2012年全国高中数学联赛试题及详细解析
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4.抛物线 的焦点为 ，准线为ｌ， 是抛物线上的
两个动点，且满足 ．设线段ＡＢ的中点 在ｌ上的投影为 ，
则 的最大值是.
5．设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球．若正三棱锥 的侧面与底面所成的角为 ，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值是．
6.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
存在 使
此时 因而 是 的倍数．‥‥‥‥‥40分
三、【解析】证法一:不妨设 先证明:对任意正整数 ,都有
显然, 对 均成立,只有 时右边取等号……10分
所以,只要证明当 时,有 即可.
以 为圆心, 为半径画 个圆,它们两两相离或外切;以 圆心， 为半径画圆，这个圆覆盖上述 个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以 ‥‥‥‥‥‥‥30分
二、（本题满分４０分）
试证明：集合 满足
（1）对每个 ，及 ，若 ，则 一定不是 的倍数；
（2）对每个 （其中 表示 在Ｎ 中的补集），且 ，必存在 ， ，使 是 的倍数．
三、（本题满分５０分）
设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为
求证：
四、（本题满分５０分）
设 ，ｎ是正整数．证明：对满足 的任意实数 ，数列 中有无穷多项属于 ．这里， 表示不超过实数ｘ的最大整数．
(2)令 则 从而
两式相减,结合 得 当 时,由(1)知 ;
当 时, 即
所以 或 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分
又
所以 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
11.【解析】因为 所以 山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
如图,连结 ,则 垂直平分线段 ,设垂足为 ,于是有
(定值)‥‥‥‥10分
(2)设 其中 则 .
9.（本小题满分16分）已知函数
（1）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
（2）若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．
10.（本小题满分20分）已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 ，都有
（1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 ;
（2）是否存在满足条件的无穷数列 ，使得 若存在，
则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出(2)的三种证明方法:
证法一:令 消去 得
由于 这方程必有整数解; 其中 为方程的特解.
把最小的正整数解记为 则 ,故 使 是 的倍数．‥‥‥40分
证法二:由于 由中国剩余定理知,同余方程组
在区间 上有解 即存在 使 是 的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:由于 总存在 使 取 使 则
2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1.设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向
直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是．
2.设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，
则 的值是.
3.设 ，则 的最大值是.
故
所以 三点共线。‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
二、【解析】证明:对任意的 ,设 则 如果 是任意一个小于 的正整数,则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于 与 中,一个为奇数,它不含素因子 ,另一个是偶数,它含素因子 的幂的次数最多为 ,因此 一定不是 的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分
若 ,且 设 其中 为非负整数, 为大于 的奇数,
二、解答题
9.【解析】(1) 令 则 分
对任意 , 恒成立的充要条件是 分
(2)因为 所以 所以 分
因此 于是,存在 ,使得 的充要条件是
故 的取值范围是 分
10.【解析】(1)当 时, ,由 得 .当 时, ,
由 得 或 ‥‥‥‥‥‥‥5分
当 时, 若 得 或 ;若 得 ;
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
因为 所以 ‥‥‥‥‥15分
由(1)的结论得 所以 从而
故点 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 ‥‥‥‥‥‥20分
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、【解析】证明：如图.连接 ,过 点作 的垂线 交 的延长线于点 ,则
是 的外接圆 的切线.因此 ‥‥‥10分
因为
所以 ‥‥‥‥20分
因而 是 的外接圆 的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且 ．
（1）求证： 为定值；
（2）当点A在半圆 （ ）上运动时，
求点 的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角 中， 是 边上不同的两点，使得 设 和 的外心分别为 ，求证： 三点共线。
因为 在 上是增函数,所以 即 又 所以当 时,
取得最大值 因此, 解得 故 的取值范围是
7.【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当 时, 由此得
所以
故满足 的正整数 的所有值分别为 它们的和为 .
8.【答案】
【解析】用 表示第 周用 种密码的概率,则第 周末用 种密码的概率为
.于是,有 ,即 由 知， 是首项为 ，公比为 的等比数列。所以 ，即 ，故
参考答案及详细评分标准
2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1.【答案】-1
【解析】方法1:设 则直线 的方程为 即
由
又 所以 故
2.【答案】4
【解析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ由题设及余弦定理得 ,即 故 .
3.【答案】
【解析】不妨设 则
因为
所以
当且仅当 时上式等号同时成立.故
4.【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
在 中,由余弦定理得
当且仅当 时等号成立.故 的最大值为1.
5.【答案】4
【解析】如图.连结 ,则 平面 ,垂足 为正 的中心,且 过球心 ,连结 并延长交 于点 ,则 为 的中点,且 ,易知 分别为正三棱锥 的侧面与底面所成二角的平面角,则
,从而 ,因为
所以 即
所以 ,故
6.【答案】
【解析】由题设知 ,则 因此,原不等式等价于
7.满足 的所有正整数 的和是．
8.某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
由 易知 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
两个动点，且满足 ．设线段ＡＢ的中点 在ｌ上的投影为 ，
则 的最大值是.
5．设同底的两个正三棱锥 和 内接于同一个球．若正三棱锥 的侧面与底面所成的角为 ，则正三棱锥 的侧面与底面所成角的正切值是．
6.设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
存在 使
此时 因而 是 的倍数．‥‥‥‥‥40分
三、【解析】证法一:不妨设 先证明:对任意正整数 ,都有
显然, 对 均成立,只有 时右边取等号……10分
所以,只要证明当 时,有 即可.
以 为圆心, 为半径画 个圆,它们两两相离或外切;以 圆心， 为半径画圆，这个圆覆盖上述 个圆‥‥‥‥‥‥‥20分
所以 ‥‥‥‥‥‥‥30分
二、（本题满分４０分）
试证明：集合 满足
（1）对每个 ，及 ，若 ，则 一定不是 的倍数；
（2）对每个 （其中 表示 在Ｎ 中的补集），且 ，必存在 ， ，使 是 的倍数．
三、（本题满分５０分）
设 是平面上 个点，它们两两间的距离的最小值为
求证：
四、（本题满分５０分）
设 ，ｎ是正整数．证明：对满足 的任意实数 ，数列 中有无穷多项属于 ．这里， 表示不超过实数ｘ的最大整数．
(2)令 则 从而
两式相减,结合 得 当 时,由(1)知 ;
当 时, 即
所以 或 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分
又
所以 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分
11.【解析】因为 所以 山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分
如图,连结 ,则 垂直平分线段 ,设垂足为 ,于是有
(定值)‥‥‥‥10分
(2)设 其中 则 .
9.（本小题满分16分）已知函数
（1）若对任意 ，都有 ，求 的取值范围；
（2）若 ，且存在 ，使得 ，求 的取值范围．
10.（本小题满分20分）已知数列 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 ，都有
（1）当 时，求所有满足条件的三项组成的数列 ;
（2）是否存在满足条件的无穷数列 ，使得 若存在，
则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分
下面给出(2)的三种证明方法:
证法一:令 消去 得
由于 这方程必有整数解; 其中 为方程的特解.
把最小的正整数解记为 则 ,故 使 是 的倍数．‥‥‥40分
证法二:由于 由中国剩余定理知,同余方程组
在区间 上有解 即存在 使 是 的倍数．‥‥‥‥40分
证法三:由于 总存在 使 取 使 则
2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．
1.设 是函数 （ ）的图像上任意一点，过点 分别向
直线 和 轴作垂线，垂足分别为 ，则 的值是．
2.设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，
则 的值是.
3.设 ，则 的最大值是.
故
所以 三点共线。‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分
二、【解析】证明:对任意的 ,设 则 如果 是任意一个小于 的正整数,则 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
由于 与 中,一个为奇数,它不含素因子 ,另一个是偶数,它含素因子 的幂的次数最多为 ,因此 一定不是 的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分
若 ,且 设 其中 为非负整数, 为大于 的奇数,
二、解答题
9.【解析】(1) 令 则 分
对任意 , 恒成立的充要条件是 分
(2)因为 所以 所以 分
因此 于是,存在 ,使得 的充要条件是
故 的取值范围是 分
10.【解析】(1)当 时, ,由 得 .当 时, ,
由 得 或 ‥‥‥‥‥‥‥5分
当 时, 若 得 或 ;若 得 ;
综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分
因为 所以 ‥‥‥‥‥15分
由(1)的结论得 所以 从而
故点 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 ‥‥‥‥‥‥20分
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、【解析】证明：如图.连接 ,过 点作 的垂线 交 的延长线于点 ,则
是 的外接圆 的切线.因此 ‥‥‥10分
因为
所以 ‥‥‥‥20分
因而 是 的外接圆 的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分
求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且 ．
（1）求证： 为定值；
（2）当点A在半圆 （ ）上运动时，
求点 的轨迹．
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角 中， 是 边上不同的两点，使得 设 和 的外心分别为 ，求证： 三点共线。
因为 在 上是增函数,所以 即 又 所以当 时,
取得最大值 因此, 解得 故 的取值范围是
7.【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当 时, 由此得
所以
故满足 的正整数 的所有值分别为 它们的和为 .
8.【答案】
【解析】用 表示第 周用 种密码的概率,则第 周末用 种密码的概率为
.于是,有 ,即 由 知， 是首项为 ，公比为 的等比数列。所以 ，即 ，故
参考答案及详细评分标准
2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题
1.【答案】-1
【解析】方法1:设 则直线 的方程为 即
由
又 所以 故
2.【答案】4
【解析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ由题设及余弦定理得 ,即 故 .
3.【答案】
【解析】不妨设 则
因为
所以
当且仅当 时上式等号同时成立.故
4.【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
在 中,由余弦定理得
当且仅当 时等号成立.故 的最大值为1.
5.【答案】4
【解析】如图.连结 ,则 平面 ,垂足 为正 的中心,且 过球心 ,连结 并延长交 于点 ,则 为 的中点,且 ,易知 分别为正三棱锥 的侧面与底面所成二角的平面角,则
,从而 ,因为
所以 即
所以 ,故
6.【答案】
【解析】由题设知 ,则 因此,原不等式等价于
7.满足 的所有正整数 的和是．
8.某情报站有 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
由 易知 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分