| a |-| b | ；

A ABC 内部 B

___ _____ ______ 2 例 3、若 AB - BC AB 例4、已知向量a （cos 分析：通过向量的坐标运算, 、AC 边所在的直线上 C 、AB 边上 D 、BC 边上

0，则△ ABC 是: △ B.锐角△ C.钝角△ D.等腰Rt △ ,sin ）,b （J 3, 1），求 |2a b|的最大值。 转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。 解：原式=| （2cos J 3,2S in

1) | J(2cos ^/3)2 (2sin 1)2

2k —(k 呼8sin

（-）。当且仅当 评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式

Z ）时，|2a b|有最大值4.

简洁明快。原式 |2a| |b|=2|a| |b| 量同向）。 ⑶围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示） 如，A B BC C A 0,（在△ ABC 中） ⑷判定两向量共线的注意事项： 共线向量定理 存在实数入使a=入b . 如果两个非零向量 a , b ,使a =^ b （入€ R ）,那么a // b ； 反之，如a // b ，且b 丰0,那么a =入b . 这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与入 ⑸数量积的8个重要性质 ||a| |b|| |a b| |a| |b|” 就显得 2 4，但要注意等号成立的条件（向 的和为零向量 . AB BC CD DA 对空间任意两个向量 0.( □ ABCD 中) a 、b(b 丰 0 ) ,a // b b

的方向规定为平行. ① 两向量的夹角为 0W wn .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向 量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数 ② 设a 、 b 都是非零向量，e 是单位向量,

是a 与b 的夹角，则 a e | a| cos .( |e| 1) —H

b 0 (••• =90°, cos 0) ④ 在实数运算中 故a 0或b ⑤ 当a 与b 同向时a ab =0 a =0或b=0.而在向量运算中a b = 0 a =0或b =0是错误的, 0是a b =0的充分而不必要条件. 当a 与b 反向时, |a b| |a| |b|.当

非充分条件；当 分条件； b = | a | | b |( =0,cos =1); —I- —h

—b-

—b

a b =- |a | | b |( =n ,cos f f r 为锐角时，a ? b > 0,且a 、 J L r r a ? b < 0,且a 、b 不反向，a b 0是 为钝角的必要非充 =-1） ,即卩a // b 的另一个充要条件是 b 不同向，a b 0是为锐角的必要

r r 为钝角时, 例5.如已知 b （3 ,2），如果a 与b 的夹角为锐角，贝U 的取值范围是 1 0 且 一）； 3 （,2 ）, 4

或 3 例6、已知i , j 为相互垂直的单位向量， a i 2j , b i j 。且a 与b 的夹角为锐 角，求实数 的取值范围。 (答: