计量经济学讲义

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第四讲 趋势和DF 检验（修订版）

此翻译稿制作学习之用，如有错误之处，文责自负。

趋势平稳序列（TS ）（图1和2）

一个趋势平稳序列绕着一个确定的趋势（序列的均值），其波动幅度不显示增大或者减小的趋势。

线性确定性趋势： t

t t y εβα++= )

,0(~2σεiid t t=1,2,…

平方确定性趋势： t

t t t y εγβα+++=2

)

,0(~2σεiid t t=1,2,…

通常：

t

t t f y ε+=)(

)

,0(~2σεiid t t=1,2,…

均值是是随时间变化的（川），但是方差是常数。t

ε可以为任意平稳序列，也就是说，不一

定要是白噪声过程。

通过拟合一个确定的多项式时间趋势，趋势可以来消除：拟合趋势后残差将给出一个去趋势的序列。

一个带线性确定性趋势AR （1）过程可以写作：

t

1-t 1t )1)-t (y (t y εβαφβα+--=--

)

,0(~2σεiid t

版权所

t=1,2,…

此处确定性趋势被t

y 减去。然而在实践中，α、

β

是未知的而且必须估计出来。于是模型可以被

重述为： t

1-t 1111t

y t )1()1(y

εφβφβφαφ++-++-=

其中包含一个截距和一个趋势，也就是 t

1

-t 1

*

*

t

y t y εφβα+++=

此处 β

φαφα11*

)1(+-= 且

β

φβ)1(1*-=

若1

||1

<φ

，那么此AR 过程就是围绕一个确定性

趋势的平稳过程.

差分平稳序列（DF ）（也叫单整序列）和随机性趋势

如果一个非平稳序列可以由一个平稳序列通过d 次差分得到，那么我们说这个序列就是d 阶单整的，写做I （d ）.这一过程也因此叫做差分平稳过程（DSP ）.

因此，平稳序列就是零阶单整的，I （0）。白噪声序列是I （0）。 所以如果序列t

d t

y w ?=是平稳的，那么t

y 就是I

（d ）。?

是差分算子，即

等等

2-t 1-t t 2-t 1-t 1-t t 1-t t t t 21-t t t y 2y y )y y ()y y ()y y (y y ,y y y +-=---=-?=??=?-=?

如果序列 1

-t t t t y y y w -=?= 是平稳的话，t

y 是I （1）；

如果序列2

-t 1-t t t 2t

y 2y y y w

+-=?= 是平稳的，t

y 是I

（2），

随机游走（图3）

t

y 是随机游走的，如果满足 t

t t y y ε+=-1 此处

),0(~2

ε

σεiid t

这是一个AR （1）过程，且在t

t t

y y εφ+=-1中具有根1

=φ这一序列被称为具有单位根，或者叫做1阶单

整，I （1）。 注意：t

t t

y y ε=?=--t 1y

假设此过程在t=0起始处有一个确定的值y0.那

么，

1

01ε+=y y

2

10212εεε++=+=y y y

……

∑=+=++++=t

1

0t 2102...ττ

εεεεy y y (1)

注释：

(a) 在（1）式中，y t 被表示为初始值y 0和一个序列的局部的和∑=t

1ττε（即所谓的随机趋势）。所

有随机冲击ε对序列y t 都有永久的影响，它们可以永久的改变y t 的水平，而在平稳序列中，冲击的影响会随着时间的流逝而趋向于零。因此，称随机游走具有一个随机趋势。

(b) E （y t ）=y 0+t*0= y 0 [定值]

Var(y t )= Var(∑=t

1ττε)=t σ2

都时间依赖的，即，Var(y t )存在趋势。所以y t 是非平稳的。但是?y t =t

ε是平稳的。这也

叫做不带漂移的随机游走。

（c ） ?y t =μ+t

ε称作带漂移的随机游走。

现在，?y t = y 0+t μ+∑=t

1

ττε 可以推出

E （y t ）= y 0+t μ 均值具有趋势 Var(y t )= t σ2 方差具有趋势

就是说，不带漂移的随机游走只有方差具有趋势，而带漂移的随机游走均值和方差中都具有趋势，即不仅有确定性趋势y 0+t μ，也有随机性趋势∑=t

1ττε

（d ） 因此随机游走是一个I （1）序列。由于差分平稳序列通常可以用ARMA(p,q)表示，所

以随机游走是一种特殊的I （1）序列。但是对于随机游走来说，其中),0(~2

σεiid t

[当由t t t

y y

ε+=-1t

t y y ε∑+=?0时，我们使用单整这个

词，总和≡单整] （e ）在t

t t

y y

ε+=-1中，冲击的影响会持续到永远，

而在平稳序列中，例如，t

t t

y y

εφ+=-11中，冲击的影

响会随着时间的流逝趋向于0。

（f ） 一个I （0）序列将围绕着均值波动，而且观测值会频繁的与这个值相交。I （1）序列会不断扩散而很少回到其早先的值。 （g ）对于I （0）序列其相关系数0

→k

ρ（迅速地）。

对I （1）序列，其相关系数对于任何滞后期k

都在1附近。

（i ）当我们分析分平稳序列的时候，标准分布理论（中心极限定理）会失效。特别地，弱大数定律（WLLN ）也不成立。弱大数定律说的是：在一定条件下，当样本容量趋向于无穷的时候，样本距会收敛于总体距。

I （0）和I （1）序列的区别—小结

I （0）

I （1）

冲击的影响随时间的消

逝趋向于0

冲击的影响永远持续

观测值绕着均值波动且经常与均值相交 观测值偏离均值很大且

很少回到先前的值 自相关系数很快趋向

0，0

→k

ρ

相关系数对于任何滞后期k 都在1附近 中心极限定理适用 中心极限定理不适用

通过读图辨别非平稳性

纯粹的随机游走和带漂移的随机游走的图示如下

-10

-5

5

10

20

40

60

80

100120140160180200

y=y(-1)+u

-20

020406080100120with stochastic trend

图例 另见讲义P30

纯粹的随机游走过程在整个时间段内，不显示任何上升或者下降的趋势，也不显示趋向于一个给定的均值的趋势（比如汇率）；而带漂移的随

机游走的时间路径有确定性的趋势主导（例如货币供给，GNP 等）。这些序列可以从一个长期的确定性的趋势中得到。

在小样本的情形下，很难区分出纯粹的随机游走和带漂移的随机游走。漂移μ的绝对值较小，或者冲击ε的方差较大，都将掩盖带漂移的随机游走的长期中所具有的趋势。

同时要区分（具有确定性趋势的）平稳AR 过程和（带漂移的）随机游走也不是很容易的。 趋势平稳序列（TF ）和差分平稳序列（DF ） 图例 见讲义 现在我们来考虑下述三个序列： 1） 平稳的AR （1）过程 t t t y y ε++=-195.005.0

2） 带漂移的随机游走 t

t t r r ε++=-105.0 3） 发散过程 t

t t z z ε++=-105.105.0

样本容量 1500 图示见讲义

一个对平稳性的非正式检验是基于对相关图的观察。一个平稳AR 序列的相关图应该按指数规律下降，而对于非平稳序列则下降得非常缓慢。下面是y 和r 序列的自相关系数的一些数据变化的比较。

滞后期数 自相关系数

y : 平稳的AR （1）过程 r : 带漂移的随机游走 1 0.951 0.995 3 0.856 0.982 5 0.783 0.972 11 0.596 0.939 15 0.496 0.917 36

0.127

0.770

上述两组自相关系数的变化模式是很不相同的，这就验证了y 序列的平稳性和随机游走的非平稳性。

非平稳性检验（单位根检验）

单位根的存在也就意味着中心极限定理的失效。因此在进行任何估计前，为了运用适当的去趋势的方法，检验该序列的平稳性就显得很重要了。

迪基-富勒（DF ）检验和修正的DF 检验 A 单假设检验

考虑一个ＡＲ（１）过程 t 1t t y y ερ+=- ),0(iid ~2

t

σε

如果ρ＝１，则上述等式就定义了一个纯粹的随机游走过程，而且ｙ是非平稳的。检验非平稳的零假设为Ｈ０：ρ＝１。此假设检验就是所谓的单位根检验。

检验零假设的一个简单的方法是把ＡＲ（１）等式化为如下形式： t

1

t 1

t t

1)y (y y ερ+-=--- t

1t t

y y

εγ+=??-

因此假设Ｈ０：ρ＝１现在就等价于要检验Ｈ０：

0=γ，而且我们只要相应的检验)0(1<<γρ就可以了

（因为拒绝域在左边）。我们不考虑1||>ρ的情形，因为在此情形下序列是发散的，而在经济数据序列中我们并不认为会是发散的。上述等式也可以包含一个常数项： t

1

t t

y y εγα++=?-

还可以包含一个常数项和一个趋势变量， t

1

t t

y t y εγβα+++=?-

进行检验时，我们用ＯＬＳ对上述三个回归中的一个进行估计，然后将γ前的系数的ｔ统计量与适当的临界值进行比较得到结论。

称（1）中（即无常数项等式）的γ?的ｔ比率为

nc

?τ；

称（2）中（无趋势项等式）的γ?的ｔ比率为c

?τ；

称（3）中（带趋势项等式）的γ?的ｔ比率为ct

?τ。

在（1）（2）（3）每一种情形下，H 0都是0=γ（单位根），对应于H 1为0<γ（平稳序列）。如果拒绝H 0，那么有：

在（1）中，y t 是均值为0的平稳序列；[t

1t t

y y ερ+=-]

在（2）中，y t 是均值为非0的平稳序列 ；

[t

1t t t 1t t

y y y y

εραερμ++=+=---或者 此处)1(ρμα-=]

在（3）中，y t 是均值为具有确定性趋势的平稳序列 [

t

1t t ))1t (b a y (bt a y ερ+---=--- 或者

t

1t t y t y ερβα+++=- 此处 )1(b ,b )-a(1ρβρρα-=+=且]

上述临界值由Fuller,W.A.，1976年的Introduction to Statistical Times Series (时间序列统计概论)和迪基与富勒在1981年的计量经济学刊物上的文章给出（这些临界值只针对一些样本容量而言）。

注释:在H 0成立的条件下，τ不服从t 分布。相对于t 分布或者N （0，1）正态分布来说，τ的分布向左移了。要拒绝零假设就需要较大的负值。见下表：为了在5%的水平下拒绝H 0的话，我们需要τ<-1.95。对于一个N （0，1）的5%的单边检验，或者是较大T 值的t 检验来说，临界

值为-1.645。所以不恰当的使用标准正态分布进行单边检验将会导致对于零假设的过度拒绝。 单位根检验的渐进临界值（见讲义P33）请自己填列！

运用响应面回归，J.麦金农得到了一个计算所有样本容量（T ）的临界值的方法。（见J.麦金农，“CI 检验的临界值”，Engle, Granger 编，长期经济中的关系，OUP ，1991，13章） 例如：2

2

1

T

T

CV

φφφτ

+

+

=∞，给定∞

φ、1

φ、2

φ 的值，令

T=106，自像（3）式中的常数加趋势的情形的

5%的临界值为4523.3106

83.17106039.4-4126.3C.V.2

-=--=（相关数据可以从N=1行中的麦金农的表格中得到）。若

T CV )

?(se 0

?t ≤-=

γγγ，则拒绝零假设，而接受备择假设H 1：

0<γ 。

响应面协整检验的临界值

n 模型 %

∞φ

1

φ 2φ

1 常数+趋势 1

5 -3.412

6 -4.039 -17.83

10

如果（1）（2）（3）式中的误差项是序列相关的（y t 为一个AR （p ）过程），此时我们就应当使用修正的DF 检验（ADF ）。这一检验的方法为扩展对滞后差分项的DF 回归。因此，像（3）式就变为：t

1

p 1

j 1t j 1

t y y

t y εδγβα+?+++=?∑-=-- （4）

此处，需包括充足的滞后的一阶差分，用来确保ADF 回归中的误差项为近似的白噪声过程。对单位根的检验是通过计算γ的一个t 统计量进行的，)

?(se 0

?t

γγγ

-=

，其中的临界值与DF 检验中的一

样。通常地， AR （p ）过程可以重设参数为：

∑-=--+?+=?1

p 1j t

j t j 1t t y y y εδγ

例如，我们可以重述AR （2）过程为

t

2t 21t 1t y y y εφφ++=--，

写为差分形式如下， t

1

t 2

1

t 2

1

t

y y )1(y εφφφ+?--+=?--

t

1t 11t t y y y εδγ+?+=?-- 此处，,121

-+=φφ

γ 且2

1

φδ

-=

存在单位根的时候，121

=+φφ

。记住，1

21

<+φφ

是

AR （2）过程平稳性的必要条件。

这就是为什么我们检验H 0：0=γ和H 1：0<γ时，我们其实就是在检验单位根的存在的原因。 单位根检验的局限性：功效和检验水平的问题 [功效=当零假设为假时拒绝领假设的概率；检验水平=显著性水平，犯第一类错误的概率，即当零假设为真的时候却拒绝的概率]

功效小的原因：（a ）样本容量较小（b ）ρ接近于1；（c ）存在结构突变（译者注：可能就是结构不稳定的意思）。因此，拒绝H 0的失败，只能为优先选择随机游走假说提供较弱的证据。 检验的检验水平可能受下述因素影响：低估滞后长度或者使用了错误的检验等式（比如确定性趋势上的错误）。

ADF 回归的滞后长度的选取有以下几种方法：

（a ）用最小化的选择标准，像赤池信息准则

（AIC ）或者施瓦茨准则（SC ）；（b ）首先选取一个较大的滞后阶数，用标准正态分布检验最后一个自回归系数的显著性，如果接受零假设就减少一个滞后阶数；（c ）对p 使用不同的值，观察ADF 检验的结果是否具有稳健性；（d ）选取使误差项呈近似白噪声过程的最小的p 值。 确定性趋势的选取：

建议：用带常数项的回归，画出序列的图像，看它是否像纯粹的随机游走。如果看起来像带漂移的随机游走过程，那就用带常数和时间趋势的项进行回归。

因此，对于通货膨胀就使用模型（2），而产出则使用模型（3） B 、联合检验

对单位根和确定性趋势进行联合检验，这是可以实现的。

就拿（2）和（3）等式本身，或者针对ADF 识别的修正式来说，联合检验就有如下几种情形：

用于检验（2）式中的0==γα的F 统计量（受约束的比上不受约束的RSS ），我们称之为1

Φ；

用于检验（3）式中的0===γβα的F 统计量，我

们称之为2

Φ

用于检验（3）式中的0==γβ的F 统计量，我们称之为3

Φ。 t

1

t t

z z εγα++=?-

H 0：0==γα

1Φ t 1t t z t z εγβα+++=?- H 0：0===γβα 2Φ t

1

t t z t z εγβα+++=?- H 0：0==γβ

3

Φ

这些F 统计量的分布也是非标准的，迪基和富勒（1981）已经给出了其临界值。这些临界值的一个样本参见Gujarati Table D.7,附录D. 菲利普斯和配荣（PP ）非参数检验

就像ADF 检验一样，菲利普斯和配荣检验也是对上述三式的假设0=γ进行检验。与ADF 检验不同的是，菲利普斯和配荣检验没有滞后差分项。相应的，这个等式就用普通最小二乘法进行估计（可以选择是否包括常数和时间趋势项），然后修正这些系数的t 统计量，因为t

ε存在序列

相关，所以运用内维-维斯特方法调整这些标准差。这些检验的临界值与ADF 的相等。在有些情形下，菲利普斯和配荣（PP ）非参数检验比ADF 更好，而且对过度的滞后长度不敏感。 二阶单位根的检验

运用如下的模型就可以办到：

∑=--+?+?+=?p

1

j t

j t 2j 1t t 2

y y y εδγα

然后用与麦金农相同的临界值检验H 0：0=γ，备择假设H 1：0<γ，以检验单位根。

注意:在这种情形下，只有（1）和（2）式是合理的。

单位根检验和结构性突变

如果一个平稳序列在截距处（水平性）或者确定性趋势斜率处（增长性）显示了结构性突变，我们将很难分辨出这是否是一个非平稳过程。因此，不考虑序列突变的单位根检验，其功效非常低。配荣（1989，‘巨大冲撞，油价冲击和单位根假说’，Econometrica ，57，1361-1401）得到了单位根检验的临界值，在考虑趋势或者截距变动的情况下。

Nelson 和Plosser (1982.‘宏观经济时间序列的趋势和随机游走：一些证据和启示’，货币经济学，10，139-162)，发现很多美国宏观经济时间序列存在单证现象。配荣（1989）指出这些序列很多是存在突变的平稳序列，I （0）。 在Eviews 中如何实现ADF 检验

打开序列窗口/View/Unit Root Test.你首先将

看见一个描述检验的表格，你要具体化DF检验（或者菲利普斯-配荣检验），并且说明你是想在水平上，还是一阶差分上或者二阶差分上检验单位根。你也要决定等式中是否要包括截距项或者截距和趋势项。最后，你要决定检验等式中所包含的滞后差分项的数量。然后窗口就会给出一个修正的DF单位根检验和麦金农临界值。窗口的底部会给出这个检验的回归结果。另一个可选的路径是在主菜单中的Quick/Series Stat。ADF检验的输出包括滞后变量y t-1系数的t统计量，和零系数检验的临界值。

修订说明：1、一些翻译上有瑕疵的地方改正过来了。比如，原来将power译为“解释力”，现在统一改为“功效”，以及size原文为“解释范围”，现在为“检验水平”

2、另外还要对上次忘了致谢的人一并谢过。主要是要感谢赵铁男同学在翻译中给予的无私的帮助以及指导，没有他的帮助不知道稿件要到什么时候才能跟读者见面呢：）