信号相关分析原理：自相关函数,互相关函数
自相关与互相关函数的计算与应用
自相关与互相关函数的计算与应用自相关函数和互相关函数是信号处理中常用的概念和工具，用于描述信号之间的相关性和相似性。
在本文中，我们将介绍自相关函数和互相关函数的计算方法，并探讨它们在实际应用中的用途。
一、自相关函数的计算与应用自相关函数是描述一个信号与其自身之间的相关程度的函数。
它的计算方法是将信号与其自身进行卷积，然后对结果进行归一化处理。
自相关函数具有以下性质：1. 自相关函数的取值范围是[-1, 1]之间。
当自相关函数的取值接近1时，表示信号之间具有高度的相关性；当取值接近-1时，表示信号之间具有高度的反相关性；当取值接近0时，表示信号之间不存在相关性。
2. 自相关函数的峰值对应着信号的周期。
通过找到自相关函数的峰值，我们可以确定信号的周期，从而对信号进行频域分析和周期性检测等操作。
3. 自相关函数可以用于信号的降噪和滤波。
通过计算信号的自相关函数，我们可以找到信号中的重复模式，并进行滤波操作，从而去除噪声和杂乱的信号成分。
二、互相关函数的计算与应用互相关函数是描述两个信号之间相关程度的函数。
它的计算方法是将两个信号进行卷积，然后对结果进行归一化处理。
互相关函数具有以下性质：1. 互相关函数可以用于信号的相似性匹配和模式识别。
通过计算待匹配信号和参考信号的互相关函数，我们可以找到信号之间的相似性，并进行模式匹配和识别操作。
2. 互相关函数可以用于信号的延时估计。
通过计算信号之间的互相关函数，我们可以估计信号之间的时间延迟，从而实现信号的同步和对齐。
3. 互相关函数可以用于信号的频率测量。
通过计算信号之间的互相关函数的频域分析，我们可以获得信号的频率信息，从而实现信号的频率测量和频域分析。
三、自相关与互相关函数的应用示例自相关和互相关函数在信号处理和模式识别领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 语音信号处理：通过计算语音信号的自相关函数，可以实现语音信号的周期性检测和降噪操作，从而提高语音识别的准确性。
自相关与互相关函数
相关函数１.自相关函数自相关函数就是信号在时域中特性的平均度量,它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系,其定义式为(2、4、6)对于周期信号,积分平均时间T为信号周期。
对于有限时间内的信号,例如单个脉冲,当T趋于无穷大时,该平均值将趋于零,这时自相关函数可用下式计算(2、4、7)自相关函数就就是信号x(t)与它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值,它就是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为若信号就是由两个频率与初相角不同的频率分量组成,即,则对于正弦信号,由于,其自相关函数仍为由此可见,正弦(余弦)信号的自相关函数同样就是一个余弦函数。
它保留了原信号的频率成分,其频率不变,幅值等于原幅值平方的一半,即等于该频率分量的平均功率,但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质:(1)自相关函数为偶函数,,其图形对称于纵轴。
因此,不论时移方向就是导前还就是滞后(τ为正或负),函数值不变。
(2)当τ＝0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即(2、4、8)(3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
(4)若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值的平方,即(2、4、9)实际工程应用中,常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度,定义式为(2、4、10)当τ＝0时,＝1,说明相关程度最大;当τ＝∞时,,说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。
由于,所以。
值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2、4、3表示。
图2、4、3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2、4、4所示,自相关函数的典型应用包括:(1)检测信号回声(反射)。
若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声,那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值(另一峰值在处),这样可根据确定反射体的位置,同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声图2、4、4 四种典型信号的自相关函数(2)检测淹没在随机噪声中的周期信号。
自相关与互相关函数的性质与应用
自相关与互相关函数的性质与应用自相关函数和互相关函数是信号处理领域中常用的工具，它们能够描述信号与自身或其他信号之间的相互关系。
本文将介绍自相关函数和互相关函数的性质及其在不同领域中的应用。
一、自相关函数自相关函数是用来衡量信号与自身之间的相似程度。
在时域上，自相关函数定义为信号与其自身的延迟版本的乘积的积分。
数学表达式如下：Rxx(tau) = ∫[x(t)*x(t-tau)]dt在自相关函数中，tau表示延迟的时间。
自相关函数具有以下性质：1. 对称性：自相关函数关于tau=0对称，即Rxx(-tau) = Rxx(tau)。
2. 零延迟：在tau=0时，自相关函数达到最大值，即Rxx(0) =∫[x(t)^2]dt。
3. 正则性：自相关函数的取值范围在0和Rxx(0)之间。
自相关函数在信号处理中有广泛的应用，包括时序分析、噪声滤除和谱估计等。
例如，在时序分析中，自相关函数可用于检测信号的周期性和重复性，帮助确定信号的周期。
二、互相关函数互相关函数用于衡量两个信号之间的相似程度。
在时域上，互相关函数定义为一个信号与另一个信号的延迟版本的乘积的积分。
数学表达式如下：Rxy(tau) = ∫[x(t)*y(t-tau)]dt在互相关函数中，tau表示延迟的时间。
互相关函数具有以下性质：1. 非对称性：互相关函数通常不满足对称性，即Rxy(-tau) ≠Rxy(tau)。
2. 特定延迟下的相似性：当tau等于信号y的延迟时间时，互相关函数达到最大值，即Rxy(tau) = ∫[x(t)*y(t)]dt。
3. 互相关峰值：互相关函数的最大值表示信号x和信号y之间的最佳匹配程度。
互相关函数在信号处理和图像处理领域具有广泛应用。
例如，在音频处理中，互相关函数可用于音频识别和音频匹配；在图像处理中，互相关函数可用于图像匹配和模式识别。
三、自相关与互相关函数的应用1. 语音识别：自相关和互相关函数可用于语音信号的特征提取和语音识别算法的设计。
互相关函数,自相关函数计算和作图
互相关函数，自相关函数计算和作图1.自相关和互相关的概念。
●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。
●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。
互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
----------------------------------------------------------------------------------- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示：自相关函数：dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
3. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。
当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。
事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。
下面是检验两者结果相同的代码：dt=.1;t=[0:dt:100];x=3*sin(t);y=cos(3*t);subplot(3,1,1);plot(t,x);subplot(3,1,2);plot(t,y);[a,b]=xcorr(x,y);subplot(3,1,3);plot(b*dt,a);yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);z=conv(x,yy);pause;subplot(3,1,3);plot(b*dt,z,'r');即在xcorr中不使用scaling。
自相关与互相关函数
相关函数１．自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值和另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。
对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为若信号是由两个频率和初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。
它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。
因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程使用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)和x(t+τ)之间彼此无关。
由于，所以。
值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型使用包括：（1）检测信号回声（反射）。
若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形正弦波正弦波加随机噪声窄带随机噪声宽带随机噪声图2.4.4 四种典型信号的自相关函数（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。
自相关与互相关函数
相关函数１．自相关函数ﻫ自相关函数就是信号在时域中特性得平均度量,它用来描述信号在一个时刻得取值与另一时刻取值得依赖关系,其定义式为ﻫ(2、4、6）ﻫﻫ对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。
对于有限时间内得信号，例如单个脉ﻫ冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2、4、7)ﻫ自相关函数就就是信号ｘ(t）与它得时移信号x(t+τ）乘积得平均值，它就是时移变量τ得函ﻫ数。
ﻫﻫ例如信号得自相关函数为ﻫ若信号就是由两个频率与初相角不同得频率分量组成,即，则ﻫﻫ对于正弦信号,由于，其自相关函数仍为ﻫﻫﻫ由此可见，正弦（余弦）信号得自相关函数同样就是一个余弦函数。
它保留了原信号ﻫ得频率成分,其频率不变，幅值等于原幅值平方得一半，即等于该频率分量得平均功率ﻫ，但丢失了相角得信息。
ﻫﻫ自相关函数具有如下主要性质：ﻫ (１）自相关函数为偶函数,，其图形对称于纵轴。
因此,不论时移方向就是导前还就是滞后(τ为正或负)，函数值不变。
（２）当τ=0时,自相关函数具有最大值，且等于信号得均方值，即（２、4、8)ﻫ（3）周期信号得自相关函数仍为同频率得周期信号。
（４）若随机信号不含周期成分,当τ趋于无穷大时,趋于信号平均值得平方ﻫ，即ﻫ (２、4、9)实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间得相关程ﻫ度,定义式为ﻫ (2、4、１0）ﻫ当τ＝0时，＝１,说明相关程度最大;当τ＝∞时，,说明信号x（ｔ）与x(ｔ＋τ）之间彼此无关。
由于，所以.值得大小表示信号相关性得强弱。
ﻫﻫ自相关函数得性质可用图2、4、3表示.图2、4、3 自相关函数得性质常见四种典型信号得自相关函数如图２、4、4所示,自相关函数得典型应用包括: ﻫ（1)检测信号回声(反射）。
若在宽带信号中存在着带时间延迟得回声,那么该信号得自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处)，这样可根据确定ﻫ反射体得位置，同时自相关系数在处得值将给出反射信号相对强度得度量。
自相关函数和互相关函数计算
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jelyness
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lutat
该用户还没有设置签名，暂不外售！
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引用
发表于 2007-11-11 04:32 | 只看该作者
太有用了，赞~
即在xcorr中不使用scaling。
3. 其他相关问题：
1) 相关程度与相关函数的取值有什么联系？ ----------------------------------------[转版友 gghhjj]------------------------------------------------------------------------------------相关系数只是一个比率，不是等单位量度，无什么单位名称，也不是相关的百分数，一般取小数点后两位来表示。 相关系数的正负号只表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量，因而不能说相关系数0.7是0.35两 倍，只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数 从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。
信号相关分析原理自相关函数互相关函数
信号相关分析原理自相关函数互相关函数1. 自相关函数（Autocorrelation Function）：自相关函数用于衡量信号与其自身之间的相似性和相关性。
自相关函数是信号的一个函数，描述了信号与其自身在不同时间延迟下的相似程度。
自相关函数的计算公式为：R_xx(tau) = E[x(t)x(t+tau)]其中，R_xx(tau)表示在时间延迟tau下信号x(t)与自身的相关程度，E表示期望值运算。
自相关函数的值越大，表示信号在不同时间延迟下的相似性越高。
自相关函数在信号处理中有广泛的应用，例如：-信号周期性分析：自相关函数可以用于检测信号是否具有周期性，通过寻找自相关函数的周期性峰值，可以判断信号的周期。
-信号估计：通过自相关函数的峰值位置可以估计信号的延迟时间。
2. 互相关函数（Cross-correlation Function）：互相关函数用于衡量两个信号之间的相似性和相关性。
互相关函数描述了两个信号在不同时间延迟下的相似程度。
互相关函数的计算公式为：R_xy(tau) = E[x(t)y(t+tau)]其中，R_xy(tau)表示信号x(t)与信号y(t)在时间延迟tau下的相关程度。
互相关函数的值越大，表示信号之间的相关性越高。
互相关函数在信号处理中也有广泛的应用，例如：-图像配准：互相关函数可以用于图像配准，通过计算两幅图像之间的互相关函数找到最大峰值，可以确定两幅图像的平移和旋转关系。
-信号相似性检测：在音频、图像和视频等领域中，可以通过互相关函数比较两段信号之间的相似性，例如音频中的语音识别和音乐识别。
总结起来，自相关函数和互相关函数是信号相关分析中常用的方法，可以用来描述信号之间的相似性、周期性和相关程度。
通过计算自相关函数和互相关函数可以在信号处理、图像处理和音频处理等领域中得到广泛的应用。
自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图
自相关函数和互相关函数的利用MATLAB计算和作图互相关函数，自相关函数计算和作图1.自相关和互相关的概念。
●互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。
●自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2间的相关程度。
互相关函数是在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。
它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效。
----------------------------------------------------------------------------------- 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
2.利用matlab中实现这两个相关并用图像显示：自相关函数：dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)互相关函数：把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
3. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。
当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。
事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。
自相关与互相关
第五章信号处理初步信号处理的目的:1、分离信、噪，提高信噪比。
2、从信号中提取有用的特征信号。
3、修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。
第一节数字信号处理的基本步骤一、数字信号处理的基本步骤图5-1 数字信号处理系统简图1、预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。
把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。
(1) 信号电压幅值处理，使之适宜于采样；(2) 过滤信号中的高频噪声；(3) 隔离信号中的直流分量，消除趋势项；(4) 如果信号是调制信号，则进行解调。
信号调理环节应根据被测对象、信号特点和数学处理设备的能力进行安排。
2、A／D转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方，其核心是A/V转换器。
信号处理系统的性能指标与其有密切关系。
3、对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。
目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。
4、结果显示一般采用数据和图形显示结果。
第二节信号数字化出现的问题一、概述图5-2为模拟信号)(fXx及其幅频谱)(t图5-2原模拟信号及其幅频谱图5-3为等时距周期脉冲信号序列)s。
(t图5-4为采样后的信号及其频谱图，时域相乘对应频域的卷积相乘。
图5-5为窗函数，目的是用来从采样后的时间序列截取有限时间的一段。
图5-6为窗函数阶段后的有限长离散信号图5-7为频域采样函数。
图5-8为频域采样后的频谱二、时域采样、混叠和采样定理采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。
这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。
其数学上的描述为，间隔为T s的周期脉冲序列g(t)乘模拟信号x(t)。
g(t)由下式表示，即n=0,±1, ±2, ±3,由δ函数的筛选特性可知n=0,±1, ±2, ±3,经时域采样后，各采样点的信号幅值为x(nT s)。
信号相关性分析
4、
（1）平均值不为0的随机函数的自相关 函数，很快接近于平均值的平方，即
lim Rxx ( ) Rxx () m
t
2
2 x
（2）平均值不为0的随机函数的自相关 函数等于均方值或方差加均值平方的和， 即
Rxx (0) x m
2 x
2 x
5、如果随机信号x(t)是由噪声n(t) 和独立信号 h(t）组成，则x(t) 的自相关函数是这两部分各 自自相关函数之和，即
yx xy
3、两周期信号的互相关函数仍 然是同频率的周期信号，且保 留原来信号的相位信息。因此， 互相关函数取最大值时，反映 了信号的滞后。
Rxy ( ) R yx ( )
4、如果x(t)与y(t)是两个完全独立无关信 号则 ，所以，互相关函数 Rxy ( ) 0 能够捡拾在隐藏在外界噪声中的规 律性信号。
什么是信号
• 信号：运载信息的载体。 • 信号处理：对信号进行某种加工和变换， 目的是消除信号中混杂的噪声和干扰，将 信号变换成容易分析与识别的形式，以便 于估计和选择它的特征参量 • 信号的相关有互相关与自相关两种，分别 用于描述两个信号x（t）与y（t）或一个信 号在一定时移前后x(t)与x（t+τ）之间的关 系
Rxy ( )
的峰值一般均不在τ=0处。下 图是一对随机时间历程记录互相关 函数 与时间τ之间的关系。
如果x(t)是一对系统的输入信号，而y(t)是系 统的输出信号，则由最高峰处读出的 n 就是该系统的滞后时间。
在互相关分析时，关键问题是选择 t 。 最好对峰值出现的位置要有估计，使之 不要出现在互相关图之外。当然，也不 要过分靠近纵轴线，这样测出的τ值精度 不高。一般可以先选择较大 t 进行一次， Rxy ( ) 以便看清 的全貌，然后再选择 适当的 进行分析。
2-1信号的相关分析
四、应用示例
示例4：复杂管路系统振动传递途径的识别
信号的频域分析
小结： 相关系数的概念 自相关函数与互相关函数的概念与性质 相关分析的应用示例
谢谢！
例: 求两同频率的正弦函数 x(t)=x0sin(t+ ) 和 y(t)=y0sin(t+-)
的互相关函数。
解：因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替 其整个历程的平均值，故
Rxy
(
)
lim
T
1 T
T
x(t) y(t )dt
0
1 T
T
0 x0 sin(t ) y0 sin[(t ) )dt
T T 0
Rx ( )
2.
1
Rx
(0)
lim
T
T
T x2 (t)dt
0
2 x
2 x
2 x
3.
x2
2 x
Rx (
)
x2
2 x
二、自相关分析
4. x ( ) 0
Rx (
)
2 x
Rx ( )
x2
2 x
0 自相关函数的性质
2 x
2 x
2 x
二、自相关分析
5. 周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
0
T T
T
x(t ) y(t)dt
0
lim 1
T T
T
0 y(t)x(t )dt Ryx ( )
三、互相关分析
3. Rxy()的峰值不在 = 0 处，其峰值偏离原点的位置反映了两信号时
移的大小，相关程度最高。
Rxy ( )
x y x y
0 0
自相关函数，互相关函数
⾃相关函数，互相关函数1. ⾸先说说⾃相关和互相关的概念。
这个是信号分析⾥的概念，他们分别表⽰的是两个时间序列之间和同⼀个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，⾃相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
⾃相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的⼀个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各⾃的⾃谱联系了起来。
它能⽤来确定输出信号有多⼤程度来⾃输⼊信号，对修正测量中接⼊噪声源⽽产⽣的误差⾮常有效.事实上，在图象处理中，⾃相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则⾃相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表⽰卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。
那么，如何在matlab中实现这两个相关并⽤图像显⽰出来呢？dt=.1;t=[0:dt:100];x=cos(t);[a,b]=xcorr(x,'unbiased');plot(b*dt,a)上⾯代码是求⾃相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改⼀下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
2. 实现过程：在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利⽤Fourier变换中的卷积定理进⾏的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表⽰乘法，注：此公式仅表⽰形式计算，并⾮实际计算所⽤的公式。
当然也可以直接采⽤卷积进⾏计算，但是结果会与xcorr的不同。
数字信号处理中的自相关与互相关
数字信号处理中的自相关与互相关数字信号处理（Digital Signal Processing，DSP）是一门关于对离散信号进行数字化处理的学科。
在数字信号处理的领域中，自相关与互相关是两个重要的概念和技术，在信号分析和处理中具有广泛的应用。
本文将重点讨论数字信号处理中的自相关与互相关的原理、计算以及应用。
一、自相关自相关是指一个信号与其自身之间的相关性。
在数字信号处理中，自相关常用于分析信号的周期性、相干性以及计算信号的功率谱密度。
自相关函数（Autocorrelation Function，ACF）是用来衡量信号在不同时刻的相似程度的一种数学工具。
自相关函数可以通过以下公式计算：\[R_x(k) = \sum_{n=0}^{N-k-1} x(n)x(n+k)\]其中，$R_x(k)$表示信号$x(n)$在延迟$k$时刻的自相关函数值，$N$表示信号的长度，$k$为延迟时间。
通过计算不同的延迟时间，可以得到自相关序列，进而对信号进行周期性和相干性的分析。
自相关函数在信号处理中具有广泛的应用。
例如，在音频处理中，可以通过自相关函数分析音频信号的周期性，从而实现音频信号的去噪和频率分析；在图像处理中，自相关函数可以用于图像的模板匹配和边缘检测。
二、互相关互相关是指两个不同的信号之间的相关性。
在数字信号处理中，互相关常用于信号的匹配、滤波和信号相似度的衡量。
互相关函数（Cross-Correlation Function，CCF）是用来衡量两个信号之间相似性的一种数学工具。
互相关函数可以通过以下公式计算：\[R_{xy}(k) = \sum_{n=0}^{N-k-1} x(n)y(n+k)\]其中，$R_{xy}(k)$表示信号$x(n)$和$y(n)$在延迟$k$时刻的互相关函数值，$N$表示信号的长度，$k$为延迟时间。
通过计算不同的延迟时间，可以得到互相关序列，进而分析两个信号之间的相似度和相对偏移。
自相关与互相关
第五章信号处理初步信号处理的目的:1、分离信、噪，提高信噪比。
2、从信号中提取有用的特征信号。
3、修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。
第一节数字信号处理的基本步骤一、数字信号处理的基本步骤图5-1 数字信号处理系统简图1、预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。
把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。
(1) 信号电压幅值处理，使之适宜于采样；(2) 过滤信号中的高频噪声；(3) 隔离信号中的直流分量，消除趋势项；(4) 如果信号是调制信号，则进行解调。
信号调理环节应根据被测对象、信号特点和数学处理设备的能力进行安排。
2、A／D转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存入到指定的地方，其核心是A/V转换器。
信号处理系统的性能指标与其有密切关系。
3、对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。
目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。
4、结果显示一般采用数据和图形显示结果。
第二节信号数字化出现的问题一、概述图5-2为模拟信号)(fXx及其幅频谱)(t图5-2原模拟信号及其幅频谱图5-3为等时距周期脉冲信号序列)s。
(t图5-4为采样后的信号及其频谱图，时域相乘对应频域的卷积相乘。
图5-5为窗函数，目的是用来从采样后的时间序列截取有限时间的一段。
图5-6为窗函数阶段后的有限长离散信号图5-7为频域采样函数。
图5-8为频域采样后的频谱二、时域采样、混叠和采样定理采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。
这样，各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值，这些权值将被量化成相应的二进制编码。
其数学上的描述为，间隔为T s的周期脉冲序列g(t)乘模拟信号x(t)。
g(t)由下式表示，即n=0,±1, ±2, ±3,由δ函数的筛选特性可知n=0,±1, ±2, ±3,经时域采样后，各采样点的信号幅值为x(nT s)。
互相关函数举例
互相关函数举例以下是一些常见的互相关函数的例子：1.自相关函数：自相关函数是最基本的互相关函数之一，它描述了一个信号与自身的相似性。
自相关函数在信号分析中常用于寻找信号的周期性或局部特征。
例如，在音频处理中，可以使用自相关函数来检测音频信号的频率。
2.互相关函数：互相关函数描述了两个不同信号之间的相似性。
在图像处理中，可以使用互相关函数来进行模板匹配。
例如，在人脸识别中，可以使用互相关函数来匹配目标人脸与已知人脸库中的图像。
3.归一化互相关函数：归一化互相关函数是将互相关函数归一化到[0,1]之间的范围，以方便比较不同信号之间的相似性。
归一化互相关函数通常用于图像处理中的特征匹配和物体识别。
4.相位相关函数：相位相关函数是互相关函数的一种变体，它考虑了信号的相位信息。
相位相关函数在相干光学图像处理和数字全息图像处理中广泛应用，用于重建三维物体的形状和深度信息。
5.快速互相关函数：快速互相关函数是一种加速计算互相关函数的方法。
它利用快速傅里叶变换（FFT）算法来减少计算量，并在实时处理和大规模信号处理中具有重要意义。
6.对称互相关函数：对称互相关函数是一种针对对称信号的互相关函数。
由于对称信号的特殊性质，对称互相关函数的计算可以更加高效和简洁。
7.多通道互相关函数：多通道互相关函数用于处理多通道信号，如彩色图像。
它可以计算多个通道之间的相似性，并找到最佳匹配位置。
多通道互相关函数在计算机视觉和图像处理中广泛应用。
8.相关性度量函数：相关性度量函数是用于评估两个信号之间的相似性的指标。
常见的相关性度量函数包括互相关系数、皮尔逊相关系数、互信息等。
这些函数可以量化信号之间的相关性程度，并进行相似性的比较和分析。
这些例子只是互相关函数的一小部分应用，互相关函数在信号处理和图像处理中还有许多其他重要的应用。
通过对互相关函数的研究和应用，可以提高信号处理和图像处理的效果，并对各种信号进行分析和识别。
自相关与互相关函数
相关函数１．自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，其定义式为（2.4.6）对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。
对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算（2.4.7）自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。
例如信号的自相关函数为若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即，则对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。
它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率，但丢失了相角的信息。
自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。
因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即（2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为（2.4.10）当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。
由于，所以。
值的大小表示信号相关性的强弱。
自相关函数的性质可用图2.4.3表示。
图2.4.3 自相关函数的性质常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：（1）检测信号回声（反射）。
若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。
时间历程自相关函数图形正弦波图2.4.4 四种典型信号的自相关函数（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。
自相关函数和互相关函数的不同
自相关函数和互相关函数的不同自相关函数和互相关函数是统计学和信号处理中常见的两种函数。
虽然它们都与信号的相似度相关，但在使用中有着不同的应用场景和
解释方式。
首先，自相关函数通常用于分析一个信号本身的相似度。
自相关
函数可以帮助我们了解一个信号中的周期性或重复模式，以及信号的
相似性程度。
通过计算一个信号与其自身进行卷积，可以得到该信号
的自相关函数。
自相关函数通常具有一个明显的峰值，该峰值所对应
的位置，就是信号的周期长度。
相比之下，互相关函数主要用于比较两个信号之间的相似度。
互
相关函数计算的是两个信号之间的卷积，可以告诉我们两个信号存在
多大程度的相似性。
通常说，如果两个信号越相似，那么它们之间的
互相关函数的峰值就会越高。
互相关函数与自相关函数不同，它展现
的是两个信号之间的相似性，而自相关函数则主要用于单个信号自身
的分析。
自相关函数和互相关函数都是十分有用的工具，能够帮助我们更
好地理解信号的特征和性质。
在实际应用中，自相关函数和互相关函
数都有着广泛的应用，如信号处理、图像处理、音频处理、模式识别
和机器学习等领域。
在音频处理中，我们可以利用自相关函数来确定
一个音频信号的节奏和节拍，而互相关函数则可以用于音频相似度匹
配和语音识别中。
总体而言，自相关函数和互相关函数虽然有着明显的区别，但它们都是重要的分析工具，可以帮助我们更好地理解和处理信号。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和目的，来选择和使用适合的函数，以得到最佳的结果。
信号相关分析原理：自相关函数,互相关函数
5.3 离散信号的自相关函数
离散信号的自相关函数：
R(n) x( j)x( j n)
j
性质：
1、离散自相关函数是偶函数 R(n) R(n)
2、在n=0时，自相关函数就是离散信号的能量
Rx (0) x2 ( j) Ex
j
return
12
5.4 信号的互相关函数
（五）自相关函数与功率谱的关系
维纳—辛钦（Wiener-Khintchine）关系：
S()为信号的功率谱密度，
2
s() lim XT0 ()
T0
T0
则： S( ) R( )e jd
R( ) 1 S()e jd
2
return
11
T 2 T 2
f (t) 2 dt
（1.2—2）
lim P
1
T T
T
2
2 T
f (t) dt
2
3
5.1 信号的互能量与互能谱
(二)．能量谱与功率谱
1. 能量谱: E f 2(t)dt 1 F() 2 d
2
该式为帕色伐尔（斯瓦尔）定理，又成称为瑞利公式。 它表明：对于能量信号，在时域内计算的信号能量与在频域 内计算的信号能量相等。
( x(t )
y(t))2 dt
（两信号之和的能量，除
x2(t)dt
了y外包2 (，含t)还两d包t信含号2一各项自E的xx(y能）t)量y(t)dt
Ex Ey Exy
信号的互能量为： Exy
2
自相关与互相关定义
地震动的空间相干性一、自相关与互相关定义：互相关函数是信号分析里的概念，表示的是两个时间序列之间的相关程度，即描述信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
描述两个不同的信号之间的相关性时，这两个信号可以是随机信号，也可以是确知信号。
互相关公式：自相关性是指随机误差项的各期望值之间存在着相关关系，称随机误差项之间存在自相关性（autocorrelation）或序列相关，于1972年提出。
自相关公式：二、地震动的空间相关性地震在传播过程中由于路径、场地条件以及地质条件的影响，在场地内各处地震动的差异被称为地震动空间变化性，主要包含以下四个方面的效应：部分相干效应、行波效应、衰减效应和局部场地效应。
当地震动的空间变化性较大时，结构的地震响应计算需要采用多点输入的方式，此时计算获得的结构响应与一致输入下结构响应的差异即为结构的地震空间效应。
即使来自同一次地震，在距离很近的台站获得的多个记录或记录组间也可能存在明显的差异，这种差异即为地震动的空间变化性。
由于建筑在选址过程中场地条件通常较为均匀，并且相对于桥梁以及输电塔等结构跨度相对较小，当地震动场的空间变化性作用在建筑结构时通常并不能表现出明显的局部场地效应和衰减效应，因此在分析建筑结构的地震空间效应时仅需考虑行波效应和相干效应的影响。
行波效应来自于视波速引起的地震动到达不同位置的时间上的延迟。
现有的行波效应研究已经较为成熟，而相干效应相对地较为复杂，在地震动的传播过程中，由于地震波间相互的叠加和干扰，使得不同位置的地震动在频域内存在一定的差异和联系，即地震动的相干性。
这种相干性通常用它们的相干函数来描述，相干函数是用自功率谱和互功率谱密度函数来计算的。
地震动场相干函数模型根据构成的方法可以分为理论相干函数模型和经验相干函数模型。
其中，理论相干函数模型是从地震工程学理论出发，推导相应的相干函数模型，如Luco-Wong 模型、Somerville 等的模型、Der Kiureghian 模型、Yang-Chen 模型等。
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j
d
d
return 11
1 R ( ) 2
S ( )e
j
5.3 离散信号的自相关函数
离散信号的自相关函数：
R( n )
性质：
j
x( j ) x( j n)
R( n ) R( n )
1、离散自相关函数是偶函数
2、在n=0时，自相关函数就是离散信号的能量
自相关函数的特点：
1. 自相关函数是偶函数
R( ) R( )
2. 当=0 时，自相关函数等于信号的能量
Rx (0) x 2 (t )dt Ex
3. Rx(0)为自相关函数的最大值
8
5.2 信号的相关分析
（二）无限长信号的自相关函数 无限长非周期函数：由有限时间信号的周期T0趋于
信号的功率：信号电压（或电流）在1欧姆电阻上所消耗的功率。
在[T1，T2]时间内平均功率可表示为：
1 P T2 T1
T2
T1
f (t ) dt
2
1 设T2=T/2，T1=-T/2，则： p T
当T时 若f(t)为 实函数
T 2 T 2
2
f (t ) dt
2
P lim
T
W ( ) F ( )
2
因为能谱是频谱密度模的平方，与相位无关。 对波形相同而时间位置不同的所有信号，其能谱完全相同。 4
5.1 信号的互能量与互能谱
2. 功率谱：
设 fT0 (t ) 是 f (t ) 的截短函数 则f(t)的功率谱密度函数为
T0 f ( t ) t 2 fT0 (t ) T0 0 t 2
无穷大时获得的。
为使所得R() 的表达式不发散，定义新自相关函数：
1 Rx ( ) lim T0 T 0
T0 2
T0 2
x(t ) x(t )dt
周期函数：其自相关函数为
周期信号的自相关函数是 的周期函数，周期为T。 当=0 或 T 的整数倍时，x(t- )=x(t), Rx()达到最大值， 9 为x(t)的平均功率。
x(t ) y(t )dt
6
5.1 信号的互能量与互能谱
(四)．广义瑞利公式、互能谱 1. 广义瑞利公式：
若信号x(t) 和 y(t) 为实函数，其频谱密度分别为
X ( ) 和 Y ( ) ，则
2. 互能谱：
1 ( x, y ) x (t ) y (t )dt 2
S ( ) lim
FT0 ( ) T0
2
T0
所以
1 P 2
S ( )d
5
5.1 信号的互能量与互能谱
(三)．两信号的互能量 两信号x(t) 、y(t)之和的能量为：
E ( x(t ) y (t )) dt
2
x (t )dt
2
互相关：
Rxy ( ) x( ) y ( t )d
16
5.4 信号的互相关函数
（三）相关定理
若
x (t ) ， y (t )
的频谱函数分别为
则：
F Rxy ( ) X ( ) Y ( )
X ( )
，Y ( )
F Ryx ( ) Y ( ) X ( )
Wx ( ) Rx ( )e
j
d
10
5.2 信号的相关分析
（五）自相关函数与功率谱的关系
维纳—辛钦（Wiener-Khintchine）关系：
S()为信号的功率谱密度，
s( ) lim
则：
X T0 ( ) T0
2
T0
S ( ) R( )e
T0 2
T0 2
x(t ) y (t )dt
1 Ryx ( ) lim T0 T 0
T0 2
T0 2
y (t ) x(t )dt
14
5.4 信号的互相关函数
互相关函数性质： 1、互相关函数不是偶函数。
Rxy ( ) Rxy ( )
2、Rxy ( ) 和
2
当R=1时，即可得公式（ 5.1 —1）。 压（电流）加在1 电阻上所消耗的能量。
E
若f(t)为实数
| f (t ) | dt
2
E
2 （5.1—1） 如果在无限大的时间间隔内， 信号的能量为有限值，而信号 的平均功率为零
f (t )dt
对于能量信号E为有限值。
2
5.1 信号的互能量与互能谱
式中 为两信号的时差。
Ryx ( ) y (t ) x(t )dt
如果两信号正交
x(t ) y(t )dt 0
13
说明正交信号之间毫无相似之处。
5.4 信号的互相关函数
若 x(t),y(t) 为功率信号，则 x(t), y(t) 的互相关函数为
1 Rxy ( ) lim T0 T 0
由此可见，两信号的互相关函数和互能谱是一对傅立叶变换。
Rxy ( ) Wxy ( ) X ( )Y ( )
（四）离散信号的互相关函数
Rxy ( )
j
x( j ) y ( j n)
return 17
作业：5-3，5-4， 5-10，5-11
return 18
1 Rx ( ) T
T 2
T 2
x (t ) x (t )dt
5.2 信号的相关分析
（四）自相关函数与能谱的关系
1 Rx ( ) 2
X ( ) e j d
2
1 2
Wx ( )e
j
d
可见，自相关函数等于 信号能谱的傅立叶变换。由 此易得：
（两信号之和的能量，除 2 了包含两信号各自的能量 y外，还包含一项 (t )dt 2 E x(） t ) y(t )dt xy
Ex E y Exy
信号的互能量为： Exy
2 x(t ) y (t )dt
两函数的标量积： ( x, y )
X ( )Y ( )d
Wxy ( ) X ( )Y ( )
Wxy()称为信号x(t)、y(t)的互能谱密度，简称互能谱。
return 7
5.2 信号的相关分析
（一）信号的自相关函数 为了定量地确定信号x(t) 与时移副本x(t-) 的差别或 相似程度，通常用自相关函数：
Rx ( ) x(t ) x(t )dt
1 T 1 T
T 2 T 2 T 2 T 2
f (t ) dt f (t ) dt
3
P lim
T
2
（1.2—2）
5.1 信号的互能量与互能谱
(二)．能量谱与功率谱 1. 能量谱: E
1 f (t )dt 2
2
F ( ) d
2
该式为帕色伐尔（斯瓦尔）定理，又成称为瑞利公式。 它表明：对于能量信号，在时域内计算的信号能量与在频域 内计算的信号能量相等。 其中|F()|2 表明了信号能量在频域的分布情况，所以 被称为能量谱密度,简称能谱。记作：
Rx (0)
j
x ( j) E
2
x
return 12
5.4 信号的互相关函数
（一）互相关函数 描述两信号之间的相互关系， 设 x(t)、 y(t) 为能量信号，则 x(t)、 y(t) 的互相关函数为 即两信号波形的相似程度，时 间轴上的位置差别
Rxy ( ) x(t ) y(t )dt
Ryx ( ) Ryx ( )
Ryx ( )
不是同一个函数，即：
Rxy ( ) Ryx ( )
但存在下列关系：
Rxy ( ) Ryx ( )
15
5.4 信号的互相关函数
（二）相关与卷积的关系
卷积：
x(t ) y(t ) x( ) y(t )d
第五章
信号相关分析原理
5.1 信号的互能量与互能谱 5.2 信号的相关分析
5.3 离散信号的自相关函数
5.4 信号的互相关函数 作 业
1
U 由公式： E I Rdt dt f(t)的归一化能量，即信号的电 R 信号的能量： 指信号
2 (一)．信号的能量与功率
5.1 信号的互能量与互能谱