初三数学圆专题综合

圆的综合（一）

例题精讲

【例1】 如图，在O 中，弦AE BC ⊥于D ，6745BC AD BAC ==∠=︒，，

（1）求O 的半径， （2）求DE 的长．

【难度】3星

【解析】第一问利用的是圆周角的度数为圆心角的一半，第二问利用的是垂径定理

【答案】（1）连接BO CO 、，作OF BC ⊥、OG AE ⊥，∵OB OC =，290BOC BAC ∠=∠=︒，

又∵

6BC =，∴

OB =

，∴OB = （2）∵1

32

OF BC ==，又∵90OGF OFB GDF ∠=∠=∠=︒，

∴四边形OGDF 是矩形，∴3GD OF ==，∴734AG AD DG =-=-=， ∴1

4312

DE GE GD AE GD =-=-=-=

【巩固】（2010•珠海）如图，ABC △内接于O ，AB =6，AC =4，D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的

中点，连接PA PB PC PD 、、、．

（1）当BD 的长度为多少时，PAD △是以AD 为底边的等腰三角形？并证明；

（2）去BC 的中点E

，连接PE ，若CE PC =

PA 的长．

【难度】3星 【解析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；

（2）根据相似三角形的知识和垂径定理进行求解．

【答案】（1）当4BD AC ==时，PAD △是以AD 为底边的等腰三角形．

∵P 是优弧BAC 的中点， ∴PB =PC ． ∴PB PC =．

∴当4BD AC PBD PCA PBD PCA ==∠=∠，，≌△△．

∴PA PD =，即PAD △是以AD 为底边的等腰三角形．

（2）由（1）可知，当4BD =时，PD PA =，642AD AB BD =-=-=，

过点P 作PE AD ⊥于E ，则112

AE AD ==．

∵PCB PAD ∠=∠，90PFA PEC ∠=∠=︒

∴PAF PCE △∽△，CE AF

PC

PA

=

，又∵

CE PC =∴PA

【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以

及垂径定理．

【例2】 （2005•内江）如图所示，

O 半径为2，弦BD =，A 为BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且

在BD 上，求四边形ABCD 的面积．

B

【难度】3星

【解析】由A 是BD 的中点，根据垂径定理，可知OF BD ⊥，且1

2

BF DF

BD ==在Rt BOF

△中，利用勾股定理，可求出OF =1，即1

AF =，那么，12

ABD S DB AF =⨯⨯△

E 是

AC 中点，会出现等底同高的三角形，因而有=2ABD

S S =四边形△

【答案】连接OA 交BD 于点F ，连接OB ，

B

∵OA 在直径上且点A 是BD 中点 ∴

OA BD ⊥，BF DF ==在Rt BOF △中

由勾股定理得222OF OB BF =-

OF

1

∵2OA = ∴1AF =

∴ABD S △∵点E 是AC 中点 ∴AE CE =

又∵ADE △和CDE △同高 ∴CDE ADE S S =△△

同理CBE ABE S S =

△

∴BCD CDE CBE ADE ABE ABD S S S S S S =+=+==△△△△

△△∴ABD BCD ABCD S S S =+=四边形△△．

【点评】本题利用了垂径定理、勾股定理，还有等底同高的三角形面积相等等知识．

【巩固】（2010•南平）如图所示，O 的直径AB 长为6，弦AC 长为2，ACB ∠的平分线交O 于点D ，

求四边形ABCD 的面积．

【难度】3星

【解析】四边形ADBC 可分作两部分：

①ABC △，由圆周角定理知90ACB ∠=︒，Rt ACB △中，根据勾股定理即可求得直角边BC 的长，进而可根据直角三角形的面积计算方法求出ABC △的面积； ②ABD △，由于CD 平分ACB ∠，则AD BD =，由此可证得ABD △是等腰直角三角形，即可根据斜边的长求出两条直角边的长，进而可得到ABD △的面积； 上述两个三角形的面积和即为四边形ADBC 的面积，由此得解．

【答案】∵AB 是直径，∴90ACB ADB ∠=∠=︒，

在Rt ABC △中，6AB =，2AC

=，

∴BC =； ∵ACB ∠的平分线交O 于点D ，∴DCA BCD ∠=∠； ∴AD DB =，∴AD BD =；

∴在Rt ABD

△

中，AD BD ==， ∴四边形ADBC 的面积=11

22

ABC ABD S S AC BC AD BD +=⋅+⋅△

△

(211

2922

=⨯⨯=+． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综

合应用能力．

【例3】 （2011•肇庆）己知：如图，ABC △内接于O ，AB 为直径，CBA ∠的平分线交AC 干点F ，交

O 于点D ，DF AB ⊥于点E ，且交AC 于点P ，连接AD ． （1）求证：DAC DBA ∠=∠

（2）求证：点P 是线段AF 的中点

（3）若O 的半径为5，152AF =，求DE

BE

的值．

B

A

【难度】3星

【解析】（1）根据圆周角定理得出DAC CBD ∠=∠，以及CBD DBA ∠=∠得出答案即可；

（2）首先得出90ADB ∠=︒，再根据90DFA DAC ADE PDF ∠+∠=∠+∠=︒，且90ADB ∠=︒得出 PDF PFD ∠=∠，从而得出PA PF =；

（3）利用相似三角形的判定得出FDA ADB △∽△即可得出答案．

【答案】（1）∵BD 平分CBA ∠，

∴CBD DBA ∠=∠，

∵DAC ∠与CBD ∠都是CD 所对的圆周角，