初三数学专题几何最值问题
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初三数学专题:几何最值问题解法探讨 姓名_______
在平面几何的动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为最值问题。 解决平面几何最值问题的常用的方法有:(1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值;(2)应用垂线段最短的性质求最值;(3)应用轴对称的性质求最值;(4)应用二次函数求最值;(5)应用其它知识求最值。
一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值:
1.在锐角三角形ABC 中,BC=24,∠ABC=45°,BD 平分∠ABC,M 、N
分别是BD 、BC 上的动点,则CM+MN 的最小值是 。
2.如图,∠MON=90°,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ,ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,矩形ABCD 的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D 到点O 的最大距离为【 】
A 21
B 5
C .1455 5
D .52
二、应用垂线段最短的性质求最值:
1.如图,点A 的坐标为(-1,0),点B 在直线y x =上运动,当线段AB 最短
时,点B 的坐标为【 】
A.(0,0)
B.(2
1-,21-) C.(22,22-) D.(22-,22-) 2.如图,⊙O 的半径为2,点O 到直线l 的距离为3,点P 是直线l 上的一个动点, PQ 切⊙O 于点Q ,则PQ 的最小值为【 】
A .13
B .5
C .3
D .2
3.如图,等腰梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M 是BC 的中点.
(1)求证:△MDC 是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
三、应用轴对称的性质求最值(“将军饮马”):
1. 如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,则△ABP的
周长的最小值为.
2.如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为【】
A.130° B.120° C.110° D.100°
3.某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同
一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为A(2,3),B (12,7)。
(1) 若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短?
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到张村、李村的距离
相等?
四、应用二次函数求最值:
1.正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC.CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,当BM= cm时,四边形ABCN的面积最大,
最大面积为 cm2.
2.如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个
等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是.
3.如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀
速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作
匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<10
3
)秒.解
答如下问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BO?
(2)设△AQP的面积为S,
①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.
五、应用其它知识求最值(如圆中相关知识):
1.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是________.
2.已知⊙O的半径为1,圆心O到直线l的距离为2,过l上的点A作⊙O的切线,
切点为B,则线段AB的长度的最小值为【】
A.1 B. 2 C. 3 D.2
3.在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,
旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A1B1C.
(1)如图1,当AB∥CB1时,设A1B1与BC相交于点D.证明:△A1CD是等边三角形;
(2)如图2,连接AA1、BB1,设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2.求证:S1∶S2=1∶3;
(3)如图3,设AC的中点为E,A1B1的中点为P,AC=a,连接EP.当θ=°时,
EP的长度最大,最大值为.