张量初步

表示。
反对称张量 设是 一二阶张量。若分量之间满足pij p ji 的关系，则称此张量为对称张量。以
p ij
0 A a ij a12 a 31
a12 0 a 23
a 31 a 23 表示。 0
3）张量的分解 张量分解定理 二阶张量可以唯一地分解成为一个对 称张量和一个反对称张量之和。 6．二阶反对称张量的性质 二阶反对称张量A的形式为
3）张量收缩 设n阶张量 P pi1i2in 中有两个下标相同。根据约定求 和法则，则得具有n-2阶张量Q，称之为张量P的收缩。
4）张量的内积 张量乘积PQ中，m阶张量P和n阶张量Q中各取出一下 标收缩一次后得m+n-2阶张量，称为P和Q的内积，以 PQ表示。 P a pij a j是二阶张量和矢量的右向内积； P ai p ij 是 a 二阶张量和矢量的左向内积。
3．张量的代数运算 1）张量的加减 两个同阶张量的和（或差）仍是一个张量，且同阶。 运算结果所得的张量定义为这两个张量相应分量的相加 （或相减）。
cij aij bij
2）张量的乘积 张量相乘构成一个新的张量，其阶数是原张量的阶数 之和。 bij aaij cijk ai b jk 例如： ;
e i e j e ej ij i
此外有下列关系：
e1 a11e1 a12 e 2 a13e 3 e 2 a 21e1 a 22 e 2 a 23e 3 e a e a e a e 31 1 32 2 33 3 1

上式给出矢量的另一种定义：即对于每个直角坐标系 O x1x 2 x3 来说有3个量 a1 , a 2 , a3，它们根据上式变换到另一 坐标系 O x1x 2 x3 中的3个量 a1 , a 2 , a3 ，则此三个量定义为 一新的量 a ，称为矢量。 3）二阶张量 如果对每一直角坐标系 O x1x 2 x3 来说有九个量 plm ，按 下列公式
3 2 ( p11 p22 p33 ) p22 p 23 p32 p33 p11 p13 p31 p33 p11 p12 p21 p21 p22 p 31 p11 p12 p22 p32 p13 p23 0 p33
求解此式，则有三个根，可以是三个实根，也可以是 一个实根，二个共轭复根。 求出主值后，由上述齐次代数方程式可求出 a1 : a 2 : a3 ，由此得对应于值的主轴方向。 不随坐标轴的转换而改变其数值的量称为不变量。从 确定的三次方程推出根与系数之间存在着下列关系 I 1 p11 p 22 p 33 1 2 3 I p 22 p 32 p11 p 31 p11 p 21 2 p 23 p 33 p13 p 33 p12 p 22 1 2 13 2 3 p11 p12 p13 I 3 p 21 p 22 p 23 1 2 3 p 31 p 32 p 33
恒为m阶张量，则必为m+n阶张量。 定理2 若 pi1i2 im 和任意n阶张量 q j1 j2 jn 的乘积
pi1i2 im q j1 j2 jn t i1i2 im j1 j2 jn
恒为m+n阶张量，则 pi1i2 im 必为m阶张量。 5．二阶张量 1）二阶张量的主值、主轴及不变量 设P为二阶张量，对空间中任意非零矢量 Pa b 矢量的右向内积 则得空间中另一矢量 b 和矢量 a 共线，即
p13 p 23 p 33
p ij称为二阶张量的分量。
4）n阶张量 设在每一坐标系内给出3n个数 p j1 j2 jn ，当坐标变换时 ，这些数按公式 pi1i2 in ai1 j1 ai2 j2 ain jn p j1 j2 jn 转换，则此3n个数定义一个n阶张量。 标量为零阶张量，矢量为一阶张量。
a
作张量和
ba
则称矢量a 的方向为张量的主轴方向，称为张量的主值。
将上述二式合并展开得 p11a1 p12 a 2 p13 a 3 a1 p 21a1 p 22 a 2 p 23 a 3 a 2 p a p a p a a 32 2 33 3 3 31 1 要使此方程有不全为零的解，必须 p11 p12 p13 p 21 p 22 p 23 0 p 31 p 32 p 33 展开得：
二阶反对称张量具有下列几个主要性质： （1）A的反对称性不因坐标转换而改变； （2）反对称张量的三个分量 1， 2，组成一矢量 ω； 3 （3）反对称张量A和矢量 b 的内积等于矢量 ω和 b 的矢量 积。即
A b ω b
7．二阶对称张量的性质 二阶对称张量S的形式为：
s11 S s ij s12 s 31
s12 s 22 s 23
s 31 s 23 s 33
二阶对称张量的主要性质如下： （1）S的对称性不因坐标转换而改变。 （2）二阶对称张量的三个主值都是实数，而且一定存 在三个互相垂直的主轴。 （3）二阶对称张量在主轴坐标系中具有最简单的标准 形式
1 S 0 0
0 A a ij a12 a 31
a12 0 a 23
a 31 0 a 23 3 0 2
3
0 1
2 1 0
其中 1 a 23， 2 a31， 3 a12。于是 aij ijk k
a （1） i 表示一个矢量，i是自由指标； （2）约定求和法则：为了书写简便，约定在同一项中 如有两个自由指标相同时，就表示要对这个指标从1到3 求和，如： ai bi a1b1 a 2 b2 a3b3。 （3）符号定义为 0， 当i j时 ij ， 1 当i j时
分量，将此分量的每一个下标作相同的循环置换 12，23，31，或 13，21，32， 则得H的另一个分量。如果H是各向同性张量，则此 两个分量相等。 3）零到四阶张量各向同性性质的讨论 a）零阶张量（标量）都是各向同性的 b）一阶张量（矢量）除零矢量外，都是各向同性的。 c）二阶各向同性张量的形式必为 ，其中为一标 ij 量，即 H ij ij d）三阶各向同性张量的形式必为 ijk ，其中为一标 量，即 H ijk ijk
因为是标量，即不变量，由此推出张量分量的组合 I 1，I 2，I 3 亦是不变量，称为二阶张量P的第一、第二 和第三不变量。 2）共轭张量、对称张量和反对称张量 （1）共轭张量 设P=pi j是一个二阶张量，则Pc=pj i也为 一个二阶张量，称为P的共轭张量。 （2）对称张量 设是一个二阶张量。若分量之间满足 pi j = p j I 的关系，则此张量为对称张量，以 s11 s12 s31 S sij s12 s22 s23 s s23 s33 31
0
2
0
0 0 3
（4）二阶对称张量和二次有心曲面一一对应，因此 二次有心曲面可作为二阶对称张量的几何表示。 8．张量的微分运算 1）张量的梯度 n阶张量 P pi1i2in 的梯度 P 定义为：
P grad P pi1i2 in x k
简记为 pi1i2 in，k ， P 为n+1阶张量。 2）张量的散度 设P为n阶张量，P的散度 P 定义为：
a1 a e1 a11a1 a12 a 2 a13 a3
a2 a e a21a1 a22 a2 a23 a3 2
a3 a e a31a1 a32 a2 a33 a3 3
Байду номын сангаас
由此得
ai aij a j
a
i
a ji a j
a13 a 23 ijk a i1 a j 2 a k 3 a 33
如
a 21 a 31
（5） 恒等式
ijk ist js kt jt ks
2．张量的定义 e e 设 O x1x 2 x3和 O x1x 2 x3是旧的和新的直角坐标系。 1 ， 2 ， e ； 1 ， 2 ，3 分别是表示新旧坐标系中坐标轴上的单位 e e e 3 矢量。则有
也称为克罗内克尔（Kronecker）。 （4）置换符号定义为
ijk
0， i，j，k中有两个以上指标相同时 1 ， i，j，k为偶排列（如 123， 231， 312等） 1 ， i，j，k为奇排列（如 213， 321， 132等）
a11
a12 a 22 a 32
张量初步
1. 张量表示法 近代连续介质力学和理论物理中广泛采用张量，这 不仅因为采用张量表示基本方法书写高度简练，物理意 义鲜明，更重要的是因为连续介质力学中出现的一些重 要物理量如应力、应变等本身就是张量。因此将张量的 共同特性抽象出来加以定义，并对张量的性质加以数学 上的探讨，对于更好地研究连续介质力学无疑是十分必 要的。 在笛卡儿直角坐标系中定义的张量称为笛卡儿张量， 而在任意曲线坐标系中定义的张量则称为普通张量。对 我们所研究的领域而言，有了笛卡儿张量方面的知识就 已经够用了。下面引进几种符号：
P divP p k i2 in x k
它是由 P 收缩一次所得的n-1阶张量。
3）高斯公式 场论中的高斯公式可推广到张量中去。设P为n阶张量 ，则张量情形下的高斯公式可写为
n PdS div PdV 或 S nk p k , i i dS V
S V
2 n
pij ail a jm plm
转换为另一直角坐标系中 O x1x 2 x3 的九个量则此九个 量 p ij ，定义为一新的量P，称为二阶笛卡儿张量，简称 二阶张量。通常用下面表示：
P p ij

p11 p ij p 21 p 31
p12 p 22 p 32
P Q pik q kj 是二阶张量P和二阶张量Q的内积，它仍
是二阶张量。 P : Q pij q ji 是二阶张量P和二阶张量Q二次收缩得来， 以表示。 4．张量识别定理 定理1 若 pi1i2 im j1 j2 jn 和任意n阶张量 q j1 j2 jn 的内积
pi1i2 im j1 j2 jn q j1 j2 jn t i1i2 im
p k , i2 in dV x k
9．各向同性张量 1）各向同性张量的定义 各向同性张量的定义：n阶张量 H i1i2 in ，其每一分量 都是旋转坐标变换下的不变量，即
H i1i2 in H i1i2 in
则称它为n阶各向同性张量。 2）置换定理 H 置换定理可一般地叙述为： i1i2 in 是n阶张量的任一
e e 其中 aij ei e j ，则有： i aij e j， i a ji ej
1）标量 对于标量来说，由于标量的数值不依赖于坐标系，于 是有
( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )
2）矢量
a a 考虑矢量 a ， 1 , a 2 , a3 ； 1 , a 2 , a3 分别是 a 在旧和新坐标轴 上的投影。则有