江西省南昌县莲塘一中2020届高三11月质量检测数学(文)答案

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江西省南昌市市莲塘一中2020届高三下学期第二次模拟考试(解析版)

江西省南昌市市莲塘一中2020届高三下学期第二次模拟考试数学试题本试卷共4页,23小题,满分150分.考试时间120分钟注意事项：答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上,并在相应位置贴好条形码； 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案；3.非选择题必须用黑色水笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上:如需改动,先划掉原来答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效；4.考生必须保证答题卡整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B =I ，则B =（） A.{}1,3- B.{}1,0 C.{}1,3 D.{}1,5 【答案】C【解析】由{}1A B =I 得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C.2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵复数a ＋b i ＝a －b i 为纯虚数，∴a ＝0且－b ≠0，即a ＝0且b ≠0，∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件.故选C. 3.已知命题p:；命题q ：若a ＞b ，则，下列命题为真命题的是（）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B【解析】试题分析：由时有意义，知p 是真命题，由可知q 是假命题，即均是真命题，故选B.4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A.1033B.1053C.1073D.1093 【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D. 5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C.6.设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使m n λ=r r ，即两向量反向，夹角是0180，那么0cos1800m n m n m n ⋅==-<r r r r r r T ，若0m n ⋅<r r，那么两向量的夹角为(0090,180⎤⎦，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分不必要条件，故选A. 7.设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减【答案】D【解析】函数的最小正周期为221T ππ==，则函数的周期为()2T k k Z π=∈，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈，即：()3x k k Z ππ=-∈，取3k =可得y =f (x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确；()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈，即()6x k k Z ππ=+∈，取0k =可得f (x +π)的一个零点为x =6π，选项C 正确；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数在该区间内不单调，选项D 错误；故选D .8.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为，故选B.9.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：2y x z =-+，其中z 表示斜率为2k =-的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点()6,3B -- 处取得最小值12315z =--=- ，故选A 。

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题文

江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2020届高三数学上学期12月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =（）A. {}1,7B. {}3,9C. {}1,5,7D. {}1,7,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B ，得到答案.【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，所以{}1,7S C A =，而集合{}1,3,7,9B =，所以(){}1,7S C A B =，故选A.【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题. 2.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（）B. 5【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3.给出下列四个命题:①命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ,使sin 1x >；②ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >；③已知向量a ,b ，若0a b ⋅<,则a 与b 的夹角为钝角.其中正确命题的个数为（） A. 0 B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据真假命题判断的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】①命题:p x R ∀∈，sin 1x ，由全称命题与特称命题的否定，则:p x R ⌝∃∈，使sin 1x >；①是正确命题；②ABC ∆中，由正弦定理知2sin sin a bR A B==，若A B >成立，则有a b >，2sin a R A =，2sin b R B =，sin sin A B ∴>，②是正确命题；③已知向量a ，b ，若0a b <，即||||cos 0a b a b θ=<，cos 0θ<，则a 与b 的夹角θ为钝角或平角．③是错误命题；其中正确命题的个数为2个，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系，三角函数性质和正弦定理，向量的数量积定义的应用，属于中档试题.4.已知向量()2,1a =,(),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（） A. 2- B. 2C. 2±D. 4【答案】B 【解析】由()2,1a =，(),1b x =，则(2,2),(2,0)a b x a b x +=+-=-，因为a b +与a b -共线，所以(2)02(2)x x +⨯=-，解得2x =，故选B. 5.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A.1283B. 24-C. 21-D. 11【答案】C 【解析】【分析】由题意易得数列的公比q 2=-代入求和公式计算可得．【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，1a 1=，23a a 8=-则233231a a a q q 8===-，解得q 2=-，()661(12)S 2112⨯--∴==-+，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．6.函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2θ=（） A. 513-B.513C. 1213-D.1213【答案】C 【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．【详解】对于函数()a y log x 42(a 0=++>且a 1)≠，令x 41+=，求得x 3=-，y 2=，可得函数的图象恒过点()A 3,2-，且点A 在角θ的终边上，y 2tan θx 3∴==-，则2222sin θcos θ2tan θ12sin2θsin θcos θtan θ113===-++，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．7.三棱锥S －ABC 及其三视图中正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）.A. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据三视图，得到SC ⊥平面ABC ，且底面ABC ∆为等腰三角形，然后根据三视图得到相应线段的长度，利用勾股定理，得到SB 的长度. 【详解】由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面ABC ∆为等腰三角形．在ABC ∆中，4AC =，AC 边上的高为所以4BC ==，在Rt SBC ∆中，由4SC =，可得SB ==故选C.【点睛】本题考查根据三视图求线段长度，属于简单题.8.已知0a b >>，且1a b +=，1bx a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11log ab y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1log b z a =，则x ，y ，z 的大小关系是（） A. z x y >>B. x y z >>C. z y x >>D.x z y >>【答案】D 【解析】【分析】由题意a ＞b ＞0，a +b ＝1，可得1＞a 12＞＞b ＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【详解】∵a ＞b ＞0，a +b ＝1，∴1＞a 12＞＞b ＞0， ∴111a b＜＜， ∴x ＝（1a ）b ＞（1a）0 =1，y＝log（ab）（11 a b+）＝ log（ab）1ab=﹣1，z＝log b1b blog a log ba=--=-＞1．∴x＞z＞y．故选D．【点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.已知x，y满足条件0020x yy xx y k≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k为常数），若目标函数3z x y=+的最大值为9，则k=（）A. 16- B. 6- C.274- D.274【答案】B【解析】【分析】由目标函数3z x y=+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x yy x kx y k⎧⎪⎨⎪++⎩为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．【详解】画出x，y满足的0,0(20x yy x kx y k⎧⎪⎨⎪++⎩为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．10.已知函数()011,02x f x x x >=⎨+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是（）A. (1,2]B. [1,2)C. (0,1]D. [0,1)【答案】B 【解析】【分析】先研究函数()f x 的单调性和值域，设()()=f m f n t =，得出t 的取值范围，把n m -表示为t的函数，从而可得答案. 【详解】当0x ≤时，1()12f x x =+单调递增且()(,1]f x ∈-∞，(2)0f -=；当0x >时，()f x =()(0,)f x ∈+∞，(1)1f =.因为m n <，()()f m f n =，所以201m n -<≤<≤. 设()()f m f n t ==，则(0,1]t ∈，1()12f m m t =+=，()f n t ==. 所以222,m t n t =-=.所以2222(1)1n m t t t -=-+=-+. 由(0,1]t ∈，可得[1,2)n m -∈.故选B.【点睛】本题考查函数与方程的综合问题.解题时需要综合利用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法.11.设曲线()2(xf x e x e =+为自然对数的底数)上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()sin g x ax x =-+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为( )A. []1,2-B. ()1,2-C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】求得()f x 的导数，设()11,x y 为()f x 上的任一点，可得切线的斜率1k ，求得()g x 的导数，设()g x 图象上一点()22,x y 可得切线2l 的斜率为2k ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，分别求12cos y a x =-+的值域A ，1212x y e =+的值域B ，由题意可得B A ⊆，可得a 的不等式，可得a 的范围．【详解】()2xf x e x =+的导数为()'2xf x e =+，设()11,x y 为()f x 上的任一点，则过()11,x y 处的切线1l 的斜率为112xk e =+，()sin g x ax x =-+的导数为()'cos g x x a =-，过()g x 图象上一点()22,x y 处的切线2l 的斜率为22cos k a x =-+．由12l l ⊥，可得()()122cos 1xe a x +⋅-+=-，即121cos 2x a x e -+=-+，任意的1x R ∈，总存在2x R ∈使等式成立,则有12cos y a x =-+的值域为[]1,1A a a =---+，所以112x e -+的值域为1,02B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由B A ⊆，即1,0[12a ⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，1]a -+，即11210a a ⎧--≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为1-，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ，4π-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是（） A. 9 B. 11C. 13D. 15【答案】D 【解析】【分析】先根据4x π=为()y f x =图象的对称轴，4πx =-为()f x 的零点，判断ω为正奇数，再结合()f x 的周期8Tπ，求得ω的范围，对选项检验即可．【详解】由题意知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=为()y f x =图象的对称轴，4πx =-为()f x 的零点， ∴21242n ππω+=，n Z ∈，21n ω∴=+．()f x 在区间(12π-，)24π上有最小值无最大值，∴周期()24128T πππ+=，即28ππω，16ω∴．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验15ω=，当15ω=时，由题意可得154k πϕπ-⨯+=，4πϕ=-，函数为()sin(15)4y f x x π==-，在区间(12π-，)24π上，315(42x ππ-∈-，38π，)，此时()f x 在2x π=-时取得最小值，15ω∴=满足题意．则ω的最大值为15，故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．属难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线13:0l ax y ++=,()2:234l x a y +-=,12l l ⊥，则a =______. 【答案】1 【解析】【分析】利用两直线垂直,x y 对应系数之积的和为0的性质求解. 【详解】∵13:0l ax y ++=，()2:234l x a y +-=，12l l ⊥ ∴()230a a +-=，解得1a =.【点睛】本题考查直线方程中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质的合理运用.14.观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1212a b +=（） A. 322 B. 521C. 123D. 199【答案】A 【解析】【分析】根据题中数据，归纳推理，即可得出结果.【详解】因为1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，等式右边对应的数为1,3,4,7,11,...，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求1212a b +，即是求数列“1,3,4,7,11,...”中的第12项，所以对应数列为“1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322”，即第12项为322. 故选A【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 【答案】29π【解析】【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16.设函数21()1xxf x e ex -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是 ______. 【答案】()1,+3⎛⎫-∞-⋃∞ ⎪⎝⎭1，【解析】【分析】判断函数为偶函数，再由导数可得函数在(0,)+∞上为增函数，由单调性把(2)(1)f x f x >-转化为关于x 的不等式求解．【详解】21()1x x f x e e x -=+-+， ()()f x f x ∴-=，所以()f x 是偶函数，由22212()0(1)x xe xf x e x -'=+>+，故()f x 在(0,)+∞上递增，所以(2)(1)f x f x >+，得|2||1|x x >+，解得：1x >或13x <-，故答案为：(-∞，1)(13-⋃，)+∞ 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ．若24sin sin 4cos22A B A B --=． (1)求角C 的大小；(2)已知sin 4sin a B A=，ΔABC 的面积为8．求边长c 的值．【答案】（1）4Cπ（2）4【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式将所给条件化简，然后得到C 的大小；（2）利用正弦定理和三角形面积公式先计算出a b 、的值，然后利用余弦定理计算c 的值.【详解】（1）因为24sin sin 4cos 22A B A B --=，所以()cos 14sin sin 422A B A B -+-=，2sin sin 2cos cos A B A B -=，则()2cos 2cos A B C -+==cos C =4C π；（2）由正弦定理可知：sin 4sin a B ab b A a ===，由面积公式：11sin 4822S ab C a ==⋅⋅=，所以a =；由余弦定理：2222cos 32163216c a b ab C =+-=+-=，所以：4c =.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，难度较易.在解三角形的过程中，注意隐含条件：A B C π++=的运用，这里常见的运用有两种：（1）求解角的范围；（2）()cos cos C A B =-+.18.已知函数21()cos cos2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值.【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-=【解析】【分析】 (Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()211cos 21cos cos 2222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+12cos 2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.19.如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60ABC ∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点．（1）求证：平面AEM ⊥平面PAD ；（2）若F 是PC 上的中点，且2AB AP ==，求三棱锥P AMF -的体积．【答案】（1）见解析；（2）36 . 【解析】【分析】（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，得到AE BC ⊥，证得所以AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定，即可证得平面AEM ⊥平面PAD .（2）利用等积法，即可求解三棱锥P AMF -的体积.【详解】（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，060ABC ∠=，所以ABC ∆是正三角形，因为E 是BC 中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥，又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD又AE ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面PAD .（2）因为2AB AP ==，则2,3AD AE ==所以11112222P AMF M PAF D PAF F PAD C PAD V V V V V -----====⨯ 1111113232443122246P ACD ACD V S PA AD AE PA -∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=.【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．20.已知等差数列{}n a 满足2(1)2,n n a n n k k R +=++∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-；（2）22221n n n ++ 【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出123,,a a a ，利用123,,a a a 成等差数列求出参数k ，从而可得数列的通项公式；（2）把n b 变形为1111()22121n b n n =+--+，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前n 项和．详解：（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =，得到12331021,,234k k k a a a +++=== ∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k +++=+ 解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+ ∵10n +≠，∴21n a n =-（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+-∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++-∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =-（2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+-- ()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭ 1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n n n n n +=+=++ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．21.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝3，AD ＝PB ＝2，E 为线段AB 上一点，且AE ︰EB ＝7︰2，点F 、G 分别为线段PA 、PD 的中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 将四棱锥P －ABCD 分成左右两部分，求这两部分的体积之比．【答案】（1）见解析；（2）3537：【解析】【分析】（1）证明PE ⊥AB ，利用平面PAB ⊥平面ABCD ，即可证明：PE ⊥平面ABCD ；（2）平面EFG 将四棱锥P ﹣ABCD 分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比．【详解】证明：在等腰△APB 中，得13cos ABP ∠=，则由余弦定理可得，22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =， ∴PE 2+BE 2＝4＝PB 2，∴PE ⊥AB ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，∴PE ⊥平面ABCD ．（2）解：设平面EFG 与棱CD 交于点N ，连接EN ，因为GF ∥AD ，所以GF ∥平面ABCD ，从而可得EN ∥AD ．延长FG 至点M ，使GM ＝GF ，连接DM ，MN ，则AFE ﹣DMN 为直三棱柱，∵F 到AE 的距离为12PE =，73AE =，∴172339AEF S =⨯⨯=，∴299AFE DMN V -==，113927G DMN V -=⨯=∴27AEF NDG AFE DMN G DMN V V V ---=-=，又13P ABCD ABCD V PE S -=⨯⨯=矩形，∴353727327V V ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭右左：：：．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间；（2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x -++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围.【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞，则11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=， ∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x = ∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤. ∴()()()()222112121211221111ln (1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<,∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.。

江西省南昌市莲塘一中2021届高三上学期11月月考数学(文)试题 Word版含答案

莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测文科数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．sin75cos45sin15sin 45︒︒-︒︒=（）A ．0B ．12C D ．12．已知2sin 3α=，则()cos 2α-=（）.A ．19 B ．19-C D ．3．已知函数()f x =()11f x x -+的定义城为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--4．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞内单调递增的函数为 A ．22y x x =+B ．xy e =C ．22x x y -=-D ．11y g x =-5．若()0,απ∈，且sin 2cos 2αα-=，则tan 2α等于（）A ．3B ．2C ．12D ．136．已知集合3{|2}1=≤+xA x x ，{221}=-<<+B x a x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1[,1]2D ．1[,1)27．已知函数()24cos f x x =，则下列说法中正确的是（） A ．()f x 为奇函数B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 的值域为[]0,48．函数3xey x=的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（） A ．1[,2]3-B ．2[1,]3--C ．2[,1]3D ．1[2,]3-10．已知函数()()210xf x x e x =+-<与()()2g =ln x x x a ++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞B ．()-∞eC ．(),1-∞D ．)e11．已知函数221,1()(1),1x x f x log x x ⎧-≤=⎨->⎩，若123()()()f x f x f x ==（12,3,x x x 互不相等），则123x x x ++的取值范围是（）A ．(0,8)B ．(1,3)C ．(3,4]D ．(1,8]12．已知()y f x =定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2020sin(),0120192()1()1,12019x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩,若关于x 的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a -++=有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．01a <<或20202019a =B ．01a ≤≤或20202019a = C ．01a <≤或20202019a =D ．202012019a <≤或0a = 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.） 13．已知扇形的圆心角为6π,面积为3π,则扇形的半径是________． 14．若函数|2|y x c =+是区间(,1]-∞上的单调函数，则实数c 的取值范围是__________． 15．已知函数()3213f x x bx cx bc =-+++在1x =处取得极值43-,则b =__________. 16．已知函数2(),()2ln ,()4x f x e g x x h x x x m ===-+，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B .若对任意12,[1,]t t e ∈都有()2||AB h t >成立，则实数m 的取值范围是________. 三. 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知4cos 5α=，且α是第四象限角. （1）求sin α的值.（2）求sin()tan()2sin()cos(3)πααπαππα--+-的值. 18．已知函数2()21x x af x +=-是奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的值域.19．已知函数2()sin sin()2f x x x x π=+.（1）求()fx 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调增区间；20．已知cos 7α=，(0,)2πα∈.（1）求sin()4πα+的值；（2）若()11cos 14αβ+=，(0,)2πβ∈，求β的值.21．已知R a ∈，函数()1=--x f x e ax ，()ln(1)=-+g x x x （ 2.71828=e ）.（1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若1=a ，当[0,)x ∈+∞时，求证：()()f x g x ≥.22．已知函数()e cos 2xf x x =+-(其中0≥x )，()f x '为()f x 的导数.（1）求导数()'fx 的最小值；（2）若不等式()≥f x ax 恒成立，求a 的取值范围.莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测文科数学答案1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｄ 4．Ｄ 5．B 6．Ｂ 7．D 8．Ｃ 9．Ｄ 10．C 11．Ｃ 12．Ｃ11．【解析】作出函数函数()()221,11,1x x f x log x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的图象，如图，1x =时，()11f =，令()()()123t f x f x f x ===，设123x x x <<，则有121x x =+，作出()()2log 11y x x =->的图象，若 ()()()123f x f x f x ==，则()301f x <<，由1y =，即有()2log 11,3x x -==，即33x <，0y =时，有()2log 10x -=，解得2x =，即32x >，所以323x <≤可得12334x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围是(]3,4，12．【解析】画出函数()y f x =的图象如图，由22020[()](20202021)()20210f x a f x a -++=，可得()()202120,20==f x f x a ，有图象知当()20212020=f x 时，由于12020202120192020<<，所以有四个根，关于x 的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a -++=有且仅有个6不同实数根，所以()f x a =有两个根，由图知，当01a <≤或20202019a =时，()f x a =有两个根． 13．【答案】2 14．【答案】2c ≤- 15．【答案】1-16．【解析】由题意，直线1x t =分别交函数()f x 和()g x 的图象于点A 和点B 故||2ln xAB e x =-设()()2ln 1xF x e x x e =-≤≤，则问题可以转化为在区间[1,]e 内min max ()()F x h x >.因为12()20xF x e e x'=-->，所以()F x 在[1,]e 上单调递增，故min ()(1)F x F e ==. 因为2()4h x x x m =-+，其对称轴2x =，所以在区间[1,]e 上，(1)()f f e > 即max ()(1)143h x h m m ==-+=-，所以e 3m >-，即3m e <+.17．【答案】（1）35（2）5418．【答案】（1）()()21021x x f x x +=≠-.（2）()f x 值域为(,1)(1,)-∞-+∞.19．【解析】（1）()f x 1cos 212sin 22262x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭所以T π=．（2）由222262k x k πππππ-+≤-≤+，得 ,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.20．【解析】（1）由cos 7α=，(0,)2πα∈，得17sin α===，所以sin cos cos sin 444sin πππααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭ 1227=+=（2）因为,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,αβπ+∈，又()11cos 14αβ+=，则()sin αβ+===，所以()sin sin βαβα=+- ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+11111472=⨯=，因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πβ=.21．【解析】（1）因为()1=--x f x e ax ，所以'()=-x f x e a ，当0≤a 时，对R ∀∈x ，'()0=-<xf x e a ，所以()f x 在(),∞∞-+是减函数，此时函数不存在极值；当0>a 时，'()=-xf x e a ，令'()0=f x ，解得=x lna ，若(),∞∈-x lna ，则()f x 0'<，所以()f x 在(),∞-lna 上是减函数，若(),∞∈+x lna ，则()0'>f x ，所以()f x 在(),∞+lna 上是增函数，当=x lna 时，()f x 取得极小值；函数()f x 有且仅有一个极小值点=x lna ，所以当0≤a 时，()f x 没有极值点，当0>a 时，()f x 有一个极小值点. （2）设()()()-F x f x g x == ()1xe ln x ++ 21x --，且()00=F所以()11xF x e x ='++ 2-，且()'00=F 设()11xh x e x =++ 2-，且()00=h 则()()211xh x e x =-+'，且()'h x 在[)0,∈+∞x 上是增函数，所以()()0''≥h x h 0=则()h x 在[)0,+∞上是增函数， ()()00≥=h x h ，即()0'≥F x ，所以()F x 在[)0,+∞上是增函数，所以()()00≥=F x F ，即()()f x g x ≥在[)0,∈+∞x 上恒成立.22．【解析】（1）()e sin x f x x '=-，令()e sin xg x x =-，当0x ≥时，则()e cos 1cos 0'=-≥-≥xg x x x .故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即导数()f x '的最小值为1.（2）令()e cos 2xh x x ax =+--，()e sin xh x x a '=--，当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即1a ≤当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()()()ln(2)2sin ln(2)2sin ln(2)0'+=+-+-=-+>h a a a a a ，故存在唯一()00,∈+∞x ，使得()00'=h x .则当()00,∈x x 时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时与()0≥h x 恒成立矛盾. 综上所述，1a ≤.。

江西省南昌市莲塘一中2021届高三上学期11月月考数学(理)试题 Word版含答案

莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测理科数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．sin75cos45sin15sin 45︒︒-︒︒=（）A ．0B ．12C D ．12．已知函数()f x =()11f x x -+的定义城为（）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（）． A ．12B ．11C ．10D ．94．已知函数()24cos f x x =，则下列说法中正确的是（） A ．()f x 为奇函数B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 的值域为[]0,45．曲线sin y x =，[0,2]π∈x 与x 轴所围成的面积是（） A ．0B ．2C ．4D ．π6．已知集合3{|2}1=≤+xA x x ，{221}=-<<+B x a x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1[,1]2D ．1[,1)27．已知a b c d ,,,都是常数，,a b c d <<.若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是（）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c d a b <<<8．在ABC ∆中，向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+=，且22BA BC BA BC=，则ABC ∆为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（） A ．1[2,]3-B ．1[,2]3-C ．2[1,]3--D ．2[,1]310．已知函数()()210xf x x e x =+-<（e 是自然对数的底数）与()()2g =ln x x x a ++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（） A ．(,1]-∞B ．(,)-∞eC ．(),1-∞D ．(1,)e11．已知()y f x =定义域为R 的偶函数，当0x ≥时2020sin(),0120192()1()1,12019x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩,若关于x 的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a -++=有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．01a <<或20202019a = B ．01a ≤≤或20202019a = C ．01a <≤或20202019a =D ．202012019a <≤或0a = 12．已知函数221,1()|(1)|,1⎧-≤=⎨->⎩x x f x log x x ，若1234()()()()===f x f x f x f x （12,34,,x x x x 互不相等），则1234+++x x x x 的取值范围是（） A ．11(5,]2B ．11(0,]2C ．(0,5)D ．11[5,]2二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．已知函数()3213f x x bx cx bc =-+++在1x =处取得极值43-,则b =__________. 14．函数()cos =+f x x x 的单调递增区间为________．15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3=AB ，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________.16．由数列{}n a 和{}n b 的公共项组成的数列记为{}n c ，已知32n a n =-，2nn b =，若{}n c 为递增数列，且4==m t c b a ，则m t +=________.三. 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．在①1n n a a +-=+；②184n n a a n --=-（2n ≥）两个条件中,任选一个，补充在下面问题中，并求解．【问题】:已知数列{}n a 中，13a =，__________．（1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<．18．已知函数2()21x x af x +=-是奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()[()2][()1]g x f x f x =+-，求函数()g x 的值域.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，它的外心在三角形内部（不包括边），同时满足()()()222sin cos --+=+a b cA CBC ．（1）求内角B ；（2）若边长1c =，求ABC ∆面积的取值范围．20．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1-=++a g x x x ，且对任意1x ，2(0,1]∈x ，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--. （1）若命题⌝p 为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点(),()e f e 处的切线方程为4y x e =-. (本题可能用的数据:ln 20.69≈, 2.71828e =是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式2[()1](1)f x t x ->-恒成立，求整数t 的最大值.22．已知R a ∈，函数()1=--x f x e ax ，()ln(1)=-+g x x x （e 是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()10=--≥xf x e ax 对任意的R ∈x 恒成立,求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，[)0,∃∈+∞x ，()()<f x kg x ，求实数k 的取值范围.莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测理科数学答案1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 11．C 12．A 11．【解析】画出函数()y f x=的图象如图，由22020[()](20202021)()20210f x a f x a-++=，可得()()202120,20==f x f x a，有图象知当()20212020=f x时，由于12020202120192020<<，所以有四个根，关于x的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a-++=仅有个6不同实数根，所以()f x a=有两个根，由图象知，当01a<≤或20202019a=时，()f x a=有两个根，故选C.12．【解析】作出函数函数()()221,1|1|,1⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩x xf xlog x x的图象，如图，1x=时，()11f=，令()()()()1234====t f x f x f x f x，设1234<<<x x x x，则有121x x=+，34(1)(1)1x x--=,1234344413(1)(1)3(1)(1)+++=+-+-=++--x x x x x x xx,因为4112x<-≤,所以1234+++x x x x的取值范围是11(5,]2，故选A.13．【答案】1-14．【答案】4[2,2],33--∈Zk k kππππ15．【答案】31116．【答案】92 16．【解析】由已知1224c b a===，设n m tc b a==，即232mnc t==-，1122(32)3'2mmb t t++==-=-，62'3tt-=不是正整数，所以1mb+不是公共项.2224(32)3'2mmb t t++==-=-，'42t t=-故1242n m tc b a++-==，因为1224c b a===，所以246c b a==，3622c b a==，4886c b a==，故当4=n时，8=m，86=t，故94m t+=.17．【解析】（1）选①：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ；选②：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得：当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ；（2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+，因为1042n >+，所以12n T <，又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=，综上1132n T ≤<．18．【解析】（1）由于()f x 为奇函数且0≠x ，所以()()f x f x -=-，()()0f x f x -+=，即2202121x x x x a a --+++=--，12201221x x x x a a +⋅++=--，()()1212120212121xx x x x x a a a a -+-++⋅-==---， ()()1210xa a -+-=，得：1a =.所以()()21021x x f x x +=≠-.（2）由（1）得()2121221212121x x x x xf x +-+===+---，所以()[()2][()1]g x f x f x =+-()22302121x x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪--⎝⎭，令()2021xt x =≠-，由于211x ->-且210x -≠，所以2221x t =<--或2021x t =>-.则()g x 的表达式变为 ()22393324y t t t t t ⎛⎫=+⋅=+=+- ⎪⎝⎭，其中2t <-或0t >，二次函数的对称轴为32t =-，开口向上，()()22322-+⨯-=-，所以232y t t =+>-，也即()g x 的值域为()2,-+∞.19．【解析】(1)3B π=.(2) 因为ABC ∆的外心在三角形内部（不包括边）,所以ABC ∆是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故ABCS的取值范围是(8220.【解析】（1）若命题⌝p 为假,则命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=为真令1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-则1()426(5)xx f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点令[]2,1,2xt t =∈，可得22()26(5)(1)530g t at at a a t a =-+-=-+-，其对称轴为1t =要使得1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点(1)(2)0g g ∴⨯≤ 解得：[5,6]a ∈，则当命题p 为真时，[5,6]a ∈（2）若命题q 为真时：因为()()21211g x g x x x -<--，所以()()212110g x g x x x -+<-，()()2211210g x x g x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦<-。

江西省南昌县莲塘第一中学2019届高三11月月考数学理试题(精品解析)

莲塘一中2018—2019学年上学期高三11月质量检测理科数学试题一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，故选B．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题化简所给复数根据复数的几何意义判断即可．因为,所以其在复平面对应的点的坐标为，故选C．考点：复数的运算及其几何意义3.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案【详解】对于，令，，，满足，但不满足，故排除对于，令，，故排除对于，为减函数，当时，，故恒成立对于，令，，故排除故选【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。

4.若向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）条件A. 充分不必要B. 充要C. 必要不充分D. 不充分不必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，计算出结果后验证向量共线情况，然后再证明必要性【详解】充分性：当时，，但当时，，与共线，与夹角为，故充分性不成立必要性：与夹角为锐角，则，解得，故必要性成立故选【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，充分条件和必要条件的判定，在判断充分性的时候，要注意不要忽略与夹角为的情况，属于基础题。

5.函数的零点分别在区间与内，则的范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数零点所在区间得到关于的关系式，将其转化为线性规划求范围问题【详解】由题意可得：，即，转化为线性规划问题，如图：当时，当时，则的范围是故选【点睛】本题考查了函数零点问题，以及求范围问题，在解答过程中将其转化为线性规划问题，体现的转化思想，需要掌握解题方法6.某几何体的三视图如图，该几何体的外接球的表面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先还原三视图，然后计算出几何体外接球的半径，从而计算出球的表面积【详解】根据题意，此几何体为底面边长为2的正三角形，高为2的正三棱柱，由底面三角形外接球有，则则球的半径，故该几何体的外接球的表面积为：故选【点睛】本题主要考查了三视图，还原几何体后找到其外接球的直径，继而计算出表面积，需要掌握解题方法7.数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合等比数列的下标性质进行求解【详解】数列为等比数列，可得，，，，故选【点睛】本题结合了等比数列来求正切值，运用等比数列下标的运算性质，求出的值，代入即可计算出结果。

江西省南昌县莲塘一中高三11月质量检测数学(文)试题

莲塘一中2017-2018学年上学期高三年级11月质量检测文科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},11|x {},2,1,0{Z x x N M ∈≤≤-==，则（）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．}1,0{=⋂N MD ．N N M =⋃ 2.已知复数i i iz 2125--=（i 为虚数单位），则复数的虚部为（） A ．2 B ．3- C ．i 3- D ．1 3.已知0>>n m ，则下列说法错误的是（） A ．n m 2121log log +m nn m C ．n m > D ．1122+>+n nm m 4.已知22tan=α，则ααααcos 2sin 3cos sin 6-+的值为（）A ．67B ．7 C. 76- D ．7-5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．229+ B ．2211+ C. 27+ D ．24+ 6.已知→→b a ,是不共线的向量，),(,R b a AC b a AB ∈+=+=→→→→→→μλμλ，若C B A ,,三点共线，则μλ,的关系一定成立的是（）A ．1=λμB ．1-=λμ C. 1-=-μλ D ．2=+μλ7.已知数列}{n a 为等比数列，且6427432-=-=a a a a ，则=⋅)32tan(5πa （） A ．3- B ．3 C. 3± D ．33- 8.已知),0(,+∞∈n m ，若2+=nmm ，则mn 的最小值为（） A ．4 B ．6 C. 8 D ．109.若存在实数y x ,使不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥-060230y x y x y x 与不等式02≤+-m y x 都成立，则实数m 的取值范围是（）A ．0≥mB ．3≤m C. 1≥m D ．3≥m 10.已知函数4||21||5)(--=x x x f ，若2,2>-”是“0<+b a ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件11.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且abc A b B a c b a =+⋅-+)cos cos ()(222，若2=+b a ，则c 的取值范围为（）A ．)2,0(B ．)2,1[ C. ]2,21[ D ．]2,1(12.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当]0,2[-∈x 时，1)22()(-=xx f ，若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a （0>a 且1≠a ）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,41( B ．),8(+∞ C. )8,1( D ．)4,1(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若3tan tan =⋅βα，且53sin sin =⋅βα，则)cos(βα-的值为．14.向量=-==→→→→|2|),70sin ,70(cos ),10sin ,10(cos b a b a． 15.已知数列}{n a ，满足nnn a a a -+=+111，若21=a ，则}{n a 的前2017项的积为． 16.函数*),12()3()2()1(),1()(,11)(N n nn g n g n g n g a x f x g e e x f n xx ∈-++++=-=+-= ，则数列}{n a 的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知}{n a 是等比数列，满足24,341==a a ，数列}{n n b a +是首项为4，公差为1的等差数列.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n b 的前n 项和.18. 已知向量),sin 2(),sin ,cos 2(2m x b x x a ==→→. （1）若4=m ，求函数→→⋅=b a x f )(的单调递减区间；（2）若向量→→b a ,满足)2,0(),0,52(π∈=-→→x b a ，求m 的值.19. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且4,600==c B . （1）若6=b ，求角C 的余弦值；（2）若点E D ,在线段BC 上，且BD AE EC DE BD 32,===，求AD 的长.20. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为213-=n n S ，等差数列}{n b 的前5项和为14,307=b .（1）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（2）求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n T . 21. 已知函数11ln )(--+-=xaax x x f .（1）当210≤<a 时，讨论函数)(x f 的单调性；（2）设42)(2+-=bx x x g ，当41=a 时，若对任意)2,0(1∈x ，当]2,1[2∈x 时，)()(21x g x f ≥恒成立，求实数b 的取值范围.22. 设函数2)(2)2()(,ln )(-+--==a x f x a x g x x f . （1）当1=a 时，求函数)(x g 的极值；（2）设)0(1|)(|)(>++=b x bx f x F ，对任意2121],2,0(,x x x x ≠∈，都有1)()(2121-<--x x x F x F ，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:ABCBC 11、12：BB 二、填空题 13.5414. 3 15. 2 16. 12-=n a n 三、解答题17.解：（1）设等比数列}{n a 的公比为q .由题意，得2,8143===q a a q . 所以,...)2,1(23111=⋅==--n q a a n n n ，又数列}{n n b a +是首项为4，公差为1的等差数列，所以1)1(4⋅-+=+n b a n n ，从而,...)2,1(23)3(1=⨯-+=-n n b n n . （2）由（1）知,...)2,1(23)3(1=⨯-+=-n n b n n数列}3{+n 的前n 项和为2)7(+n n . 数列}23{1-⋅n 的前n 项和为32321)21(3-⨯=--n n 所以，数列}{n b 的前n 项和为3232)7(+⨯-+n n n . 18.解：（1）依题意，2)42sin(222cos 222sin 2sin 4cos sin 4)(2+-=-+=+=⋅=→→πx x x x x x b a x f ，令)(2234222Z k k x k ∈+≤-≤+πππππ，故)(2472243Z k k x k ∈+≤≤+ππππ，故)(87283Z k k x k ∈+≤≤+ππππ，即函数)(x f 的单调递减区间为)](87,83[Z k k k ∈++ππππ.（写出)87,83(ππππk k ++也正确）（2）依题意，)0,52(=-→→b a ，所以x m x x 2sin ,51sin cos ==-. 由51sin cos =-x x 得251)sin (cos 2=-x x ，即251cos sin 21=-x x ，从而2524cos sin 2=x x . 所以2549cos sin 21)sin (cos 2=+=+x x x x .因为)2,0(π∈x ，所以57sin cos =+x x .所以532)sin (cos )sin (cos sin =--+=x x x x x ，从而259sin 2==x m . 19.解：（1）由正弦定理得：Bb Cc sin sin =，6,4,60===b c B，60sin 6sin 4=∴C ， 336234660sin 4sin =⨯=⨯=∴C . c b > ，C B ∠>∠∴，C ∠∴为锐角，36sin 1cos 2=-=∴C C . （2）BD AE EC DE BD 32,=== ，BE AE 3=∴. 在ABE ∆中BAEBE B AE ∠=sin sin60=B ， 30212331sin sin =∠∴=⨯=⋅=∠∴BAE AE B BE BAE 或 150（不合题意，舍去）90=∠∴AEB 且1212)32(42222==∴=-=-=BE DE AE AB BE 131)32(2222=+=+=∴DE AE AD .20.解：（1）当1=n 时，1213111=-==S a ；当2≥n 时，11132)13(13---=---=-=n n n n n n S S a ，综上所述，)(3*1N n a n n ∈=-，设数列}{n b 的公差为d ，故⎩⎨⎧=+=+,30105,14611d b d b 解得2,21==d b ，故)(2*N n n b n ∈=.（2）依题意，132-⋅=n n n n b a ，12210323)22(363432--⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=∴n n n n n T ，① n n n n n T 323)22(36343231322⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=∴- ，②..①-②得，13)21(3231)31(232323232322)31(1321-⋅-=⋅---=⋅-⋅++⨯+⨯+⨯+=--n n n nn n n n n T ，213)21(+⋅-=∴n n n T .21.解：（1）)0()1)](1([)1(11)(2222>---=--+-=---='x x x a ax x a x ax x a a x x f ，令0)(='x f ，得1,121=-=x aax ，当21=a 时，0)(≤'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调减，当210<<a 时，11>-a a ，在)1,0(和),1(+∞-a a上，有0)(<'x f ，函数)(x f 单调减，在)1,1(aa -上，0)(>'x f ，函数)(x f 单调增.（2）当41=a 时，14341ln )(,31-+-==-xx x x f a a ，由（1）知，函数)(x f 在)1,0(上单减，在)2,1(上单增，∴函数)(x f 在)2,0(的最小值为21)1(-=f ，若对任意)2,0(1∈x ，当]2,1[2∈x 时，)()(21x g x f ≥恒成立，只需当]2,1[∈x 时，21)(max -≤x g 即可⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤∴21)2(21)1(g g ，代入解得411≥b ， ∴实数b 的取值范围是),411[+∞.22.解：（1）当1=a 时，1ln 2)(--=x x x g ，定义域为),0(+∞，xx x x g 221)(-=-='，当)2,0(∈x 时，)(,0)(x g x g <'单调递减，当),2(+∞∈x 时，)(,0)(x g x g >'单调递增，)(x g ∴的递减区间是)2,0(，递增区间是),2(+∞. 2ln 21)2()(-==∴g x g 极小值无极大值.（2）由已知0])([)(,01)()(2122112121<-+-+<+--x x x x F x x F x x x F x F ，设x x F x G +=)()(，则)(x G 在]2,0(上单调递减， ①当]2,1[∈x 时，0ln )(≥=x x f ，所以01)1(1)(,1ln )(2≤++-='+++=x bx x G x x b x x G ，整理：xx x x x x b 133)1()1(222+++=+++≥ 设x x x x h 133)(2+++=，则0132)(2>-+='xx x h 在)2,1(上恒成立，所以)(x h 在]2,1[上单调递增，所以)(x h 最大值是227,227)2(≥=b h . ②当)1,0(∈x 时，0ln )(≤=x x f ，所以01)1(1)(,1ln )(2≤++--='+++-=x bx x G x x b x x G ，整理：b xx x x x x 11)1()1(222--+=+++-≥设x x x x m 11)(2--+=，则0112)(2>++='xx x m 在]1,0(上恒成立，所以)(x m 在]1,0(上单调递增，所以)(x m 最大值是0,0)1(≥=b m ，综上，由①②得：227≥b .。

江西省南昌市市莲塘一中2020届高三下学期第二次模拟考试试题及答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1A B =I ，则B =（）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,52.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知命题p:；命题q ：若a ＞b ，则，下列命题为真命题的是（）（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A.1033B.1053C.1073D.10935.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．86.设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7.设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减8.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．169.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．910.若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 111..已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C D ．1312.已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

人教版江西省南昌县莲塘第一中学2019届高三11月月考数学理试题(解析版)

1 莲塘一中2018—2019学年上学期高三11月质量检测理科数学试题一、填空题（本题共有12小题，四个选项中只有一个是正确的，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因为，，所以，故选B．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．2.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题化简所给复数根据复数的几何意义判断即可．因为,所以其在复平面对应的点的坐标为，故选C．考点：复数的运算及其几何意义3.已知，，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案【详解】对于，令，，，满足，但不满足，故排除对于，令，，故排除对于，为减函数，当时，，故恒成立对于，令，，故排除故选【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。

2024学年江西省南昌县莲塘一中高三数学第一学期期末质量检测试题含解析

2024学年江西省南昌县莲塘一中高三数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A ．1725 B ． 725- C ． 1725- D ．7252．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（）A ．219B ．995C ．4895D ．5193． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤5．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞7．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,+∞8．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=+在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．①②④ 10．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞） 11．函数()()()22214f x x x x =--的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．12．设ln 2m =，lg 2n =，则（）A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省2020年高中毕业班新课程教学质量监测卷数学(文科)试卷含答案

度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上
钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨
在半夜后”，观察了所在地区Ａ的２００天日落和夜晚天气，得到如下２×２列联表：
*+ ,-.
&'
() !" #!"
$%
!" #"
'%

２０．（本小题满分１２分）已知离心率为槡２２的椭圆Ｃ：ａｘ２２＋ｙｂ２２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左顶点为Ａ，左焦
点为Ｆ，及点Ｐ（－４，０），且│ＯＦ│，│ＯＡ│，│ＯＰ│成等比数列．
（１）求椭圆Ｃ的方程．（２）斜率不为０的动直线ｌ过点Ｐ且与椭圆Ｃ相交于Ｍ、Ｎ两点，记Ｐ→Ｍ＝λＰ→Ｎ，线段ＭＮ
y1 2
x 1
表示定点
P ( 1,
1) 2
与（ x， y )
连线
的斜率，显然 k PB
k min
-
1 4
,
k
PC
kmax
1 2
，
故
z
1 2
,1
，选
C.
10. 【答案】 C.
解析: 因为 AB AC AD 3 ，所以由三角形全等可得 HB HC HD，即 H 是 BCD的外心，即 H 是斜边 BD的中点，则球心 O 在 AH上，由勾股定理可
请考生在２２、２３两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用２Ｂ
铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
２２．（本小题满分１０分）选修４－４：极坐标系与参数方程
{ｘ＝－６＋ｃｏｓｔ

2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z =1−i ，则z (1−z )=( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.已知椭圆方程为x 236+y 264=1，则该椭圆的长轴长为( )A. 6B. 12C. 8D. 163.已知椭圆C:x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为( )A. 2B. 4C. 23 D. 434.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则渐近线方程是( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±3xD. y =±33x 5.已知抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，则此抛物线的标准方程是( )A. y 2=16xB. x 2=−8yC. y 2=16x 或x 2=−8yD. y 2=16x 或x 2=8y6.“a =3”是“直线l 1:ax−2y +3=0与直线l 2:(a−1)x +3y−5=0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知动圆C 与圆C 1:(x−3)2+y 2=4外切，与圆C 2:(x +3)2+y 2=4内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x 2=4y,y ∈[0,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|A y y y N ==∈，()(){}2|log 12B x y x x ==+-，则A B =I （）A ．{}|02x x ≤<B ．{}2|0x x ≤≤C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】对于集合A ，先求出定义域，再求出y =y N ∈，得到集合A ；对于集合B ，令真数大于0，求出x 得范围，然后求集合A 和集合B 的交集即可. 【详解】对于集合A ，令240x -≥，解得22x -≤≤，所以2044x ≤-≤，所以02y ≤=≤，又因为y N ∈，所以{}0,1,2A =；对于集合B ，()()120x x +->，解得12x -<<，所以{}|12B x x =-<<，故{}0,1A B =I . 故选：C 【点睛】本题主要考查求解函数的定义域和值域，以及集合的基本运算，注意求解值域时要优先求解函数的定义域，属于基础题.2．“23k παπ=+”是“sin α=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由23k παπ=+可得sin α=；反之，sin α=，不一定得23k παπ=+，再结合充分必要条件的判定可得答案. 【详解】当23k παπ=+，k Z ∈时，sin α=成立，当sin α=时，23k παπ=+或223k παπ=+，k Z ∈，所以sin 2α=时，不一定有23k παπ=+，k Z ∈，所以“23k παπ=+”是“sin α=”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判定，属于基础题. 3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且22a b ==r r ，则a b +=r r （）A ．3BC ．7D【答案】D【解析】由()22a b a b +=+r r r r 展开计算得到2a b +r r 的值，从而得到答案.【详解】由题意，平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ，所以()22222a b a ba ab b +=+=+⋅+r r r r r r r r222221cos173π=+⨯⨯⨯+=，所以a b +=r r.故选：D 【点睛】本题主要考查求向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.5．在ABC ∆中，若4a =，3c =，ABC S ∆=cos2B =（）A ．3B ．3C ．13D ．23【答案】C【解析】由三角形面积公式求得sin B ，再由二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由三角形面积公式，1sin 2ABC S ac B ∆==sin B =，由二倍角的余弦公式，2cos 212sin B B =-，解得1cos 23B =. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和二倍角的余弦公式，属于基础题.6．已知函数()()xf x x m e =+，m R ∈，若函数()f x 的极值点为1x =，则关于x 的不等式()24f x x <-的解集为（） A ．{}|ln 22x x << B ．{}2|0x x ≤≤ C ．{}|02x x <<D ．{}|0ln 2x x <<【答案】A【解析】由函数()f x 的极值点为1x =，求导解出2m =-，再将()24f x x <-变形整理得()()220xx e --<，解不等式即可.【详解】由题意，求导得()()()1xxxf x e x m e x m e '=++=++，当1x =时，()f x 取极值，所以()()11110f m e '=++=，解得2m =-，所以()()2xf x x e =-，所以()24f x x <-即()()222xx e x -<-，移项整理得，()()220xx e --<，解得ln 22x <<.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及不等式求解，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.7．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．8 B ．9C ．6D ．7【答案】B【解析】利用已知条件得到211y x +=，再化简()212x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得2x y +的最小值，然后再利用恒成立，得到m 的最大值. 【详解】由2x y xy +=可得211y x+=，()21222255549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当22x yy x=时，等号成立，所以2x y +的最小值为9，又因为2x y m +≥恒成立，所以9m ≤，即m 的最大值为9. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题和不等式的恒成立问题，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.8．如图，函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上一个周期内的A ，B 两点，满足()()()01A B f x f x m m =-=<<.若2A B x x π-=，要得到函数()f x 的图象，则需将函数sin y x ω=的图象（）A ．向左移动3π个单位 B ．向右移动3π个单位 C ．向左移动6π个单位 D ．向右移动6π个单位【答案】C【解析】利用()()A B f x f x =-和诱导公式构建等式关系，得到A x 和B x 的关系，再利用2A B x x π-=，解出ω，最后由三角函数图象的变换规律得到结果.【详解】由()()A B f x f x =-和()sin sin παα+=-，得sin sin sin 333AA B x x x πππωωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以33A B x x ππωπω++=+，得()B A x x ωπ-=，由图象B A x x >，所以2B A x x π-=，解得2ω=，所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故需要将sin 2y x =向左移动6π个单位得到得到函数()f x 的图象.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移变换，注意平移不包括平移x 的系数，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.9．已知函数12log (1),0()21,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩，若3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（） A ．11,2骣琪-琪桫 B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+?【答案】C【解析】根据函数()f x 的单调性，当0a ≥时，不等式恒成立；当10a -<<时，构造函数3()()2g a f a f a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减，302a +>恒成立，323212a f a +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若[)0,a ∈+∞，显然3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立；若()1,0a ∈-，由函数()f x 的单调性，可知函数32123()()21log (1)2a g a f a f a a +⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭在()1,0-上单调递增，又12111()(1)()21log 0222g f f -=--=--=，即1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3()()02g a f a f a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭.综上，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算能力，属10．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的取值为（） A ．14 B ．74C ．14或74D ．1或74【答案】C【解析】由函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，解出3124k ω=+，再结合()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求得ω的范围，对选项检验即可.【详解】由题意，函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以sin 062233f πππω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即236k πππω⋅-=，k Z ∈，解得，3124k ω=+，k Z ∈，又因为()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以4422Tπππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭,2T πω=，解得，02ω<≤，所以k 可以取0或1，即14ω=或74ω=.故选：C 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，利用好正弦函数的对称中心、单调区间和周期的关系式解题的关键，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 11．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，记集合(){}|sin ,121,i M x x a i n i N +==≤≤+∈，且()0,n a π∈，若集合M 中有1n +个元素，则21n S +=（）A ．n πB ．2n πC ．12n π+ D ．212n π+ 【答案】D【解析】由题意，()sin i x a =，集合M 中有1n +个元素，可以得到()sin i x a =有n 项重复，数列{}n a 关于2x π=对称，所以()1sin 1n a +=，解出1n a +，再由等差数列前n 项和公式求解21n S +即可. 【详解】由题意，121i n ≤≤+，i N +∈，所以()sin i x a =共有21n +项，因为集合M 中有1n +个元素，所以()sin i x a =有n 项重复，{}n a 关于2x π=对称，由()0,n a π∈和()sin sin απα=-，所以()()121sin sin n a a +=，()()22sin sin n a a =，⋅⋅⋅ ，()()2sin sin n n a a +=，所以()1sin 1n a +=，即12n a π+=，所以()()()1211212122121222n n n a a n a n n S π+++++++===.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质、等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的分析转化能力，属于中档题.12．已知函数()()()()2100xx x e ax x f x e x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若不等式()()f x f x +-≤立，则a 的取值范围为（） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B．⎛ ⎝ C．⎫+∞⎪⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】令()()()g x f x f x =+-，则()g x 是偶函数，所以考虑0x >的情况即可，由()()f x f x +-≤0x >时()g x 的解析式并分离参数，构造新的函数()h x ，利用导数求得()h x 的最大值即可. 【详解】令()()()g x f x f x =+-，()()()()g x f x f x g x -=-+=，所以()g x 是偶函数，()()002(0)20102g f e a -⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦成立，所以考虑0x >的情况即可，当0x >时，()()()()212xx x g x f x f x x eax e xe ax ---=+-=--+=-，()()f x f x +-≤2xxeax --≤恒成立，分离参数，即2xea -≤恒成立，令()2xh x e-=0x >，则()2xh x e-'=-，0x >，()0h x '=，即20x e --=，解得12x =， ()0h x '<，解得12x >，所以()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()0h x '>，解得102x <<，所以()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()h x 在12x =处取得极大值即最大值，12112122h e -⎛⎫=-=⎪⎝⎭，又因为()2xh x e a -=≤恒成立，所以a ≥故选：C 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用导数求最值，考查学生构造函数和分离参数的应用，同时还考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.二、填空题13．等比数列{}n a 中，3S 21=，232a a =则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】n 132-⨯【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，用首项和公比q 表示出已知条件，计算即可求解．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，3S 21=Q ，232a a =，()21a 1q q 21∴++=，2q =，解得1a 3=．数列{}n a 的通项公式n 1n a 32-=⨯．故答案为：n 132-⨯．【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，()0f ()'0f =，且则曲线()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为______.【答案】y =+【解析】由()()20f x f x -+=得到()f x 的对称中心，再根据()f x 是偶函数，求出()2f -，对()()20f x f x -+=两边求导，得到()f x ¢的对称轴，再根据()f x ¢是奇函数，得到()'2f -，最后求出切线方程即可. 【详解】因为()()20f x f x -+=，所以()f x 关于()1,0中心对称，又()f x 是偶函数，所以()f x 关于()1,0-中心对称，所以()2f -=，对()()20f x f x -+=两边求导，得()()20f x f x ''--+=，所以()f x ¢关于1x =对称，又()f x 是偶函数，所以()f x ¢是奇函数，所以()f x ¢关于1x =-对称，因为()0f '=，所以()2f '-=所以()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为：()(2)(2)2y f f x '--=-+，即()332y x +=+，所以切线方程为：33y x =+.故答案为：33y x =+【点睛】本题主要考查函数和导函数的奇偶性和对称性以及利用导数求函数的切线方程，考查学生的转化分析能力，属于中档题.15．在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90C ∠=︒，2BC CD ==，则四边形ABCD的对角线AC 的最大值为______. 【答案】31+【解析】求解出BD 为定长，又60A ∠=︒，所以点A 在以BD 为弦的圆上运动，建立直角坐标系，利用数形结合找到对角线AC 最大值时点A 的位置，再求解即可. 【详解】根据题意，90C ∠=︒，2BC CD ==，所以2BD =，由于60A ∠=︒，2BD =为定长，所以A 在以BD 为弦的圆上运动，以点D 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系，画出图象如图所示，则()2,0B ，()1,1C ，BD 中点()1,0E在ABD △中，由正弦定理232sin sin 602BD R A ===o，得33R =，圆心O 在BD 的垂直平分线上，2222OE EB OB R +==，所以3OE =，即1,O ⎛ ⎝⎭，延长CO 交圆O 于点A '，所以对角线AC 的最大值即A C '的长度，因为1CE =,OE =,OA '=所以11A C CE OE OA ''=++=+=，即四边形ABCD 的对角线AC 1.1 【点睛】本题主要考查正弦定理求外接圆半径，直线与圆的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于难题.16．已知ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，2PB PC +=u u u r u u u r，AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，那么2λμ+的取值范围为______.【答案】3322⎡⎢⎣⎦【解析】利用余弦定理解出ABC ∆是等腰直角三角形，由向量的坐标形式表示出2PB PC +=u u u r u u u r ，得到点P 的轨迹，再由向量的坐标形式表示出AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，最后由线性规划求解2λμ+的范围即可. 【详解】根据题意，在ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，由余弦定理，222222cos 2224AB BC AC BC AC ACB π=+-⋅∠=+-⨯以点A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，)B，(C ，设点(),P x y ，),PB x y =--u u u r ，()PC x y =-u u u r ，(),AP x y =u u u r，(AC =u u u r ，)AB =u u u r，所以)22PB PC x y +=u u u r u u u r ，)AB AC λμ+=u u u r u u u r ，由2PB PC +=u u u r u u u r，得()()2222222x y-+-=，整理得，2222122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点P 的轨迹在以点22,22O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径1R =的圆上，由AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得()(),2,2x y λμ=，所以22x λ=，22y μ=，所以2222x y λμ+=+，在点M 时，2λμ+取得最大值，在点N 时，2λμ+取得最小值，此时圆心O 到2222x y λμ+=+的距离为半径R ，由点到直线的距离公式，()()22222222221222λμ⨯+⨯-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得31022λμ+=±，所以3103102,2222λμ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：31031022⎡-⎢⎣⎦【点睛】本题考查了余弦定理、向量的表示、向量模长的计算、点到直线的距离公式和线性规划的应用，考查学生的分析转化能力、数形结合能力和计算能力，是一道综合性很强的题目，属于难题.三、解答题17．已知m R ∈，设命题p ：(]1,7x ∈-，方程()22log 12x m m +=-存在实数解；命题q ：不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈恒成立. （1）若p 为真命题，则m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 取值范围. 【答案】（1）13m -≤≤（2）532m <≤或1m <- 【解析】（1）在命题p 中，由x 的范围求解出()2log 1x +的范围，根据命题p 是真命题，求解关于m 的一元二次不等式即可；（2）利用恒成立分离参数得到411222x xx xm +≤=+，构造函数()1g t t t =+，[]2,4t ∈，利用单调性求得()g t 的最小值，从而得到m 的范围，再由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得p 、q 中必有一真一假，分情况讨论，得到最后的答案. 【详解】（1）因为17x -<≤，所以018x <+≤，则()2log 13x +≤，由已知条件可得223m m -≤，解得13m -≤≤，故p 为真命题时，13m -≤≤.（2）因为不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈，则411222x x x xm +≤=+，令2xt =，[]2,4t ∈，则1m t t≤+，[]2,4t ∈，令()1g t t t=+，可知()g t 在[]2,4上为增函数，()()min 152222g t g ==+=. 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则p 、q 中必有一真一假，若p 为真命题，q 为假命题时，则532m <≤；若p 为假命题，q 为真命题时，则1m <-，综上所述532m <≤或1m <-. 【点睛】本题主要考查对数不等式求解、一元二次不等式求解、恒成立问题和命题的概念，注意分离参数和构造函数的应用，是考试中常出现的问题，还考查学生的分析转化能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy ，O 为坐标原点，()1,0A -，()()()cos ,sin 0,B θθθπ∈，(Q ，C 为平面内一点，且满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设四边形OACB 的面积为S .（1）若OQ OC ⊥，求θ的值；（2）记()f OA OC S θ=⋅+u u u r u u u r，求()f q 的取值范围.【答案】（1）23πθ=（2）()(1f θ⎤∈⎦【解析】（1）由已知条件求出OC u u u r，再由OQ OC ⊥，得到cos 10θθ-=，利用辅助角公式化简，求出θ即可；（2）根据向量关系得到四边形OACB 是平行四边形，并根据三角形面积公式求出S 的表达式，再求出OA OC ⋅u u u r u u u r，化简()f q ，根据角θ的范围求出()f q 的取值范围即可. 【详解】（1）由题，()1,0OA =-u u u r ，()cos ,sin OB θθ=u u u r，(OQ =u u u r ，由已知条件()cos 1,sin OC OA OB θθ=+=-u u u r u u u r u u u r，因为OQ OC ⊥，所以0OQ OC ⋅=u u u r u u u r，即cos 10θθ-=，由辅助角公式得，2sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为∵0θπ<<，∴7666πππθ<+<，所以566ππθ+=，得23πθ=. （2）由（1）知，1cos OA OC θ⋅=-u u u r u u u r，由OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可知四边形OACB 为平行四边形，向量OA u u u r 和向量OB uuu r的夹角为πθ-，所以()()12sin sin sin 2S OA OB πθπθθ=⨯-=-⋅=u u ur u u u r .所以()1cos sin OA OC S f θθθ=⋅+=-+u u u r u u u r 14πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0θπ<<，∴3444πππθ-<-<，当44ππθ-=-时，()0fθ=，当42ππθ-=时，()max 1fθ=即()(1f θ⎤∈⎦. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，辅助角公式和三角函数求值域，考查学生的分析转化能力，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos a b c B +=. （1）求角C 的值；（2）若c =D 为线段AB 的中点，且满足cos 7ACD ∠=，求a ，b . 【答案】（1）23C π=（2）2a =，3b = 【解析】（1）22cos a b c B +=由正弦定理边化角得到2sin sin 2sin cos A B C B +=，在三角形中，利用()sin sin A B C =+，展开后化简求值即可；（2）在ACD ∆中利用用正弦定理表示出sin b AD ADC =∠，同理在BCD ∆中利用正弦定理表示出sin a BDC =∠，根据sin sin ADC BDC ∠=∠，AD BD =，求出求a 和b 的关系，在ABC ∆中，根据余弦定理求解即可.【详解】（1）因为22cos a b c B +=，在三角形ABC ∆中由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B +=，又因为∵A B C π++=，∴()A B C π=-+，得()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=， ∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-.又因为()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵cos 7ACD ∠=，∴sin ACD ∠==7=，在ACD ∆中由正弦定理得：sin sin AD b ACD ADC =∠∠即sin b ADC =∠，∵23BCD ACD π∠=-∠， ∴2cos cos 3BCD ACD π⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭1cos 2ACD ACD =-∠+∠，∴1cos 2BCD ∠=-=，在BCD ∆中由正弦定理得：sin sin BD aBCD BDC=∠∠，即sin a BDC =∠，又因为AD BD =，ADC BDC π∠+∠=，sin sin ADC BDC ∠=∠，即32a b =.在ABC ∆中由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即22223322a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得2a =，3b =.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 为等比数列，且1123n n n a a -+-=.（1）求公比q 和1a 的值；（2）设数列()31log n n n b a a +=⋅，设121321n n n n n T b a b a b a b a --=++++L ，求n T .【答案】（1）11a =，3q =.（2）31nn T n =--【解析】（1）由等比数列通项公式展开1n a +和n a 并化简，求出公比q 和1a ；（2）先求出n b 的通项公式，利用错位相减求和求出n T 即可. 【详解】（1）设等比数列的首项为1a ，公比为q ，则()111111112223nn n n n n a a a q a q a q a q ---+-=-=-=，所以11213q a q a ==-⎧⎨⎩ ，解得11a =，3q =.（2）由（1）得，13-=n n a ，所以1211333n n n n n a a --+⋅==，所以()()21313log log 321n n n n b a a n -+===-，()()123133353233211n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，()()234111333532312133n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得()()12342132333312133n n n n n T n ----=++++⋅⋅⋅++--⨯，()111132213231333n n n n T --⨯-=+⋅-+-，所以31nn T n =--.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用和错位相减求和，考查学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()()()121102x x a e a f x x ax -=---+≥. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x x =取得极小值，若()12f x e ≥-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[)(]0,11,2a ∈U【解析】（1）对()f x 求导，求出()f x ¢的零点，对a 进行分类讨论，讨论每种情况下()f x 的单调性即可；（2）讨论a 三种情况下()f x 的极小值，1a =时，()f x 无极小值；01a ≤<时，()f x 的极小值122e ->-，所以成立；1a >时，()f x 的极小值1212a e a --+，构造函数()()12112x e x x x ϕ-=-+>，判断()x ϕ的单调性求出a 的范围即可.【详解】（1）由题意，()()()11x f x x a e-'=--.令()0f x ¢=解得1x a =，21x =，①当01a ≤<时，(),x a ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a -∞为增函数；(),1x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在(),1a 为减函数； ()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在()1,+?为增函数；②当1a =，x ∈R 时，()0f x ¢³，则()f x 在R 为增函数；③当1a >时，(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1-∞为增函数；()1,x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在()1,a 为减函数；(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a +∞为增函数；综上所述：当01a ≤<时，()f x 在(),1a 为减函数，在(),a -∞和()1,+?为增函数；当1a =时，()f x 在R 为增函数；当1a >时，()f x 在()1,a 为减函数，在(),1-∞和(),a +∞为增函数；（2）由（1）可当1a =函数()f x 不存在极值点，当01a ≤<时，可知函数()()1122f x f e ==->-极小值，所以01a ≤<成立；当1a >时，可知函数()()12212a f x f a e a a -==--+极小值1212a e a -=-+，令()()12112x ex x x ϕ-=-+>，则()1x x ex ϕ-'=-+，()11x x e ϕ-''=-+，当1x >时，()0x ϕ''<，即()x ϕ'在()1,+?为减函数，所以()()10x ϕϕ''<=，所以()x ϕ在()1,+?上为减函数，又因为()22e ϕ=-，所以()()22a e ϕϕ≥=-，由()x ϕ在()1,+?上为减函数，得12a <≤.综上所述，当[)(]0,11,2a ∈U ，()12f x e ≥-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，还考查学生分类讨论的思想和分析转化能力，属于中档题. 22．设函数()22xx xef x e -=-.（1）求函数()f x 的极值点；（2）设函数()()12xg x f x e k =++有两个零点，求整数k 的最小值. 【答案】（1）()f x 的极大值点为0（2）2 【解析】（1）对()f x 求导，()()2212xxf x ex e -'=--，因为xe -恒大于0，所以()f x¢的正负等价于212x x e --的正负，构造新的函数，求导判断212x x e --的正负，从而求出()f x 的极值点；（2）将()g x 的零点问题转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-图像的交点问题，判断2322x x y xe e -=-的极大值的范围，构造关于2322xx y xe e -=-的极大值的函数，利用导数求得其范围，从而得到k 的范围，求出整数k 的最小值. 【详解】因为()()()2212212xx x x f x x ee e x e --'=--=--，令()21xh x x e =--，()2120xh x e '=--<，因为当x ∈R ，()2120xh x e'=--<，所以()h x 在R 上为减函数，因为()00h =，又因为()h x 在R 上为减函数.当(),0x ∈-∞，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在(),0-?为增函数，当()0,x ∈+∞，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在(),0-?为减函数，所以()f x 的极大值点为0. （2）()322xx g x xee k -=-+，由题意函数()g x 有两个零点，可转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-的图像有两个交点，令()322xx xex e ϕ-=-，则()()233212222x x x x x e e e x e x ϕ--⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'，第 21 页共 21 页令()23222x x m x e =--，则()2230x x e m =--<'，即()m x 在R 上为减函数，因为()1002m =>，()23102m e =-<， ()00,1x ∃∈，使得()00m x =，即02032202x x e --=，当()0,x x ∈-∞，()0m x >，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,x -∞为增函数，当()0,x x ∈+∞，()0m x <，即()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,x +∞为减函数， ()()00002000332222x x x x x x e e e x e x ϕϕ--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=极大值，由02032202x x e --=得0203222x x e -=，所以0x e =，代入得()()00042x x e x ϕ-=-= 事实上131022m e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13042m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即010,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令t =2t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，201x t =-，带入()()00042x x e x ϕ-=-=()12n t t t ⎫==-⎪⎭，又因为()n t在区间,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，所以()()1n t ∈-，即()()01x ϕ∈-，所以k -<，即k >所以整数k 的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的综合应用、构造函数法判断函数的单调性和极值，函数的零点问题，考查学生的分析转化能力，属于难题.。

2018届江西省南昌县莲塘一中高三11月质量检测数学(文)试题 Word版含解析

2018届江西省南昌县莲塘一中高三11月质量检测数学（文）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵据此可得：，均不正确，且本题选择C选项.2. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴复数的虚部为-3.本题选择B选项.3. 已知，则下列说法错误的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】为减函数，所以为增函数，所以，选D.4. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知得，故=.考点：1、正切的二倍角公式；2、同角三角函数基本关系式.5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是如图所示的四棱柱，其中：底面积为：，侧面积：，，，则该几何体的表面积为：。

本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．6. 已知是不共线的向量，，若三点共线，则的关系一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于与有公共点A ，∴若A. B. C 三点共线，即存在一个实数t,使，则，消去参数t 得；反之，当时，，此时存在实数使，故和共线.又由于与有公共点A ，∴A 、B. C 三点共线.故A. B. C 三点共线的充要条件是.本题选择A 选项. 7. 已知数列为等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，得，所以.由,得，或（由于与同号，故舍去）.所以.故选A. 8. 已知，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为，化简可得，故，即，当且仅当是等号成立，即的最小值是8，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的。

江西省名校2020届高三数学(文)上学期11月大联考试卷附答案解析

江西省名校2020届高三上学期11月大联考数学（文）试卷一、单选题1．已知集合{|0}A x x =<，2{|40}B x x =-≤，则A B =I （）A ．(,2)-∞-B ．[4,0)-C ．[2,0)-D ．(,0)-∞2．已知角α终边上一点M 的坐标为(1,3)，则sin 2α=（）A ．12-B ．12C ．32-D ．323．若函数ln ,1()1,1x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上为单调递增函数，则a 的取值范围是（） A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．[1,0)-D ．(,1)-∞- 4．已知1sin(π2)2α-=-，则2πcos ()4α-=（） A ．12 B ．14C ．34D ．135．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．-8B ．-6C ．-3D ．36．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（） A ．B ．C ．D ．7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-8．设0>ω，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数()3sin 2f x x x =+，正实数,a b 满足(3)(2)0f a f b +-=，则22a b +的最小值为（）A ．105B ．45C ．25D ．3510．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <与函数ln y x =的图象存在公共切线，则a 的取值范围是（）A ．1[,)2e +∞ B ．1(0,]2eC ．21[,)2e+∞ D ．21(0,]2e二、填空题13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．14．已知非零向量a r 与b r的夹角为θ，若||3||,(2)()a b a b a b =-⊥+r r r r r r ，则cos θ=________．15．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________． 16．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台，1.4千台，1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y （单位：千台）和月份x 之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：①2()(0)f x ax bx c a =++≠；②()(0,1)x g x pq r q q ≠=+>，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台. 三、解答题17．已知函数π2π()2sin()cos()23f x a x x =--，且π()13f =．（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若()f x k ≤在区间π[0,]2上恒成立，求k 的取值范围．18．已知数列{}n a 满足16a =，当1n >时，12n n n a a -=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,3sin 4sin a c b a C b A +==. （1）求cos C ；（2）若ABC V 的面积为3154，求b 的值.20．已知函数ln ()x af x x x-=-()a R ∈．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在x e =处的切线方程；（2）试讨论函数()f x 的零点个数.21．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()nnn nS n S *-=+∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n n a b S S ++=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12312nTT T T ⋅⋅⋅>.22．已知函数21()ln 2(1)2f x x x mx m =+->．（1）求函数()f x 的极值点；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，证明：ln 1t t mt >-．解析江西省名校2020届高三上学期11月大联考数学（文）试卷一、单选题1．已知集合{|0}A x x =<，2{|40}B x x =-≤，则A B =I （）A ．(,2)-∞-B ．[4,0)-C ．[2,0)-D ．(,0)-∞【答案】C【解析】化简集合B ，按交集定义结合数轴，即可求解.2{|40}[2,2]B x x =-≤=-，[2,0)A B =-I .故选:C.【点睛】本题考集合间的运算，属于基础题.2．已知角α终边上一点M 的坐标为(1,3)，则sin 2α=（）A ．12-B ．12C ．32-D ．32【答案】D【解析】根据题意，结合α所在象限，得到sin α和cos α的值，再根据公式，求得答案. 由角α终边上一点M 的坐标为()1,3，得3sin 2α=，1cos 2α=，故3sin 22sin cos 2ααα==，故选D. 【点睛】本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题. 3．若函数ln ,1()1,1x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上为单调递增函数，则a 的取值范围是（）A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．[1,0)-D ．(,1)-∞- 【答案】A【解析】()f x 在R 上为单调递增函数，只需(1,)+∞递增，以及右段函数图像的最低点不低于左段函数图像的最高点，即可求出结论. 【详解】函数ln ,1()1,1x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上为单调递增函数，需010a a >⎧⎨-≤⎩，解得01a <≤.故选:A. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，要注意分段区间有相同单调性合并的条件，属于基础题. 4．已知1sin(π2)2α-=-，则2πcos ()4α-=（） A ．12 B ．14C ．34D ．13【答案】B【解析】根据诱导公式求出sin 2α，再用降幂公式和诱导公式，即可求解. 【详解】1sin(π2)sin 22αα-==-2π11cos ()cos(2)4222παα-=+-111sin 2224α=+=.故选:B.【点睛】本题考查诱导公式和降幂公式求值，属于基础题.5．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．-8B ．-6C ．-3D ．3【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，然后将目标函数化为斜截式，得到过点B 时，直线的截距最小，从而得到答案. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---，2z x y =+，则1122y x z =-+，当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时，z 取到最小值，所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-，故选：B ．【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题. 6．函数2()(1)sin 21xf x x =-+在[2,2]-上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】先判断出()f x 是偶函数，排除C 、D ，再由()1f 的正负排除B ，从而得到答案.【详解】因为()()21sin 21x f x x -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭2221sin 1sin ()1221x xx x x f x ⎛⎫⋅⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当1x =时，1(1)sin103f =-<，排除B ，故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题.7．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【解析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.8．设0>ω，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x πω=+的图象重合，则ω的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意得到平移后的解析式sin()63y x ωωππ=++，再将函数cos()3y x πω=+化为5sin()6y x ωπ=+，从而得到52636k ωπππ+=+π，得到ω的表达式，根据ω的范围，得到答案. 【详解】将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数sin()63y x ωωππ=++的图象，又5cos()sin()36y x x ωωππ=+=+，所以52,636k ωπππ+=+π整理得123()k k ω=+∈Z ，又0>ω，所以ω的最小值为3 ，故选：C ．【点睛】本题考查正弦型函数的平移，正弦型函数的图像与性质，属于简单题.9．已知函数()3sin 2f x x x =+，正实数,a b 满足(3)(2)0f a f b +-=，则22a b +的最小值为（）A ．105B ．45C ．25D ．35【答案】C【解析】根据()f x 的单调性和奇偶性可得,a b 关系，代入22a b +转化为求关于a 或b 函数最小值. 【详解】()3sin 2,()32cos20f x x x f x x '=+=+>在R 上恒成立，()f x ∴在R 上是增函数，()3sin 2()f x x x f x -=--=-，(3)(2)0,(3)(2)(2)f a f b f a f b f b +-==--=-，232,32,0,03a b b a b a =-=-+>∴<<， 22222(3241012)a a b a a a ++--+==+23210()55a =-+，当35a =时，22a b +最小值为25.故选:C.【点睛】本题考查函数性质的应用，求出参数关系是解题关键，等价转化为二次函数的最值，属于基础题. 10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <时，()0f x >.对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <，有120()()f x f x <<，故12()()<g x g x ，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数，因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数. 又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈，所以0.2212log 4.1<<<π，而0.20.2(2)(2)b g g =-=，所以b a c <<，故选:C ．【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，根据函数的性质比较大小，属于中档题.11．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（） A ．78B ．85C ．1D ．95【答案】D【解析】根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得到q 的值，再表示出2S ，3S ，4S ，再由2mS ，3S ，4S 成等比数列，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案. 【详解】设{}n a 的公比为(0q q ≠且1)q ≠，根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以2210q q --=，即(1)(21)0q q -+=.因为1q ≠，所以12q =-，则2112(1)3141a q a S q q -==⋅--，3113(1)9181a q a S q q -==⋅--，414(1)1a q S q-==-115161a q ⋅-. 因为2mS ，3S ，4S 成等比数列，所以2324S mS S =⋅，即211193158141161a a a m q q q ⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⋅ ⎪---⎝⎭，211193151118416111222a a a m ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅=⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得95m =.故选：D ．【点睛】本题考查等比数列通项和求和的基本量计算，等差中项、等比中项的应用，属于中档题. 12．若抛物线2(0)y ax a =>与函数ln y x =的图象存在公共切线，则a 的取值范围是（）A ．1[,)2e +∞ B ．1(0,]2eC ．21[,)2e +∞ D ．21(0,]2e 【答案】A【解析】设公切线与函数ln y x =切于00(,ln )P x x ，求出切线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出a 与0x 函数关系，即可求解/ 【详解】设00(,ln )P x x 是公切线与函数ln y x =的切点，1y x'=，切线的斜率为01x ，切线方程为0000011ln (),ln 1y x x x y x x x x -=-=+-，与抛物线方程联立得0021ln 1y x x x y ax ⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得2001ln 10ax x x x --+=，公切线与抛物线相切，02014(1ln )0a x x ∆=--=， 20001(1ln ),0,04x x a x e a=->∴<<Q ，设2()(1ln ),0f x x x x e =-<<，1()2(1ln )2(ln )2f x x x x x x '=--=-，当(0,)x e ∈时，()0,()f x f x '>单调递增，当(,)x e e ∈时，()0,()f x f x '<单调递减，当xe =时，()f x 取得极大值为2e，也是最大值， 0,()0,()00()2e x f x f e f x →→=∴<≤，110,422e a a e∴<≤∴≥.故选:A. 【点睛】本题考查由导数的几何意义求切线方程，以及通过方程解的个数求切线关系，建立等量关系是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．【答案】12【解析】根据题意可知4x >时，函数()f x 有周期性，判断25log 6+的范围，然后利用周期性，得到()()225log 61log 6f f +=+，代入4x ≤时的解析式，得到答案.【详解】由题意4x >时，函数()()1f x f x =-，所以()f x 在()4,+∞时，周期为1，因为22log 63<<，所以()25log 67,10+∈，()21log 63,4+∈，所以()()225log 61log 6f f +=+21log 622612+==⨯=.故答案为：12. 【点睛】本题考查函数的周期性，求分段函数的值，属于简单题.14．已知非零向量a r 与b r的夹角为θ，若||3||,(2)()a b a b a b =-⊥+r r r r r r ，则cos θ=________．【答案】33【解析】由(2)()a b a b -⊥+r r r r 求出a b ⋅r r与||b r 的关系，再由向量夹角公式，即可求解.【详解】222(2)(),(2)()20a b a b a b a b a a b b b a b -⊥+∴-⋅+=-⋅-=-⋅=r r r r r r r r r r r r r r r,222||3||,cos 3||||3||a b b a b b a b b θ⋅⋅====r r rr r r r r r .故答案为:33. 【点睛】本题考查向量的夹角，考查向量数量积的运算，熟记公式即可，属于基础题.15．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________．【答案】72【解析】根据39S S =，得到670a a +=，结合25240a a +=>，得到数列{}n a 的前6项为正，从而得到6n =时，n S 的最大值，得到答案. 【详解】由39S S =，得4567890,a a a a a a +++++= 根据等差数列下标公式可得670,a a += 又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正，所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故答案为：72. 【点睛】本题考查等差数列的下标公式，前n 项和的最值，属于简单题.16．新能源汽车是战略性新兴行业之一，发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备，2019年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长，1，2，3月份的销售量分别为1.2千台，1.4千台，1.8千台，为估计以后每个月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟汽车的月销售量y （单位：千台）和月份x 之间的函数关系，有以下两个函数模型可供选择：①2()(0)f x ax bx c a =++≠；②()(0,1)x g x pq r q q ≠=+>，如果4月份的销售量为2.3千台，选择一个效果较好的函数进行模拟，则估计5月份的销售量为________千台. 【答案】3.2【解析】分别用1，2，3月份的销售量代入两个模拟函数，求出待求系数，进而求出四月份的销售量，与2.3千台比大小，即可得出结论. 【详解】将(1,1.2),(2,1.4),(3,1.8)代入()f x 得，1.242 1.493 1.8a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得到30.250.4a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20.10.1,()0.10.1 1.21.2a b f x x x c =⎧⎪=-∴=-+⎨⎪=⎩，(4)0.1160.14 1.2 2.4f =⨯-⨯+=；将(1,1.2),(2,1.4),(3,1.8)代入()g x 得，23 1.21.41.8pq r pq r pq r +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，整理得， 1.4 1.81.2 1.4r rq r r --==--，解得1,2,0.1,()0.121xr q p g x ====⨯+，4(4)0.121 2.6g =⨯+=，用两个模拟函数求出4月份的销售量，()f x 更接近2.3千台，选择()f x 作为模拟函数，(5)0.1250.15 1.2 3.2f =⨯-⨯+=（千台）.故答案为:3.2 【点睛】本题考查函数的模型选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知函数π2π()2sin()cos()23f x a x x =--，且π()13f =．（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若()f x k ≤在区间π[0,]2上恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2；π（2）[1,)+∞【解析】（1）由π()13f =求出a ，利用诱导公式，以及三角恒等变换，化简()f x 为正弦型函数，即可得出结论；（2）()f x k ≤在区间π[0,]2上恒成立，即为max ()f x k ≤，根据整体代换和正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =．所以31()4cos (sin cos )22f x x x x =-223sin cos 2cos x x x =- 3sin 2cos21x x =--π2sin(2)16x =--，所以()f x 的最小正周期为π．（2）()f x k ≤在区间π[0,]2上恒成立，则在区间π[0,]2上，max ()k f x ≥，因为π()2sin(2)16f x x =--，当π[0,]2x ∈时，ππ5π2[,]666x -∈-，所以当ππ2=,62x -即π3x =时函数()f x 取得最大值1，所以1k ³．故k 的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】本题考查三角恒等变换，以及三角函数的性质，注意整体代换方法的应用，熟记公式是解题的关键，属于中档题.18．已知数列{}n a 满足16a =，当1n >时，12n n n a a -=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）122()n n a n +*=+∈N （2）n T =1(1)22n n +-⋅+【解析】（1）根据已知递推公式关系，用累加法求数列{}n a 的通项公式；（2）求出{}n b 的通项公式，根据通项特征，采用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）由当1n >时，12n n n a a -=+，得2212a a =+，332+2a a =，4432a a =+，…，1122n n n a a ---=+，12n n n a a -=+，所以2123+112(12)22++262+212n nn n a a --=++⋅⋅⋅=+=-，所以122(1,)n n a n n +*=+>∈N ，当1n =时，21226a =+=，满足上式，所以122()n n a n +*=+∈N . （2）因为22n nn na b n n =-=⋅，所以231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅L ①，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅L ②，①-②得23122222nn n T n +-=++++-⋅L ，则11222n n n T n ++-=--⋅，故1(1)22n n T n +=-⋅+．【点睛】本题考查求数列的通项公式，以及求数列的前n 项和，对于常考类型的通项公式求法、求前n 项和要多归纳总计，考查计算求解能力，属于中档题.19．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2,3sin 4sin a c b a C b A +==. （1）求cos C ；（2）若ABC V 的面积为3154，求b 的值. 【答案】（1）14-（2）3 【解析】（1）根据正弦定理，把已知等式化为边的关系，利用余弦定理，即可求解；（2）求出sin C ，由已知面积条件求出ab 关系，结合已知，即可求解. 【详解】（1）因为3sin 4sin a C b A =，所以由正弦定理得34ac ab =，所以34c b =，即43c b =，又因为2a c b +=，所以23a b =，由余弦定理可得2222222416199cos 4243b b b a bc C ab b +-+-===-. （2）因为1cos 4C=-，所以15sin 4C =，则1315sin 24ABC S ab C ==△，所以6ab =，由23a b =，得3b =. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在解三角形中的应用，熟记公式，属于中档题.20．已知函数ln ()x af x x x-=-()a R ∈．（1）当0a =时，求函数()f x 的图象在x e =处的切线方程；（2）试讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）10ex y +-=（2）见解析【解析】（1）当0a =时，求出(),(),(),()f x f x f e f e ''，由直线方程的点斜式，即可求解；（2）令()0f x =分离参数化为2ln a x x =-，构造函数2()ln p x x x =-，问题转化为函数()p x 与y a=的交点个数. 【详解】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =-，21ln ()1xf x x -'=-.则1(e)e ef =-，(e)1f '=-，故函数()f x 的图象在x e =处的切线方程为 1(e)(e)e y x --=--，即10ex y +-=.（2）由()0f x =，得ln x ax x x=+，2ln a x x =-，令2()ln p x x x =-，则2112()2x p'x x x x-=-=，当2(0,)2x ∈时，()0p'x >，当2(,)2x ∈+∞时，()0p'x <，所以函数()p x 在2(0,)2上单调递增，在2(,)2+∞上单调递减，则max 2211()()ln (ln 21)02222p x p ==-=-+<，当0,(),,()x p x x p x →→-∞→+∞→-∞ 函数()p x 的图象如下：所以当1(ln 21)2a >-+时，函数()f x 无零点；当1(ln 21)2a =-+时，函数()f x 有1个零点；当1(ln 21)2a <-+时，函数()f x 有2个零点．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及应用导数求函数的零点，分离参数是解题的关键，考查数形结合思想，属于中档题.21．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122()nnn nS n S *-=+∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n n a b S S ++=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12312n TT T T ⋅⋅⋅>.【答案】（1）12n n a -=；（2）证明见解析.【解析】（1）将已知条件等式化简得到21nn S =-，再由前n 和与通项关系，即可求出{}n a 的通项公式；（2）求出{}n b 的通项公式，利用裂项相消法求出n T ，即可证明结论. 【详解】（1）由条件可知22210n n nn S S -+-=，即[(21)](1)0n n n S S ---=，又0n a >，当1n =时，可得11a =，所以21n n S =-，当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，当1n =时，也满足上式，所以12n n a -=.（2）1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b S S ++++===-----， 2231111111212121212121n n n T +∴=-+-++-------L 11111222(211==212121n n n n n ++++--=----），则1231232341121212121211212121212121222n n nn n n nT T T T ++----⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==>------.【点睛】本题考查数列前n 和求通项，以及裂项相消法求数列前n 项和，考查了推理和计算能力，属于中档题. 22．已知函数21()ln 2(1)2f x x x mx m =+->．（1）求函数()f x 的极值点；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，证明：ln 1t t mt >-．【答案】（1）极大值点为21m m --；极小值点为21m m +-（2）证明见解析【解析】（1）求()f x '，求出()0,()0f x f x ''><的解，进而求出单调区间，即可求出极值点；（2）根据（1）中极大值,t m 关系，求出t 的范围，将m 用t 表示，要证的不等式转化为证明关于t 的不等式，构造函数，用导数法求函数的最值，即可证明不等式. 【详解】（1）221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于2210x mx -+=，24(1)0m ∆=->，令()0f 'x =，则211x m m =--，221x m m =+-，在2(0,1)m m --上()0f 'x >，函数()f x 单调递增；在22(11)m m m m --+-，上()0f 'x <，函数()f x 单调递减；在2(1)m m +-+∞，上()0f 'x >，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的极大值点为21x m m =--，极小值点为21x m m =+-．（2）由（1）知函数()f x 的极大值点为21x m m =--，则2211(0,1)1t m m m m =--=∈+-，由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=，要证ln 1t t mt >-，只需证ln 10,(0,1)t t mt t -+>∈，只需证21ln 102t t t t t+-+>，即证22ln 10,(0,1)t t t t -+>∈，令2()2ln 1(0,,1)h x x x x x ∈=-+，则()2ln 22h'x x x =-+，令()2ln 22,(0,1)x x x x ϕ=-+∈，则22(1)()2x 'x x xϕ-=-=，当(0,1)x ∈时，'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增；()(1)0x ϕϕ∴<=，即()0h x '<，当(0,1)x ∈时，()h x 单调递减，2()(1)0,2ln 10h x h x x x ∴>=∴-+> 又(0,1)t ∈，则22ln 10t t t -+>，即ln 1t t mt >-.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值，不等式的证明，构造函数是解题的关键点和难点，属于较难题.。

江西省莲塘一中2022届高三数学11月月考文北师大版

江西省莲塘一中2022—2022学年度高三年级11月月考数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．集合}1|{2+==x y y A ，集合}1|{+==x y y B ，则=⋂B A （）A ．(){}1,0),2,1(B ．C ．D ．[)ω+,1 2．下列函数是幂函数的是（）A ．xy 2=B ．12-=x y C ．2)2(+=x y D ．32x y = 3．关于的方程)0(,0lg 2≥=-+a x a x 的实根的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．随的取值不同而不确定4．已知实数均不为零，6,tan sin cos cos sin παββαααα=-=-+且b a b a ，则=a b（）A ．B ．33C ．-D ．-33 5．O 是平面上一定点，A ．B ．C 是平面上不共线的三点，动点[),,0ωλλ+∈++=AC AB OA OP ABC ∆ABC ∆ab BA =cos cos ABC∆)23)(13(1+-=n n a n 23+n n 26+n n 463+n n 21++n n 043)4(9=+++x x a (][)ωω+⋃--,08,(]4,--ω[)4,8-(]8,--ω)2(412≤-+=x x y 4)2(+-=x k y ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125⎪⎭⎫ ⎝⎛+ω,125⎪⎭⎫⎝⎛43,31⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0)0,1(),0,1(N M -043=+-m y x 0=•PN PM (][)ωω+⋃--,55,(][)ωω+⋃-,2525,[]25,25-[]5,5-1m 2()s =梯形的周长，梯形的面积q =2117,n nn n s s T n N a *+-=∈,x y R +∈1,34x y +=224x y +=1250x y c -+=22(1)1,x y +-=03y c x +≥-ABC ∆222333.b c a +-=2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-32(),(0)3a f x x bx cx d a =+++>'()90f x x -=()y f x =(),ωω-+02222=++++a y ax y x 成等比数列且9311,,,1a a a a =na nb 2=0321222=+-+x y x 共线与PQ OB OA +元元2米元16米43≥c 3332ABC∆222333.b c a +-=2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-222cos 23b c a A bc +-==10,sin 3A A π<<==故2sin()sin()441cos 2A A Aπππ+-+-22sin()sin()442sin A A Aππ++=2222)22222sin sin cos 2sin 7.2A A A A AA A A +-=-==-32(),(0)3a f x x bx cx d a =+++>'()90f x x -=()y f x =(),ωω-+32()3a f x x bx cx d =+++2()2f x ax bx c '=++2()9290f x x ax bx c x '-=++-=290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩2608120b c b c +-=⎧⎨++=⎩3,12b c =-=()y f x =0d =32()312f x x x x=-+32()3a f x x bx cx d =+++2()20f x ax bx c '=++≥295,4b a c a=-=2(2)49(1)(9)b ac a a ∆=-=--09(1)(9)0a a a >⎧⎨∆=--≤⎩[]1,9a ∈02222=++++a y ax y x ⎪⎩⎪⎨⎧>++>-0903422a a a 332,332-成等比数列且9311,,,1a a a a =na nb 2=121d+1812d d++=22223…2n =2(12)12n--=2n1-2．20．在平面直角坐标系中，已知圆0321222=+-+x y x 的圆心为Q ，过点P （0,2）且斜率为的直线与圆Q 相交于不同的两点Ａ，Ｂ。

2020届江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高三上学期12月月考数学(文)试题(解析版)

2020届江西省南昌市南昌县莲塘第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，{}1,3,7,9B =，则()S C A B =（）A ．{}1,7B ．{}3,9C ．{}1,5,7D ．{}1,7,9【答案】A【解析】根据集合的补集运算，得到S C A ，再由交集运算，得到()S C A B ，得到答案. 【详解】因为集合{}1,3,5,7,9S =，集合{}3,5,9A =，所以{}1,7S C A =，而集合{}1,3,7,9B =，所以(){}1,7S C A B =，故选：A. 【点睛】本题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题. 2．已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（）A ．B ．5C D 【答案】C【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 12i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .3．已知向量()2,1a =,(),1b x =，若a b +与a b -共线,则实数x 的值是（） A ．2- B ．2C ．2±D ．4【答案】B【解析】由()2,1a =r ，(),1b x =r，则(2,2),(2,0)a b x a b x +=+-=-，因为a b +与a b -共线，所以(2)02(2)x x +⨯=-，解得2x =，故选B. 4．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，1a 1=，23a a 8=-，则6S (= ) A ．1283B ．24-C ．21-D ．11【答案】C【解析】由题意易得数列的公比q 2=-代入求和公式计算可得．【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，1a 1=，23a a 8=-则233231a a a q q 8===-，解得q 2=-，()661(12)S 2112⨯--∴==-+，故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2θ=（） A ．513-B ．513C ．1213-D ．1213【答案】C【解析】令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．【详解】对于函数()a y log x 42(a 0=++>且a 1)≠，令x 41+=，求得x 3=-，y 2=，可得函数的图象恒过点()A 3,2-，且点A 在角θ的终边上，y 2tan θx 3∴==-，则2222sin θcos θ2tan θ12sin2θsin θcos θtan θ113===-++，故选：C ．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．6．三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（）.A ．BC ．D ．【答案】C【解析】根据三视图，得到SC ⊥平面ABC ，且底面ABC ∆为等腰三角形，然后根据三视图得到相应线段的长度，利用勾股定理，得到SB 的长度. 【详解】由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面ABC ∆为等腰三角形．在ABC ∆中，4AC =，AC 边上的高为所以4BC ==，在Rt SBC ∆中，由4SC =，可得SB ==故选：C. 【点睛】本题考查根据三视图求线段长度，属于简单题. 7．已知，且，，，，则，，的大小关系是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意a ＞b ＞0，a +b ＝1，可得1＞a b ＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【详解】∵a ＞b ＞0，a +b ＝1，∴1＞a b ＞0，∴1，∴x ＝（）b ＞（）0 =1，y ＝log （ab ）（）＝ log （ab ）=﹣1，z ＝log b 1．∴x ＞z ＞y ．故选：D ．【点睛】本题考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（） A ．16- B ．6-C ．274-D ．274【答案】B【解析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．9．已知函数()011,02x f x x x >=⎨+≤⎪⎩，若m n <，()()f m f n =，则n m -的取值范围是（） A ．(1,2] B ．[1,2) C ．(0,1] D ．[0,1)【答案】B【解析】先研究函数()f x 的单调性和值域，设()()=f m f n t =，得出t 的取值范围，把n m -表示为t 的函数，从而可得答案. 【详解】当0x ≤时，1()12f x x =+单调递增且()(,1]f x ∈-∞，(2)0f -=；当0x >时，()f x =()(0,)f x ∈+∞，(1)1f =.因为m n <，()()f m f n =，所以201m n -<≤<≤. 设()()f m f n t ==，则(0,1]t ∈，1()12f m m t =+=，()f n t ==. 所以222,m t n t =-=.所以2222(1)1n m t t t -=-+=-+. 由(0,1]t ∈，可得[1,2)n m -∈. 故选：B. 【点睛】本题考查函数与方程的综合问题.解题时需要综合利用函数与方程、数形结合、等价转化等数学思想方法. 10．设曲线为自然对数的底数上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a 的取值范围为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】求得的导数，设为上的任一点，可得切线的斜率，求得的导数，设图象上一点可得切线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，分别求的值域A ，的值域B ，由题意可得，可得a 的不等式，可得a 的范围．【详解】的导数为，设为上的任一点，则过处的切线的斜率为，的导数为，过图象上一点处的切线的斜率为．由，可得，即，任意的，总存在使等式成立,则有的值域为，所以的值域为由，即，，即，解得：，故选D ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ…，4π-为()f x 的零点：且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是（） A ．9 B ．11C ．13D ．15【答案】D【解析】先根据4x π=为()y f x =图象的对称轴，4πx =-为()f x 的零点，判断ω为正奇数，再结合()f x 的周期8T π…，求得ω的范围，对选项检验即可．【详解】由题意知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ…，4x π=为()y f x =图象的对称轴，4πx =-为()f x 的零点， ∴21242n ππω+=，n Z ∈，21n ω∴=+．()f x 在区间(12π-，)24π上有最小值无最大值，∴周期()24128T πππ+=…，即28ππω…，16ω∴…．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验15ω=，当15ω=时，由题意可得154k πϕπ-⨯+=，4πϕ=-，函数为()sin(15)4y f x x π==-，在区间(12π-，)24π上，315(42x ππ-∈-，38π，)，此时()f x 在2x π=-时取得最小值，15ω∴=满足题意．则ω的最大值为15，故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大．属难题．12．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1212a b +=（） A ．322 B ．521C ．123D ．199【答案】A【解析】根据题中数据，归纳推理，即可得出结果. 【详解】因为1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，等式右边对应的数为1,3,4,7,11,...，所以，其规律为：从第三项起，每项等于其相邻两项的和；因此，求1212a b +，即是求数列“1,3,4,7,11,...”中的第12项，所以对应的数列为“1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322”，即第12项为322. 故选A 【点睛】本题主要考查归纳推理，结合题中数据，找出规律即可，属于常考题型.二、填空题13．给出下列四个命题:①命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ,使sin 1x >；②ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >；③已知向量a ,b ，若0a b ⋅<,则a 与b 的夹角为钝角.其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据真假命题判断的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】①命题:p x R ∀∈，sin 1x …，由全称命题与特称命题的否定，则:p x R ⌝∃∈，使sin 1x >；①是正确命题；②ABC ∆中，由正弦定理知2sin sin a bR A B==，若A B >成立，则有a b >，2sin a R A =，2sin b R B =，sin sin A B ∴>，②是正确命题；③已知向量a ，b ，若0a b <，即||||cos 0a b a b θ=<，cos 0θ<，则a 与b 的夹角θ为钝角或平角．③是错误命题；其中正确命题的个数为2个，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题的之间的关系，三角函数性质和正弦定理，向量的数量积定义的应用，属于中档试题.14．已知直线13:0l ax y ++=,()2:234l x a y +-=,12l l ⊥，则a =______. 【答案】1【解析】利用两直线垂直,x y 对应系数之积的和为0的性质求解. 【详解】∵13:0l ax y ++=，()2:234l x a y +-=，12l l ⊥ ∴()230a a +-=，解得1a =. 【点睛】本题考查直线方程中参数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意直线垂直的性质的合理运用.15．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 【答案】29π【解析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积. 【详解】由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r =.所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π 【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．设函数21()1xxf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是 ______.【答案】()1,+3⎛⎫-∞-⋃∞ ⎪⎝⎭1，【解析】判断函数为偶函数，再由导数可得函数在(0,)+∞上为增函数，由单调性把(2)(1)f x f x >-转化为关于x 的不等式求解．【详解】21()1x x f x e e x -=+-+， ()()f x f x ∴-=，所以()f x 是偶函数，由22212()0(1)x x e xf x e x -'=+>+，故()f x 在(0,)+∞上递增，所以(2)(1)f x f x >+，得|2||1|x x >+，解得：1x >或13x <-，故答案为：(-∞，1)(13-⋃，)+∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．三、解答题17．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ．若24sin sin 4cos 22A BA B --=． (1)求角C 的大小； (2)已知sin 4sin a BA=，ΔABC 的面积为8．求边长c 的值．【答案】（1）4C π=（2）4【解析】（1）利用三角恒等变换公式将所给条件化简，然后得到C 的大小；（2）利用正弦定理和三角形面积公式先计算出a b 、的值，然后利用余弦定理计算c 的值. 【详解】（1）因为24sin sin 4cos22A BA B --=，所以()cos 14sin sin 422A B A B -+-=，2sin sin 2cos cos A B A B -=则()2cos 2cos A B C -+==cos 2C =，所以：4C π=；（2）由正弦定理可知：sin 4sin a B abb A a===，由面积公式：11sin 48222S ab C a ==⋅⋅⋅=，所以a =；由余弦定理：2222cos 32163216c a b ab C =+-=+-=，所以：4c =.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，难度较易.在解三角形的过程中，注意隐含条件：A B C π++=的运用，这里常见的运用有两种：（1）求解角的范围；（2）()cos cos C A B =-+.18．已知函数，，是函数的零点，且的最小值为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，若，，求的值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果. 【详解】 (Ⅰ)的最小值为,即(Ⅱ)由(Ⅰ)知：又，【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥菱形ABCD 所在的平面，60ABC ∠=︒，E 是BC 中点，M 是PD 的中点．（1）求证：平面AEM ⊥平面PAD ；（2）若F 是PC 上的中点，且2AB AP ==，求三棱锥P AMF -的体积．【答案】（1）见解析；（2 .【解析】（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，得到AE BC ⊥，证得所以AE AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理得AE ⊥平面PAD ，再利用面面垂直的判定，即可证得平面AEM ⊥平面PAD .（2）利用等积法，即可求解三棱锥P AMF -的体积. 【详解】（1）证明：连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，060ABC ∠=，所以ABC ∆是正三角形，因为E 是BC 中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥，又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD又AE ⊂平面AEM ，所以平面AEM ⊥平面PAD .（2）因为2AB AP ==，则2,AD AE ==所以11112222P AMF M PAF D PAF F PAD C PAD V V V V V -----====⨯1111112244312224P ACD ACD V S PA AD AE PA -∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明及几何体的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，同时对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．20．已知等差数列{}n a 满足2(1)2,n n a n n k k R +=++∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设214n n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）22221n nn ++ 【解析】分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出123,,a a a ，利用123,,a a a 成等差数列求出参数k ，从而可得数列的通项公式；（2）把n b 变形为1111()22121n b n n =+--+，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前n 项和．详解：（1）（法一）由()212n n a n n k +=++，令1,2,3n =，得到12331021,,234k k ka a a +++=== ∵{}n a 是等差数列，则2132a a a =+，即202321324k k k+++=+ 解得：1k =-由于()()()2121211n n a n n n n +=+-=-+∵10n +≠，∴21n a n =-（法二）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，设()()111n a a d n dn a d =+-=+- ∴()()()211111n n a n dn a d dn a n a d +=++-=++-∴22112dn a n a d n n k ++-=++对于*n N ∀∈均成立则1121d a a d k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得1k =-，21n a n =- （2）由()()2222214441121214141n n n n n n b a a n n n n +====+-+--()()111111212122121n n n n ⎛⎫=+=-+ ⎪-+-+⎝⎭1111111111112335572121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+=-+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭2222121n n nn n n +=+=++ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n na a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．21．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AP ＝3，AD ＝PB ＝2，E 为线段AB 上一点，且AE ︰EB ＝7︰2，点F 、G 分别为线段PA 、PD 的中点．（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）若平面EFG 将四棱锥P －ABCD 分成左右两部分，求这两部分的体积之比．【答案】（1）见解析；（2）3537：【解析】（1）证明PE ⊥AB ，利用平面P AB ⊥平面ABCD ，即可证明：PE ⊥平面ABCD ；（2）平面EFG 将四棱锥P ﹣ABCD分成左右两部分，利用分割法求体积，即可求这两部分的体积之比．【详解】证明：在等腰△APB 中，得13cos ABP ∠=，则由余弦定理可得，22222132()2223339PE =+-⨯⨯⨯=，∴3PE =， ∴PE 2+BE 2＝4＝PB 2，∴PE ⊥AB ，∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， ∴PE ⊥平面ABCD ．（2）解：设平面EFG 与棱CD 交于点N ，连接EN ，因为GF ∥AD ，所以GF ∥平面ABCD ，从而可得EN ∥AD ．延长FG 至点M ，使GM ＝GF ，连接DM ，MN ，则AFE ﹣DMN 为直三棱柱，∵F 到AE 的距离为123PE =，73AE =，∴1723AEFS=⨯=，∴2AFE DMN V -==113G DMN V -==∴27AEF NDG AFE DMN G DMN V V V ---=-=，又133P ABCD ABCD V PE S -=⨯⨯=矩形，∴353727327V V ⎛=-= ⎝⎭右左：：：．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22．已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间；（2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x-++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围. 【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞，则11()ax f x a x x'-=-=，当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．（2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x =∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.∴()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x x xx'--=--=<,∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.。

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和
cos cos 1 ,所以
= sin sin cos cos 4 ,
5
5
14.
向量
a

(cos10,
sin10),
b

(cos
70,
sin
70)
，
|
a

2b
|
3．
15.已知数列an ，满足 an1

1 1
an an
，若
a1
4.已知 tan 2
=2，
则
6sin cos 3sin 2 cos
的值为（
A
）
A． 7 6
B．7
C．－ 6 7
D．－7
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何
体的表面积为（ C ）
A. 9 2 2
B. 11 2 2
6.
C已. 知7 a
,
2
D. 4 2
b 是不共线的向量，
3
2n

3．

18.（12 分）已知向量 a 2 cosx,sin 2 x ,b 2sin x, m .
（1）若 m 4 ，求函数 f x a b 的单调递减区间；
（2）若向量
a,
b
满足
a

b

2 5
,
0

,
x

0,
；
三．解答题 17．（10 分）已知 {an } 是等比数列，满足 a1 3 ， a4 24 ，数列{an bn } 是首项为 4 ，公差为1的等差数列．（1）求数列 {an } 和{bn } 的通项公式；（2）求数列 {bn } 的前 n 项和．
3
解：（1）设等比数列an 的公比为 q ．由题意，得 q3
莲塘一中 2017-2018 学年上学期高三年级 11 月质量检测
文科数学试题
命题人：曹晶
审题人：殷亮亮
一．选择题
1. 已知集合 M {0,1, 2}, N {x | 1 x 1, x Z } ，则（ C ） A. M N B. N M C. M N {0,1} D. M N N
2a5 ) 3
（ B ）A. 3
B． 3
C． 3
D． 3 3
1
8.已知 m, n 0, ，若 m m 2 ，则 mn 的最小值为( C )
n A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9.若存在实数 x，y 使不等立，则实数 m 的取值范围 A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l
2

，求
m
的值.
4
19.在△ 中，角所对的边分别为
（Ⅰ）若，求角的余弦值；（Ⅱ）若点，在线段上，且长．

a4 a1
8，q

2．
所以 an a1qn1 3 2n1 (n 1, 2,) ．
又数列{an bn} 是首项为 4 ，公差为1的等差数列，
所以 an bn 4 (n 1) 1．从而 bn (n 3) 3 2n1 (n 1, 2,) ．
“ a b 0 ”的( C ) A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且
(a2 b2 c2 ) (a cos B b cos A) abc ，若 a b 2 ，则 c 的取值范围为
（ B ）A． (0, 2) B．[1, 2)
C．[1 , 2) 2
D． (1, 2]
2
12．设函数是定义在上的偶函数，且
，当
时，（
取值范围是（ B ）
，若在区间
内关于的方程
且）有且只有 4 个不同的根，则实数的
A．
B．
C．
D．
二．填空题
13.若
，且
，则
的值为
【解析】由题意可知 sin sin 3cos cos , 所以
∵存在实数 m，使不等式 x﹣2y+m≤0 成立，即存在实数 m，使 x﹣2y≤﹣m
成立
∴﹣m 大于或等于 z=x﹣2y 的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得 m≤3 故选：B
10. 已知函数 f x 5 x 1 ，若 a 2,b 2 ，则“ f a 3) 3 2n1 (n 1, 2,)
数列{n 3}的前 n 项和为 n(n 7) ． 2
数列{3 2n1}的前 n 项和为 3(1 2n ) 3 2n 3 ． 1 2
所以，数列 {bn } 的前
n
项和为
n(n 2
7)

AB

a

b,
AC

a

b (
,

R ),
若
A,
B,
C
三
点共线, 则 , 的关系一定成立的是 ( A )
A． 1 B． 1 C． 1 D． 2
7.已知数列an 为等比数列，且 a2a3a4 a72 64 ，则 tan(
2.已知复数 z 5i 2i （ i 为虚数单位），则复数的虚部为（ B ） 2i 1
A． 2
B． 3
C． 3i
D．1
3.已知 m n 0 ，则下列说法错误的是( D )
A. log 1 m log 1 n
2
2
B. m n n1 m1
C. m n
D. m n m2 1 n2 1
式组与不等式 x﹣2y+m≤0 都成是（ B ） D．m≥3
解：作出
表示的平面区域，
得到如图的△ABC 及其内部，
其中 A（4，2），B（1，1），C（3，3）
设 z=F（x，y）=x﹣2y，将直线 l：z=x﹣2y 进
行平移，
当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值，可得 z 最大值=F（4，2）=0 当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最小值，可得 z 最小值=F（3，3）=﹣3,因此，z=x﹣2y 的取值范围为[﹣3，0]，

2,
则an 的前
2017
项的积为
２
16.函数
f
x

ex ex
11,
gx

f
x 1 1, an

g

1 n

g

2 n

g
3 n

g
2n 1 n
，
n N * ,则数列an 的通项公式为 an 2n 1