(完整版)概率论第三章答案

习题3-1

1.

而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律.

解 由12

{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =⋅==

≠, 所以X 1和X 2

不独立.

2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.

解 从7只球中取4球只有354

7

=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红

球有j 只(余下为白球4i j --

只)的取法为

4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4.

于是有

022

322

1{0,2}35

35

P X Y C C C ====,111322

6{1,1}35

35

P X Y C C C ====,

121322

6

{1,2}35

35

P X Y C C C ====,202322

3

{2,0}35

35

P X Y C C C ====

,

211

322

12{2,1}35

35P X Y C C C ====

,220

322

3{2,2}35

35P X

Y C C C ===

=

,

301

322

2

{3,0}3535P X Y C C C ===

=, 310

322

2

{3,1}3535

P X Y C C C ====,

{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.

3. (,)(6),02,24,

0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩

其它

求: (1) 常数k ; (2)

{1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.

解 (1) 由

(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞

-∞

=⎰⎰

, 得

24

2

422

2

2

04

2

11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰

, 所以

1

8

k =

. (2)

312

1,3

1{1,3}d (6)d 8

(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<=

=--⎰⎰

⎰⎰

1

3

220

1

1

(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3)

1.51.5

{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞

-∞

-∞

<=

=⎰⎰

⎰

4 1.52

1d (6)d 8

y x y x --=⎰⎰

1.5

4

22

01

1(6)d 82y x x y =--⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦⎰ 421633

()d 882y y =-⎰ 2732

=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此

{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈

(,)d d G

f x y x y =⎰⎰4420

1

d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰

44220

11

(6)d 82x

y x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰

4

22

1

1[(6)(4)(4)]d 82y y y y =

----⎰ 42211

[2(4)(4)]d 82

y y y =-+-⎰ 4

23211

(4)(4)86y y =----⎡

⎤⎢⎥⎣⎦23

=.

图3-8 第4题积分区域

4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2(,),1,01,

0,

f x y kxy x y x =⎧⎨

⎩≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2

{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.

解 由21

1

14

01(,)d d d (1)d 26

x

k k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞

-∞

==

==

-⎰⎰

⎰⎰⎰,解得6=k .

因而

21

1

240

1

{(,)}d 6d 3()d 4

x

x

P X Y G x xy y x x x x ∈==-=

⎰⎰⎰. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为

4.8(2),01,0,

(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨

⎩

≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.

解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而,

有

024.8(2)d ,01,

()(,)d 0,

2.4(2),01,0,

x

X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞

-<<==-<<=⎧⎪⎨

⎪⎩⎧⎨

⎩⎰⎰

其它.其它. 124.8(2)d ,01,

()(,)d 0,2.4(34),01,0,

y

Y y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞

-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨

⎩⎰⎰

其它.其它.