2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

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2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。

设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。

由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。

2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。

若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。

2012年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷及解析

2012年全国高中数学联赛山西赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）一、填空题1.123，…是一个等差数列，其中a1>0,S n表示前n项和．如果S3=S11，在S1,S2,S3，…中最大数为S k，则k=______．2.任作椭圆x 252+y232=1的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点A,B．则线段AB长度的最小值是______．3.在矩形ABCD中，已知AB=2,BC=3,E,F分别是AB,CD的中点，以EF为旋转轴将ΔFAB空间旋转90∘至ΔFA′B′．则四面体A′B′CD的体积为______．4.sin7.5∘+cos7.5∘=______．5.用1，2，．．．，7这七个数码排成一个七位数，使得其是11的倍数．则能排出的七位数的个数为______．6.若7n+1,8n+1都能表示为成等比数列的三个互异正整数的和，则正整数n的最小值是______．7.设x,y∈[0,1]，函数f(x,y)=x√1−y+y√1−x的最大值是______．8.记A是集合M={1,2,⋅⋅⋅,2012}的20元子集，且A中的任两个元素之差为12的倍数，则这种子集A的个数是______．二、解答题9.抛物线的顶点为O、焦点为F．当动点P在抛物线上移动时，求距离比|PO PF|的最大值．10.已知ΔABC内接于⊙O,I是其内心，直线AI,BI分别与⊙O交于点D,E，过点I作直线l1∥AB，过点C作⊙O的切线l C，若l C与l1交于点F，证明：D,E,F三点共线．11.问：有多少种不同的方法将集合M={1,2,3,4,5}中的元素归入A,B,C三个（有序）集合，使得每个元素至少含于其中一个集合之中，这三个集合的交是空集，而其中任两个集合的交都不是空集?参考答案1.7【解析】1. 设公差为d ．则a n =a 1+(n −1)d ．由S 3=S 11⇒d =−213a 1<0．故a n =a 1+(n −1)(−213a 1)=a 113(15−2n )，而使a n ≥0最大的正整数n =7．2.8【解析】2.设切点P (5cosθ,3sinθ)．则椭圆在点P 的切线方程为cosθ5x +sinθ3y =1，其分别与x 轴、y 轴交于A (5cosθ,0),B (0,3sinθ)．所以AB 2=52cos 2θ+32sin 2θ．由柯西不等式得52cos 2θ+32sin 2θ=(52cos 2θ+32sin 2θ)(cos 2θ+sin 2θ)≥(5+3)2=82．因此，|AB |≥8．当tan 2θ=35时，上式等号成立． 3.2【解析】3.试题根据题意四面体A ′B ′CD 是以ΔA ′AB 为底面、以EF 为高的三棱锥，根据题意，V =13×12×2×2×3=2 4.√4+√6−√22【解析】4. 注意到，sin15∘=√1−cos30∘2=√8−4√316=√6−√24．则(sin7.5∘+cos7.5∘)2=1+2sin7.5∘⋅cos7.5∘=1+sin15∘=4+√6−√24．因为sin7.5∘+cos7.5∘>0，所以sin7.5∘+cos7.5∘=√4+√6−√22．5.576．【解析】5.设n 是满足条件的一个七位数，a,b 分别是其奇数数位、偶数数位的数码和．则a +b =28,a−b为11的倍数．由于a+b与a−b同奇偶，故均为偶数．显然，|a−b|≠22，只有a−b=0．于是，a=b=14．因为1，2，…，7中的三数和为14，所以只有以下四种情形：{1,6,7},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}．在每种情形下，它们只能排在偶数数位，剩下四数和也是14，它们应排在奇数数位，因此，共得到4×6×24=576个这样的七位数．6.6【解析】6.注意到，当n=6时，7n+1=43=1+6+62，8n+1=49=32+3×5+52均为成等比数列的三个正整数的和．当n≤5时，易知，7×1+1=88×2+1=178×3+1=257×4+1=298×5+1=41均不能表示为成等比数列的三个互异正整数的和．因此，正整数n的最小值为6．7.1【解析】7.由于x,y∈[0,1]，则x≤√x,y≤√．令x=sin2α,y=sin2β（α,β∈[0,π2]）．故f(x,y)=x√+y√1−x≤√x(1−y)+√y(1−x)=sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ=sin(α+β)≤1当且仅当α+β=π2时，上式等号成立，且x=√x,y=√y．此时，|x,y|=|0,1|．8.8C16820+4C16720【解析】8.对于x,y∈M ，若12|(x −y ) ，则称x,y 是“同类的”．于是，当n∈{1,2,⋅⋅⋅,8}时，n 的同类数有168个，对于其中每个n ，168元集合T n ={n +12k |k =0,1,⋅⋅⋅,167 }的任一个20元子集均符合条件，共得8C 16820个子集；当n∈{9,10,11,12}时，n 的同类数有167个，对于其中每个n ，167元集合T n ={n +12k |k =0,1,⋅⋅⋅,166 }的任一个20元子集也符合条件，共得4C 16720个子集．因此，所求集合个数为8C 16820+4C 16720．9.2√33【解析】9. 设抛物线方程为y 2=4ax （a >0）．则顶点为O (0,0)，焦点为F (a,0)．若抛物线上的动点坐标为P (x,y )，则(PO PF)2=x 2+y 2(x−a )2+y 2=x 2+4ax (x−a )2+4ax =x 2+4ax x 2+2ax+a 2．令x 2+4axx 2+2ax+a 2=t ．得(t −1)x 2+2a (t −2)x +ta 2=0．若t 使方程有实数解x ，则Δ=4a 2(t −2)2−4a 2t (t −1)≥0⇒4−3t ≥0⇒t ≤43．当取等号时，由x 2+4ax x 2+2ax+a 2=43⇒x =2a ⇒y =2√2a ．此时，P(2a,2√2a)．所以，(PO PF )2=t ≤43⇒|PO PF |≤2√33． 10.见解析【解析】10.如图1，设直线l 1与DE 交于点F 1，联结F 1C ．由熟知的定理知DC=DI,EC =EI ．于是，ΔIDE 与ΔCDE 关于直线DE 对称，即DE 是线段IC 的中垂线．故F1I=F1C，∠DCP=180∘−∠DCF1=180∘−∠DIF1=∠AIF1=∠IAB=∠IAC．又由弦切角性质，知直线CF1是⊙O的切线，从而，点F与F1重合，即D,E,F三点共线．11.1230【解析】11.如图2，考虑韦恩图所分成的七个部分，分别用x,u,v,w,a,b,c表示．现将M的元素填入各个部分中，由题意，知x处不能填数，而u,v,w处必须填有数字，且所填元素互不相同（否则，相同元素将归入x区域中）；a,b,c处可以填或不填数字，不同的区域中不再填有相同元素（否则，又将归入u,v,w中）．用u表示u处所填数字的个数，下同．由对称性，不妨按u≤v≤w情形列举，则有四种情形：（1）(u,v,w)=(1,1,1)；（2）(u,v,w)=(1,1,2)；（3）(u,v,w)=(1,2,2)；（4）(u,v,w)=(1,1,3)．对于情形（1），从M中各取一数分别置于u,v,w格，有5×4×3=60种方法，剩下两数各随意放入a,b,c格，共有32种方法．于是，情形（1）有60×9=540种．对于情形（2）中的u,v,w，含两个数的格有三种情形，对于其中任一情形，M中取两数放入一格，另外两格各放一数，有C52C31C21=60种，剩下一数放于a,b,c格之一，有3种方法．于是，情形（2）有3×60#3=540种．对于情形（3）中的u,v,w，含一个数的格有三种情形，对于其中任一情形，M中取一数放入一格，另外取两数放入一格，剩下两数放入另一格，有C51C42=30种．于是，情形（3）有3×30=90种．对于情形（4）中的u,v,w，含三个数的格有三种情形，对任一情形，M中取三个数放入一格，另外的两格各放一个数，有C53C21=20种．于是，情形（4）有3×20=60种．综上，共有540+540+90+60=1230（种）．。

2012年全国高中数学联赛广东预赛试题及解答

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--24222(54)(2).n n n n =+-+=-2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 36666cos 32sin()3,6f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1.3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++ 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k k a --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =.4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22 . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11- 解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-；若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=.由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种.所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=，因此梯形的周长为39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ 所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a bQ θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分22222222222)cos (sin )(2AQ AQ AQ AQ k a a k a b k b b ak +<+=+⋅+≤⇒θθ||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分2．（本小题满分20分）设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求222222()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ab ab S a b a ab b a ab b ab ab a b a b c a ab b ≤-+=⋅⋅⋅-++++++-+≤=≤=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除.因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)f f+>-，所以(1)10f -=，(1)1f =. ……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。

2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。

全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为________ 解：设3()3, [3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+；∵(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，∴根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知：3()3f x x x =-的最大值为18．（点评：用好特殊点，脱掉绝对值号．）2．在ABC ∆中，已知12AC BC ⋅= ，4AC BA ⋅=-，则AC =________ 解：16AC BC AC BA ⋅-⋅= ，16AC AC ⋅= ，所以4AC =．（点评：向量求模，必求其平方．）3．从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为________ 解：考虑取出三数从小到大成数列：当1d =时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组；当2d =时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形；从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：3620C =种情形；故概率为：632010P ==．（点评：有序分类，逐一列出，不会失解．）4．已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由2(4)40b i b ai ++++=，即2(44)()0b b b a i ++++=；得2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩a bi ⇒+=．（点评：复数相等原理、向量线性表出、多项式恒等属同类型问题，注意对应项的系数相等．）5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A B 、两点；若FAB ∆的面积为________ 解：由题可设斜率为 (0)k k >，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由对称知：1y 与2y 是互为相反数；DCBA将y kx =代入:C 223120x y --=；得：22(13)12k x -=，221213x k =-，22221213k k x k =-；由1211442S y y y =⨯⨯-==2112y =；∴22121213k k =-，2213k k =-；∴214k =，而0k >，∴12k =．（点评：圆锥曲线问题总是有点运算的，要有耐心，还要注意用好几何性质．） 6．已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________解：两边取对数得：2lg (lg )0k a =≥，∴1k ≥，即k 的取值范围是[1, )+∞．（点评：两边取对数，是个冷方法．）7．在四面体ABCD 中，5AB AC AD D B ====，3BC =，4CD =；该四面体的体积为________解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A 点在底面上的射影为三角形的外心；∴由直角三角形知它是为BD中点，故113432V =⋅⋅⋅=．（点评：注意用好平面几何的性质．）8．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________解：设公差为d ，公比为q ，则11112113113 (1)7 (2)215 (3)335 (4)a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩；（4）减（3）得：321120d b q b q +-=；（3）减（2）得：2118d b q b q +-=；上述两式相减：32111212 (5)b q b q b q -+=；（1）+（4）得：31112338a d b q b +++=，（2）+（3）得：21112322a d b q b q +++=；两式相减得，32111116b q b b q b q +--=（6）；从而(5)(6)，可得：314q q =+；∴3q =， 112, 2,1a d b ===； ∴12, 3n n n a n b -==，123n n n a b n -+=+．（点评：递推数列相加、相减是常规方法，相除则要细心观察．）9．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种．解：将7个数分成3类：（1）3k 的数为：27，48，75，有3个；（2）31k -的数为47，71，有2个；（3）31k +的数为37，55，有2个；要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有33A 种，每一类位置各有22A 种排法，故共有233233144A A =（）种排法．（点评：用特例进行分析，找到数与数之间的规律．）10．三角形的周长为31，三边, , a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________解：∵31, a b c a b c Z +++=∈、、，∴11c ≥；又∵a b c +>，∴15c ≤；∴c 的所有可能取值为：11，12，13，14，15；当11c =时，(, )a b 的取值为（9，11）（10，10），有2组；当12c =时，(, )a b 的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组；当13c =时，(, )a b 的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组；当14c =时，(, )a b 的取值为(3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组；当15c =时，(, )a b 的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组故满足要求的三元(, , )a b c 的个数为24．（点评：处理不定方程的常规方法是缩小范围．）二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11．在ABC ∆中，角, , A B C 对应的边分别为, , a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=；（2）22sin cos cos 2C A Ba bc +=+．证法一：（余弦定理法）（1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a ab ac a+-+-+=+==；（2）222222cos cos 22a c b b c a A B ac bc a b a b+-+-++=++ 22322322222()2ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc+-++---+==+而222222212sin1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，∴等式成立．证法二：（正弦定理法）（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin , 2sin b R B c R C ==，∴cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin b C c B R B C R C B R B C R A a +=+=+== （2）由（1）可知：cos cos b C c B a +=，同理有：cos cos a C c A b +=；∴cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+；即2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅； ∴22sin cos cos 2CA Ba bc +=+．（点评：三角恒等式的证明，通常是“由繁向简”，十分复杂的“作差得0”．） 12．已知, a b 为实数，2a >，函数()|ln | (0)af x x b x x=-+>；若(1)1f e =+，(2)ln 212e f =-+；（1）求实数, a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数, c d 满足c d >，1cd =，求证：()()f c f d <．解：（1）由题意可得：(1)1(2)ln 2ln 2122f a b e a ef b ⎧=+=+⎪⎨=-+=-+⎪⎩； ∵1a >，∴ln 2ln 222a a-=-，∴122a e b +=+，∴, 1a e b ==．（2）()ln 1af x x x=-+；设()ln a g x x x =-(0)x >；21()0eg x x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上递增； ∵()0g e =，∴0x e <<时，()0g x <；∴()ln 1ef x x x=-+，()f x 在(0, )e 上递减；当x e >，()0g x >，()ln 1ef x x x=-+在(,)e +∞上递增，即()f x 的减区间为(0, )e ，增区间为(,)e +∞．（3）1, 1d c c =>，()ln 1e f c c c=-+；11()()ln 1f d f ce c c ==-+ln 1ln 1ln 1c c c ce c c e e=++>++>++ln 1()cc f c e>-+=； ∴命题成立．（点评：注意同一道题中各小题关系，前面的可用作后面的结论．）13．如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM 上有一动点B ，1AB =，1OB >，线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点，求线段CD 长的取值范围．M BDOA证明：如图，设AO B θ∠=，∵OA OB =，∴O BA θ∠=，∴2BAO πθ∠=-，∵OA OC =，∴2OCA πθ∠=-，∴3BOC πθ∠=-， ∵D 为OB 的中点，∴cos cos OD OA θθ==；∴2222cos CD OC OD OCOD COD =+-∠21cos 2cos cos(3)θθπθ=+--21cos 2cos cos3θθθ=++231cos 2cos (4cos 3cos )θθθθ=++-4222578cos 5cos 18(cos )1632θθθ=-+=-+又3BOC AOB πθθ∠=-<∠=，2OCA OBA πθθ∠=->∠=；得3πθθ-<，2πθθ-<；∴43ππθ<<，∴211cos (, )42θ∈，∴271[,)322CD ∈；∴CD ∈．（点评：用解三角形的知识处理平面几何题，是高中平面几何一大特色．）14．设是, , , a b c d 正整数，, a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根；证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形．证明：由题设可知，a b d cab cd+=-⎧⎨=⎩，由于,,,a b c d 是正整数，考虑, , a b a c b c +++三个数：易知：()()2()a b a c a b c b c +++=++>+，()()2()a b b c b a c a c +++=++>+， ()()2()a c b c c a b a b +++=++>+，即, , a b a c b c +++中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， 2222222222222()()22()22()22()c a b c a b c c a b a b c c d c a b cd a b ab a b +++=++++=+++-=++=++=+又111()()(())()222S a c b c ab c a b c ab cd ab =++=+++=+=；故存在边长为,a c b c a b +++，（均为正整数）的直角三角形（a b +为斜边）符合题设要求．（点评：探索性问题求解时要大胆地猜测，这也是创造性思维的特点．）。

2012年全国高中数学联赛试题及解答

PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ．答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是（用最简分数表示）．解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1．（2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1；当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ．从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ．因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1．若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数．则 2a = 2k +1 m ．下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解．记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数．方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ．存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ，使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ．（2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。

2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)

2012年全国高中数学联赛河南省预赛（高二）试题本试卷满分140分一．填空题（满分64分）1.在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________.2.将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3.在ABC ∆中，26C B ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B之间的距离为M 到面ABC 的距离为_________________. 4.若锐角α=+α的度数为________________.5.函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()f a f b f c === ()f d ，则abcd 的取值范围是_________________.6.各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______ _.7.一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________.8.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012++++= _ _.二.（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABC π∠=，2AB EC ==，AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值.三.（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=. （1）当时0x >，求证：2()2f x x >+；（2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kx f x x +<+成立，求实数的值.四.（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++. （1）设n a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五.（本题满分20分）已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.。

2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案

F
B
C
E
＝ ( a b c )2 ＝64. 2
…………………16 分
三、解答题（本题满分 20 分）
已知椭圆ax22＋by22＝1 (a＞b＞0) 右焦点为 F，右准线 l 交 x 轴于点 N，过椭圆上一点 P 作
PM 垂直于准线 l，垂足为 M．若 PN 平分∠FPM，且四边形 OFMP 为平行四边形，
证明：e＞23．
y l
P
M
O
F
Nx
证法一：设点 P(x0,y0).由对称性，不妨设 y0＞0．
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 3 页共 5 页
四边形 OFMN 为平行四边形，所以 PM＝OF＝c，于是由 PM＝ac2－x0＝c，得 x0＝bc2. 又 xa022 +yb022＝1，得 y02＝b2(1－ ab24c2)．
2 22
22
2
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 2 页共 5 页
＝ 1 (b2+c2－2bccosA)+ 1 b2+ 1 c2+ 1 ab+ 1 ac + 1 bc
4
442
22
＝ 1 (a2+b2+c2+2ab+ 2ac +2bc)2＝ 1 (a+b+c)2＝64．
4
4
……………………16 分
别为 P、Q．求证：PQ 是以 AB 为直径的圆的一条切线．
E Q
D
H
C
A
O
O1 P
O2
B
证明：设 CP，DQ 相交于 E 点，
则∠BDQ＝180°－∠BAD＝∠CAB＝∠BCP．

2012年全国高中数学联赛试题详细解析

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；（2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时，求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。

2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准

2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选B.解：2222222221(1)()()111a b a b x x x x a b a b a b x x x x x x-+=+-+=++⋅+⋅≥+---. 当ax a b=+时，取得最小值2()a b +.2、选C.解：令1x =，得 231012122223n n n a a a a +++++=++++=-.又由1a 是x 的系数，n a 是n x 的系数知：1(1)1232n n a n +=++++=，1n a =，从而 1021(1)(1)6023122n n n n n n a a a +-++-=+++=---，故 1264n +=， 5n =. 3、选A.解：由已知得1)0()1()2(,1)1()0()1(,0)0(,1)1(-=-=-=--===-f f f f f f f f ，而函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f （2012）= f （2）=－1, 故选A . 4、选D.解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232012)20122013f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤的解集为3322a +≤≤，不等式 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故满足条件的a 值有无数多个.5、选B.解：因为2012536018032=⨯++，所以，sin(sin32)sin(sin32)0a =-=-<；sin(cos32)sin(cos32)0b =-=-<； cos(sin32)cos(sin32)0c =-=>；cos(cos32)cos(cos32)0d =-=>．又sin 32cos32<，故.c d a b <<<故选B. 6、选B.解：将1～5如图排列，123451,4,3,2,5a a a a a =====，此时最大数5两边是1,2，次大数4两边是1,3，所求和值1223344551a a a a a a a a a a ++++最小，任何调整都将使“和值”变大；此时1234515a a a a a ++++=，但是要和为17，因此还得增加2，由于5个数两两不同，故2增加在最大数5上，此时“和值”最小，最小值为：1223344551144332277143a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 120 .解：0151670)5()3(22=-+⇒=-⋅+b b a a b a b a （1）22(4)(72)073080a b a b a ab b -⋅-=⇒-+= （2）（1）-（2）化简得221b b a =⋅ ；（3）（1）×15+（2）×8化简得22b a =；（4）22222·2)-(.b b b a a b a b a =+-==- 设a b b -与的夹角为θ，则21··)(-=--=bb a bb a Cos θ，120θ=.2、38.解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证，1||HE B G ，||HE 平面1B FG ．故 1111B EFG E B FG H B FG G B FH V V V V ----===．而 198B FHS ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1．故 138B EFG V -=．3、13.解：画树状图可得 1(3P A =4染蓝色)=12.4、625.解：由已知及韦达定理，有 1235x x x ++=，1223315x x x x x x ++=，1231x x x =-，从而代数式222222112222333311()()()x x x x x x x x x x x x ++++++=333333233112122331x x x x x x x x x x x x ---⋅⋅--- =232323223333111122122331(551)(551)(551)(551)(551)(551)x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------⋅⋅--- =122331125(1)(1)(1)x x x x x x +-+-+- =312125(4)(4)(4)x x x --- =625. 5解：易知2a =，ce =. 而渐近线方程为0202x y bx y b ±=⇒±=.又右焦点到渐近线的距离为d b =，故b b e =⇒=⇒==.6、90 .解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种.因为321=+7610=+-，故（1）由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2）由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=.三、解答题（每小题20分，共60分） 1、解：（I ）若5a 为偶数，则21255=⇒=a a ， (i)若4a 为偶数，则42244=⇒=a a[1]若3a 为偶数，则84233=⇒=a a……………………………5分(1)若2a 为偶数，则168222=⇒=a a①若1a 为偶数，则3216211==⇒=a m a符合②若1a 为奇数，则516131==⇒=+a m m 符合 (2)若2a 为奇数，则378122=⇒=+a 3a ，但不论m 是奇数还是偶数，均不会使2a 的分母出现3. ……………………10分 [2]若3a 为奇数，则14133=⇒=+a 3a(1)若2a 为偶数，则21222=⇒=a a ①若1a 为偶数，则42211==⇒=a m a符合②若1a 为奇数，则312131==⇒=+a m m 舍去(2)若2a 为奇数，则01122=⇒=+a 3a ，但不论正整数m 是奇数还是偶数，均不会使2a 等于0. ……………………………15分(ii)若4a 为奇数，则312144=⇒=+a 3a ，但从正整数m 递推不可能使4a 的分母出现3（II ）若5a 为奇数，则011355=⇒=+a a ，但不论正整数m 是奇数还是偶数，均不会使5a 等于0.综上所述m 所有可能的取值为{32，5，4}. …………………………20分2、证明：如图，连结PA 、PB ，分别取PA 、PB 的中点E 、F ，则四边形PEMF 是平行四边形. …………………………5分于是，得PEM PFM ∠=∠, 又由12ME BP CF ==，12MF AP DE ==，MD MC =, 从而 DEM ∆≌MFC ∆，DEM MFC ∠=∠. ……………………10分故 PED DEM PEM MFC PFM PFC ∠=∠-∠=∠-=∠，又 2PED PAD ∠=∠，2PFC PBC ∠=∠，得 PAD PBC ∠=∠，由于 290PQA PDA ∠=∠=，290PQB PCB ∠=∠=，从而 P 、Q 、A 、D 和P 、Q 、B 、C 分别四点共圆.……………………15分于是，PQD PAD ∠=∠，PQC PBC ∠=∠，故 PQC PQD ∠=∠ ……………………………………20分3、解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. ………………5分因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x ………………………………10分 (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0，所以 222122212516400225,2516150kk x x k k x x +-=+-=+ 而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM ………………15分只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值. 当k=0时，||||BN BM ⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM . 但在22102516x y y +=≠上，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集. ……………………20分。

2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P 是函数2y x x=+〔0x >〕的图像上任意一点，过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是． 2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．假设正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．假设对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．〔用最简分数表示〕二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.〔本小题总分值16分〕已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ 〔1〕假设对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围；〔2〕假设2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.〔本小题总分值20分〕已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++〔1〕当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;〔2〕是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-假设存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；假设不存在，说明理由．11.〔本小题总分值20分〕如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．〔1〕求证：||||OA OC ⋅为定值；〔2〕当点A 在半圆22(2)4x y -+=〔24x ≤≤〕上运动时，求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、〔此题总分值40分〕如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。

2012年全国高中数学联赛加试试题(B卷)参考答案及评分标准

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因此，ＰＡＭ＝ＰＡ＋ＭＢ．所以ＡＭ＝ＭＢ１０分故ＭＮＢ． ⊥Ａ连结ＱＩ并延长，交ＡＮ于Ｃ，则ＣＱＢ． ⊥Ａ１１因而ＭＮＱ２０分 ∥Ｃ１因此，ＣＱ＝ＮＭ＝ＰＱ． ∠Ａ ∠Ａ ∠Ａ１故Ａ、Ｐ、Ｃ、Ｑ四点共圆３０分１从而∠ＡＰＣ１８０ ° －ＱＣ９０ ° ＝ＰＣ． ∠Ａ ∠Ａ１＝１＝所以点Ｃ即Ｃ、Ｉ、Ｑ三点共线１与点Ｃ重合，二、（本题满分４０分）给定整数ｎ＞１，设ａ，ａ， …，ａ记集合１２ｎ是互不相同的非负实数，Ａ＝{ ａａＢ＝{ ａａ }， } │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ．ｉ＋ｊｉｊ求 │Ａ │ 的最小值．这里， │Ｘ │表示集合Ｘ中元素的个数． │Ｂ │
２０１２年全国高中数学联赛加试试题（Ｂ卷）参考答案及评分标准
说明：
１、评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；２、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，１０分为一个档次，不要再增加其他中间档次．
一、（本题满分４０分）如图，圆Ｉ内切于圆Ｏ，切点为Ｐ，圆Ｏ的弦ＡＢ切圆Ｉ于点Ｑ，ＰＱ的延长线交圆Ｏ于点Ｍ，ＭＮ为圆Ｏ的直径．过点Ｐ作ＰＡ的垂线交ＡＮ于点Ｃ．求证：Ｃ、Ｉ、Ｑ三点共线．证明：作圆Ｏ，圆Ｉ的公切线ＰＤ，则∠ＭＰＤ＝ＱＰ． ∠Ａ
２｜ｘ１－Ａ｜ｎ－１＋｜ｘＡ｜＝｜ｘ＋１－Ａ｜＝０分３ｎ－ｎ－１槡ｘ１＋Ａｎ－１＋槡２由Ａ满足方程①知，１－Ａ＝－Ａ．又槡ｘ１＋Ａ＞Ａ＞１，ｎ－１＋

2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及参考答案

()()()()()()()()222222222221.201220102011201320140, .:20122010201120132014201220121201212012220122 20122012120124 20122,20122404k k k k k +⨯⨯⨯=>==+⨯⨯⨯=+-⨯+⨯-⨯+=+-⨯-=-=-=若则解所以8142.()()2.sin sin cos 3 .66:sin sin cos 366 2sin coscos 36cos 32sin 36 f x x x x f x x x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数的最小值为解() 1,2,,3sin sin 1.66x k k Z f x x x ππππ≥=-+∈⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时等号成立即函数的最大值为()()()()()()()()()2222222222113.,,,2,, .2111:,222421 0,2421,220,24bx f x a b ab f x f k k x ax bx b x b bx b x f x f k x x a ax ax a x abx b x bx k ax a x ab b ab a b a a +⎛⎫=≠⋅== ⎪+⎝⎭+++++⎛⎫⋅=⋅== ⎪+++++⎝⎭+++∀≠=++++=--=+设是常数且若是常数则解若对于均有是常数则有即()()()22222,2,1111 ,.244242ab a b bx b x b b f x f k x a ax a x a ≠=+++⎛⎫⋅==== ⎪+++⎝⎭因为所以于是即()()21224.33, .:31,30, 3,120, 390,2492.4x x x p p t t t p f t t t p f p f p p +-==>--==--=-->⎧⎪⎨⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎩-<<-若方程有两个不相等的正实数根则的取值范围为解令则设于是解得()()1112131415212223242531323334354142434445515253545512345123455.55,,,,,15,,,,,15,i i i i i j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a i a a a a a j ⨯≤≤≤≤如图是一个的数表其中成等差数列成等比数列每一列的24414311554442424144434544244244111554531155,4,2,10, .:6,4,16,22,2 4,2,1,22,211.a a a a a a a d a a d a a d a a d aq q aa a a a q qa a==-=⨯=-===+==+==+====±===⋅=±⨯=-公比都相等且则解于是从而于是可得所以()()()()()()()()()16.,ln 2, .21:ln 2,2,ln 2 1ln 2,1,0,1,0;1,,0; x x P y e Q y x PQ y e y x y x Q y x x x d f x xx f x xx f x x f x ======-=='=-=-''∈<∈+∞>若点在曲线上点在曲线上则的最小值为解注意到与的图像关于直线对称只需考虑点到直线的距离其中令则若则若则于()()())0,min 11ln 2,min 2min 1ln 2.x f x f PQ d ∈+∞==-==-是因此)7.441622,,, .:,16,,9,169,72,2,1,, a b a a a b b a b ⨯⨯=在一个的个小方格中填入个和个每个小方格至多填一个字母若相同的字母既不在同一行也不在同一列共有种排列方式解先填入第一个有种填法再填入第二个有种排法考虑到两个是相同的共有种排法现在填入第一个若第一个填入后两个分别与第一个同行或同列则第二))929,9,22,,888,32,23,,747,14255,,7255=3960.b b a b b b a b b ⨯=⨯=⨯=⨯个有种填法此时有种填法若第一个填入后有且仅有一个与第一个同行或同列则第二个有种填法此时有种填法若第一个填入后两个均与第一个不同行且不同列则第二个有种填法此时有种填法,这里共有种填法根据乘法原理共有种填法()()222228.,,80,112,156, .:,,,180,31112,313a b h h a h b a h b h b a a ab ππππππππππ+-=+-=+在一个直角梯形中上底长小于下底长若以它的下底为轴旋转所得旋转体的体积为以上底为轴旋转所得体积为以直角腰为轴旋转所得体积为则直角梯形周长为解设上底长为下底长为高为则有()2156,3,9,4, 16b h a b h π+====+解得从而非直角腰的长为于是直角梯形周长为二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.()()()22221.161,0,,,,,,,::cos ,sin ,, ,, x y a b A B a bP A B AP OA OP k P a b OP a OA AP a OP OA AP OAP OPA θθ+=>>=>===<=∠<∠=本小题分已知椭圆点分别为椭圆的左右顶点是椭圆上异于的一点满足证明直线的斜率满足证明设点坐标为则又于是从而,,3,,2322 tan tan AOP OAP OAP OAP OPA OPA k OPA πππππθ∠∠<-∠-∠∠=>∠=<==∠>可知于是所以()()()()()22222222222222222222222.20,,,3,.,,, ,9 3,,4,224 a b c a b c S a ab b b bc c c ca a a b c b bc c b c ca a a S a b a ab b a b a b c a b p ab q p q S a b a ab ++==-+-+-+≥≥-+≤-+≤≤-++++⎛⎫⎛⎫+=≤=≤≤=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤-本小题分令是非负实数求的最大值解:不妨设则于是设且于是()()()()()()()[)()()()()9222220,393, 93,92,9 0,2,0;2,,0,4 max 212, 12,2,1,0.q b q p q q q f q q q f q q q q f q q f q f q f S a b c ⎡⎤∈⎣⎦+=-≤-'=-=-⎛⎤''∈>∈< ⎥⎝⎦=====令则若则若则从而于是的最大值为在及其轮换时取得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222223.20:**,,*,.1,11|11|, 11|111,11,11,11|11,11,1,*,1|1,11,f N N x y N f x y f y x x y f f a b b a f f f f f f f f x y n n N f n f n f n f n f n →∈++==+++-⎡⎤⎣⎦+=+-===∈+++≤+≤本题满分分求所有函数使得对任意均有被整除解:令可得这里表示被整除即显见从而只能是令可得从而即()()()()()()()()()()222,*,1*,1|1,11,,,,*.n x n n N y n N f n f n f n f n f n n f n n f x x x N =∈=∈+++≥+≥==∈ 又令可得从而即于是经检验满足题意。

全国高中数学联赛江苏赛区试题解析

2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析一、填空题1. 当[3,3]x ∈-时,函数3()3f x x x =-的最大值为_______2. 在△ABC 中 ,已知12,4AC BC AC BA ⋅=⋅=-,则AC=_____3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率是_______4. 已知a R ∈,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实数根是b ,则a bi +的值为______5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线221124x y -=的右焦点为F,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A,B 两点。

若△FAB 的面识为l 的斜率为________6. 设为a 正实数, lg a k a =，则k 的取值范围是_________7. 在四面体ABCD 中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____ 8.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足: 113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有____ 种。

10．三角形的周长为31，三边为,,a b c 均为整数且 a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________二、解答题11.在∆ABC 中,角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,证明：(1) cos cos b C c B a +=； ⑵22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12．已知,a b 为实数, 2a >，函数()ln (0)af x x b x x=-+>，若(1)1f e =+ (2)ln212ef =-+(1)求实数,a b ； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若实数,,c d 满足,1c d cd >=,求证：()()f c f d <13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A 为圆O 上动点，在射线OM 上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB 交圆O 于另一点C,D 为线段OB 的中点，求线段CD 长的取值范围M BDOA14. 设,,,a b c d 是正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两根，证明：存在边长是正整数且面积为ab 的直角三角形。

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷及解析

2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知集合}.若非空集合A 满足:A 中各元素都加4后构成M 的一个子集,A 中各元素都减4后也构成M 的一个子集,则A =______.2.已知两条直线l 1:y =2,l 2:y =4,设函数y =3x 的图像与l 1、l 2分别交于点A 、B ,函数y=5x 的图像与l 1、l 2分别交于点C 、D .则直线AB 与CD 的交点坐标是______.3.对正整数n ,若n =pq(p ≥q,p 、q ∈N +),当p −q 最小时,则称pq 为n 的“最佳分解”,并规定f (n )=qp (如12的分解有12×1,6×2,4×3,其中,4×3为12的最佳分解,则f (12)=34).关于f (n )有下列四个判断:①f (4)=0;②f (7)=17;③f (24)=38;④f (2012)=4503.其中,正确判断的序号是______.4.已知△ABC 为等腰直角三角形,∠A=90° ,且AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a +b,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =a −b .若a =(cosθ,sinθ)(θ∈R),则S △ABC =______.5.在正四面体ABCD 中,AO⊥平面BCD ,垂足为O .设M 是线段AO 上一点,且满足∠BMC =90°,则AMMO =______.6.如图,Rt△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线x 2=2py (p >0)上,且斜边AB∥x 轴.则斜边上的高|CD |=______.7.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a 为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公差的等差数列则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元8.设p 、q 是两个不同的质数则p q−1+q p−1,被pq 除的余数是______.9.定义在R 上的函数()f x 满足：(1)1f =，且对于任意的x R ∈,都有1'()2f x <，则不等式22log 1(log )2x f x +>的解集为 __________________.10.从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔500m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为______m.二、解答题11.在ΔABC 中，已知AB=2，AC =1，且cos2A +2sin 2B+C 2=1．（1）求角A 的大小和BC 边的长；（2）若点P 在ΔABC 内运动（包括边界），且点P 到三边的距离之和为d ，设点P 到BC,CA 的距离分别为x,y ，试用x,y 表示d ，并求d 的取值范围．12.在平面直角坐标系中,以点C (t,2t),为圆心的圆经过坐标原点O ,且分别与x 轴、y 轴交于点A 、 B (不同于原点O ). (1)证明:△AOB 的面积S 为定值; (2)设直线l:y =−2x +4与⊙C 交于不同的两点M 、N ,且|OM |=|ON |,求⊙C 的标准方程.13.如图,锐角△ABC 内接于⊙O ,过圆心O 且垂直于半径OA 的直线分别交边AB 、AC 于点E 、F .设⊙O 在B 、C 两点处的切线交于点P .证明:直线AP 平分线段EF .14.已知数列{a n}满足a1=12,a n=2a n a n+1+3a n+1(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=1+1an(n∈N+),且对任意正整数n(n≥2),不等式∑1n+log3b k >m24nk=1恒成立,求整数m的最大值.15.对于任意的正整数n,证明:13−2+132+22+133−23+...+13n+(−2)n<76参考答案1.{5}【解析】1. 设M 1={x|x =m −4,m ∈M}={−3,−1,1,3,5},M 2={x|x =m +4,m ∈M}={5,7,9,11,13}由题设知A⊆M 1∩M 2={5}因为A 为非空集合,所以,A ={5}.2.(0,0)【解析】2.易知,A (log 32,2),B (log 34,4) ,C (log 52,2),D (log 54,4). 则k AB=4−2log34−log 32=2−0log 32−0=k OAk CD =4−2log54−log 52=2−0log 52−0=k OC .所以,O 、A 、B 和O 、C 、D 分别三点共线. 故直线AB 与CD 交于坐标原点O (0,0). 3.②④【解析】3. 注意到,4=2×2,7=7×1,24=6×4,2012=503×4.则f (4)=1,f (7)=17,f (24)=23,f (2012)=4503.故①、③不正确,②、④正确. 4.1【解析】4. 由题设知AB⊥AC,|AB |=|AC |.则{(a +b )⋅(a −b )=0,|a +b |=|a −b | ⇒{|a |=|b |,a ⋅b =0.因为|a |=1,所以,|b |=1.根据向量加、减法的几何意义得|a +b |=|a −b |=√2. 故S △ABC =12|a +b |⋅|a −b |=1. 5.1【解析】5.如图,联结OB .设正四面体ABCD 的棱长为a .则 OB =√33a,MB =√22a .故MO=√MB 2−OB 2=√66a =12AO =AM .从而,AMMO =1.6.2p【解析】6.设A (2pt 1,2pt 12),C (2pt 2,2pt 22).则B (−2pt 1,2pt 12).因为AC⊥BC ,所以,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ,即 4p 2(t 2−t 1)(t 2+t 1)+4p 2(t 22−t 12)2=0. 而|t 1|≠|t 2|,则t 22−t 12=−1.故|CD |=2|t 22−t 12|=2p7.500【解析】7.由题设,知获一、二、三等奖的概率分别为P 1=a,P 2=2a,P 3=4a .由P 1+P 2+P 3=1,得a =17.于是,P 1=17,P 2=27,P 3=47. 又获一、二、三等奖的奖金分别为ξ1=700,ξ2=560,ξ3=420.故E ξ=700×17+560×27+420×47=500(元).8.1【解析】8.因为p、q是不同的质数,所以,由费马小定理知p q−1≡1(modq).又q p−1≡0(modq),则p q−1+q p−1≡(modq).同理,p q−1+q p−1≡1(modp).故p q−1+q p−1≡1(modq).9.(0,2)【解析】10.先假设要完成21根电线杆的运栽,每次3根,设第k(k=1,2,…,7)次往返的路程为a k,则a1=2×600=1200,且a k+1=a k+2×150(k=1,2,…,6).所以,{a n}是首项为1200、公差为300的等差数列.故S7=7×1200+7×62×300=14700(m)但实际只运栽20根,那么必有一次运2根,其余6次均运3根.若运2根安排在第k(k=1,2,…,7)次,则a1,a2,…,a k−1均不变,a k,a k+1,…,a7各减少100m.故S7(k)=S7−100(8−k)=13900+100k.显然,当k=1,即第1次运2根,其余各运3根时,总的行程最小为14000m.11.（1）BC=√3;（2）[√32,√3]．【解析】11.试题（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC 的长；（2）利用三角形的面积相等用x ，y 表示d ，然后利用线性规划知识求得d 的取值范围.试题解析：（1）因为cos2A +2sin 2B+C 2=1，所以cos2A −cos(B +C)=0，即2cos 2A +cosA −1=0．解得：cosA =12或cosA =−1；又因为A∈(0,π)，所以A =π3；由余弦定理得：BC=2+AC 2−2AB •ACcosA =√3．（2）设点P 到AB 边的距离为z ，则有：S ΔABC=S ΔPBC +S ΔPAC +S ΔPAB =12(√3x +y +2z)；注意到：AB 2=AC 2+BC 2，所以ΔABC 是直角三角形；从而S ΔABC =12BC •CA =√32；所以12(√3x +y +2z)=√32，即z=12(√3−√3x −y)；所以d=x +y +z =12[(2−√3)x +y +√3]；又由于x,y 满足条件：{x ≥0y ≥012(√3−√3x −y)≥0；（线性规划问题）所以d 的取值范围是[√32,√3]．12.（1）4；（2）(x −2)2+(y −1)2=5【解析】12. (1)由题设知⊙C 的方程为(x −t )2+(y −2t )2=t 2+4t2即x 2+y 2−2tx −4t y =0.所以,A (2t,0),B (0,4t)故S=12|OA ||OB | =12|2t ||4t|=4(定值).(2)因为|OM |=|ON |,|CM |=|CN |, 所以,直线OC 垂直平分线段MN . 于是,k OC=−1k MN=12则l OC :y =12x 故2t=12t ⇒t =±2 当t=2时,圆心C (2,1),半径|OC |=5,此时,圆心C 到直线l 的距离为d =√5<√5,符合要求. 当t=−2时,圆心C(−2,−1),半径|OC |=√5,此时, 圆心C 到直线l 的距离为d =√5<√5,不符合要求.综上,⊙C 的方程为(x −2)2+(y −1)2=5.13.见解析【解析】13.如图,过点P 作EF 的平行线,分别与AB 、AC 的延长线交于点M 、N 则∠PMB =∠AEO =90°−∠OAE =∠ACB .因为PB 为⊙O 的切线,所以,∠PBM =∠ACB =∠PMB .于是,PM =PB 同理,PN =PC .因为PB=PC ,所以,PM =PN ,即AP 平分线段MN.而EF∥MN,故直线AP 平分线段EF.14.（1）a n =13n −1(n ∈N +)；（2）13【解析】14. (1)由a n =2a n a n+1+3a n+1 ⇒a n+1=a n 2a n +3⇒a n >0.故1an+1−3a n=2⇒1a n+1+1=3(1a n+1) 所以,(1an+1)是首项为3、公比为3的等比数列.故1a n +1=3n ⇒a n =13n −1(n ∈N +) (2)由(1)得b n =1+1a n=3n从而,log 3b k=k(k =1,2,…)故∑1n+log 3b k >m24nk=1⇔1n+1+1n+2+...+1n+n>m 24.令f (n )=1n+1+1n+2+...+1n+n .则f (n +1)−f (n ) =12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12n+2>0.因此,f (n )单调递增. 故f (n )min=f (2)=13+14=712.于是,712>m24⇒m <14. 因此,整数m 的最大值为13. 15.见解析【解析】15. 记a k=13k+(−2)k,S n =∑a k nk=1 先证明:对任意m∈N +,有a 2m +a 2m+1<432m+1事实上,a 2m +a 2m+1=132m+22m+132m+1−22m+1=32m+1−22m+1+32m +22m (32m +22m )(32m+1−22m+1)=4×32m −22m 34m+1+62m −24m+1<4×32m34m+1+62m [1−2(23)2m].因为1−2×(23)2m 单调递增,所以,1−2×(23)2m≥1−2×(23)2>0. 故a 2m +a 2m+1<4×32m 34m+1=432m+1再证明:对任意n ∈N +,有S n <76. 当n=1时,S 1=1<76 ,结论成立当n≥2时, 若n=2m +1(m ∈N +),则S n=S 2m+1=1+∑(a 2k +a 2k+1)mk=1<1+∑432k+1m k=1<1+427⋅11−19=76. 若n=2m(m ∈N +),则S n =S 2m <S 2m+1<76综上,对任意n∈N +,都有S n <76.。

2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析

10．三角形的周长为31，三边为,,a b c 均为整数且 a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________二、解答题11.在∆ABC 中,角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,证明：(1) cos cos b C c B a +=； ⑵22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12．已知,a b 为实数, 2a >，函数()ln (0)af x x b x x=-+>，若(1)1f e =+ (2)ln 212ef =-+ (1)求实数,a b ； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若实数,,c d 满足,1c d cd >=,求证：()()f c f d <13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A 为圆O 上动点，在射线OM 上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB 交圆O 于另一点C,D 为线段OB 的中点，求线段CD 长的取值范围M BDOA14. 设,,,a b c d 是正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两根，证明：存在边长是正整数且面积为ab 的直角三角形。

2012年全国高中数学联赛天津预赛试卷含详细答案

2012年高中数学联赛天津预赛试卷一、选择题1.（12天津预赛）数列}{n a 的前n 项和n n S n 22-=，则=+173a a(A)36 (B)35 (C)34 (D)332.（12天津预赛）若1>x ，则x x x x ln ln ln )(ln -的值是(A)正数 (B)零 (C)负数 (D)以上皆有可能3.（12天津预赛）如果ABC ∆中，B A ,为锐角，且C B A sin sin sin 22=+，则对ABC ∆的形状描述最准确的是(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)以上都不对4.（12天津预赛）设椭圆与x 轴交于B A ,两点，已知对于椭圆上不同于B A ,的任意一点P ，直线AP 与BP 的斜率之积均为21-，则椭圆的离心率为 (A)31(B)32(C)21 (D)21 5.（12天津预赛）在正四面体ABCD 中，M 、N 分别是BC 和DA 的中点，则直线AM 和BN 所成角的余弦值是 (A)31 (B)21 (C)32 (D)43 6.（12天津预赛）在半径为1的球面上有不共面的四个点A 、B 、C 、D ，且x CD AB ==，BC DA y ==，z BD CA ==，则222z y x ++等于(A)2 (B)4 (C)8 (D)16二、填空题7.（12天津预赛）函数],[,cos 1ππ-∈+=x x y 的图象与x 轴围成的区域的面积是 .8.（12天津预赛）已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，一条抛物线经过A 、B 、C 、D 四点，则该抛物线的焦点到准线的距离是 .9.（12天津预赛）如果复数z 满足1||=z ，且bi a z +=2，其中a 、b 为实数，则b a +的最大值为 .10.（12天津预赛）函数|10||2||1|-++-+-=x x x y 的最小值是 . 11.（12天津预赛）极限=---∞→)]11()311)(211[(222lim n n . 12.（12天津预赛）如果对一切正实数x 、y 不等式y x a x y 9sin cos 42-≥-都成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题13.（12天津预赛）如果双曲线的两个焦点坐标分别为)0,2(1-F 和)0,2(2F ，双曲线的一条切线交x 轴于)0,21(Q ，且斜率为2.（1）求双曲线的方程；（2）设该切线与双曲线的的切点为P ，求证：PQ F PQ F 21∠=∠.14.（12天津预赛）电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.将输出的前n 个数字之和被3整除的概率记为n P .证明：（1）)1(211n n P P -=+；（2）312012>P .15.（12天津预赛）已知三次函数c bx ax x x f +++=234)(（其中R c b a ∈,,）满足：当11≤≤-x 时，.1)(1≤≤-x f 求a 、b 、c 的所有可能取值.参考答案：1、C 。

全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为________ 解：设3()3, [3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+；因为(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知：3()3f x x x =-的最大值为18． 2．在ABC ∆中，已知12AC BC ⋅= ，4AC BA ⋅=-，则AC =________解：16AC BC AC BA ⋅-⋅= ，16AC AC ⋅= ，所以4AC =．3．从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为________ 解：考虑取出三数从小到大成数列：当1d =时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组；当2d =时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形；从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：3620C =种情形；故概率为：632010P ==． 4．已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由2(4)40b i b ai ++++=，即2(44)()0b b b a i ++++=；得2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩a bi ⇒+=．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于AB 、两点；若FAB ∆的面积为________ 解：由题可设斜率为 (0)k k >，11(,)A x y ，22(,)B x y ；将y kx =代入:C 223120x y --=；得：22(13)12k x -=，221213x k =-，22221213k k x k =-；由1211442S y y y =⨯⨯-==2112y =；DC BA所以22121213k k =-，2213k k =-；所以214k =，而0k >，所以12k =． 6．已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________解：两边取对数得：2lg (lg )0k a =≥，所以1k ≥，即k 的取值范围是[1, )+∞． 7．在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====，3BC =，4CD =；该四面体的体积为________解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A 点在底面上的射影为三角形的外心；所以即为BD中点，故113432V =⋅⋅⋅=． 8．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________解：设公差为d ，公比为q ，则11112113113 (1)7 (2)215 (3)335 (4)a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩；（4）减（3）得：321120d b q b q +-=；（3）减（2）得：2118d b q b q +-=；上述两式相减：32111212 (5)b q b q b q -+=；（1）+（4）得：31112338a d b q b +++=，（2）+（3）得：21112322a d b q b q +++=；两式相减得，32111116b q b b q b q +--=（6）；从而(5)(6)，可得：314q q =+；所以3q =， 112, 2,1a d b ===；所以12, 3n n n a n b -==，123n n n a b n -+=+．9．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种．解：将7个数分成3类：（1）3k 的数为：27，48，75，有3个；（2）31k -的数为47，71，有2个；（3）31k +的数为37，55，有2个；要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数，第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有33A 种，每一类位置各有22A 种排法，故共有233233144A A =（）种排法．10．三角形的周长为31，三边, , a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________解：因为31, a b c a b c Z +++=∈、、，所以11c ≥；又因为a b c +>，所以15c ≤；所以c 的所有可能取值为：11，12，13，14，15；当11c =时，(, )a b 的取值为（9，11）（10，10），有2组；当12c =时，(, )a b 的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组；当13c =时，(, )a b 的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组；当14c =时，(, )a b 的取值为(3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组；当15c =时，(, )a b 的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组故满足要求的三元(, , )a b c 的个数为24．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11．在ABC ∆中，角, , A B C 对应的边分别为, , a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=；（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+．证法一：（余弦定理法）（1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a ab ac a+-+-+=+==；（2）222222cos cos 22a c b b c a A B ac bc a b a b+-+-++=++ 22322322222()2ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc+-++---+==+而222222212sin 1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，所以等式成立．证法二：（正弦定理法）（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin , 2sin b R B c R C ==，所以cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin b C c B R B C R C B R B C R A a +=+=+== （2）由（1）可知：cos cos b C c B a +=，同理有：cos cos a C c A b +=；所以cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+；即2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅；所以，22sin cos cos 2C A Ba bc+=+．12．已知, a b 为实数，2a >，函数()|ln | (0)a f x x b x x=-+>；若(1)1f e =+，(2)ln212e f =-+；（1）求实数, a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数, c d 满足c d >，1cd =，求证：()()f c f d <．解：（1）由题意可得：(1)1(2)ln2ln2122f a b e a ef b ⎧=+=+⎪⎨=-+=-+⎪⎩； 1a > ，ln 2ln 222a a ∴-=-，122a eb ∴+=+，,1a e b ∴==．（2）()ln 1af x x x=-+；设()ln a g x x x =-(0)x >；1()0eg x x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上递增； ()0g e = ，0x e ∴<<时，()0g x <；∴()ln 1e f x x x=-+，()f x 在(0, )e 上递减；当x e >，()0g x >，()ln 1e f x x x=-+在(,)e +∞上递增，即()f x 的减区间为(0, )e ，增区间为(,)e +∞．（3）1, 1d c c =>，()ln 1ef c c c=-+； 11()()ln 1f d f ce c c ==-+ln 1ln 1ln 1c cc ce c c e e=++>++>++ln 1()cc f c e>-+=；所以命题成立．13．如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM 上有一动点B ，1AB =，1OB >，线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点，求线段CD 长的取值范围．M BDOA证明：如图，设, , AOB OA AB OBA θθ∠==∴∠= ；2, , 2BAO O A O C O CA πθπθ∠=-=∴∠=- ，于是3BOC πθ∠=-，∵D 为OB 的中点，cos cos OD OA θθ∴==；2222cos CD OC OD OCOD COD ∴=+-∠21cos 2cos cos(3)θθπθ=+--21cos 2cos cos3θθθ=++231cos 2cos (4cos 3cos )θθθθ=++-4222578cos 5cos 18(cos )1632θθθ=-+=-+ 又3BOC AOB πθθ∠=-<∠=，2OCA OBA πθθ∠=->∠=；得3πθθ-<，2πθθ-<；43ππθ∴<<，211cos (, )42θ∴∈，于是271[,)322CD ∈；[,)82CD ∴∈． 14．设是, , , a b c d 正整数，, a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根；证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形．证明：由题设可知，a b d cab cd+=-⎧⎨=⎩，由于,,,a b c d 是正整数，则, , a b a c b c +++中任两个数之和大于第三个数，且为正整数，2222222222222()()22()22()22()c a b c a b c c a b a b c c d c a b cd a b ab a b +++=++++=+++-=++=++=+又111()()(())()222S a c b c ab c a b c ab cd ab =++=+++=+=；故存在边长为,a c b c a b +++，（均为正整数）的直角三角形（a b +为斜边）符合题设要求．。

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因为在上是增函数,所以即又所以当时,
取得最大值因此, 解得故的取值范围是
7.【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当时, 由此得
所以
故满足的正整数的所有值分别为它们的和为 .
8.【答案】
【解析】用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为
.于是,有 ,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故
9.（本小题满分16分）已知函数
（1）若对任意，都有，求的取值范围；
（2）若，且存在，使得，求的取值范围．
10.（本小题满分20分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有
（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列 ;
（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，
在中,由余弦定理得
当且仅当时等号成立.故的最大值为1.
5.【答案】4
【解析】如图.连结 ,则平面 ,垂足为正的中心,且过球心 ,连结并延长交于点 ,则为的中点,且 ,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则
,从而 ,因为
所以即
所以 ,故
6.【答案】
【解析】由题设知 ,则因此,原不等式等价于
故
所以三点共线。Байду номын сангаас‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
二、【解析】证明:对任意的 ,设则如果是任意一个小于的正整数,则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于与中,一个为奇数,它不含素因子 ,另一个是偶数,它含素因子的幂的次数最多为 ,因此一定不是的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分
若 ,且设其中为非负整数, 为大于的奇数,
4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的
两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，
则的最大值是.
5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．
6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．
（1）求证：为定值；
（2）当点A在半圆（）上运动时，
求点的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角中，是边上不同的两点，使得设和的外心分别为，求证：三点共线。
存在使
此时因而是的倍数．‥‥‥‥‥40分
三、【解析】证法一:不妨设先证明:对任意正整数 ,都有
显然, 对均成立,只有时右边取等号……10分
所以,只要证明当时,有即可.
以为圆心, 为半径画个圆,它们两两相离或外切;以圆心，为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以 ‥‥‥‥‥‥‥30分
二、解答题
9.【解析】(1) 令则分
对任意 , 恒成立的充要条件是分
(2)因为所以所以分
因此于是,存在 ,使得的充要条件是
故的取值范围是分
10.【解析】(1)当时, ,由得 .当时, ,
由得或 ‥‥‥‥‥‥‥5分
当时, 若得或 ;若得 ;
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
因为所以 ‥‥‥‥‥15分
由(1)的结论得所以从而
故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 ‥‥‥‥‥‥20分
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、【解析】证明：如图.连接 ,过点作的垂线交的延长线于点 ,则
是的外接圆的切线.因此 ‥‥‥10分
因为
所以 ‥‥‥‥20分
因而是的外接圆的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分
7.满足的所有正整数的和是．
8.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向
直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是．
2.设的内角的对边分别为，且满足，
则的值是.
3.设，则的最大值是.
(2)令则从而
两式相减,结合得当时,由(1)知 ;
当时, 即
所以或 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分
又
所以 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
11.【解析】因为所以山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
如图,连结 ,则垂直平分线段 ,设垂足为 ,于是有
(定值)‥‥‥‥10分
(2)设其中则 .
参考答案及详细评分标准
2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1.【答案】-1
【解析】方法1:设则直线的方程为即
由
又所以故
2.【答案】4
【解析】由题设及余弦定理得 ,即故 .
3.【答案】
【解析】不妨设则
因为
所以
当且仅当时上式等号同时成立.故
4.【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
二、（本题满分４０分）
试证明：集合满足
（1）对每个，及，若，则一定不是的倍数；
（2）对每个（其中表示在Ｎ中的补集），且，必存在，，使是的倍数．
三、（本题满分５０分）
设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为
求证：
四、（本题满分５０分）
设，ｎ是正整数．证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于．这里，表示不超过实数ｘ的最大整数．
则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出(2)的三种证明方法:
证法一:令消去得
由于这方程必有整数解; 其中为方程的特解.
把最小的正整数解记为则 ,故使是的倍数．‥‥‥40分
证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组
在区间上有解即存在使是的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:由于总存在使取使则
由易知 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分