2014年中国西部数学邀请赛(word版)
答案与评分细则(14年高中数学联赛四川试题)
2014年全国高中数学联赛（四川）参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、D2、B3、A4、B5、C6、C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、326 8、14 9、80 10、0 11、5 12、28 三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知a 为常数，函数1()ln(1xf x ax x−=−+． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若83a =−，求()f x 的极值．解：（1）函数()f x 的定义域为(1,1)−．()ln(1)ln(1)f x x x ax =−−+−，2112()111f x a a x x x −−′=−−=−−+− (5分) 因为11x −<<，故2221x−≤−−； ① 当2a >−时，()0f x ′<恒成立，故单调递减区间为(1,1)−； ② 当2a =−时，(1,0)x ∈−时()0f x ′<；0x =时()0f x ′=； (0,1)x ∈时()0f x ′<； 故单调递减区间为(1,1)−；③ 当2a <−时，由()0f x ′<知221a x−<−，即22a x a +>1x <<或者1x −<<；故单调递减区间为，(1,−． 综上所述，当2a ≥−时，单调递减区间为(1,1)−；当2a <−时，单调递减区间为，(1,−−年全国高中数学联赛（四川）试题（2）823a =−<−，由()0f x ′=知驻点为12x =−，或12x =； 于是: 112x −<<−时'()0f x <；1122x −<<时'()0f x >；112x <<时'()0f x <． （15分） 所以，()f x 有极小值14()ln 323f −=−+，有极大值14()ln 323f =−．（20分）14、已知不等式31cos 4cos sin 3222≤++−a x a x x 对一切R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．解：设31cos 4cos sin 3)(222−++−=a x a x x x f ，则28cos 4cos 4)(22−++−=a x a x x f 令x t cos =，则]1,1[−∈t故当]1,1[−∈t 时，22()44280g t t at a =−++−≤恒成立 二次函数()g t 的对称轴2a t =， ①当12a≤−，即2a ≤−时，()g t 在]1,1[−∈t 上单减， 故有()g t 的最大值2(1)4320g a a −=−−≤，解得42a −≤≤−； （5分）②当112a −<<，即22a −<<时，有()g t 的最大值2(22802ag a =−≤， 解得22a −<<； （10分） ③当12a≥，即2a ≥时，()g t 在]1,1[−∈t 上单增，故有()g t 的最大值2(1)4320g a a =+−≤，解得24a ≤≤； （15分） 综上可知，所求a 的取值范围是[4,4]−． （20分）15、已知k 为给定正整数，数列{}n a 满足13a =，2*211(31)3()k n n a S n −+=−+∈N ，其中n S 是{}n a 的前n 项和．令3121log ()()n n b a a a n n =∈"*N ,记213||2kk i i T b ==−∑．若k T ∈*N ,求k 的所有可能值．解：由条件知22121212(31)333k k k a +−−=−×+=，又 2211(31)3k n n a S −+=−+，2211(31)3k n n a S −−=−+（2n ≥） 故2211(31)k n n n a a a −+−=−，即22113k n n a a −+=．于是2223221212)3(2)n k n k k n a a n +−−−−==≥，显然1n =也符合．所以，数列{}n a 的通项公式22321()n k k n a n +−−=∈*N ． （5分）从而3121log ()n n b a a a n ="111(223)21ni i k n k ==⋅+−−∑1121n k −=+−．（10分） 于是1()32221n n k b k −+−=−，从而n k ≤时302n b −<；1n k ≥+时302nb −>． 所以222111333||()()22221kk kk i i i i i i k k T b b b k ===+=−=−+−=−∑∑∑． （15分） 因为k T ∈*N ，即2(21)|k k −，故2(21)|(411)k k −−+，于是(21)|1k − 故211k −=，解得1k =．所以所求k 的所有可能值为1k =． （20分）16、过椭圆22132x y +=的右焦点F 作两条垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N ．（1）求证：直线MN 必过定点，并求出这个定点；（2）若弦AB 、CD 的斜率均存在，求△FMN 的面积的最大值． 解：（1）由题意知，(1,0)F ．① 当弦AB 、CD 的斜率均存在，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为1k−． 设:(1)AB y k x =−，代入椭圆方程22132x y +=，得2222(32)6(36)0k x k x k +−+−=，所以223232A B M x x k x k +==+，22(1)32M M k y k x k −=−=+，故点22232(,3232k kM k k −++．因为CD ⊥AB ，所以将点M 的坐标中的k 换为1k −，即得点2232(,)2323kN k k ++．（5分）（i ）当1k ≠±时，22222222332332332MNk kk k k k k k +++=−++24210(1)56633k k k k k +−==−−， 此时直线MN 的方程为222253()233323k ky xk k k −−=−+−+，则直线MN 过定点3(,0)5． （ii ）当1k =±时，易得直线MN 的方程为35x =，也过点3(,0)5． ② 当弦AB 或弦CD 的斜率不存在时，易知直线MN 为x 轴，也过点3(,0)5．综上可知，直线MN 必过定点E 3(,0)5． （10分）（2）由（1）知S △FMN =1||||2M N EF y y ⋅⋅− 2212253223k kk k −=−++2222(1)(32)(23)k k k k +=++ （15分） 不妨设0k >，则6424222222222212101012(12212)(1)(32)(23)(32)(23)k k k k k k S k k k k −−++−+−−′==++++ 由0S ′=知1k =．又(0,1)k ∈时，0S ′>; (1,)k ∈+∞时，0S ′<; 故当1k =时，S 有最大值为425．所以，△FMN 的面积的最大值是425． （20分）。
2014年全国初中数学竞赛预赛试题及答案
2014 年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共 6 小题，每小题 6 分，共36 分）以下每小题均给出了代号为A ，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则（A）2013 答】D．B)2014的值为【】C）2015 （D）0解：最大的负整数是－1，1；绝对值最小的有理数是0, •••=0；倒数等于它本身的自然数是1=1.=0.2. 已知实数满足则代数式的值是【A ）（B）3 （C）（D）7 答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2 所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图 2 中的对应线段是【】A) B)C)D)【答】C . 解：将图1中的平 面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设 图1中完整的正方形 为完整面，△ AMN 和 △ ABM 所在的面为组 合面，则△ AMN 和与AM 重合，MN 与线段c 重合.△ ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 2,首先确定B 点，所以线段d4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7 个代数式12 / 75)3个 (C ) 4个】 (D) 4个以上答】C．解：由图象可得：抛物线与轴有两个交点，=118 /75即21 / 75. 从图象可得，抛物线对称轴在直线=1 的左边.因此7 个代数式中，其值为正的式子的个数为 4 个.5.如图，Rt A OAB的顶点O与坐标原点重合，/ AO=90°,AO=2BQ当A(x>0)的图象上移动点在反比例函数时， B 点坐标满足的函数解析式为【】x<0)B) x<0)C) x<0)D)x<0)答】B．轴的垂线那么28 / 756．如图，四边形ABHK 是边长为6 的正方形，点C、D 在边AB 上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP, E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF 的中点为G,则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B.解：设KH 中点为S ,连接PE 、ES SF 、PF 、PS ,可证明四边形 PESF 为平行四边形，••• G 为PS 的中点，即在点P 运动过程中，G 始终为PS 的中点，所 以G 的运行轨迹为△ CSD 的中位线，••• CD=AB — AC — BD=6 — 1 — 1 = 4 , •••点 G 移动的路径长为=2.、填空题（共6小题，每小题6分，共36 分）A【答】原式=8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为个为红色玻璃球的概率为___________ ，那么，随机摸出一答】解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得=10,所以P （摸出一个红色玻璃球）9. 若【答】8.10. _______________________________________ 如图，在Rt A OAB 中，/ AOB=30° AB=2,将Rt△ OAB 绕O 点顺时针旋转90°得到Rt△ OCD，则AB扫过的面积为______________________________________ .【答】解：T Rt A OAB 中，/ AOB=30°, AB=2,，BO=DO=4，AO=CO=阴影部分面11. 如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4，点E是AD上一个动点，把△ BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A i恰落在/ BCD的平分线上时, CA i= __________答】．解：过A i 作A i M 丄BC,垂足为M，设CM=A i M=x,贝U BM=4 —X, 在Rt△ A i BM 中，E=A i M =•••在等腰Rt△ A i CM 中，C A i =12. 已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5,若m是关于x 的方程(x—a)(x—b)(x—c)(x —d) =2014 中大于a、b、c、d 的一个整数根，贝U m的值为_______ .【答】20.解：•••( m—a)( m—b)( m—c)( m—d) =2014,且a、b、c、d 是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，二(m—a)、( m—b)、( m—c)、( m —d)是四个不同的正整数. v2014=1 >2X19>53, /•( m—a) + (m—b) + (m—c) + (m—d) =1+2+19+53=75.又v a+b+c+d =5，二m =20.三、解答题(第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分)13. 某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，易知0< x w 69, 0< y w 49, 0< z w 34,••• x, y, z均为正整数，>0，即0V z< 14••• z只能取14,9和4. (8)分① 当z 为14 时，=2，=28.② 当z 为9 时，=26，=18.③ 当z 为 4 时，=50 ，=8.综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支• ............................................................ 14分14. 如图，在矩形ABCD中, AD=8,直线DE交直线AB于点E,交直线BC于F，AE=6.(1)若点P是边AD上的一个动点(不与点A、D重合)，设DP为x,四边形AEHP勺面积为y,试求y与x的函数解析式；(2) 若AE=2EB①求圆心在直线BC上，且与直线DE AB都相切的。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
2014年中国西部数学奥林匹克邀请赛试题及其解答
= ∠=
∠
DP · DQ。
∠ = ，所以△APD∽△BQC，所以 = = ，所以CP · CQ =
∠
C
D
P
Q
A
O
B
三、设A 、A 、A 、 …是一列集合，满足：对任意正整数j，只有有限个正整数i，使 得A ⊆ A 。证明：存在一列正整数a 、a 、a 、 …，使得对任意正整数i、j，a |a ，当且仅 当A ⊆ A 。
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文武光华
综上所述，上述定义的数列 a 即满足条件。
四、给定正整数n，设a 、a 、 … 、a 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只 有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”， 最后一项称为“龙尾”。已知a 、a 、 … 、a 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求 ∑ a 的最小值。
综上所述，命题得证。
六、给定整数n ≥ 2，设实数x 、x 、 … 、x 满足：（1）∑ x = 0；（2）|x | ≤ 1。 求 min |x − x |的最大值。
解答：（1）当n为偶数时，因为|x − x | ≤ |x | + |x | ≤ 2，故 min |x − x | ≤ 2。另一方面，令x = −1，x = 1（i = 1，2， … ， ），则 min |x − x | = 2。故
的最大值为 。
七、如图，平面上点 O 是正△ABC 的中心，点 P、Q 满足OQ⃑ = 2PO⃑，证明：|PA| + |PB| + |PC| ≤ |QA| + |QB| + |QC|。
A
PO Q
B
C
证明：如图，取 BC、CA、AB 的中点 D、E、F，则△DEF 与△ABC 关于点 O 以1: −2位似， 又 P、Q 关于点 O 以1: −2位似，所以|QA| + |QB| + |QC| = 2|PD| + 2|PE| + 2|PF|。
历届西部数学奥林匹克试题
目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1） 求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2） 求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳 平 供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄 供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚 供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件： （1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。
2023年中国西部数学邀请赛第一、二天试题
1．是否存在6个两两不同的整数,,,,,a b c d e f ，使得它们恰为关于x 的方第一天8月6日8：00—12：00每题15分程2320((()))x a x bx c x dx ex f ++++++=的6个根？2．某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？3．如图，已知ABC D 内两点,P Q 满足PBC QBA ∠=∠且PCB QCA ∠=∠，线段BC 上一点D 满足PDB QDC ∠=∠．设点A 关于直线,BP CQ 的对称点分别为,X Y ．证明：DX DY =．4．设p 为质数，整数,,a b c 均与p的整数1234,,,x x x x ，满足1234(mod ) ax x bx x c p +≡．第二天8月7日8：00—12：00每题15分5．设非负实数12100,,,a a a 满足对任意299i ≤≤，有{}11max ,i i i i a a a a i -+++≥．求12100a a a +++ 的最小值．6．如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点为E ，ABE D 的外心为K ，点B 关于直线CD 的对称点为X ，点Y 满足四边形DKEY 是平行四边形．证明：点,,,D E X Y共圆．7．对于正整数,x y ，用()x r y 表示满足 (mod )r y x ≡的最小正整数r ．对任意正整数,,a b n ，证明：1()()2n b i n a b r ai =+≤∑．8．一个100100⨯方格表的左下角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪．老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）．现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板．称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪．求最小的正整数n ，使得对任意一种“仁蒸的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过n 次移动吃到奶酪．。
2014年全国高中数学联赛试题及答案
2014年全国高中数学联赛(B 卷)一 试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1.函数xx x f 3245)(---=的值域是 .2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值围是 .3.双曲线122=-y x的右半支与直线100=x 围成的区域部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4.已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7.正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8.方程2010=++z y x满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得+++=32152a a a r r r .解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41- 提示：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g . 综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-. 6.1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .设分别与平面PBA 1、平面PA B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α.OEPC 1B 1A 1A解法二：如图，PB PA PC PC==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结EB 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B OB .4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一：,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得 )21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=，01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离22029)0()25(y y CM h+=-+-==.2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC+⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=.当且仅当222249yy-=+，即0y=,66((33A B+-或66((33A B-时等号成立.所以，ABC∆面积的最大值为7314.11.令252)(3-+=xxxf，则056)(2>+='xxf，所以)(xf是严格递增的.又43)21(,02)0(>=<-=ff，故)(xf有唯一实数根1(0,)2r∈.所以32520r r+-=，3152rr-=4710r r r r=++++.故数列),2,1(23=-=nnan是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列<<<<naaa21和<<<<nbbb21满足52321321=+++=+++bbbaaa rrrrrr，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321tttsss rrrrrr，这里<<<<<<321321,tttsss，所有的is与jt都是不同的.不妨设11ts<，则++=++<21211ttsss rrrrr，112111111121211=--<--=++≤++<--rrrrr stst，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．2. （40分）设k 是给定的正整数，12rk =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 3. （50分）给定整数2n>，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤=，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++==．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）()()2222POr KO r =-+-，同理()()22222QKQO rKOr=-+-，所以 2222PO PK QO QK-=-，故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ①由梅劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③M由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤⑤-④，得 2PKPE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v=时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v-≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是FE QPONMK DCBA()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v fr +是一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i ii i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k n k n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1kn=-， 故111nnnk kn kk k k a AnA A ===-=-∑∑∑()1111n n nk n kk k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<-⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则DOC 专业资料. 标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i j n i n ij C -⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ② 代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)n n kn k k n k k n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．。
2014年全国初中数学竞赛精彩试题及问题详解
中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设a =b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．22121+++-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC＝不一定是有理数．4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．200解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE，BE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802B HC A B OC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ①即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()kj i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。
2014年高中数学联赛四川预赛试题
2014年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月18日下午14：30——16：30）考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分.2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答.3、计算器、通讯工具不准带入考场.4、解题书写不要超过密封线.一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1、已知,a b ∈R ,复数4z a i =+，且4zi z b=+，则b = 【 】A 、16−B 、1C 、 16D 、172、过椭圆的左焦点F 作倾斜角为45°的直线l 与该椭圆交于A 、B 两点，若||2||BF AF =， 则该椭圆的离心率是 【 】A 、 13B、3C 、12D、23、已知公差为d 的等差数列{}n a 满足：0d >，且2a 是14,a a 的等比中项； 记2()n n b a n =∈*N ,对任何正整数n ，都有121112nb b b +++<"成立， 则公差d 的取值范围是 【 】A 、1[,)2+∞B 、1(,)2+∞C 、11[,)42D 、11[,]424、已知,a b 为正实数，记2a b P +=−，2a b Q +=，2ab R a b=+， 则下列判断正确的是 【 】A 、P Q R ≥≥B 、Q P R ≥≥C 、Q R P ≥≥D 、,,P Q R 的大小关系不能确定5、半径为6的球，则该球内接正三棱锥的体积的最大值是 【 】 A 、B、C 、D 、三 题 目一 二13 14 15 16总成绩得 分评卷人复核人 得 分 评卷人6、已知,,,a b c d 均为实数，函数)0(23)(23<+++=a d cx xb x a x f 有两个极值点21,x x （12x x <），满足12)(x x f =，则方程0)]([)]([2=++c x f b x f a 的实根个数是【 】A 、0个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7、设在55×的方格表的第i 行第j 列所填的数为ij a ，其中{0,1}ij a ∈，ij ji a a =，1,5i j ≤≤．则表中共有5个1的填表方法总数是 ．（用具体数字作答）8、若二面角l αβ−−大小为60°，点P 到平面α的距离为3，到平面β的距离为5， 若A α∈，B β∈，则△P AB 周长的最小值是 ．9、已知,a b 为实数，对任何满足01x ≤≤的实数x ，都有||1ax b +≤成立， 则|2014||2014|a b a b ++−的最大值是 ．10、设77(12)kk k x a x=−=∑，则234567234567a a a a a a +++++的值是 ．11、已知向量α、β是平面内两个互相垂直的单位向量，且(3)(4)0−⋅−=αγβγ， 则||γ的最大值是 ．12、对任意正整数n ，定义Z(n )为满足“12m +++"是n 的倍数的最小的正整数m ”．则满足Z(n )=6的全部正整数n 的和等于 ．三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13、已知a 为常数，函数1()ln()1xf x ax x−=−+． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若83a =−，求()f x 的极值．得 分 评卷人得 分 评卷人14、已知不等式31cos 4cos sin 3222≤++−a x a x x 对一切R x ∈恒成立， 求实数a 的取值范围．15、已知k 为给定正整数，数列{}n a 满足13a =，2*211(31)3()k n n a S n −+=−+∈N ，其中n S 是{}n a 的前n 项和．令3121log ()()n n b a a a n n =∈"*N ,记213||2kk i i T b ==−∑．若k T ∈*N ,求k 的所有可能值．16、过椭圆22132x y+=的右焦点F作两条垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N．（1）求证：直线MN必过定点，并求出这个定点；（2）若弦AB、CD的斜率均存在，求△FMN的面积的最大值．。
2023年中国西部数学邀请赛第一、二天试题
中国重庆金华一中数学竞赛组整理第一天8月6日8：00—12：00每题15分1．是否存在6个两两不同的整数,,,,,a b c d e f ，使得它们恰为关于x 的方程2320((()))x a x bx c x dx ex f ++++++=的6个根？2．某个国家有2023个岛和2022座桥，任意一座桥连接两个不同的岛，任意两个岛之间至多有一座桥相连，且可以从任意一个岛通过若干座桥到达其他任何岛．若三个岛中的某个岛与另两个岛都有桥连接，则称这三个岛组成“岛群”．已知任两个“岛群”中都有相同的岛，那么恰有一座桥的岛最少有多少个？3．如图，已知ABC D 内两点,P Q 满足PBC QBA ∠=∠且PCB QCA ∠=∠，线段BC 上一点D 满足PDB QDC ∠=∠．设点A 关于直线,BP CQ 的对称点分别为,X Y ．证明：DX DY =．4．设p 为质数，整数,,a b c 均与p 的整数1234,,,x x x x ，满足1234(mod ) ax x bx x c p +≡．中国重庆金华一中数学竞赛组整理第二天8月7日8：00—12：00每题15分5．设非负实数12100,,,a a a 满足对任意299i ≤≤，有{}11max ,i i i i a a a a i -+++≥．求12100a a a +++ 的最小值．6．如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点为E ，ABE D 的外心为K ，点B 关于直线CD 的对称点为X ，点Y 满足四边形DKEY 是平行四边形．证明：点,,,D E X Y共圆．7．对于正整数,x y ，用()x r y 表示满足 (mod )r y x ≡的最小正整数r ．对任意正整数,,a b n ，证明：1()()2n b i n a b r ai =+≤∑．8．一个100100⨯方格表的左下角小方格中有一只老鼠，右下角小方格中有一块奶酪．老鼠希望移动到右下角小方格中吃奶酪，每次可以从一个小方格移动到相邻的小方格（两个小方格相邻指它们有公共边）．现在在一些小方格的边上放置隔板，老鼠在移动时不能越过隔板．称一种放置隔板的方式是“仁蒸的”，如果放置隔板后老鼠仍能吃到奶酪．求最小的正整数n ，使得对任意一种“仁蒸的”放置2023个隔板的方式，老鼠都能通过不超过n 次移动吃到奶酪．。
2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考题答案
2014年全国初中数学联赛决赛试题一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3xyxyxy，则x y 的可能的值有【】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ，则22t xy yz zx 的最大值为【】A ．47B ．59C ．916D ．12253．在△ABC 中，ABAC ，D 为BC 的中点，BE AC 于E ，交AD 于P ，已知3BP ，1PE，则AE ＝【】A ．62B ．2C ．3D ．64．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】A ．12B ．25C ．23D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t tt .已知实数x 满足33118xx，则1{}{}x x 【】A ．12B ．35C ．1(35)2D ．16．在△ABC 中，90C，60A ，1AC ，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形,90ADE ,则BE 的长为【】A ．423B ．23C ．1(31)2D ．31二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ，1111abcbc ac ab，则abc____．2．使得不等式981715n nk对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．3．已知P 为等腰△ABC 内一点，ABBC ，108BPC ，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC．4．已知正整数,,a b c 满足:1ab c ，111a b c ，2b ac ，则b．三、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a ，(1)8a b b ，求2211ab的值．四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECDACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F. 证明：DFE AFB ．五、（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333nxyzxyz ，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？FCA BDE2014年全国初中数学联赛决赛试题和参考答案一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3xyxyxy，则x y 的可能的值有【】A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答】 C. 由已知等式得2244224423x y xyx yxyx y x y，显然,x y 均不为0，所以x y ＝0或32()xy x y .若32()xy x y ，则(32)(32)4x y .又,x y 为整数，可求得12,x y，或21.x y，所以1x y 或1x y .因此，x y 的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1xyz，则22txyyzzx 的最大值为【】A ．47B ．59C ．916D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xyyzzx x yz yz x y z y z 212(1)(1)4x x x 2731424xx2734()477x，易知：当37x ，27yz时，22t xy yzzx 取得最大值47.3．在△ABC 中，ABAC ，D 为BC 的中点，BEAC 于E ，交AD 于P ，已知3BP ，1PE，则AE ＝【】A ．62B ．2C ．3D ．6【答】 B.因为AD BC ，BE AC ，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ，又2BCBD ，所以6BD，所以3DP.又易知△AEP ∽△BDP，所以AE PE BDDP，从而可得1623PE AEBD DP.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】A ．12B ．25C ．23D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205.5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t tt .已知实数x 满足33118xx，则1{}{}x x【】A ．12B ．35C ．1(35)2D ．1【答】 D. 设1x a x，则32223211111()(1)()[()3](3)xxxxxa axxxxx，所以2(3)18a a，因式分解得2(3)(36)0a a a ，所以3a .由13xx解得1(35)2x，显然1{}1,0{}1x x ，所以1{}{}x x1.6．在△ABC 中，90C，60A ，1AC，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形,90ADE ,则BE 的长为【】A ．423B ．23C ．1(31)2D ．31【答】 A.过E 作EF BC 于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .设EFx ，则2BEx ，22AEx ，2(1)DEx ，1DFAC ，故2221[2(1)]x x，即2410x x .又01x ，故可得23x.故2423BE x .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,,a b c 满足1a b c ，1111abcbc ac ab，则abc____．【答】0. 由题意知1111121212cab，所以(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c 整理得22()8a b c abc ，所以abc 0.2．使得不等式981715n n k对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．【答】144. 由条件得7889k n，由k 的唯一性，得178k n且189k n，所以FEBCAD2118719872k k nnn，所以144n .当144n 时，由7889k n可得126128k ，k 可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，ABBC ，108BPC ，D 为AC 的中点，BD与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ．【答】48.由题意可得PEA PEB CED AED ，而180PEA PEB AED ，所以60PEA PEB CED AED ，从而可得30PCA . 又108BPC ，所以12PBE ，从而24ABD . 所以902466BAD ，11()(6630)1822PAEBAD CAE ，所以183048PAC PAE CAE 4．已知正整数,,a b c 满足:1ab c ，111a b c ，2b ac ，则b．【答】36. 设,a c 的最大公约数为(,)a c d ，1aa d ，1c c d ，11,a c 均为正整数且11(,)1a c ，11a c ，则2211bacd a c ，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d （1b 为正整数），则有2111ba c ，而11(,)1a c ，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ，则1b m n ，,m n均为正整数，且(,)1m n ，mn .又111a b c ，故111()111d a b c ，即22()111d m nmn .注意到222212127m nmn，所以1d或3d .若1d ，则22111mnmn ，验算可知只有1,10m n 满足等式，此时1a ，不符合题意，故舍去.若3d，则2237m nmn ，验算可知只有3,4m n 满足等式，此时27,36,48a bc，符合题意.EDAB PC因此，所求的36b .三、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a ，(1)8a b b ，求2211ab的值．解由已知条件可得222()40a bab ，()8ab a b .设a b x ，ab y ，则有2240xy，8xy，…………5分联立解得(,)(2,6)x y 或(,)(6,2)x y .………10分若(,)(2,6)x y ，即2a b ，6ab ，则,a b 是一元二次方程2260tt 的两根，但这个方程的判别式2(2)24200，没有实数根；……………15分若(,)(6,2)x y ，即6ab，2ab ，则,a b 是一元二次方程2620tt 的两根，这个方程的判别式2(6)8280，它有实数根.所以2222222222211()262282a ba b ab aba b a b.………20分四、．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ．证明由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECDACB DAF .………5分又A 、B 、F 、D四点共圆，所以B D CA B D，………… ….10分所以△ECD ∽△DAF ，………15分所以ED CD AB DFAFAF.………20分又EDFBDF BAF ，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB .……………………25分五、（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333nxyzxyz ，则称n 具有性质P .FCA BDE（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？解取1x ，0y z ，可得3331103100，所以1具有性质P ；取1xy，0z，可得33321103110，所以2具有性质P ；…………………5分若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()xy z x yz xyyzzx ，从而可得33|()x y z ，故3|(x yz，于是有39|()3()()x y z x yz xyyzzx ，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P .……………………10分（2）记333(,,)3f x y z xy zxyz ，则33(,,)()3()3f x y z x y zxy x y xyz 3()3()()3()xy z x y z x yz xy x y z ＝3()3()()xy z xy z xy yz zx 2221()()2x y z x yzxy yzzx 2221()[()()()]2xyz x y y z zx . 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2xy z xy yz z x ①……………………15分不妨设xy z ，如果1,0,1x y y z x z ，即1,x z y z ，则有(,,)31f x y z z ；如果0,1,1x y y z x z ，即1x yz ，则有(,,)32f x y z z ；如果1,1,2xyyzxz，即2,1xz y z ，则有(,,)9(1)f x y z z ；由此可知，形如31k 或32k或9k（k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分又若33|(,,)()3()()f x y z xyz x y z xy yz zx ，则33|()x y z ，从而3|()x yz ，进而可知39|(,,)()3()()f x y z xyz xyz xyyzzx .综合可知：当且仅当93n k 或96n k （k 为整数）时，整数n 不具有性质P .又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数共有224×2＝448个.…………………25分我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。
2013年中国西部数学邀请赛(word版)
甘肃 兰州第一天 8月17日 上午8:00-12:00每题15分1．是否存在整数,,a b c ，使得2222,2,2a bc ab c abc +++都是完全平方数？2．设整数2n ≥，且实数[]12,,,0,1n x x x ∈，求证：1113nk l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑． 3．在ABC ∆中，点2B 是AC 边上旁切圆圆心1B 关于AC 中点的对称点，点2C 是AB 边上旁切圆圆心1C 关于AB 中点的对称点，BC 边上旁切圆切BC 边于点D ．求证：22AD B C ⊥．（AC 边上旁切圆指与BA BC 、的延长线及线段AC 均相切的圆．） 4．把(2)n n ≥枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币开头的从左到右连续奇数枚硬币（可以是一枚）同时翻面，（翻面是指将正面朝上的硬币翻成正面朝下，将正面朝下的硬币翻成正面朝上），这称为一次操作，当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时全部硬币正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行12[]3n +次操作？（其中[]x 表示不大于x 的最大整数．）甘肃 兰州第二天 8月17日 上午8:00-12:00每题15分5．若非空集合{}1,2,3,,A n ⊆满足min x AA x ∈≤，则称A 为n 级好集合．记n a 为n 级好集合的个数（其中A 表示集合A 的元素个数，min x A x ∈表示集合A 的最小元素）．求证：对一切正整数n ，都有211n n n a a a ++=++．6．如图，,PA PB 为圆O 的切线，点C 在劣弧AB 上（不含点,A B ）．过点C 作PC 的垂线l ，与AOC ∠的平分线交于点D ，与BOC ∠的平分线交于点E ．求证：CD CE =．7．将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1,2,,n ．求所有的整数4n ≥，使得可以用3n -条在内部不交的对角线将这个n 边形分成2n -个三角形区域，并且在这3n -条对角线上各标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等．8．求所有的正整数a ，使得对任意正整数5n ≥，都有2(2)|()n n a n a n --．。
2014中国西部数学邀请赛解答
860 yanzongz 2014年中国西部数学邀请赛1张云华：证2014年中国西部数学邀请赛第1题2.(MrRTI)WLOG arc be larger than so if and then .We have since they are both isosceles, we get. From similar reasoning, we get . Hence, andthen multiply to get so .But, angle chase gives :Thus, and so, .Done.2.(DVDthe1st)Let be the midpoints of . Then, hence . Thus and also by anglechasing we can get . Thus we conclude that since,, which is equivalent to .2.(BSJL)Suppose then there are two cases.Case 1: We have by using Law of Sines on, respectively.And now, using Law of Cosines on then we getFinally, the problem becomeswhich is not hard!Case 2: It's similar to case 1~((I just too lazy to type平面几何问题1数学竞赛俱乐部2014年中国西部数学奥林匹克几何题张云华：解2014中国西部数学邀请赛试题第4题2014中国西部数学邀请赛试题及其解答张云华：证2014中国西部数学邀请赛试题第5题2014中国西部数学邀请赛试题(第二天)及其解答6.(MathUniverse)First case: is even. Obviously . If we define it follows that and for . Therefore, if n is even,.Second case: is odd, withWe will prove that .Assume, on the contrary, that there exist numbers satisfying condition and. WLOG, we can assume that . Then, from assumption we know that and .Now, assumption implies: and for .Finally, from the above implication, we have:Contradiction! Therefore,However, numbers: for and for satisfy condition and, so:.张云华：证2014中国西部数学邀请赛试题第6题2014中国西部数学邀请赛试题(第二天)及其解答2014年西部数学奥林匹克几何题27.3.。
中国西部数学奥林匹克(2001-2009)
2 当 n = 1 时 ,由条件知 ① 成立 .
①
第二天
1. 求所有的实数 x , 使得 [ x ] = 4 x + 3. 这里 [ y ] ( 杨文鹏) 表示不超过实数 y 的最大整数 . 2. P 为 ⊙O 外一点 ,过 P 作 ⊙O 的两条切线 , 切 B . 设 Q 为 PO 与 AB 的交点 ,过 Q 作 ⊙O 点分别为 A 、 的任意一条弦 CD . 证明 : △PAB 与 △PCD 有相同的 ( 刘康宁) 内心 . π ,使得 3. 求所有的实数 x ∈ 0 , 2 π (2 - sin 2 x ) sin x + =1, 4
2. 如 图 1 , 以 FE 、
FD 为 邻 边 作 EFDG.
+ qx + rx + s = 0 的 4 个根 . 求这种正方形面积的最
事实上 ,有
x + y +z ≥
2 2 2
于是 ,2 t2 + 2 t - 1 ≥ 2×
1 ( x + y + z) 2 3
1 ( xyz ) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz ≥ 3 3, ≥ 3 3 ( xyz ) 2 ≥ 3 xyz ,如果 xyz < 3 3 . 3
故
x + y +z 的最小值为 3. xyz
m . 求所有的整数 x ,使得 x x
2
n
( 李胜宏) 并证明你的结论 . 4. 我们称 A 1 , A 2 , …, A n 为集合 A 的一个 n 分划 , 如果 (1) A 1 ∪A 2 ∪…∪A n = A ; (2) A i ∩A j ≠ ,1 ≤i < j ≤n .
求最小正整数 m ,使得对 A = {1 ,2 , …, m } 的任意一个 14 分划 A 1 , A 2 , …, A 14 ,一定存在某个集合 A i (1 ≤i ≤
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2014年中国西部数学邀请赛
重庆
第一天 2014年8月16日 上午8:00—12:00
1．设,x y 是正实数，求11x y x y y x --++
+的最小值．
2．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB 上两点，P ，Q 分别是OAC △与OBD △的外心．证明：CP CQ DP DQ ⋅=⋅．
3．设123,,,A A A ⋅⋅⋅是一列集合，满足：对任意正整数j ，只有有限多个正整数i ，使得i j A A ⊆．证明：存在一列正整数123,,,a a a ⋅⋅⋅，使得对任意正整数i ，j ，|i j a a 当且仅当i j A A ⊆．
4．给定正整数n ，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅中每一项都是“龙头”或者“龙尾”，求
1n
i i a =∑的最小值．
第二天 2014年8月17日 上午8:00—12:00
5．给定正整数m ，证明：存在正整数0n ，使得对所有正整数0n n >十进制表示的小数点后第一位数字都相同．
6．给定整数2n ≥，设实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足：
（1）10n i i x
==∑；
（2）1i x ≤，1,2,,i n =⋅⋅⋅．求111
min i i i n x x +--≤≤的最大值．
7．平面上，点O 是正三角形ABC 的中心，点P ，Q 满足2OQ PO =．证明：
PA PB PC QA QB QC ++++≤．
8．给定实数q 满足12q <<，定义数列{}n x 如下：设正整数n 的二进制表示为
2012222k k n a a a a =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，{}0,1i a ∈，0,1,,i k =⋅⋅⋅，
令2012k n k x a a q a q a q =+++⋅⋅⋅+．
证明：对任意正整数n ，存在正整数m 使得1n m n x x x <+≤．。