北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第四节续,第五节)
2010新版北航研究生应用数理统计习题参考答案
n
xi 1
2
1
n
2n
e
2
(1 x )
， 1 xi （ i ）
由 2 0 ，则似然函数为 1 的单调递增函数，且 - 1 xi （ i ） ，由极大似
ˆ min{x } 。 然估计定义可知， 1 的极大似然估计为 1 i
i
对 2 ， ln L(1， 2 ) -n ln 2
- 2 ， x1 ，x 2 ，…，x n 为来自总体的简单样本，求参数 1 及 2 的极大似然估计。
解：由 f ( x;1 , 2 ) 为概率密度函数可知， 2 0 。 似然函数为 L(1 , 2 ; x1 , x2 ,, xn )
1
2n
e
i 1
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
ˆ 0 min{xi } 。 x 0 的极大似然估计为 x
i
12. （ P81.11） ）设总体 X 的概率密度函数为 f ( x;1 , 2 )
1
2
e
x 1
2
， - 1 x ，
2 1m
2
2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m
2
n
~ t (m n 2) 。
6． （ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样 本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。
北航概率统计期末试题和答案
3.设 F1 ( x) 与 F2 ( x) 分别为两个随机变量的分布函数，令 F ( x) aF1 ( x) bF2 ( x) ， 则下列各组数中能使 F ( x) 为某随机变量的分布函数的有（ ( A)a (C ) a ） ．
2 2 , b ； 3 3 3 1 , b ； 2 2
s 2 0.81 。给定检验水平 0.05 ，从该性能指标抽样结果检验这一天的生产是
否正常。 （ z0.95 1.645 ， z0.975 1.960 ， t0.95 (8) 1.8595 ， t0.975 (8) 2.3060 ，
t0.95 (9) 1.8331 ， t0.975 (9) 2.2622 ）
4.设随机变量 X ~ B( n ， p ) ，则数学期望 E ( e 2 X ) 5．设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，由契比雪夫不等式得
P{ X 1 2 1}
E ( XY )
， D( XY )
。
6.设 X 和 Y 是相互独立的两个随机变量，且 X ~ (5) ， Y ~ N (1 , 4) ，则 。
2
X 与 Y 是相互独立的随机变
（2） E[ Z (t )] ， E[ Z (t ) Z (t )] ， E[ Z 2 (t )] ；
（3）问 Z (t ) 是否为广义平稳过程？
[七]、 （8 分） （此题讲 1 至 9 章学生做，讲 1 至 13 章学生不做）
某工厂有四种不同类型的机床，型号为 1，2，3，4，其台数之比为 9 : 3 : 2 : 1 ， 它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1 : 2 : 3 : 1 ，当有一台机床需要修理时， 问这台机床恰是型号为 1 的机床的概率是多少。
等时降线问题的求解
第4 1卷第6期2020年1 1月吉首大学学报(自然科学版)JournalofJishou University (NaturalSciencesEdition )Vol. 4 1 No. 6Nov.2020文章编号：1007 2985(2020)06 0005 06等时降线问题的求解邢家省12 ,吴桑12(.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191;2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191)摘要：考虑了给定下降时间函数的下降曲线的求解问题.将质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的问题转化为 积分方程求解的问题，并对积分方程进行阿贝尔积分变换，再利用积分换序方法给出了求解公式，最后证明了等时降线问题 的解是一条倒摆线.关键词：等时降线问题；积分方程；阿贝尔积分变换；摆线中图分类号：O175. 29 文献标志码:A DOI ： 10. 13，138/ki.jdzk. 2020. 06.002多位数学家对等时降线问题或等时降落问题1进行了原创性的研究.历史文献中，关于等时降线问 题的解法都较复杂，限制了其广泛传播，因此有学者56］充分利用现代成果给出了严密简洁的解法.笔者拟 将质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的问题转化为积分方程求解的问题，并对积分方程做阿 贝尔积分变换，再利用积分换序方法进行求解.1质点沿光滑轨道下滑所需时间建立兗O y 坐标系兗轴正向水平向右，0夕轴竖直向上，设4点坐标为X 1 , 1) ,B 点坐标为(x y 2), x 1 V xy < y 1.设曲线L 经过4,B 点，曲线L 的方程为y =y(x )或者x =x(y ).质点沿曲线L 由4 点无摩擦地滑动到B 点，所需的时间为1 + (y'(x ))2 ,d>x ,丿y 1 _ y 或者")=丄 y —…L y42P y 2 Jy 1 _ y设曲线L 的最低点在O 龙轴上，质点在曲线L 上高度为人处从静止开始下滑，到最低点所需时间38］为1 + (x'(y ))2------- ------dy .(1)h _ y T (y )=”「h *收稿日期:2020 06 2 1基金项目：国家自然科学基金资助项目( 1 1771004)；北京航空航天大学校级重大教改项目(北航培育项目2019 01—2021 12)作者简介：邢家省( 1964 — ),男，河南泌阳人，北京航空航天大学数学科学学院副教授，博士，主要从事偏微分方程、微 分几何和泛函分析研究.6吉首大学学报(自然科学版)第4 1卷2 质点从有限高度下落的降线问题的阿贝尔积分方程设常数H > o .实际降线问题是从有限高度下落的,所以降线问题可归结为如下积分方程和微分方程 问题:h f(y )丁()= y o<h c H , (2)J o h —y / + (d(y ))2 =-/2g f(y ) o< y c H .积分方程问题是给定函数Th ),寻找函数f(y ),使得(2)式成立• (2)式被称为阿贝尔积分方程[14].3 有限区间上的阿贝尔积分方程的求解引理1〔-6] 设f (x )在((),H ]上连续可积，令V (x ) = P ft t o < x C H .记J o V x — th(x ) = X 曲)^ = ^^^ fs s ,J o 需x — t J o J o 丿(x — t ) ( — s )x x f (s)g (x ) = ds| c t o < x C H ,Jo J s y(x — t)( — s )则有证明h(x )=g(x ) o < x C H .对于任意固定的o < x C H,令h (a )x 一 t o < a < x .o < a < x ,由于卩(x ),f (x ) G C (o,H ],且在(()，H ]上可积，因此lim h (a ) = h (x ) , lim h (a ) = o ,a x a »o +lim g (a ) =g (x ) , lim g (a )=().a x a »o +不难证明 h'(a )= 卩().令g (a ) = [ G (s,a )ds,其中 G (s,a ) = [— f S t 经过定积分计•v x — a Jo 儿丿(x — t )( — s )算，可得11G ( ,a ) = f (s')(x — s )I 2丿d t =x + s ) 22丿(a x +s 2f (s') arcsinx —s n + 2 -I 2丿由于因此f (s )G(a,a )=()，c G (s,a ) =■ao r a —s 1g'(a )=f (s )_______________ds =(x 一 a) (a 一 s ) 7 x 一 a f (s )ds =a 一 s 1” ep (a ),x 一 a 于是 h (a ) = g 7 (a ),从而 h (x ) = g (x ) , () < x C H .证毕.第6 期邢家省，等：等时降线问题的求解7b 引理2[56] 设a <b ,则有,——df =na J ( — t )( — a )证明du = 2arcsin v I = n .证毕.引理3［56］ 设/(x )在(0,H ］上连续可积，令旅 x )=[ Xt0 < x W H ,则有［7(t)dt=1 X M)dt 0 < x W H.J 0 兀 J 0 x _ t证明 对(3)式两边作阿贝尔积分变换［46］利用引理1的结果可得卜 <pCt)dt = h (x ) = g (x ),J 0 x _t g(x ) = [x d j x /(S) t ,h(x )=g(x ) = [/(s)ds]dz.J0 J s J(x _ t ) ( — s )利用引理2 的结果可得—dr = n V (x — t )( — s )于是 h(x )=n f (s) ds ,从而/ Odt =—[ 卩(')dz 0 < x W H.n J 0 点 x — t证毕.引理4［5-6］ 设f (x )在［0,H ］上一阶导数连续，且f (0) =0,令卩(dz 0 < x W H ,卩(0 ) = 0 ,则有：i )9(x )在［0,H ］上一阶导数连续，且v x — t 卩'(0 ) = 0.0 <x W H ,1 x ⑦'()(ii )f (x ) = — ” ■ dz ,0 < x W H.兀」0 x _ t证明 (i )当0 < x W H 时，令t = xs 则有卩(0 <x W H .显然 <p(x) G C 1 (0 , H ],且 lim (p(x) =0.由于(p(0) = 0 ,所以 <p(x) G C [0 , H ].当 0 < x W H 时,+8吉首大学学报（自然科学版）第4 1卷/&)=丄「f (^)d5 十用f ，(xS)d S =丄(一"—7f(x )) | 十 'xf^xs )2 0 / — s J 0 / — s 4x -v x 0x 「f ，(xs)ds =x 力—I ds + x 「f ，(xs)ds =x 「J 0 1 — s J 0 J 0 1 — s J 0 1 — s ds *s ds 十从而lim p (x ) = 0.令s = Z ，可得x >0+ xcp f (x )"dt x ——t 0 < x W H .由于当0<x W H 时*p (x )x f (xs )/ ■ ds =----(— 2 / — sf (xs)) |1 十V 1 — s x因此 p ‘(0) = lim P (x ) = 0 * 于是 p (x ) G C 1]。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==北航概率统计试卷篇一：北航概率统计201X-201X期末考试AB北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY201X－201X 学年第二学期期末考试统一用答题册考试课程概率统计A （A09B204A）概率统计B（A09B204B）A（试卷共6页，六道题）班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________ 考场教室_________任课教师_________201X年6月23日(08:00-10:00)一、单项选择题（每小题3分，满分24分）1、设随机变量X的概率密度为?1?|x|,?2?x?2f(x)??4, ??0,其它则 P{?1?X?1}? ( )。
(A) 0.75 , (B) 0.5 ,(C) 0.25 , (D) 0 。
2、已知随机变量X的分布函数为F(x)?a?barctanx,???x???,若实数c31满足P{X?c}?6 ，则c?（）。
（A）；（B）；?3（C）1；（D）。
3、设随机变量X~N(?,?),则E(|X??|4)?（）。
2(A) 3?； (B) 4?； (C) 5?； (D) 6? 。
44444、设A,B为任意两事件,则下列关系成立的是().(A) (A?B)?B?A；(B) (A?B)?AB?A ;(C) (A?B)?B?A; (D)(A?B)?AB?(B?A)?A?B 。
5、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（）。
111（A）1；（B）；（C）；（D）。
54326、设每次试验成功的概率为p(0?p?1),则在5次重复试验中至少失败一次的概率为（）。
(A) 1?p,(B) p(1?p),(C)(1?p),(D) Cp(1?p)。
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章习题课复习课程
例5 已知事件C B A ,,相互独立,3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P , 求)}({B A C P --.解 )}({B A C P -- }{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=}{CB A C P += )(}{}{CB A C P CB P A C P -+=)()()()()()()(C P B P A P B P C P A P C P -+= )()()()()(A P B P C P A P C P +=()]()()(1)[(A P B P A P C P +-= )]()(1)[(B P A P C P -=)656.03.04.08.07.08.0=⨯⨯+⨯= .或)}({B A C P --)}({B A C C P --=}{B CA C P -= )()(B CA P C P -= )()()()(B P A P C P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.或)}({B A C P --}{B A C P -=}{B A C P =)}({B A C P +=)()(B A P C P += )](1)[(B A P C P +-=)](1)[(B A P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.注意: B A C B A C +-≠--)()(.例 6 设某型号的高射炮,每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率是0.5。
问至少需要几门高射炮同时射击（每炮只射一发）才能以99%的把握击中来犯的一架敌机。
解 设需要n 门高射炮同时射击才能以99%的把握击中来犯的一架敌机，令=i A 第i 门炮击中敌机，=A 敌机被击中,则∑==+++=ni i n A A A A A 121Λ,)(1)()(11∑∑==-==ni i n i i A P A P A P )(121n A A A P Λ-= )()()(121n A P A P A P Λ-=99.0)5.0(1≥-=n , 于是得 n 5.001.0≥,n ⋅≥5.0lg 01.0lg ,644.65.0lg 01.0lg ≈≥n ,取7=n .故至少需要7门高射炮同时射击. 例7 甲乙丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;若有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6; 若有三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解 设=A 飞机被击落,=i B 飞机被i 个人击中,=i A 第i 个人射击击中飞机,3,2,1=i ,由题设条件知,4.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P , 321,,A A A 相互独立,2.0)|(1=B A P ,6.0)|(2=B A P ,1)|(3=B A P , 3213213211A A A A A A A A A B ++=, 3213213212A A A A A A A A A B ++=,3213A A A B =,由概率的可加性和事件的独立性得)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 36.0=,)()()()(3213213212A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 41.0=,)()(3213A A A P B P =)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=,由全概率公式)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==114.06.041.02.036.0⨯+⨯+⨯=458.0= .例8 将4只有区别的球随机放入编号为5~1的五个盒中(每盒容纳球的数量不限).求(1)至多两个盒子有球的概率;(2)空盒不多于2个的概率.解 方法一设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i A 恰有i 个空盒,4,3,2,1=i ,则21A A B +=,且21,A A 互不相容,41515!4)(⋅=C A P ,4242525!3)(C C A P ⋅=, 768.012596)()()(21==+=A P A P B P , =B 空盒多于2个= 至少有三个空盒= 至多两个盒子有球A =,232.0)(1)()(=-==B P B P A P .方法二设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i B 恰有i 个盒子有球,4,3,2,1=i ,则21B B A +=,且21,B B 互不相容,A B = ,41515)(C B P =,425242533142521)(A C A C C B P +=,(把4个球分成两组,一种是1个和3个,另一种是从4个球中取出2个球在一起和余下2个球自然在一起,(考虑到对称性,不分组顺序),例如设四个球分别为d c b a ,,,,两只球在一起,分组为)},(),,{(d c b a ,)},(,),,{(d b c a ,)},{(),,{(c b d a ;)},(),,{(.d a c b ,)},(),,{(c a d b ,)},).(,{(b a d c ,但是后三个与前三个是实为一样的). 232.012529)()()(21==+=B P B P A P , 768.0)(1)()(=-==A P A P B P .例9 在除去大小王的一副54张扑克牌中,随机抽取2张,求恰取到2张不同花且最大点数为7的概率.解 设=A 恰取到2张不同花且最大点数为7,方法一:17125152136)()(25222161224=⨯⨯=+=C C C C C A P ,(先取两色,只一个7或两个7)方法二:17125152672)(2522411814=⨯+=+=C C C C A P(取出一张花色的7,然后从其它三种花色的6~1中任取一张,或直接取出两个花色的7).方法三:17125152136)162()67()(252242522224=⨯⨯=+⨯=-=C C C C A P ,(先取两色,从每色的7~1取出一张,去掉不含7的)(如果171262825152214)(25212114⋅=⨯⨯==C C C A P , 则错了,错在何处,这种想法是从4色中取出一个7,其它三色的7~1中取出一个.这样算有重复的,如先取出红桃7,再取出方砖7与先取出方砖7,再取出红桃7,是一样的)方法四:17151267825152684)(2522412114=⨯=⨯-=-=C C C C A P . 例10 从5双不同的鞋子中任取 4只,求下列事件的概率,(1) 没有成对的鞋子;(2) 至少2只配成一双.解 设=A 没有成对的鞋子,=B 至少2只配成一双,A B = ,方法一 218)()(41041245==C C C A P , (从5双中任取4双,再从每双中任取一只),21132181)(1)()(=-=-==A P A P B P .方法二218)(410141618110==A C C C C A P , (第一次从10只中任取一只,第二次从其它4双中任取一只, 第三次从其它3双中任取一只, 第四次从其它2双中任取一只.) 方法三2113)()(410252122415=+=C C C C C B P , (恰两只成一双另两只来自不同双,或恰成两双)方法四2113)21()(41025161815=+⋅=C C C C C B P , 方法五2113)(410252815=-=C C C C B P ,(从5双中任取一双,然后从其它4双鞋中任取两只,其中成两双鞋的次数计了两次,去掉).先下手为强例11甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解 设甲、乙两人每次命中的概率均为p ,失利的概率为q)1,10(=+<<q p p ,令}{次射击命中目标第i A i =,(Λ,2,1=i ).假设甲先发第一枪,则=)(甲胜P)(543213211Λ+++A A A A A A A A A P Λ+++=)()()(543213211A A A A A P A A A P A PΛ+++=p q p q p 42)1(42Λ+++=q q p211q p -=q +=11 ,又可得)(1)(甲胜乙胜P P -=q +-=111q q +=1,因为10<<q ,所以)()(乙胜甲胜P P >. 注： 之所以在比赛时经常要用抽签来决定谁“先下手”,原因在于“先下手”就是沾便宜.(当然是在实力相当的条件下),“狭路相逢勇者胜”.今天的学习评比,求职,工作等竞争事项,也是要抢先一步,采取积极主动,才能取的预期目标.被动就会挨打,失去战机,导致失败.机会光顾那些有时刻准备,并抢先一步的人.例12 甲袋中装有4只红球,2只白球,乙袋中装有2只红球,3只白球.从甲袋中任取2只球放入乙袋中,然后再从乙袋中任意取出一只是红球.试求甲袋中取出的2只全是红球的概率.解 设=A 从乙袋中任意取出一只是红球,=i B 从甲袋取出的2只球中有i 只红球,2,1,0=i ,根据题设条件知 26224)(C C C B P i i i -=, 1712)|(C C B A P i i +=,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为 2512)|()()|()()|(20222==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例13 已知100只集成电路中不合格品数从3~0是等可能的.从中任意取出4只,经检测均为合格品,求此100只集成电路没有不合格品的概率.解 设=A 取出4只均为合格品,=i B 100只集成电路中有i 只不合格品,3,2,1,0=i ,根据题设条件知41)(=i B P ,41004100)|(C C B A P i i -= ,3,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为2656.0)|()()|()()|(30000==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例14 工厂生产的产品合格率是0.96.为确保出厂产品质量,需要进行检查,由于直接检查带有破坏性,因此使用一种非破坏性的但不完全准确的简化检查法.经试验知一个合格品用简化检查而获准出厂的概率是0.98, 而一个废品用简化检查而获准出厂的概率是0.05.求使用这种简化检查法时,获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.解 设=A 产品获准出厂, =A 产品未获准出厂,=B 产品是合格品,=B 产品是不合格品 ,根据题设条件知96.0)(=B P , 04.0)(=B P ,98.0)|(=B A P , 05.0)|(=B A P ,利用贝叶斯公式得所求概率为)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0=⨯+⨯⨯=;)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 6643.002.096.095.004.095.004.0=⨯+⨯⨯= . 例15 设B A ,为任意事件, 证明|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ .证明 若0)()()(≥-B P A P AB P , 由于)()()()()()(B P A P A P B P A P AB P -≤- ))(1)((B P A P -=,)()()()()()(B P A P B P B P A P AB P -≤-))(1)((A P B P -=，综合这两个不等式,得2)]()()([B P A P AB P -))(1)((B P A P -≤))(1)((A P B P -⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ ;若0)()()(≤-B P A P AB P ,由1)()()()(≤+=-+B A P AB P B P A P ,得)()(1)(B P A P AB P --≤-,由此得)()()(0AB P B P A P -≤)()(1)()(B P A P B P A P --+≤))(1))((1(B P A P --=,显然)()()(0AB P B P A P -≤)()(B P A P ≤, 综合这两个不等式,得2)]()()([AB P B P A P -))(1))((1(B P A P --≤)()(B P A P ⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤, 证毕.。
常微分方程教学大纲-北京航空航天大学
《概率统计B》教学大纲课程编号：A09B204B课程中文名称：概率统计B课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics学时/学分：32/2开课学期：□√秋季先修课程：高等数学，或工科数学分析；线性代数，或工科高等代数执笔人：邢家省一、课程教学目标概率统计是工科大学的一门基础课。
本课程的任务是使学生获得概率论、数理统计的基本理论方法和基本运算技能，学会对随机问题进行定量分析，培养学生分析随机问题、解决随机问题的能力。
本课程具有独特的科学认识方法意义，并且能为后续课提供必要的数学理论基础，为培养创新人才提供必要的知识结构和思想方法。
2、教学内容及基本要求第1章随机事件的概率(4学时)随机事件与样本空间；概率的公理化定义与性质；条件概率与乘法公式；全概率公式与贝叶斯公式；事件的独立性。
基本要求:1．理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；2．理解并熟练掌握概率的古典定义，会作计算；3．了解几何概率，了解概率的统计定义、公理化定义；4．熟练掌握概率的基本性质，会用于计算；5．理解并掌握条件概率的定义，掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式；6．理解并会运用事件独立性的概念。
第二章随机变量及其分布(4学时)随机变量；随机变量的分布函数；离散型随机变量及其概率分布；两点分布，二项分布，泊松（Poisson）分布；连续型随机变量及其概率密度；均匀分布，指数分布，正态分布。
基本要求：1．理解随机变量的概念；2．理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度的关系；3．掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表。
第三章 二维随机变量的分布(4学时)二维随机变量及其联合分布； 边沿分布函数； 边沿分布律与条件分布律； 边沿概率密度与条件概率密度； 相互独立的随机变量。
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第三,四节)
第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A发生的概率()P A，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率()P A；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。
一般地说，这两种概率未必相同。
为了区别起见，我们把后者叫做条件概率，记为)AP，读作：在条件B下事(B|件A的概率。
条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。
例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{,,,}S bb bg gb gg =，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 表示大的是男孩、小的是女孩。
其他样本点可类似说明。
在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。
（1）设A =“家中至少有一个男孩”， 显然3()4P A =；（1） 若已知事件B =“家中至少有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，2(|)3P A B = ； （3）3()4P B =，2()4P AB =，22()4(|)33()4P AB P A B P B === 。
为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。
例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。
在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。
试求（1） 取得的是一级品的概率；（2） 已知取得的是合格品，它又是一级品的概率。
解：令=A “取得的产品是一级品”,=B “取得的产品是合格品”。
（1） 由于50件产品中有30件一级品，因此，按古典概率定义得 535030)(==A P ;（2） 因为40件合格品中，一级品恰好有30件，故434030)|(==B A P , 可见 )()|(A P B A P ≠ .一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算)(B P 与)(AB P 。
北京航空航天大学概率统计各章试题 概率统计与随机过程各章试题
第1章 随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、 设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。
(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。
二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。
（A ）15； （B ）14； （C ）13 ；（D ）12。
三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。
1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。
北航概率统计试卷及答案解析
Detailed : T
x ~ N(, 2 ) n
x
0
~
N (0,1)
n
(n
1)s2 2
~
2 (n
1)
T
x s
0
~t
n
1
n
x 0
n (n 1)s2
2
x 0
s
x 0 s
n
n
(n 1)
2、设 X 为随机变量,且 EX 1, DX 0.1 ,则一定成立的是 B 。
7、设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
ex
a ex
,
x ,（常数 a 0 ），
A 卷 5 页-3
则 P{0 X ln 3}
。
A. 1 ； 6
B. ； C. 1 ； D. 2 。
ห้องสมุดไป่ตู้
6
12
ln 3 0
f
(x)dx
ln 3 0
ex
a e
x
dx
P(B) 0.2
2、设在试验 E 中事件 A发生的概率 P( A) ( 0 1),
n 把试验 E 独立地重复做下去, 令 Bn “在前 次实验中事件 A至少发生一次”，
则
lim
n
P(Bn
)
。
Answer:一旦涉及到
lim
n
P(
X
)
?
的题时，后面的不是
0
就是
1，根据经验判断即可。
一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共 36 分，
北航 概率统计课件 1.3-4
例2 一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，
2个二等品，从中不放回地取产品，每次
1个，求
（1）取两次，两次都取得一等品的概率
（2）取两次，第二次取得一等品的概率
（3）取三次，第三次才取得一等品的概率
（4）取两次，已知第二次取得一等品，求
第一次取得的是二等品的概率
解 令 Ai 为第
（1） P( A1A2 )
A
n
Bi
ABn
Bn i1
Bi Bj
AB2
n
A ABi
i 1
B2
n
n
( ABi )( ABj )
P( A) P( ABi ) P(Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
i1
i1
P(Bk
A)
P( ABk P( A)k )
7 nA
nA n
设A、B为两事件, P (
A
)
P(
>
A)
0,
则称
P( AB) P( A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条概率，
记为
PB A
条件概率的计算方法
（1） 等可能概型可用缩减样本空间法
（2） 其他概型用定义与有关公式
条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有 概率的性质：
非负性 规范性 可列可加性
解 设原发信号为“ • ”为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 B2 收到信号“不清”为事件 A
已知： A B1 B2 , B1B2 P(B1) 0.6, P(B2 ) 0.4
P( A B1) 0.2, P( A B2 ) 0.1
P( A) P(B1)P( A B1) P(B2 )P( A B2 )
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第一节)随机事件
2011-2012学年第2学期课程:《概率统计A》1——16周,学时:64,学分:4周一下午7-8节(15:30—17:20)，沙河校区J3-410 ；周五上午1-2节（8:10—10:00），沙河校区J3-310 。
100321，22，23，24，100325，26，27，28 。
240人。
主讲教师:邢家省办公地点:主楼主南311E-mail: xjsh@通信地址:北京航空航天大学数学与系统科学学院邮编100191同学们好！这学期由我给同学们讲授《概率统计A》《概率统计与随机过程A》这门课程,希望我和同学们共同努力, 完成这门课的讲授和学习任务。
通过课堂讲解,同学们听课学习,为同学们的知识掌握能力提高打下必要的数学基础;为专业知识的学习和运用,提供数学工具.先说一下要求和学习方法:(1)要求我自己每次上课提前十分钟到达教室,准备好上课;(2)要求同学们按时来上课、听课,遵守课堂纪律,保持安静,不影响大家听讲;(3)课前适当预习,上课时认真听课,课后及时复习,必要时,要经常复习用到的高等数学有关知识原理;(4)要及时完成作业,保证数量质量,按时交作业;作业要求独立完成,交作业的数量和质量算平时成绩,占总成绩的10%.(5)每周一上课时交作业,作业由各班课代表或学习委员收齐，交到讲台上，由我带回主校区交给助教批改。
(6)答疑方式周一下午下课后，教师留下四十分钟，解答同学们的提问。
(7)学习中遇到问题解决方法:善于提问题，自我思考，或者向教师提问，或者同学们之间互相交流。
向教师发邮件。
可搜索登录如下的网站：数学博士论坛，免费考研论坛。
这两个网站，对人们很有用，希望常去逛逛，看别人的贴子与回贴，回别人的贴子，发掘有用的东西，发自己的贴子，看别人给的解答，通过发贴回贴留下自己对社会有贡献的东西。
《概率统计与随机过程A》本课程分三个部分:一、概率论(第一章—第六章)二、数理统计(第七章—第九章)三、随机过程(第十一章—第十三章)本课程的研究对象和用处: 自然界的所有现象可分为两类:一、确定性现象:在一定条件下,某种结果是否发生,事先完全可以预言;二、不确定现象(随机现象):在一定条件下,某种结果是否发生,事先是不可能预言的.随机现象是大量客观存在的.举例:明天早上是否下雨;国庆节或春运期间去火车站买去上海的某一趟火车票能否买到;两支足球队比赛，那一个队将胜；某一河流是否暴发洪水,某一山区是否发生泥石流，某一地区是否发生地震，台风，海啸等。
北京航空航天大学 概率统计 邢家省 课件 第二章第五节,第六节(上)
第二章(第五,六节)第五节 连续型随机变量及其概率密度函数随机变量X ,简记为X v r .., 分布函数}{)(x X P x F ≤=.定义 4 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,如果存在一个定义在()+∞∞-,上非负可积函数)(x f ，使得对任何实数x ，恒有⎰∞-=x dt t f x F )()(,则称X 为连续型随机变量,称函数)(x f 为随机变量X 的概率密度函数(或分布密度函数),简称概率密度.例 1 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(3x x x x x F ,取函数20,0()3,010,1x f x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，显然成立⎰∞-=x dt t f x F )()(，(),x ∈-∞+∞，所以这个X 是连续型随机变量。
例2 设随机变量X 的分布函数为x x F arctan 121)(π+=,+∞<<∞-x ;取函数211()1f x xπ=+，(),x ∈-∞+∞，显然成立⎰∞-=x dt t f x F )()(，(),x ∈-∞+∞，所以这个X 是连续型随机变量。
概率密度函数的性质：由定义可以知道，概率密度函数)(x f 具有下列基本性质：（1）0)(≥x f ，对一切()+∞∞-∈,x ； （2）1)()(=+∞=⎰+∞∞-F dx x f 。
反之，可以证明,任何一个具有性上述性质(1)和(2)的实直线上的可积函数)(x f ，可以成为某个连续型随机变量的概率密度函数.连续型随机变量X 取区间值概率的计算.定理 设X 为连续型随机变量, 分布函数为)(x F ,概率密度为)(x f ,则有(1)⎰∞-=x dt t f x F )()(是连续函数;(2),0)()(}{=-==-x F x F x XP()+∞∞-∈∀,x ;(3)],(b a I =或],[b a ,或),[b a , 或),(b a ,或-∞=a ,或+∞=b⎰=-=∈b adx x f a F b F I X P )()()(}{;(4)若(x f 在0x 点连续，则)(x F 在0x 点可导,且)()(0x f x F ='; 如果)(x f 是分段连续函数,只有有限个不连续点,则)()(x F x f '= (除去有限个不连续点,在这些点上可任意给)(x f 的值).例3 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ,求(1)}21|{|≤X P ;(2) X 的分布函数 . 解(1) }2121{}21|{|≤≤-=≤X P X P⎰-=2121)(dx x f⎰-=021)(dx x f ⎰+21)(dx x f⎰-+=021)1(dx x ⎰-+21)1(dx x2120212|)21(|)21(x x x x -++=-75.0438383==+=;(2) ⎰∞-=xdt t f x F )()(,当1-<x 时,)(,0)(x t t f ≤<-∞=,0)(=x F ;当01<≤-x 时,⎰⎰--∞-+=xdtt f dt t f x F 11)()()(x xt t dt t 121|)21()1(0--+=++=⎰21212++=x x ;当10<≤x 时,⎰⎰⎰++=--∞-xdtt f dt t f dt t f x F 011)()()()( ⎰⎰-+++=-xdtt dt t 01)1()1(0x t t t t 0212|)21(|)21(-++=-21212++-=x x ,当1>x时，⎰⎰⎰⎰+++=--∞-xdt t f dt t f dt t f dt t f x F 1111)()()()()(10)1()1(011=+-+++=⎰⎰-dt t dt t ，于是，X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++-<≤-++-<=1,110,212101,21211,0)(22x x x x x x x x x F . 第六节常用的连续型随机变量分布具有代表性的连续型随机变量分布有以下几种:一、 均匀分布称ζ为区间（a ，b ）上均匀分布的随机变量，如果它是连续型随机变量，具有概率密度函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,1)(b x a a b x f记作),(~b a U ζ, 它的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤--=b x a x bx a a b ax x F ,1,0,)( .服从均匀分布的实例例1 设随机变量]4,4[~-U ζ，试求方程 06442=+++ζζt t 有实根的概率.解 ζ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,044,81)(x x f ,=A 方程 06442=+++ζζt t 有实根}0)6(44)4{(2≥+⨯⨯-=ζζ}06{2≥--=ζζ}2{}3{-≤+≥=ζζ,}2{}3{)(-≤+≥=ζζP P A P⎰⎰-∞-+∞+=23)()(dx x f dx x f⎰⎰--+=24438181dx dx375.0838281==+=.二、指数分布若随机变量ζ的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f xλλ, (其中0>λ为常数)则称ζ服从参数为λ的指数分布. 它的分布函数为⎩⎨⎧≥-=<=⎰∞--x xx edt t f x x F 0,1)(0,0)(λ.服从指数分布的实际例子:指数分布在实际中有重要应用,它可以作为各种“寿命”ζ的近似分布.例如,无线电元件的寿命;动物的寿命;电话的通话时间;随机服务系统中的服务时间等都可以近似地用指数分布来描述.它在可靠性理论与工程中占有特别重要的地位.例2 设某电子元件的寿命ξ(以小时计)服从参数001.0=λ的指数分布.试求该元件至少能使用1000小时的概率.解 根据题意,ξ的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,001.0)(001.0x x ex f x,记=A 该元件至少能使用1000小时, 则 }1000{)(≥=ξP A P⎰+∞=1000)(dx x f ⎰+∞-=1000001.0001.0dx e x3679.0|)(11000001.0≈=-=-+∞-e e x .例题：设某人打一次电话所用的时间ζ服从参数为1/10（单位：分）的指数分布，当你走近电话室需要打电话，某人恰好在你面前开始打电话。
模式识别电子教材_北京航空航天大学
第一章引论1·1 概述1.1.1模式识别模式识别(Pattern Recognition)：确定一个样本的类别属性（模式类）的过程，即把某一样本归属于多个类型中的某个类型。
样本（Sample)：一个具体的研究（客观）对象。
如患者，某人写的一个汉字，一幅图片等。
模式(Pattern)：对客体（研究对象）特征的描述（定量的或结构的描述），是取自客观世界的某一样本的测量值的集合（或综合）。
特征(Features)：能描述模式特性的量（测量值）。
在统计模式识别方法中，通常用一个矢量表示，称之为特征矢量，记为模式类(Class)：具有某些共同特性的模式的集合。
1.1.2 模式识别系统⑴特征提取从模式空间中选择最有利于模式分类的量作为特征，压缩模式维数，以便于处理，减少消耗。
特征提取一般以分类中使用的某种判决规则为准则。
所提取的特征使在某种准则下的分类错误最少。
为此需要考虑特征之间的统计关系，选用适当的正交变换，才能提取出最有效的特征。
⑵特征选择特征选择同样需要某种分类准则，在该准则下选择对分类贡献较大的特征，删除贡献较小的那些特征。
⑶学习和训练根据已知类别的样本确定分类判决准则矫正特征提取选择方法等⑷分类识别分类是把特征空间划分成类型空间。
把未知类别属性的样本确定为类型空间里的某一类型。
分类错误率越小越好，分类错误率的分析和计算比较困难。
影响分类错误率的因数–分类方法–分类器设计–提取的特征–样本质量等1.1.3模式识别的基本方法㈠统计模式识别理论基础：概率论，数理统计主要方法：线性、非线性分类、Bayes决策、聚类分析主要优点：1）比较成熟2）能考虑干扰噪声等影响3）识别模式基元能力强主要缺点：1）对结构复杂的模式抽取特征困难2）不能反映模式的结构特征，难以描述模式的性质3）难以从整体角度考虑识别问题㈡句法模式识别模式描述方法：符号串，树，图模式判定：是一种语言，用一个文法表示一个类，m类就有m个文法，然后判定未知模式遵循哪一个文法。
北航数理统计课程简介
Pre-request Course References
课程的目的 与地位
距离判别，Bayes 判别，Fisher 判别 第八章 相关分析（6 学时） 主成分析，因子分析，典型相关分析
讲授及学习 方法
课堂教学、课后作业及实践性大作业相结合，每周授课 4 学时
考核方式 先修课程
平时考查结合期末闭卷考试 高等数学、线性代数、概率论 作 是 为 校 师 是 者 否 本 教
参 考 书 主 要 参 考 书
名称
作者
出版社
出 版 时间
教材类别
数理统计
孙海燕等
试用版
2012
应用数理统计 数理统计
韩於羹 赵选民等 陈希孺
北京航空航天大 学出版社 科学出版社 科学出版社
1993 2002 1997
否 否 否
数理统计引论
Bickel, P. Mathematical Statistics, Basic J., ay Inc. 1977 Ideas and Selected Topics, Doksum, K.A. 教材类别指是否为“各级精品教材” 、 “全国研究生教学用书” 、 “国防系列教材”或“专著”等等
否
课程简介
课程代码 学时/开课季 节 课程内容关 键词（3 个） 48 / 秋 课程名称 数理统计 B 本课程英 Mathematical Statistics 文名称 估计和检验、回归分析、方差分析和试验 任课教师 设计、相关分析 应用数理统计是全校工科硕士研究生的重要公共基础课，也是一门应用性很广泛的数学 课。通过本课程的学习，使学生掌握数理统计的应用背景、基本原理和研究方法，了解基本 理论，着重培养学生应用数理统计方法分析问题和解决问题的能力，为培养合格的理论和应 用人才服务。 第一章 绪论（4 学时） 1） 数理统计学发展简史及其研究范畴，数据采集和整理 2） 基本概念：总体、样本、统计量及充分统计量 3） 抽样分布 第二章 参数估计（10 学时） 1） 参数的频率替换估计，矩估计和极大似然估计 2） 无偏估计，完全统计量，一致最小方差无偏估计 3） 信息不等式，优效估计，相合估计 4） 区间估计 第三章 假设检验（9 学时） 1） 参数假设检验的基本问题和 Neyman-Pearson 思想简介 2） 单个正态总体和两个正态总体参数的假设检验 课程的主要 章节学时分 配 3） 似然比检验 4） 检验优良性简介 5） Pearson 检验 第四章 回归分析（7 学时） 1） 一元线性回归，最小二乘估计，回归方程和回归系数检验，预测与控制 2） 多元线性回归，回归方程和回归系数检验 3） 多项式回归，一元曲线回归关 第五章 方差分析与正交设计（6 学时） 1） 基本概念，单因素方差分析 2） 双因素方差分析 3） 正交试验设计的直观分析及正交表 4） 正交试验设计的方差分析 第六章 多元正态总统的统计推断（2 学时） 多元正态分布的定义，参数估计与检验理论 第七章 判别分析（4 学时）
北京航空航天大学概率统计2012-2013(1)期末考卷A及AB卷答案
北京航空航天大学概率统计2012-2013(1)期末考卷A及AB 卷答案北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2012－2013学年第一学期期末考试统一用答题册考试课程概率统计A （A09B204A）概率统计B（A09B204B）A（试卷共6页，五道题）班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________2013年元月18日10:30--12:30一、单项选择题（每小题4分，满分36分）1、设随机变量X 存在数学期望EX 和方差0DX ≠,则对任意正数ε,下列不等式恒成立的是 。
（A ）2{||}DXP X EX εε-≥>； （B ）2{||}1DXP X EX εε-<<-；（C ）21{||}P X DX ε≥≤； （D ）22||{||}E X P X εε≥≤。
2、设事件A 、B 同时发生时,事件C 必然发生,则下列结论成立的是 。
(A) 1)()()(-+≥B P A P C P ； (B) )()(B A P C P +=；(C) )()(AB P C P =； (D) ()()()()P C P A P B P A B ≤+-+ 。
3、对随机事件B A ,,下列命题正确的是 。
（A ）如果B A ,互不相容,则B A ,也互不相容； （B ）如果B A ,互逆,则B A ,也互逆 ；（C ）如果B A ,互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则B A ,相互独立； （D ）如果B A ,相容,则B A ,也相容。
4、设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，则有{max{,}}P X Y z ≤= 。
（A ）1{,}P Xz Y z ->> ， (B) {}{}P X z P Y z ≤+≤,(C) (,)F z z , (D) 1(,)F z z -。
北航 概率统计课件 1.2
9点
10点
P( A) 10 1 60 6
几何概型 设样本空间是一个有限区域S，若样本点
落入S内任何区域A 中的概率与区域A 的测度 成正比，则样本点落入A内的概率为
P( A)
A的测度 S 的测度
L( A) L(S)
几何概型的性质：
非负性：A S, P(A) 0
规范性： P(S) 1
规范性： P( ) 1
可列可加性：P
i1
Ai
i1
P( Ai )
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1, A2, An为两两互斥事件，
P n
i1
Ai
n i1
P( Ai )
例3 5个有区别的球随机的放入10个盒内，求
恰有且仅有2个球放在同一盒内的概率。
C2(P4 P2)
P 5 10
10
105
以放球的方法为 样本！
例4 （分房问题）设有 k 个不同的球，每个球 等可能地落入 N 个盒子中（k N）, 设每 个盒子容纳的球数无限，求下列事件的概 率
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
§1.2 概率的定义及其性质
古典定义
几何定义
统计定义
概率的公理化定义
我的邮箱：jqx_zhq@
课程邮箱：buaaprobability @
密 码：
111222
等可能（古典）概型
定义 设 E 是一随机试验，它具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件发生的可能性大小相同 则称 E 为 等可能概型
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n
P ( Bi ) P ( A | Bi )
,
1
i 1,2, , n ,(1.11)
注 : 这 两 个 公 式 当 n 时,(条件也变为可列个事件),也有 相应的公式.
P ( A) P ( Bi )P ( A | Bi )
i 1
, .
P ( Bi | A)
则有如下结论 (I)对任意事件 A ，恒有
P ( A) P ( Bi )P ( A | Bi ) ;
i 1 n
(1.10)
(II)对任意事件 A( P ( A) 0) ，有
P ( Bi | A) P ( ABi ) P ( A)
P( B j ) P( A | B j )
j 1
.
由于收到信号不清时, 原发 信号为 “0” 概率较之原发信号为 “1” 的概率为大,因此通常应推断原发 信号为“0”.
3
例 5 甲袋中装有 3 只红球、2 只白球,乙袋中装有红、 白球各 2 只. 从甲袋中任取 2 只球放入乙袋,然后 再从乙袋中任意取出 3 只球. (1) 求从乙袋中至多取出 1 只 红球的概率; (2) 若从乙袋中取出的红球不 多于 1 只,求从甲袋中 取出的 2 只全是白球的 概率. 解 令 A 从乙袋中至多取出 1 只红球, Bi 从甲袋中恰好取出 i 只红球, ( 2 i 只白球), i 0 ,1, 2 ; (1) 易知 B0 , B1 , B2 互不相容, B0 B1 B2 S ,且
P( A | B) P( A | B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( A) , P( B) P( B) P ( A B ) P ( A AB ) P( B) P( B)
P ( A) P ( AB ) P ( A) P ( A) P ( B ) P( B) P( B) P ( A)(1 P ( B )) P ( A) , P( B)
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 , 4 1 , 4 1 , 4 1
P( AB) 1 P( B) 1 , 6 1 , 36
成立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 即 A 与 B 相互独立。
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(这与实际感觉到的相符). 特殊事件的性质: (1) 若 P (C ) 0 ,则对任意事件 B , CB C , 0 P (CB ) P (C ) 0 , P (CB ) 0 P (C ) P ( B ) , C 与 B 相互独立; 特别 与 B 相互独立. (2) 若 P(C ) 1 ,对任意事件 B , 由 C C S 且 CC 知 P(C ) 0 , P( BC ) 0 , 且 P( B) P{B(C C )} P( BC) P( BC ) P( BC) , 故 P(CB ) P( B) P(C ) P( B) , 即 C 与 B 相互独立; 特别 S 与 B 相互独立. (3) 设 A 为事件,若对任意事件 B ,都 有 A 与 B 相互独立,则有 P( A) 0 或 P( A) 1 . 事 实 上 , P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 对 任 意 事件 B , 特别取 B A ,则
于是 P( A | B) P( A | B) 充分性 已知 P( A | B) P( A | B) ,
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由 P( A | B)
P ( AB ) P( B) , P ( A B ) P ( A AB ) P( B) P( B)
P( A | B)
P ( A) P ( AB ) 1 P( B) ,
7
P ( A) P ( AA) P ( A) P ( A) ,
于是有 P( A) 0 或 P( A) 1 ,再由(1)和 (2)得证. 事件相互独立判别法: 定理三 对任意事件 A 、 B , 且 P ( B ) 0 ,则 A 与 B 独立的充分必要 条件是 P ( A | B ) P ( A) . 证明 必要性 已知 A 与 B 独立,即 有 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 于是
,
故由全概率公式得
P ( A) P ( Bi )( A | Bi )
i 0 2
1 4 6 1 3 1 11 ; 10 5 10 2 10 5 25
0
(2) 易知要求概率 P( B 由贝叶斯公式得
| A) ,
1 4 P ( B0 ) P ( A | B0 ) 10 5 2 P ( B0 | A) 11 P ( A) 11 25
.
第五节
事件的独立性
一般情况下,条件概率
P( A | B) P ( AB ) P ( A) , P( B)
这说明事件 B 的发生对于事件 A 发生的概率有影响.
5
如果事件 B 的发生不影响事件 A 发生的概率, 即 P( A | B)
P ( AB ) P ( A) , P( B)
便得 P ( AB ) P ( A) P ( B ) . 我们把具有这种性质的两个事 件 A 与 B 称为是相互独立的,即有 定义 8 对任意两个事件 A 、 B , 若成立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 则称 A 与 B 相互独立,简称独立. 例 把一颗匀称的骰子连续掷两 次,观察出现的点数。 A 第一次掷出 5 点, B 第二次掷时出 5 点, 则显然有 P( A) 6 ,
得出
P ( AB ) P ( A) P ( AB ) P( B) 1 P( B) ,
P ( AB )(1 P ( B )) P ( B )( P ( A) P ( AB )) ,
于是 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 即得 A 与 B 独立. 独立事件的性质 定理四 若 A 与 B 独立,则 (1) A 与 B 独立; (2) A 与 B 独立; (3) A 与 B 独立. (结论的直观理解) 证明 (1)因 AB B A B A B AB , AB B , 故
P ( AB ) P ( B ) P ( AB ) P ( B ) P ( A) P ( B )
10
(1 P ( A)) P ( B ) P ( A) P ( B )
,
由定义知, A 与 B 独立; (2)同理可证或由 A 与 B 的地 位对称性,得 A 与 B 独立; (3) A 与 B 独立，推得 A 与 B 独立，利用(1)， 得 A 与 B 独立． (或 P( AB) P( A B) 1 P( A B)
2
为 1、不清和 0 的概率分别为 0.9,0.1 和 0.如果在发报过程 中 0 和 1 出现的概率分别是 0.6 和 0.4,当收到信号不清时,原 发信号是什么？试加以推测. 解 设 B1 原发信号为 “0” , B2 原发信号为“1”, A 收到信号“不清”, 由贝叶斯公式得
P ( B1 | A) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 )
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定理三＇ 对任意事件 A 、 B , 且 P ( B ) 0 , P ( B ) 0 ，则 A 与 B 独立的 充分必要条件是 P( A | B) P( A | B) . (独立涵义直观理解的公式化) 证明 必要性 已知 A 与 B 独立,即 有 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 从而
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则称 n 个事件 A1 , A2 , , An 是两两独立 的. (2)若事件 A1 , A2 , , An 满足条件: 对任意整数 k ( 2 k n )和 1 i1 i2 ik n , 恒有 P( Ai Ai Ai ) P( Ai ) P( Ai ) P( Ai ) , 则称 n 个事件 A1 , A2 , , An 相互独 立. (3) 对 于 可 列 无 穷 多 个 事 件 A1 , A2 , , An , ,若其中任意有限多个 事件都相互独立, 则称可列无穷多 个事件 A1, A2 , , An , 相互独立.
P( A | B) P ( AB ) P ( A) P ( B ) P ( A) ; P( B) P( B)
充分性 已知 P ( A | B ) P ( A) , 即得
P ( A) P ( A | B ) P ( AB ) P( B) ,
从而 P ( AB ) P ( A) P ( B ) , 即得 A 与 B 独立.
1 2 k 1 2 k
显然,若事件 A1 , A2 , , An 相互独立, 则事件 A1 , A2 , , An 是两两独立的; 反之,若事件 A1 , A2 , , An 是两两 独立的,事件 A1 , A2 , , An 未必相互独 立.
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例如 S {1,2,3,4} (比如正四面体), A1 {1,2}, A2 {2,3} , A3 {1,3} 显然 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 2 ,
i 2 i C3 C2 P( Bi ) C 52
1 10 , i 0 6 ,i 1 10 3 10 , i 2
;
又
4
0 3 1 2 C2 i C 4 i C 2 i C 4 i P ( A | Bi ) 3 C6
4 5 ,i 0 1 ,i 1 2 1 5 , i 2
0 .6 0 .2 0.75 , 0 .6 0 .2 0 .4 0 .1