北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第四节续,第五节)

得出
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) P( B) 1 P( B) ,
P ( AB )(1 P ( B )) P ( B )( P ( A) P ( AB )) ,
于是 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 即得 A 与 B 独立. 独立事件的性质 定理四 若 A 与 B 独立,则 (1) A 与 B 独立; (2) A 与 B 独立; (3) A 与 B 独立. (结论的直观理解) 证明 (1)因 AB B A B A B AB , AB B , 故

0 .6 0 .2 0.75 , 0 .6 0 .2 0 .4 0 .1
P( B2 | A)

P( B2 ) P( A | B2 ) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 )
0 .4 0 .1 0.25 0 .6 0 .2 0 .4 0 .1
.
第五节
事件的独立性
一般情况下,条件概率
P( A | B) P ( AB ) P ( A) , P( B)
这说明事件 B 的发生对于事件 A 发生的概率有影响.
5
如果事件 B 的发生不影响事件 A 发生的概率, 即 P( A | B)
P ( AB ) P ( A) , P( B)
便得 P ( AB ) P ( A) P ( B ) . 我们把具有这种性质的两个事 件 A 与 B 称为是相互独立的,即有 定义 8 对任意两个事件 A 、 B , 若成立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 则称 A 与 B 相互独立,简称独立. 例 把一颗匀称的骰子连续掷两 次,观察出现的点数。 A 第一次掷出 5 点, B 第二次掷时出 5 点, 则显然有 P( A) 6 ,
P ( AB ) P ( B ) P ( AB ) P ( B ) P ( A) P ( B )
10
(1 P ( A)) P ( B ) P ( A) P ( B )
,
由定义知, A 与 B 独立; (2)同理可证或由 A 与 B 的地 位对称性,得 A 与 B 独立; (3) A 与 B 独立，推得 A 与 B 独立，利用(1)， 得 A 与 B 独立． (或 P( AB) P( A B) 1 P( A B)
则有如下结论 (I)对任意事件 A ，恒有
P ( A) P ( Bi )P ( A | Bi ) ;
i 1 n
(1.10)
(II)对任意事件 A( P ( A) 0) ，有
P ( Bi | A) P ( ABi ) P ( A)
P( B j ) P( A | B j )
j 1
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1
1 [ P ( A) P ( B ) P ( AB )] 1 P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) [1 P ( A)][1 P ( B )] P ( A) P ( B ) ,
即得 A 与 B 独立) 有限多个事件的独立性和 无穷多个事件的独立性. 定义 9 (1)若事件 A1 , A2 , , An 满足条件: P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j ) , 1 i j n ,
n
P ( Bi ) P ( A | Bi )
,
1
i 1,2, , n ,(1.11)
注 : 这 两 个 公 式 当 n 时,(条件也变为可列个事件),也有 相应的公式.
P ( A) P ( Bi )P ( A | Bi )
i 1
, .
P ( Bi | A)
P ( ABi ) P ( A)
P( B ) P( A | B )
j 1 j j

P ( Bi ) P ( A | Bi )
1.
理论意义,以后经常在论证 推导中用到; 2. 实际计算概率方法,化难为 易,解决问题; 3. 注意典型例题及在变化的情 景中灵活运用; 4. 贝叶斯公式在概率诊断, 概率推断方面有用。 例 4 在无线电通讯中,由 于随机干扰,当发出信号为“0” 时,收到信号为“0” 、不清和 1 的 概 率 分 别 为 0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1 时,收到信号
1 2 k 1 2 k
显然,若事件 A1 , A2 , , An 相互独立, 则事件 A1 , A2 , , An 是两两独立的; 反之,若事件 A1 , A2 , , An 是两两 独立的,事件 A1 , A2 , , An 未必相互独 立.
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例如 S {1,2,3,4} (比如正四面体), A1 {1,2}, A2 {2,3} , A3 {1,3} 显然 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 2 ,
.
由于收到信号不清时, 原发 信号为 “0” 概率较之原发信号为 “1” 的概率为大,因此通常应推断原发 信号为“0”.
3
例 5 甲袋中装有 3 只红球、2 只白球,乙袋中装有红、 白球各 2 只. 从甲袋中任取 2 只球放入乙袋,然后 再从乙袋中任意取出 3 只球. (1) 求从乙袋中至多取出 1 只 红球的概率; (2) 若从乙袋中取出的红球不 多于 1 只,求从甲袋中 取出的 2 只全是白球的 概率. 解 令 A 从乙袋中至多取出 1 只红球, Bi 从甲袋中恰好取出 i 只红球, ( 2 i 只白球), i 0 ,1, 2 ; (1) 易知 B0 , B1 , B2 互不相容, B0 B1 B2 S ,且
P( AB) 1 P( B) 1 , 6 1 , 36
成立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 即 A 与 B 相互独立。
6
(这与实际感觉到的相符). 特殊事件的性质: (1) 若 P (C ) 0 ,则对任意事件 B , CB C , 0 P (CB ) P (C ) 0 , P (CB ) 0 P (C ) P ( B ) , C 与 B 相互独立; 特别 与 B 相互独立. (2) 若 P(C ) 1 ,对任意事件 B , 由 C C S 且 CC 知 P(C ) 0 , P( BC ) 0 , 且 P( B) P{B(C C )} P( BC) P( BC ) P( BC) , 故 P(CB ) P( B) P(C ) P( B) , 即 C 与 B 相互独立; 特别 S 与 B 相互独立. (3) 设 A 为事件,若对任意事件 B ,都 有 A 与 B 相互独立,则有 P( A) 0 或 P( A) 1 . 事 实 上 , P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 对 任 意 事件 B , 特别取 B A ,则
2
为 1、不清和 0 的概率分别为 0.9,0.1 和 0.如果在发报过程 中 0 和 1 出现的概率分别是 0.6 和 0.4,当收到信号不清时,原 发信号是什么？试加以推测. 解 设 B1 原发信号为 “0” , B2 原发信号为“1”, A 收到信号“不清”, 由贝叶斯公式得
P ( B1 | A) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 )
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P ( A) P ( AA) P ( A) P ( A) ,
于是有 P( A) 0 或 P( A) 1 ,再由(1)和 (2)得证. 事件相互独立判别法: 定理三 对任意事件 A 、 B , 且 P ( B ) 0 ,则 A 与 B 独立的充分必要 条件是 P ( A | B ) P ( A) . 证明 必要性 已知 A 与 B 独立,即 有 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 于是
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定理三＇ 对任意事件 A 、 B , 且 P ( B ) 0 , P ( B ) 0 ，则 A 与 B 独立的 充分必要条件是 P( A | B) P( A | B) . (独立涵义直观理解的公式化) 证明 必要性 已知 A 与 B 独立,即 有 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 从而
i 2 i C3 C2 P( Bi ) C 52
1 10 , i 0 6 ,i 1 10 3 10 , i 2
;
又
4
0 3 1 2 C2 i C 4 i C 2 i C 4 i P ( A | Bi ) 3 C6
4 5 ,i 0 1 ,i 1 2 1 5 , i 2
于是 P( A | B) P( A | B) 充分性 已知 P( A | B) P( A | B) ,
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由 P( A | B)
P ( AB ) P( B) , P ( A B ) P ( A AB ) P( B) P( B)
P( A | B)
P ( A) P ( AB ) 1 P( B) ,
,
故由全概率公式得
P ( A) P ( Bi )( A | Bi )
i 0 2

1 4 6 1 3 1 11 ; 10 5 10 2 10 5 25
0
(2) 易知要求概率 P( B 由贝叶斯公式得
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| A) ,
1 4 P ( B0 ) P ( A | B0 ) 10 5 2 P ( B0 | A) 11 P ( A) 11 25
P( A | B) P( A | B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( A) , P( B) P( B) P ( A B ) P ( A AB ) P( B) P( B)

P ( A) P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B ) P( B) P( B) P ( A)(1 P ( B )) P ( A) , P( B)
第四节
全概率公式与 贝叶斯公式(续)
定理 设事件组 B1 , B2 , , Bn 满足：
Bi （1） i 1
n
S；
（2） B1 , B2 , , Bn 互不相容； （3） P( Bi ) 0, i 1,2, , n ， (如果某 P ( Bi 将其去掉)
0
) 0 ,则在概率计算中
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则称 n 个事件 A1 , A2 , , An 是两两独立 的. (2)若事件 A1 , A2 , , An 满足条件: 对任意整数 k ( 2 k n )和 1 i1 i2 ik n , 恒有 P( Ai Ai Ai ) P( Ai ) P( Ai ) P( Ai ) , 则称 n 个事件 A1 , A2 , , An 相互独 立. (3) 对 于 可 列 无 穷 多 个 事 件 A1 , A2 , , An , ,若其中任意有限多个 事件都相互独立, 则称可列无穷多 个事件 A1, A2 , , An , 相互独立.
P( A | B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( A) ; P( B) P( B)
充分性 已知 P ( A | B ) P ( A) , 即得
P ( A) P ( A | B ) P ( AB ) P( B) ,
从而 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 即得 A 与 B 独立.