排列组合之加法与乘法原理

丙地
丁地
点评
• 解题的关键是从总体上看做这件事情是 “分类完成”,还是“分步完成”。“分类 完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘 法原理”。
练习
• 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 • (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选 法？ • (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加 座谈会,有多少种不同的选法？
排列组合
两个基本原理
• 加法原理 • 乘法原理 • 这两个原理是排列和组合的基础。
加法原理
• 做一件事情，完成它有n类办法，在第一类 办法中有m1中不同的方法，在第二类办法 中有m2中不同的方法，……，在第n类办法 中有mn种不同的方法，那么完成这件事情 共有 N=m1+m2+……+mn 种不同的方法。
A
B
C
如上图，从A到C分2步： 第一步，由A到B，有2条路； 第二步，由B到C，有3条路。 所以，从A到C共有 2×3=6 条路。
加法原理与乘法原理
• 加法原理和乘法原理是解排列组合题目的最基本 的出发点。 • 要做一件事，完成它有n类办法，是分类问题，每 一类中的每一个方法都是独立的，因此用加法原 理； • 要做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续 的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次 相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。 • 完成一件事的分“类”和分“步”是有本质区别 的，因此也将两个原理区分开来。
乘法原理
• 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做 第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，……，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
例
• 例：假设从A到C一定会经过B；如果A到B m*n 有m条路，B到C有n条路，则A到C有_____ 条路。
例
• 同室四人各制作了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从 中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （ ）种 • 解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自制作的贺年卡 分别为a、b、c、d。 第一步，甲取其中一张，有 3 种等同的方式； 第二步，让甲所取贺年卡的制作者取。假设甲取b，则乙 的取法可分 2 类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下 来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3*(1+2)=9 种分配方式。
4*(4+3*(1+1))=40
种分配
• 再问：若是六个人，七个人……呢？
点评
• 加法原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也 不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互 斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能 选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某 件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的 并为全集。 • 乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与 “步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不 能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且 只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。 • 在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题 时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞 清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类” 或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重 复、不遗漏。
例
• 如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到 丁地有3条路可通;从甲地到丙地有4条路可 通, 从丙地到丁地有2条路可通。问：从甲ห้องสมุดไป่ตู้地到丁地共有多少种不同的走法？
甲地 乙地
丙地
丁地
• 解：从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, • 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以有 m1=2×3=6 种不同的走法; • 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以有 m2=4×2=8 种不同的走法; • 所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的 走法。 甲地 乙地
• 问：若是五个人呢？ • 解：设五个人分别为甲、乙、丙、丁、戊，各自制作的贺年卡分别为 a、b、c、d、e。 第一步，甲取其中一张，有 4 种等同的方式； 第二步，让甲所取贺年卡的制作者取。不妨设甲取b，则乙的取法可 分 2 类： （1）乙取a，则接下来丙、丁、戊再取（三人情形，有4种方式， 过程略）； （2）乙取c或d或e（3种方式），接下来再让乙所取贺年卡的制 作者取。不妨设乙取c，则丙的取法可分 2 类： ①丙取a，则接下来丁和戊的取法是唯一的。 ②丙取d或e，则接下来丁和戊的取法也是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有 方式。
例
• 一条线段被分成五段后，问总共有多少条线段？
A B C D E F
• • • • • •
解：线段可分为五类： 第一类：以A为左端点，有5条； 第二类：以B为左端点，有4条； …… 第五类：以E为左端点，有1条； 所以，根据加法原理，共有 5+4+3+2+1=15 条。
练习
• 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位 数共有多少个？ • 分析： • 法1：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每 一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据加法原理共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个。 • 法2：按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每 一类中满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据加法原理共有8+7+6+5+4+3+2+1=36 个。
例
• 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘轮船。一天中，火车有4 班，汽车有2班， 轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地 到乙地共有多少种不同的走法？ • 分析：从甲地到乙地有3类方法， 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。
• (1)完成从三好学生中任选一人这件事,共有 两类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共 有m1=5种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共 有m2=4种不同的方法; 所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共 有N=m1+m2=5+4=9种。
• (2)完成从三好学生中任选男、女各一人这 件事, 需分2步完成, 第一步,选一名男三好学生,有 m1=5 种方法; 第二步,选一名女三好学生,有 m2=4 种方法; 所以, 根据乘法原理, 得到不同选法种数共 有N=m1×m2=5×4=20种。