MPCK视角下的初中数学概念教学-厦门一中

基于MPCK视角下的初中数学概念教学

——以“平均数(1)”为例

（福建省厦门第一中学陈燕梅，王淼生 361003）

摘要：概念是数学教学的核心．基于MPCK视角对“加权平均数”概念教学进行评析，并探讨优化教师MPCK的策略.

关键词：概念教学；MPCK；权；加权平均数

一、MPCK理论

舒尔曼1986年提出PCK理论后，立即引起各国学者关注，从而使数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来，形成MPCK（数学教学内容知识）理论．MPCK 理论要求教师必须具备数学学科知识( MK)、一般教学法知识( PK) 、有关数学学习的知识( CK) 以及教育技术知识( TK)[1]，才能够把学术形态的数学知识有效转化为教育形态的数学知识，促进学生的数学理解，提高数学能力和提升数学素养．而这4类知识的综合与融合就是数学教学内容知识( MPCK) ，即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识[2]．概念是思维的基本单位，数学概念是导出全部数学定理法则的逻辑基础，是建立理论系统的中心环节，同时也是解决数学问题的前提．在日常教学中，教师让学生记忆、理解、题海训练是概念教学的普遍现象，往往忽视概念的本质，因而学生在运用概念解决问题时常常出现生搬硬套甚至束手无策的现象．基于此，教师在教学中启发学生建构概念、理解概念的内涵和外延尤为重要．一个具有优秀MPCK的教师会让学生认识到：数学概念不仅仅具有冰冷的美丽，在形成和应用数学概念的过程中更蕴含着火热的思考[3]．

二、MPCK视角下的概念新授课

不久前笔者在厦门市开了一节公开课《平均数(1)》．以下分享基于MPCK视角下的教学设计、反思以及专家评析．

本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级下册，是第20章“数据的分析”第1节“数据的集中趋势”第1课时的内容[4]．

本节是数据分析这一章节的起始课．学生在七年级时学习了数据的收集、整理和描述，知道可以用统计图表整理和描述数据.以前通过数据计算，学生学习了算术平均数，知道它可以反映一组数据的平均水平．

根据教材内容和学生情况，本节学习的主要内容是让学生在实际生活背景中理解算术平均数、加权平均数、权的意义；能从统计图表中获取信息，计算一组数据的算术平均数以及加权平均数，体会权的作用．

1.【活动一】创设情境，建构概念

设计意图：让学生感受引入“权”的合理性，理解“权”的意义．

数据分析与日常生活息息相关．之前我们已经学习了如何用统计图表来整理和描述数据．为了进一步获取有效信息，还需要对相关数据进一步分析，用数据说话．问题：老师根据学生的期中考试成绩和期末考试成绩计算学期总评，小明同学期中考60分，期末考90分（百分制）．

（1）你能算出他的平均成绩吗？

追问：如何计算n个数的算术平均数？

（2）若以这个算术平均数作为学期总评，你认为合理吗?

追问1：为什么不合理？

追问2：期末考试是学期综合考查，如何体现期末考试的重要性？

（3）你是怎么算的？为什么这么算？

（4）在这个问题中，3和7（举例）有什么用？

本文系全国教育科学“十二五”规划2015年度单位资助教育部规划课题《基于数学教学内容知识

追问1：什么是“权”？什么是“加权平均数”？

追问2：还有哪些也是权？

（5）如何把这种加权平均数的计算方法推广到一般情况？

（6）期中考和期末考的分数不变，为何得到不同的总评成绩？

我校正高级教师王淼生对本节课进行了评析，以下简称“专家评析”.

专家评析：活动一是本节的核心内容．教师运用“概念同化”提出并建构“权”与“加权平均数”的概念，概念同化过程是学生对概念的主动理解过程，是学生利用已有认知结构对概念进行重新建构的过程．曹才翰、章建跃在《数学教育心理学》中提出，概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡．根据皮亚杰的认知发展理论，学生在遇到新概念时，总是先用已有的认知结构去同化，如果获得成功，就得到暂时的平衡；如果同化不成功，则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构，以顺应新概念，从而达到新的平衡．教师应该根据学生概念学习的这种机制，利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动．

从MK上看，教师在引入新课时关注本章知识与已有知识的联系，让学生明确感受到，在收集数据后，要进一步获取信息，需通过计算统计量进行分析．数学源于生活，教师用学生熟悉的考试成绩计算总评来创设问题情境，通过问题串设计引导学生从已有的认知（算术平均数）中寻找差异，自主建立“权”的概念．问题简洁易懂，跳出繁杂的计算，激发学生的学习兴趣，凸显统计的意义．

从PK上看，教师通过启发式的讲授引领学生思考．从“权”的存在，到“权”的含义、加权平均数的计算，再反思“权”对结果的影响，新概念逐步浮出水面．在探究加权平均数的计算方法时，教师采用特殊与一般的数学思想，启发学生自主获得计算公式．从C K上看，教师在问题（2）环节，鼓励学生思考，并相互交流、讨论．课堂上，当学生回答“合理”时，教师及时引导学生阐述原因，并点拨关键点：“同样重要”；当学生回答“不合理”时，教师进一步追问原因，启发学生思考如何体现重要性不同．对于学生回答的不同形式的权，教师给予了肯定，学生感受到了“权”的存在．

2.【活动二】例题教学，应用新知

设计意图：从统计图表中获取信息，计算算术平均数及加权平均数，进一步理解权的意义．

例1：一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：

（1）按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩．（2）若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照1：3：1的比确定，计算选手的综合成绩．专家评析：从MK上看，教师灵活处理了教材的例题，增加设计第（2）题，设计不同形式、不同数据的权，给予学生计算便利的同时，在对比中识记，巩固新知，从而感受权的重要性．

从PK上看，第（1）题先由学生猜想判断，然后师生共同完成，教师规范书写解答，为后续学生解题提供良好的示范．教师展示学生第（2）题的答题情况，并由学生进行点评．从C K上看，在解答第（1）题时，教师不是直接让学生计算，而是设问：“不用计算，聪明的你能否直接判断出他们哪一个的成绩高?”，鼓励学生分析、推断，让学生对“权”