§2方阵的特征值与特征向量
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4-2 方阵的特征值与特征向量
1 2 2 2
4 5E A 2 2
0 1 0
1 1 0
同解方程组为
x1 x3 x2 x3
令 x 3 k3 (k3任意实数）
1 p3 1 , 1
1
2
令 x 3 k1
(k1任意实数）
当 1 2 时的基础解系为
1 k1 p1 k1 2 1 k1 0
1 p1 2 , 1
全部特征向量为
13
当 2 1 时,
0 E A 1 1 1 2 1
则 P , P2 ,, Pr1 , Q1 , Q2 ,, Qr 2 线性无关。 1
22
性质4 则 推论1
A aij
n
nn
, n 个特征值为 1 , 2 , , n ,
例3 求
1 A 1 1
0 2 3
2 1 0
的特征值与特征向量。
3 1
解方程 ( E A) X ,
3 3 1 的基础解系为 1 . 0 3 得全部特征向量为 k 2 1 , k 2 0 . 0
20
三、 特征值与特征向量的基本性质
性质1 n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。
证明 则
(E A) E A
E A E A
E A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，
则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。
4
当 2 时, 解 2E A X
4 5E A 2 2
0 1 0
1 1 0
同解方程组为
x1 x3 x2 x3
令 x 3 k3 (k3任意实数）
1 p3 1 , 1
1
2
令 x 3 k1
(k1任意实数）
当 1 2 时的基础解系为
1 k1 p1 k1 2 1 k1 0
1 p1 2 , 1
全部特征向量为
13
当 2 1 时,
0 E A 1 1 1 2 1
则 P , P2 ,, Pr1 , Q1 , Q2 ,, Qr 2 线性无关。 1
22
性质4 则 推论1
A aij
n
nn
, n 个特征值为 1 , 2 , , n ,
例3 求
1 A 1 1
0 2 3
2 1 0
的特征值与特征向量。
3 1
解方程 ( E A) X ,
3 3 1 的基础解系为 1 . 0 3 得全部特征向量为 k 2 1 , k 2 0 . 0
20
三、 特征值与特征向量的基本性质
性质1 n阶方阵A与它的转置方阵AT有相同的特征值。
证明 则
(E A) E A
E A E A
E A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式，
则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交。
4
当 2 时, 解 2E A X
方阵的特征值与特征向量
解 由A 的特征值全不为0知，A 可逆，故 A A A1 。 又由 A 123 2 ，所以
A 3A 2E 2A1 3A 2E
把上式记作 A
，有
2 3 2
。
A 的特征值为 1 1 2
定理1 设1,2, ,m 是方阵A 的m 个特征值，p1, p2, , pm 依次是与之对应的特征向量。如果 1,2, ,m 各不相
x1 p1 x2 p2 xk1 pk1 xk pk 0
(1.2)
用A 左乘上式，得 x1Ap1 x2 Ap2 xk1Apk1 xk Apk 0
即
4 1 1 4 1 1
A
2E
0 4
0 1
0 1
r
0 0
0 0
0 0
得方程组的基础解系为
0 1
p2
1
,
p3
0
1
4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 k2 p2 k3 p3，其中k2, k3
为任意常数且 k2, k3不同时为0。
例4 设λ 是方阵A 的特征值，证明:
A 的二重特征值。
当 1 2 1 时，解特征方程组 A E x 0 。由于
3 2 3 1 0 1
A
E
2 1
0 2
21
r
0 0
1 0
0 0
得同解方程组为
x1 x2
x3 0
取 x3 1，得方程组的基础解系，即A 的对应于 1 2 1 的特
征向量为
1
p1
0
1
5
p2
2 3
所以A 的对应于3 3的全部特征向量为k2 p2，其中k2 为任意非零常数。
2 1 1
方阵的特征值与特征向量
证明 则
∵ (λE − A)Τ = λE − AΤ
λE − A = (λE − A)
Τ Τ
= λE− A
得到 A 与 AT 有相同的特征多项式， 则它们的特征值相同。
21
性质2 实对称矩阵的不同 不同特征值的特征向量相互正交 正交。 不同 正交
P 即设 λ1, λ2 是实对称矩阵A的两个不同的特征值， 1, P2
( 2)
x1, x2 ,⋯, xn 是齐次方程（3）的非零解。
因为X为非零向量， 则（3）有非零解
⇔ λE − A = 0
(4)
6
设 p1, p2 ,⋯, ps 是方阵 A的对应于特征值 λ 定理1 定理1 的线性无关的特征向量,则
k1 p1 + k2 p2 +⋯+ ks ps (k1, k2 ,⋯, ks 是不全为零的常数.)
列向量 X , 使方程 AX = λX
(1)
λX − AX =θ 即 (λE − A) X =θ ( 2) , （2）式说明特征向量 X 的坐标 x1, x2 ,⋯ xn 是齐次 特征向量
非零解。 方程（2）的非零解 非零解
5
（1）式也可写成 即
λX − AX =θ
(λE − A) X =θ
(λ − a11)x1 − a12x2 +⋯− a1n xn = 0 − a x + (λ − a )x +⋯− a x = 0 21 1 22 2 2n n (3) ⋯ ⋯ ⋯ − an1x1 − an2 x2 +⋯+ (λ − ann )xn = 0
−1 k2 p2 = k2 −1 1
x3 = k2
(k2任意实数）
方阵的特征值和特征向量
的特征向量, 即有
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34
1
1 34
x1 x2
0 0
1 1
1 1
x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
则 l1 p l2 p 即 (l1 l2 ) p 0 由于 l1 l2 0, 则 p 0, 而这是不可能的.
4. 矩阵 A 和 AT 的特征值相同.
证明: 因为 AT l E AT (l E)T ( A l E)T
所以 AT lE ( A lE)T A lE
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE) x = 0
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足方程组( A 4E)x 0
34
1
1 34
x1 x2
0 0
1 1
1 1
x1 x2
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l a12 L
征 多
|
A l E |
项
a21 M
a22 l L
M
式
an1
an2 L
的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大
第二节方阵的特征值和特征向量
3 4 1
1 1 0
000
~
1 0 0
0 1 0
0 00,
0
得基础解系
p1
10.
故对应特征值1=2的所有特征向量为 kp1 (k0).
当2=3=1时, 解方程组( A–E )x = 0. 由
A
E
2 4 1
1 2 0
001
~
1 0 0
0 1 0
1 2 0
,
1
得基础解系
p2
21.
故对应特征值2=3=1的所有特征向量为kp2(k0).
§5.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
定义: 设A是n阶方阵, 如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax = x 成立, 那末这样的数称为方阵A的特征值, 非零向量x 称为A的对应于特征值的特征向量.
说明1: 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的; 说明2: n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组
例3:
求矩阵A
=
2 0 4
1 2 1
301 的特征值和特征向量.
解: 矩阵A的特征多项式为:
2 1 1
| A–E | = 0 2 0 = –(1+)(2–)2,
4 1 3
所以A的特征值为: 1=–1, 2=3=2.
当1=–1时, 解方程组( A+E )x = 0. 由
A
E
1 0 4
1 3 1
x = A-1(Ax) = A-1(x) = (A-1x).
所以,
A-1x = -1x
由此我们还证明了: 若x是A的属于特征值的特
征向量, 则x也是矩阵A-1的属于特征值-1的特征向量.
方阵的特征值和特征向量-PPT课件
是任意常数,但 cp cp 0) 1 1 2 2
0
则c 也是A的属于l 的特征向量(其中 c 1 , c 2 1p 1 c 2p 2 证明：由于 p 1 , p 2 是齐次线性方程组 ( A l Ex ) 0 0 的解. 因此 c 1p 1 c 2p 2 也是方程组的解。
0
的特征向量,
l l l l
l l ll
1 x 1 1 34 x 1 0 1 0 x 1 34 1 1 2 0 x 2 0 1 解得基础解系 p 2 1 ， k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 例3：求矩阵 A 0 4
1 2 1
1 0 的特征值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征向量． 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
111 101 r A l E A E 0 3 0~ 0 1 0 1 0 0 0 4 1 4 解方程组 (A + E) x = 0． 1 解得基础解系 p 1 0 ； k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特 a 征 2 1 | A l E | 多 项 a 式 n 1
a l 1 1
a l 2 2 a n 2
结论： 当 A 0 时, A的特征值全为非零数; 当 A 0 时, A至少有一个特征值等于零.
0
则c 也是A的属于l 的特征向量(其中 c 1 , c 2 1p 1 c 2p 2 证明：由于 p 1 , p 2 是齐次线性方程组 ( A l Ex ) 0 0 的解. 因此 c 1p 1 c 2p 2 也是方程组的解。
0
的特征向量,
l l l l
l l ll
1 x 1 1 34 x 1 0 1 0 x 1 34 1 1 2 0 x 2 0 1 解得基础解系 p 2 1 ， k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量．
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 例3：求矩阵 A 0 4
1 2 1
1 0 的特征值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ特征向量． 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
111 101 r A l E A E 0 3 0~ 0 1 0 1 0 0 0 4 1 4 解方程组 (A + E) x = 0． 1 解得基础解系 p 1 0 ； k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 1
Ax = l x = lE x <=> Ax - lE x = 0
非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特 a 征 2 1 | A l E | 多 项 a 式 n 1
a l 1 1
a l 2 2 a n 2
结论： 当 A 0 时, A的特征值全为非零数; 当 A 0 时, A至少有一个特征值等于零.
方阵的特征值和特征向量
A 的三特征值： 1 , 2 3 1
1
当 k1 1
1 1 1 1
1 4
是 1
1 的特征向量 4
当 k2 2
1 1 2 是 2 3 1 的特征向量 1
10
2 矩阵的相似对角化
k （ k2 0 ， 2 为常数）
6
1.3 特征值和特征向量
性质1 一个特征向量对应唯一的一个特征值，一个特征值可以对应无 穷多个特征向量 性质2 设 1 , 2 都是方阵A 对应于特征值 0 的特征向量，则 k11 k2 2 也是A 对应于 0 的特征向量（ k1 , k 2 为任意数，且 k11 k2 2 0 ） 性质3 若 是方阵A 的特征值，x 是A 对应于 的特征向量，则 1) m 是 A m 的特征值（m为正整数），x 仍为 A m 关于m 的特征向量 2) 当A 可逆时，特征值 0
AB
性质3 若 A ~ B 则 A，B 的特征多项式同 I A I B 因而 A，B 具有相同的特征值 证：∵ A ~ B 则 存在可逆阵 P 使 P 1 AP B P1 (I A) P P1P P1 AP I B 两边取行列式
P 1 (I A) P I B
16
1 2 P 1 AP n
注：什么样的方阵存在 n 个线性无关的特征向量呢？
定理：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ，则
A 可对角化 这时，对每个特征值 i ，求得一个特征向量 i ，
即 Ai ii i 1, 2,, n
1 3 3 4 2 3 1 1 令 P 1 AP B 1 2 1 1 1 1 0 1
1
当 k1 1
1 1 1 1
1 4
是 1
1 的特征向量 4
当 k2 2
1 1 2 是 2 3 1 的特征向量 1
10
2 矩阵的相似对角化
k （ k2 0 ， 2 为常数）
6
1.3 特征值和特征向量
性质1 一个特征向量对应唯一的一个特征值，一个特征值可以对应无 穷多个特征向量 性质2 设 1 , 2 都是方阵A 对应于特征值 0 的特征向量，则 k11 k2 2 也是A 对应于 0 的特征向量（ k1 , k 2 为任意数，且 k11 k2 2 0 ） 性质3 若 是方阵A 的特征值，x 是A 对应于 的特征向量，则 1) m 是 A m 的特征值（m为正整数），x 仍为 A m 关于m 的特征向量 2) 当A 可逆时，特征值 0
AB
性质3 若 A ~ B 则 A，B 的特征多项式同 I A I B 因而 A，B 具有相同的特征值 证：∵ A ~ B 则 存在可逆阵 P 使 P 1 AP B P1 (I A) P P1P P1 AP I B 两边取行列式
P 1 (I A) P I B
16
1 2 P 1 AP n
注：什么样的方阵存在 n 个线性无关的特征向量呢？
定理：若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ，则
A 可对角化 这时，对每个特征值 i ，求得一个特征向量 i ，
即 Ai ii i 1, 2,, n
1 3 3 4 2 3 1 1 令 P 1 AP B 1 2 1 1 1 1 0 1
第2节 方阵的特征值和特征向量
(10)
将(9)式两端同时左乘 矩阵A, 得
a1 Ap1 a2 Ap2 ak Aps ak1 Apk1 0
Api i pi (i 1, 2, , k 1) a11 p1 a22 p2 akk pk ak1 k1 pk1 0 (11)
26
将(11)式与(10)式相减, 得
22 2 1 22
令 AE 0
∴A的特征值为 1 1, 2 3 2,
16
将 1 1 代入方程组(2)，有
2 1 1 1 x1 0
0 4
21 1
3
0
1
x2 x3
0 0
1 1 1 0 3 0 4 4 4
解方程组
3
x1 x2
x2 0
0 1 0
2 4 1 1 2 4
r1 r3 0
r3 2
1 0
0 0 r2 r3
1 1
0 0 1 0
1 2 r3 1 0 1
0 1 2
得
x1 x3
x2
2 x3
令
x3
1，
得
x1 x2
1 2
12
∴对应于λ1 =－2的特征向量可取为
1
p1
21 ,
1
k1
将λ1= -2代入方程组 ( A E)X 0
得齐次线性方程组
1 2
1 1
1 1 2
1
1 x1 0
1 1+2
x2 x3
0 0
即
3x1x1xx2 2x3x300
x1 x2 3 x3 0
11
经初等行变换
3 1 1
1 1 1
1 1 3
r1 3r2 r3 r2
方阵的特征值和特征向量
( )
§1 幂法和逆幂法(求部分eigenvalues and eigenveltors)
一. 幂法 记λ (A ) = {λ 1, λ2,L, λn }满足 : λi ui = Aui , i = 1,2, L , n.
设 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn (1), 且u1 , u 2 , L , u n 线性无关.任取初始向量 x0 ≠ 0. 由xk +1 = Au xk , k = 0,1, L , (2 )得{xk }.由x0 ≠ 0知∃不全为0的数α1 , α 2 , L , α n , 使 x0 = α1 u1 + α 2 u 2 + L + α n u n (3)
Τ
9 0 用平移原点的方法,p = − 1, B = A − pI = A + I = 18 1 18 1
k
y = xk k xk x = Ay k k +1
∞
, k = 0,1, L
列表计算 :
0
1
1 .0 0 0 2 .0 0 0 2 .0 0 0
只要 α 1 ≠ 0, 则当k → ∞ 时
而xk +1 = Axk
∴ Axk
λ1xk 即λ1为近似的特征值.
xk 就是近似的特征向量.
结论:由xk+1=Axk ( k=0,1, ) 得{xk} , 若序列中相邻二向量的对应分量 L uu r 成比例,即xk+1 λxk ,则λ, k为A的近似特征值和相应的特征向量 x
T
(矩阵实对称时,如何加速收敛)
(
)
x∗ Ax 称 ∗ 为A的关于的瑞利商. xx
Q AT = A
ur uu r ∴ λ ( A ) ∈ R, 且A有n个两两相交的特征向量 : u1 , u2 ,L , uu ur uu uu r r r urT uu 0, i ≠ j r 并设un .u1 , u2 ,L un已被标准化, 即 ui , u j = 1, i = j
方阵的特征值和特征向量
9
2 1 2 例 8 A 5 3 3 , 求 A 的特征值与特征向量. 1 0 2
解 A 的特征多项式为
2 A E 5 1 1 3 0 2 3 2
( 1)3 ,
所以，A 的特征值为
1 2 3 1.
故 A* = | A | A1 . 而 | A | = 123 = 2，所以
( A) B A* 3 A 2 E 2 A1 3 A 2 E .
( ) 2 / 3 2 ,
可得 B 的特征值为 (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 3.
16
例 11 设 A 为可逆矩阵, 为 A 的特征值,
p 为对应的特征向量, 证明:
1 与 A
p 分别为 A1 与 A* 对应的特征向量.
分别为 A1 与 A* 的特征值,
证明 P.征值.
(1) 证明 k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 = a0 + a1 + … + amm ,
10
当 1 2 3 1 时, 解方程组 ( A E ) x 0 ,
2 1 2 3 1 2 x1 5 2 3 x2 0, A 5 3 3 1 0 2 1 0 1 x 3 1 解之得基础解系为 p1 1 , 1
0 1 1 A 1 0 1 1 1 0
1 1 解之得基础解系为 p2 1 , p3 0 , 0 1 所以 k2 p2 k3 p3 是对应于 2 3 1 的全部特征向量.
2 方阵的特征值与特征向量
pm 依次是与之对应的特征向量，如果1, 2, …, m 各不相同， 则p1, p2, …, pm 线性无关．
例10 设 1 和 2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特
征向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量． 证 Ap1=1p1, Ap2=2p2, A(p1+p2)= 1p1+ 2p2
10
方阵的特征值与特征向量
当 2 = 3 = 2 时，解方程组 (A−2E) x = 0．由
4 1 1 4 1 1 r A 2E 0 0 0 ~ 0 0 0 4 1 1 0 0 0
1 0 p 0 , p 解得基础解系 2 3 1 ． 4 1
a1 A + … + am A m 的特征值．
13
方阵的特征值与特征向量
例9 设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E
的特征值．（期末考试填空常考题）
解 因为A的特征值全不为0，知A可逆，故A* = |A| A−1 。 A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
展开后是以 为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方 程。其左端 A E 是 的n次多项式，记作 f ( ) ，称为矩阵A 的特征多项式。 2. 求特征向量 设 i 为矩阵A的特征值，则由方程 ( A i E) x 0可求得非零
解 x pi ，那么pi便是A的对应于特征值 i 的特征向量。
Ap1 1 p1 Ap2 2 p2
两式都具有相同的形式 Ax x ，其中 x 0
例10 设 1 和 2 是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特
征向量依次为 p1 和 p2， 证明 p1 + p2不是 A 的特征向量． 证 Ap1=1p1, Ap2=2p2, A(p1+p2)= 1p1+ 2p2
10
方阵的特征值与特征向量
当 2 = 3 = 2 时，解方程组 (A−2E) x = 0．由
4 1 1 4 1 1 r A 2E 0 0 0 ~ 0 0 0 4 1 1 0 0 0
1 0 p 0 , p 解得基础解系 2 3 1 ． 4 1
a1 A + … + am A m 的特征值．
13
方阵的特征值与特征向量
例9 设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E
的特征值．（期末考试填空常考题）
解 因为A的特征值全不为0，知A可逆，故A* = |A| A−1 。 A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
展开后是以 为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方 程。其左端 A E 是 的n次多项式，记作 f ( ) ，称为矩阵A 的特征多项式。 2. 求特征向量 设 i 为矩阵A的特征值，则由方程 ( A i E) x 0可求得非零
解 x pi ，那么pi便是A的对应于特征值 i 的特征向量。
Ap1 1 p1 Ap2 2 p2
两式都具有相同的形式 Ax x ，其中 x 0
《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量
5.一个特征值具有的特征向量不唯一。
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合 仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0
第二节 方阵的特征值与特征向量5-2
第二节 方阵的特征值与特征 向量
一
特征值与特征向量的概念
定义2.1 设A为n 阶方阵,如果数 λ 和 n 维非零列向 量x,使关系式 (1) Ax =λx 成立,那么,称数λ为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对 应于特征值λ的特征向量.
言的. 说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而
x A x.
1
从而，
A x 1
1
1
x.
由定义知,
是A1的特征值.
(2) 因Ax x, 左乘A .
A Ax A x .
即
从而
故 A
A x A x.
A x
A
x.
是A 的特征值.x是A 关于
A
所对应的特征向量.
小结：
1、深刻理解方阵特征值与特征向量的概念，特征值 与特征向量的性质，特征值与特征向量的有关定理. 2、掌握特征值与特征向量的求法,会求方阵(抽象)的 特征值与特征向量.
2. 方程（1）也可以写成 (A－λE ) x = 0
(2)
这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组 ,它有非 零解的充分必要条件是系数行列式
︱A－λE︱= 0. 1、特征多项式 (3) 由此,我们可由(3)求A的特征值 ,由 (2)求A的特征向量
a11 a21 an1
a12 an 2
四 特征值与特征向量的有关定理
定理2 设λ1,λ2, …,λm是A的m个特征值,P1,P2, …,Pm依 次是A的与之对应的特征向量，若λ1,λ2, …,λm各不相同， 则P1,P2, …,Pm线性无关. 证明 设x1,x2, …,xm,使 x1P1+x2P2+…+xmPm=0, 则有： A(x1P1+x2P2+…+xmPm)=0, 即 ⑴ ⑵
方阵的特征值与特征向量ppt课件
1
0 2
2 12 0
特征值为 1 2,2 3 1
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
A E x 0, 求非零解。
9
当1 2 时，齐次线性方程组为 A 2E x 0
系数矩阵
3 1 0 1 0 0
A
2E
4 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
自由未知量: x3
相同的特征值.
(3) 求 (i E A)x 0 或 ( A - i E)x 0 的非零解，得到A的关于 i 的全部特征向量.
8
1 1 0
例1：
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和全部特征向量.
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
1 1 0 A E 4 3 0 0
f ( ) E A ( - 1)( 2 )( n ) n (1 2 n )n1 (1)n 12 n
由多项式相等,系数相等,即(1)得证.
7
求A的特征值与特征向量的步骤:
(1) 求出A 的特征多项式 f ( ) E A ；
(2) 解特征方程 f ( ) E A 0，求出A的全部 特征值1 ,, n .其中f ( )的r重根对应A的r个数
解答: 因为 | A | 0, 故A可逆. 由 | A 3E | 0 知
3是A的一个特征值, 从而 1 是A1的一个特征值. 3
又由 AAT 2E 得 | AAT || 2E | 16, 即
| A |2 16, 于是 | A | 4, 但 | A | 0, 因此 | A | 4, 故A*有一个特征值为4 .
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
n
第四章 方阵的特征值和特征向量
4.1.3 反幂法 由Axi=ixi易推得A-1xi=(1/i)xi ,若有
| 1 | | 2 | | 3 | | n |,
则1/n是A-1的按模最大的特征值,我们只要求出A-1的按模最大的 特征值,也就求出了A的按模最小的特征值.为了避免求逆阵,我们 用解方程组的方法构造如下算法：
5 结束
2. 我们假设在(4.3)中α1≠0,这在选择u0时,也无法判断,但这往往不 影响幂法的成功使用.因为若选u0,使α1=0,由于舍入误差的影响, 在迭代某一步会产生uk,它在x1方向上的分量不为零,这时以后的 迭代仍会收敛. 3. 我们假设了 | 1 | | 2 | | 3 | | n |,
u k 1 1 x1
k
2 1
1
Au k
k 1 1
1 x1 1 1 x1 1 u k ,
k 1
不是零向量，
即uk为1的近似的特征向量. 2 结束
实际计算时,为防止uk的模过大或过小,以致产生计算机运算的 上下溢出,通常每次迭代都对uk进行归一化,使‖ uk ‖∞=1,因此 以上幂法公式改进为：
y k 1 u k 1 u k Ay k 1 u k 1
k 1, 2 ,
( 4 .4 )
此时uk仍收敛于1对应的特征向量。1可用如下公式计算：
1
ak a k 1 (4 .7 )
其中ak 是uk 的绝对值最大的分量，a k 1 是yk-1 的绝对值最大 的分量。
cos 为实对称阵， U sin sin cos
1. 二阶实对称矩阵的对角化
设
为二阶旋转矩阵，容易验证U正交。 12 结束
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0 0
，即
1 1
1 1
x1 x2
0 0
1
解得基础解系 p2
1
．k
p2（k
≠
0）就是对应的特征向量．
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
2 l 1 1
解： A l E 0
2l
2 l 1 0 (2 l)
4 3 l
4 1 3 l
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足
34
1
1 34
x1 x2
(2 l )(l 2 l 2) (l 1)(l 2)2
所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ．
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l1 = −1 时，因为
1 1 1 1 0 1
A l1E
A
E
0
3
0
r
~
就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组． 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m
是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值．
例：设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E
3 2
4 3
0 0
l
0 0
,
3
2
4 2 2
3
1
1
1
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
例：
3
2
4 2 2
3
1
1
1
则
l
=
1
为
3 2
4 3
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x，
那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量）
齐次线性方程组有非零解
系数行列式 | A−lE | = 0
特 征 方 程
特
a11 l
征 多
|
A
l
E
|
a21
项
式
an1
a12
a22 l
an2
a1n a2n 0
ann l
特征方程 特征多项式
| A−lE | = 0 | A−lE |
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
0
1
0
4 1 4 0 0 0
解方程组 (A + E) x = 0．
1
解得基础解系
p1
0
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
1
2 1 1
例：求矩阵
A
0
2
0
的特征值和特征向量．
4 1 3
解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为
4 1 1 4 1 1
A 2E
0
0
0
是 p．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A|
例：求矩阵
A
3 1
1
3
的特征值和特征向量．
解：A 的特征多项式为
3l | A l E |
1 (3 l )2 1 8 6l l 2 (4 l )(2 l)
1 3 l
所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足
32
1
1 32
x1 x2
0 0
，即
1
1
1 1
x1 x2
0 0
1
解得基础解系
p1
1
．
k
p1（k
≠
0）就是对应的特征向量．
例：求矩阵
A
3 1
1Hale Waihona Puke 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组．
例：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
§2 方阵的特征值与特征向量
引言
纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ．
矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ?
例：
r
~
0
0
0
4 1 1 0 0 0
解方程组 (A−2E) x = 0． 1
0
解得基础解系
p2
0
,
p3
1
．
4
1
k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量．
二、基本性质
在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）．
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 ✓ l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓ l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = j (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ．
设 l 是 A 的一个特征值， p 是对应的特征向量．令