(名师整理)最新中考数学《综合与实践》专题考点精讲精练

BC′DE′
＝
2S△E′BD
＝
2×
1 2
×100×50 3＝5 000 3(m2)．
∴符合要求的▱BCDE 的最大面积为 5 000 3 m2.
第 1 题答图
2．(1)如图①，已知△ABC 是边长为 4 的等边三角形， 点 D 为 AB 的中点，E，F 分别为边 AC，BC 上的动点，连 接 EF，DE，DF，①请直接写出△ABC 的面积；②若∠EDF ＝120°，请求出△CEF 周长的最小值；
问题解决： (3)如图③，有一座塔 A，按规定，要以塔 A 为对称中心， 建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 BCDE.根据 实际情况，要求顶点 B 是定点，点 B 到塔 A 的距离为 50 米， ∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大 的平行四边形景区 BCDE？若可以，求出满足要求的平行四 边形 BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由(塔 A 的占 地面积忽略不计)．
∠A＝∠B＝60°， 在△MAD 和△NBD 中，∠AMD＝∠BND，
AD＝BD， ∴△MAD≌△NBD(AAS)，∴AM＝BN，DM＝DN. 在△EMD 和△FND 中，
∠EMD＝∠FND， MD＝DN， ∠DME＝∠DNF＝90°，
∴△EMD≌△FND(ASA)，∴EM＝FN，DE＝DF， ∴AE＋BF＝AM＋EM＋BN－NF＝2BN＝2BD×cos60° ＝2， ∴CE＋CF＝AC－AE＋BC－BF＝6. ∵ED＝DF，∠EDF＝120°，且 DH⊥EF， ∴∠EFD＝30°，EH＝HF，
数学中考专题考点精讲精练
专题十
综合与实践
Leabharlann Baidu
【专题解读】题序固定在第 25 题，解答压轴题，考查内 容综合性强，涉及数形结合、分类讨论，转化等数学思想．设 问方式多样，解答此类题目需要循序渐进，逐步突破，同时 也考验学生的逆向思维．涉及的图形包含特殊三角形，特殊 四边形及圆，涉及的图形变换包含平移、对称、旋转．涉及 的知识点包含三角形全等和相似的性质与判定、勾股定理及
∴HF＝ 23DF，∴EF＝ 3DF. ∵△CEF 周长为 CE＋CF＋EF＝6＋ 3DF， 当 DF 为最小值时，△CEF 周长有最小值， 即 DF⊥BC 时，△CEF 周长有最小值， ∴△CEF 周长最小值为 6＋ 3×BD×sin60°＝6＋3＝9.
(2)如图②，已知四边形 ABCD 中，AD＝ 3，AB＝2， BC＝4，∠B＝60°，∠D＝90°，E 为 BC 边上一个动点，点 F 在直线 CD 上，且满足 EA⊥AF，连接 EF.试探究△AEF 的 面积是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存 在，说明理由．
类型一 面积最值问题(2019 年考查) 1．[2019 陕西]问题提出：
第 1 题图
(1)如图①，已知△ABC，试确定一点 D，使得以 A，B， C，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边 形；
解：如答图①，点 D1，D2，D3 记为点 D 所在的位置．
问题探究： (2)如图②，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝10，若要在 该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求 满足条件的点 P 到点 A 的距离；
∴∠DCA＝∠ACG＝30°，∴∠BCD＝60°， 设∠AFD＝α， ∴AF＝sin3α，∠AFC＝180°－α. ∵∠EAF＋∠AFC＋∠BCD＋∠AEC＝360°， ∴∠AEC＝30°＋α， ∴∠AEG＝180°－∠AEC＝150°－α， ∴AE＝sin1503°－α，
解：①∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形， ∴S△ABC＝21AB·AC·sin60°＝12×4×4× 23＝4 3.
第 2 题答图①
②如答图①，过点 D 作 DM⊥AC 于点 M，作 DN⊥BC 于点 N，过点 D 作 DH⊥EF 于点 H，
则有∠AMD＝∠CMD＝∠CND＝∠BND＝90°. ∵∠C＝60°， ∴∠MDN＝360°－60°－90°－90°＝120°. ∵∠EDF＝120°，∴∠MDE＝∠NDF.
其逆定理、特殊四边形的相关性质及判定、一元二次方程、 二次函数的最值、圆的相关性质等．主要设问考查类型包含 图形的面积最值问题、图形面积平分问题及线段最值问题．整 体利用辅助圆解题的方法是需要掌握的重难点．分值为 12 分．
【核心素养】数学建模、数学抽象，数学运算、直观想 象．
【数学思想方法】数形结合思想，分类讨论思想，转化 思想．
第 2 题图
解：△AEF 的面积存在最小值． 如答图②，连接 AC，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，作∠AEH ＝∠HAE，交 AG 于点 H，
第 2 题答图②
∵∠B＝60°，AG⊥BC，∴∠BAG＝30°， ∴BG＝21AB＝1，AG＝ 3BG＝ 3， ∴CG＝BC－BG＝3. ∵tan∠ACG＝ 33，∴∠ACG＝30°， ∴AG＝AD，且 AC＝AC， ∴Rt△AGC≌Rt△ADC(HL)，
解：如答图②，∵AB＝4，BC＝10，∴取 BC 的中点 O， 则 OB＞AB. ∴以点 O 为圆心，OB 长为半径作⊙O，⊙O 一定与 AD 相交于 P1，P2 两点，连接 BP1，P1C，P1O，∵∠BPC＝90°， 点 P 不能在矩形外； ∴△BPC 的顶点在 P1 或 P2 位置时，△BPC 的面积最大， 过点 P1 作 P1E⊥BC，垂足为 E，则 OE＝3， ∴AP1＝BE＝OB－OE＝5－3＝2， 由对称性得 AP2＝8.
解：可以，如答图③，连接 BD， ∵点 A 为▱BCDE 的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°， ∴BD＝100，∠BED＝60°， 作△BDE 的外接圆⊙O，则点 E 在优弧 BD 上，取 BED 的中点 E′，连接 E′B，E′D，则 E′B＝E′D，且∠BE′D ＝60°，∴△BE′D 为正三角形． 连接 E′O 并延长，经过点 A 至点 C′，使 E′A＝AC′， 连接 BC′，DC′.
∵E′A⊥BD ， ∴ 四 边 形 E′DC′B 为 菱 形 ， 且
∠C′BE′＝120°，
过点 E 作 EF⊥BD，垂足为 F，连接 EO，则 EF≤EO
＋OA＝E′O＋OA＝E′A，
∴S△BDE＝12·BD·EF≤12BD·E′A＝S△E′BD，
∴S
≤S 平 行 四 边 形 BCDE
平行四边形