最新常用逻辑用语题型归纳

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常用逻辑用语知识例题梳理

常用逻辑用语一、知识要点梳理知识点一：命题1. 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题（3）命题“”的真假判定方式：①若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。

如：一定推出.②若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.2. 逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.（3）复合命题的真假判断：①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。

③“非p”与p的真假相反.注意：（1）逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。

可以类比于集合中“或”. （2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”；“p且q”的否定是“p或q”.（3）对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题1. 四种命题的形式：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p.2. 四种命题的关系①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合的运算具有一致性，命题的“且”、“或”、“非”恰好分别对应集合的“交”、“并”、“补”，因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。

高考常用逻辑用语总复习知识题型总结

分析：
选项 A ，命题“若 am2＜bm2，则 a＜b”的逆命题是： “若 a＜b，则 am2＜bm2”， m 0 时，am2＜bm2 不成立，选项 A 为错误；
选项 B ，命题“存在 x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是
“对任意的 x R, x2 x 0 ”，选项 B 为错误；（命题的否定只否定结论）选项 C ，“p 或 q”为真命题，命题 p 和命题 q 至少一个为真命题，但不一定都为真命题，选项 C 为错误；选项 D ，已知函数 f（x）在 R 上可导，则 f'（x0）＝0 时， f（x0）不一定是 f（x）的极值，如 f (x) x3, f (x) 3x2 ， f (0) 0 ，但 f (0) 不是极值点；如果 f（x0）为函数 f（x）的极值，则 f (x0 ) 成立，所以选项 D 为正确.
又命题 q :若 a 1, 2,1 ， b 1, 0,1 ，
a b 1 0 1 2 0 ，则 a 与 b 不垂直，
D． p q
命题 q是假命题． p q 为真命题．
3.下列命题中真命题的个数是（）
①函数 y sin x ，其导函数是偶函数；
②“若 x y ，则 x2 y2 ”的逆否命题为真命题；
2．已知命题
p
:若
a
1,
2, 3
，
b
2, 4,
6
，则
a
/
/b
；命题
q
:若
a
1,
2,1
，
b
1,
0,1
，则
a
b
.下列命题为真命题的是（
）
A． p q
B b 2, 4, 6 ，
可知 b 2a ， a / /b ，命题 p 是真命题；

常用逻辑用语题型归纳

一、判断命题真假1下列命题中,真命题是—2X 2X 1 A. X R,sin CoS = 2 2 2B . -X (0，二）,sin X cosx2C.-X R ） X x = —1XD.—X （0, ：:），e I X2、如果命题“ (P q） ”为假命题,则（ A. p,q 均为假命题B. p ，qC. p ，q 中至少有一个为真命题 4、给出下列命题:① 在△ ABC 中，若∠ A>∠ B,贝U Sin A > Sin B ； ② 函数y = X 3在R 上既是奇函数又是增函数;③ 函数y = f （x ）的图象与直线X= a 至多有一个交点； ④ 若将函数y = Sin 2x 的图象向左平移丁个单位，则得到函数 y= Sin 2x+∏的图象。

其中正确命题的序号是（）A 。

①②B .②③C 。

①②③ D。

①②④《常用逻辑用语》）均为真命题D. p,q中至多有一个为真命题.2X2X 1P I : T X R, Sin—+ COS-- 2 2 21 -cos2x P 3： - X 〔0 ,二 1, J ------------ =SinV 2其中假命题的是（)(A) Pl , P 4(B ) P 2 , P 4p 2: ^ X 、y 三 R, sin(x-y)=sinX-Sinyp 4: SinX=COSy=■ x+y=-2(C) P ，P 3(D)p 2，P 43、有四个关于三角函数的命题：5、若命题 P:圆(X - 1）2+ (y — 2）2= 1 被直线 X= 1 平分;q ：在厶 ABC 中，若 Sin 2A= Sin 2B ，则A= B ，则下列结论中正确的是（）A 。

“p ∨ q”为假B .“p ∨ q”为真C 。

“p ∧ q”为真D 。

以上都不对6、已知命题p i :函数y = 2x - 2—x 在R 上为增函数；p 2：函数y= 2x + 2—X在R 上为减函数,则在命题 q i : p ι∨ p 2， q 2: p ι∧ p 2， q 3： (—p i ） ∨ p 2 和 q 4： p i ∧ ( 一 p 2）中，真命题是（ )7、下列命题中的假命题是（） A. T XR ，Ig X = OB. C. —X R ， X 3. 0D.8、下列命题中的假命题是（）A. -X R ， 2XjL 0B.—X* N ，（X —1）2C. —.1 X R , Ig X ：: 1D 。

常用逻辑用语题型精析

重点解析ZH O N G D I A N J IE X I数学投稿E-m ail :gzs s x2006@⊙随州市五眼桥中学程仕秀一、命题及其构造1.命题真伪的判断例1判断语句“对于(x -1)20，有2x -1＜0”是不是命题.解析是命题.因为(x -1)20，即x =1时，2x -1＜0不成立，所以命题为假命题.点拨判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，只有这两个条件都具备的语句才是命题．2.四种命题的构造先要弄清给出的（原）命题的大前提、条件与结论，然后进行“换位”（条件与结论互换）与“换质”（对条件与结论同时进行否定）.例2已知命题“a,b ∈R ，若ab >0，则a >0”，则它的逆否命题是（）A ．a ,b ∈R ，若a 0，则ab 0B ．a,b ∈R ，若ab0，则aC ．a ,b ∈R ，若a b <0，则a <0D ．a,b ∈R ，若a b 0，则a解析将原命题的条件与结论同时互换并同时进行否定（既“换位”又“换质”），即可得逆否命题.答案A点拨对于命题的构造，有一点必须注意：即无论是构造那种形式的命题，改变的只是条件与结论的形式与位置，“大前提”是不能改变的，否则，就改变了命题的“性质”.本题中的“a,b ∈R ”是大前提，有别于全称量词，解题时，应引起注意.3.复合命题的构造注意利用真值表进行构造并判别真假.例3命题：对角线互相垂直的四边形是菱形命题q ：对角线互相平分的四边形是菱形.请写出“p 或q ”“p 且q ”形式的复合命题.解析p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.点拨用逻辑联结词“且”“或”把命题p 和命题q 联结起来得到的新命题分别称为p 且q 命题、p 或q 命题.如果将命题“p 或q ”写成“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”，命题“p 且q ”写成“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”，这样虽将“或”与“且”写进了新的命题，其实都是错的.事实上，命题p ，q 都是假命题，由真值表知，命题p 或q 、p 且q 也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，显然矛盾.4.命题的否定命题的否定不同于否命题，简单命题的否定是直接否定判断词，对复合命题的否定要注意一些常用否定词，对全称或特称命题进行否定时，在否定判断词的同时还要否定全称或存在量词.例4已知命题p:x ∈R ,ln(e x+1)>0，则p为.解析p 为：x ∈R,ln(e x+1)0.点拨已知命题为全称命题.在写全称命题(或存在性命题)的否定时，要注意量词的变化，即全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词．本题中只要将→，>→即可得到p .二、命题真假的判断1.（简单）命题真假的判断例5下列命题中的真命题是（）九流：儒家、道家、阴阳家、法家、名家、墨家、纵横家、杂家、农家重点解析Z H O N G D I A N J I E X IA.命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题B.命题“奇数的平方不是偶数”的否定C.命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题D.命题“至少有一个内角为60°的三角形是正三角形”的否命题解析选项A中的逆命题是“a+b是偶数，则a,b都是偶数”，举一反例即能断定这是一个假命题；选项B中的命题的否定是“存在一个奇数，其平方是偶数”，显然也是一个假命题；注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集，所以选项C 中的原命题是一个假命题，所以它的逆否命题也是一个假命题；选项D中的否命题是“三个内角均不为60°的三角形不是正三角形”，这显然是一个真命题．答案D点拨求解此类问题时，一要明确四种命题的组成形式，二要会运用所学知识去判断命题或其等价命题的真假．判断一个命题的真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解．2.复合命题真假的判断例6已知命题P：若a，b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分不必要条件；命题Q：函数y= |x-1|-2的定义域是(-∞,-1][3,+∞).则（）A.P∨Q为假B.P∧Q为真C.P真Q假D.P假Q真解析∵|a+b||a|+|b|，且|a|+|b|>1，∴|a+b|不一定大于1，∴命题P为假；而由|x-1|-20得x3或x-1，∴命题Q为真.答案D点拨判断由逻辑联结词构成的复合命题的真假，关键是弄清命题的构成形式，即弄清所含的逻辑联结词是什么，然后判断其中的简单命题的真假，最后由真值表得出结论.3.全称命题、特称命题真假的判断例7以下四个命题:p1:x∈R，sin2x2+cos2x2＝12；p2：x，y∈R，sin(x-y)＝sin x-sin y；p3：x∈[0，π]，1-cos2x2＝sin x；p4：sin x＝cos yx+y＝π2；其中假命题是（），B，，3D，3解析∵x∈R，sin2x2+cos2x2＝1，∴p1：x∈R，sin2x2+cos2x2＝12是假命题.p2是真命题，如x＝y＝0时成立.p3是真命题，∵x∈[0，π]，sin x≥0，∴1-cos2x2＝sin2x＝|sin x|＝sin x.p4是假命题，如x＝π2，y＝2π时，sin x＝cos y，但x+y≠π2.答案A4.利用命题的真假性求参数的值或取值范围根据命题的真假性解决问题，应首先将命题为真(假)进行等价转化（如转化为集合间的关系），再根据具体问题进行求解.例8已知命题p：方程a2x2+a x-2=0在[-1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式a2x2+a x-20.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.解析由a2x2+a x-2=0得(a x+2)(a x-1)=0，显然a≠0，所以x=-2a或x=1a，因为x∈[-1,1]，故|2a|1或1a1，所以|a| 1.又“只有一个实数满足a2x2+a x-20”，即抛物线y=a2x2+a x-2与x轴只有一个交点，所以Δ=4a2-8a=0，所以a=0或a=2.因为命题“p或q”是假命题，所以a的取值范围为{a|-1<a<0或0<a<1}.点拨利用命题的真假性求参数的取值范围，一般是先根据题设的条件，求出每个命题（或等价命题）是真命题时参数的取值集合（命题为假时即为其补集），然后根据每个命题的真假情况，求出对应的两个集合的并集或交集，即为所求参数的取值范围.三、充分必要条件的判断例9设O为ΔABC所在平面上一点，若实数x,y,z满足x O A+y O B+z O C=0(x2+y2+z2≠0)，则“a||a=b||||b”是“a=-b在a∥b的边所在的直线上”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件三山：安徽黄山、江西庐山、浙江雁荡山重点解析ZH O N G D I A N J IE X IC ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析若x =0,y =0，z =0中有两个成立，此时O 为三角形的顶点；若其中一个为零，例如x =0,y ≠0，z ≠0，y O B +z O C =0，∴y O B =-z O C,∴O ,B,C 三点共线.因此，“a ||a =b ||||b ”是“a =-b 在a ∥b 的边所在的直线上”的充分不必要条件.显然，反之也成立.答案C点拨判别p 是q 的什么条件，须从两个方面思考：一是由p 能否推出q ，二是由q 能否推出p ，这是最基本的判断方法（定义法）.对于较复杂的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题具体化外，还可利用命题的等价性，转化为其等价命题进行判断.例10设命题p ：|4x -3|1；命题q ：x 2-(2a +1)x +a (a +1)0，如果p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解析设A ={x ||4x -3|1},B ={x |x 2-(2a +1)x +a(a +1)0}，易知A ={x |12x1}，B ={x |axa +1}.由p 是q 的必要不充分条件，从而p 是q的充分不必要条件，即AB ，所以ìía 12,a +11,故所求实数a 的取值范围是[0,12].点拨利用充要条件求参数的范围，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式后再求解．四、创新型问题例11已知命题p ：x 2＋y 2≤1；命题q ：(x -1)2＋y21，则命题①p ∧q ，②p ∨q ，③p ∧q ，④(p ∧q )∧(q ∧p )与下列四个图的最佳匹配是（）A ．①—(a)，②—(b)，③—(c)，④—(d)B ．①—(b)，②—(d)，③—(a)，④—(c)C ．①—(c)，②—(d)，③—(a)，④—(b)D ．①—(a)，②—(c)，③—(d)，④—(b)xy OxyO xy OxyO (a)(b)(c)(d)解析设命题p 与q 对应的集合分别为A,B ，即A ＝{(x ，y )|x 2＋y 21},B ＝{(x ，y )|(x -1)2＋y 21}，则命题①p ∧q 对应的集合为A ∩B ，易知与(a)对应；命题②p ∧q 对应的集合为A ∪B ，易知与(c)对应；命题③p ∧q 对应的集合为(UA)∩B ，易知与(d)对应；命题④(p ∧q )∧(q ∧p )对应的集合为[(UA)∩B]∪[A ∩(UB)]，易知与(b)对应.答案D点拨逻辑联结“或、且、非”分别与集合的“交、并、集”运算存在一一对应的关系.本题的解答就是抓住了这种对应关系，将所给的四个命题转译为集合问题，从而与所给的四个图形之间架起了沟通的桥梁，使问题得到解决.例12设非空集合S ＝{x |mxl}，满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝-12，则14l1；③若l ＝12，则-22m0.其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解析对于①，当m ＝1时，S ＝{x |1xl}，即1x 2l 2，根据性质有x 2∈S ，即l 2l ，解得l1，而由条件m ＝1知l1，则有l ＝1，故有S ＝{1}，即①正确.对于②，当m ＝-12时，S ＝{x |-12x l}，根据性质有x 2∈S ，那么当0l 12时，0x 214，由题意有l 14，从而14l 12；当l >12时，0x 2<l 2，由题意有l l 2，即0l 1，从而12<l 1，故14l 1，即②正确.对于③，当l ＝12时，S ＝{x |m x 12}，根据性质有x 2∈S ，那么m 212，解得-22m22；又根据性质有m m 2，解得m0或m1，综合可得-22m0，即③正确.答案D点拨本题通过对非空集合S 中元素属性的分析，结合题目中给出的性质，利用不等式的相关知识代入分析，分别确定相应命题的正确性，从而达到求解与判断的目的．五岭：越城岭、都庞岭、萌诸岭、骑田岭、大庾岭。

高中数学,常用逻辑用语题型归纳(解析版)

第一章常用逻辑用语第一节：简单命题‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．1.1.对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假。

一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．‖题型归纳‖题型一命题及其真假的判断例题1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x 2＋4x ＋5>0(x ∈R )； (3)x 2＋3x －2＝0；(4)一个数不是正数就是负数； (5)4是集合{1,2,3,4}中的元素； (6)求证y ＝sin 2x 的最小正周期为π. 【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x ∈R 时，x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x ，在没给定x 的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题． (4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题． (5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题． (6)是祈使句，不是命题．练习1、下面命题中是真命题的是( )A ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期是2π B ．等差数列一定是单调数列 C ．直线y ＝ax ＋a 过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB →·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确．答案：C题型二命题的结构形式例题2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形； (4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行．【解】(1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题． (4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．练习2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．‖随堂练习‖1．下列语句为命题的个数有( )①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．下列命题中是假命题的是( )A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．解：(1)条件p ：整数a 能被2整除，结论q ：整数a 是偶数．(2)条件p ：四边形是菱形，结论q ：四边形的对角线互相垂直且平分． 5．把下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)函数y ＝x 3是奇函数； (2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x ，y 是正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2. 解：(1)若一个函数是y ＝x 3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题． (4)已知x ，y 是正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，它是假命题． 6．已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D四种命题及其相互关系‖知识梳理‖1．四种命题的概念2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．4．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．‖题型归纳‖题型一四种命题的概念例题1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．练习1、“若a≥2，则a2≥4”的否命题是( )A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系例题2、下列说法中，不正确的是( )A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】 C练习2、若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断例题3、有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】 B练习3、下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四、等价命题的应用例题4、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．【解】解法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 若a <1，则4a －7<0.所以抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题．解法二：判断原命题的真假．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，得a ≥74，从而a ≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．练习4、已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0. 证明：原命题的逆否命题是：若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<0.∵a ＋b <0，∴a <－b . 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (a )<f (－b )．又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )． ∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0. ∴原命题的逆否命题为真命题．故原命题成立．‖随堂练习‖1．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )A ．若a >b ，则a －1≤b －1B ．若a >b ，则a －1<b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1 解析：否命题应同时否定条件和结论．答案：C2．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( )A ．若q 不正确，则p 不正确B ．若q 不正确，则p 正确C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D 正确．答案：D3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题解析：C 中，原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题．答案：C 4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________．解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题．答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题．逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．6．设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，在命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”及其逆命题中( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．两个命题都真D ．两个命题都假解析：原命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC 不是直角三角形，则a 2＋b 2≠c 2”是真命题．故选B.充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p⇒q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p 的充要条件．若p⇒q，同时q⇒p，则称p与q互为充要条件，可以表示为p⇔q(p与q等价)，它的同义词还有：“当且仅当”、“必须只需”、“…，反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．4．充分条件和必要条件的判断①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件．③若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．④若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．4.从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件：‖题型归纳‖题型一充分条件、必要条件的判定例题1、指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B；q：BC>AC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B；q：tan A>tan B．【解】(1)在△ABC中，有∠A>∠B⇔BC>AC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得﹁p：x＋y＝8；﹁q：x＝2且y＝6.易知﹁q⇒﹁p，但﹁p﹁q，等价于p⇒q，且q p，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且p q，所以p是q 的必要不充分条件．(4)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则p q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，则q p.所以p是q的既不充分也不必要条件．练习1—1、“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习1-2、“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直，则a2－a＝0，则a＝0或a＝1，故“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的充分不必要条件．(2)若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数，则a2≤2，即a≤4，故“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．答案：(1)A (2)A题型二充分条件、必要条件的应用例题2、已知命题p：对数log a(－2t2＋7t－5)(a>0，a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真命题，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】 (1)由对数式有意义，得－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52，∴若命题p 为真命题，则实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0，可化为(t －1)(t －a －2)<0.若p 是q 的充分不必要条件，则1<t <52是不等式解集的真子集．则a ＋2>52，∴a >12.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.练习2、已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ，集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，集合B ＝{x |f (x )≤0}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则f (x )≤0，x ∈[－1,1]恒成立，即x 2－x ＋a ≤0，x ∈[－1,1]恒成立，即f (x )max ≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋a ≤0，1－1＋a ≤0，即a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]．题型三充要条件的证明例题3、已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.【证明】证法一：①充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1y >1x ，即1x <1y. ②必要性：由1x <1y，得1x －1y<0，即y －xxy<0. ∵x >y ，∴y －x <0，∴xy >0. 由①②知，1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0.故y －xxy <0⇔xy >0. ∴1x <1y ⇔xy >0.即1x <1y的充要条件是xy >0.练习3、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0. 证明：①充分性：∵a －b ＋c ＝0，∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，∴－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根． ②必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是－1， ∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，即a －b ＋c ＝0.由①②知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.题型四充要条件的探求例题4、设集合A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }，M ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }，求使M ⊆B 的充要条件．【解】 ∵A ＝{x |－2≤x ≤a }．∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}．当－2≤a <0时，M ＝{z |a 2≤z ≤4}；当0≤a ≤2时，M ＝{z |0≤z ≤4}；当a >2时，M ＝{z |0≤z ≤a 2}．故当－2≤a ≤2时，M ⊆B ，得2a ＋3≥4，即a ≥12.∴12≤a ≤2. 当a >2时，M ⊆B ，得 2a ＋3≥a 2，解得－1≤a ≤3. ∴2<a ≤3.综上知，M ⊆B 的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12≤a ≤3.练习4、直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________．解析：∵直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，∴圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2，∴|1＋1＋m |2＝2，∴m ＝－4或m ＝0. 当m ＝－4或m ＝0时，直线与圆相切．答案：m ＝－4或m ＝0‖随堂练习‖1．设a >0，b >0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ≥ab ＋1，得a －1＋b －ab ≥0，即(a －1)(1－b )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<b ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，b ≥1，∴a 2＋b2≥1，即a ＋b ≥ab ＋1⇒a 2＋b 2≥1，但当a ＝b ＝2时，有a 2＋b 2≥1，而a ＋b <ab ＋1.∴“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的必要不充分条件，故选B. 答案：B2．已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由p 成立，得a ≤1；由q 成立，得a >1，∴当﹁p 成立时，a >1，∴﹁p 是q 的充要条件．答案：C3．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，反之，若m ⊥α，l ∥α，则l ⊥m ，∴“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B. 答案：B4．已知p ：函数f (x )＝|x －a |在(2，＋∞)上是增函数，q ：函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则a ≤2；若q 为真，则0<a <1.则q ⇒p ，pq ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选A. 答案：A5．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，又p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，m ＞0，(等号不能同时成立)，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．6．设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|<1，得0<x <2，∴“0<x <5”是“0<x <2”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B简单的逻辑联结词‖知识梳理‖1．逻辑联结词把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．2．简单命题与复合命题(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.(3)复合命题的真假①p且q同真才真，其他均假；②p或q同假才假，其他均真；③非p与p真假相反．3．对逻辑联结词“或”的理解“或”与日常生活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词中“或”含有“同时兼有”的意思，如x<－1或x>2.因此“p或q”的含义有三层意思：①p成立q不成立；②p不成立q成立；③p与q同时成立．4．对逻辑联结词“非”的理解“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表：5.逻辑联结词与集合的运算集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；∁U A＝{x|x∈U且x∉A}＝{x|﹁p}．6．命题的否定形式与否命题的关系：命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：(1)定义不同命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结论都否定后组成的新命题．(2)构成形式不同对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不改变条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和结论都否定．(3)与原命题的真假关系命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系．(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．‖题型归纳‖题型一命题的构成例题1、分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(3)p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2.【解】(1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；“﹁p”：12不是3的倍数．(3)“p∧q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“p∨q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“﹁p”：方程x2－3x＋2＝0的根不是x＝1.练习1、试写出下列命题中的p ，q .(1)梯形有一组对边平行且相等；(2)方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； (3)一元二次方程至少有三个根．解：(1)是p 且q 形式的命题．p ：梯形有一组对边平行； q ：梯形有一组对边相等．(2)是p 或q 形式的命题．p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根； q ：方程x 2＋2x ＋1＝0的两根的绝对值相等．(3)是﹁p 的形式．p ：一元二次方程最多有两个根．题型二复合命题的真假判断例题2、分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题的真假：(1)p ：π>3，q ：π<2；(2)p ：若x ≠0，则xy ≠0，q ：若y ≠0，则xy ≠0；(3)p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边； (4)p ：函数y ＝x 12的定义域为R ，q ：函数y ＝x 2是偶函数．【解】 (1)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是假命题，﹁p 是真命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 是真命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题． (4)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是真命题．练习2—1、命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b ，命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ，下列选项正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真练习2—2、已知命题p ：不等式－x 2＋2x <0的解集是{x |x <0或x >2}，命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sinB 的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p ∨q 假C ．p ∧q 真D ．p 假q 真解析：(1)p 为真命题，q 为真命题，∴p 且q 为真，故选D.(2)由－x 2＋2x <0，得x >2或x <0，故p 为真命题，在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ，故q 为真命题，所以p ∧q 为真，故选C. 答案：(1)D (2)C题型三命题的否定与否命题例题3、写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．(1)若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0； (3)等腰三角形有两个内角相等．【解】 (1)命题的否定：若abc ＝0，则a ，b ，c 中都不为0，为假命题；否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 都不为0，为真命题．(2)命题的否定：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0，为假命题；否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0，为真命题． (3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题；否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．练习3、“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是___________；否命题是___________．解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，因此否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除题型四逻辑联结词“或”“且”“非”的应用例题4、设命题p ：ln a <0；命题q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .(1)若命题q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 或q 是真命题，命题p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 (1)对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是@⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.(2)若命题p 为真，则0<a <1，由“p 或q 是真命题，p 且q 是假命题”可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a <12，得0<a <12；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≥12，得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．练习4、已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：二次函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解：若函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，则0<a <1，∴p ：0<a <1.若曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两点，则(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.∴q ：a <12或a >52.若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p 与q 一真一假，若p 真q 假，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，a >0且a ≠1，得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.若p 假q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，a >0且a ≠1，得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.‖随堂练习‖1．已知命题p ：x ∈A ∪B ，则﹁p 是( )A ．x ∉A ∪B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∩B解析：由x ∈A ∪B ，知x ∈A 或x ∈B .﹁p 是：x ∉A 且x ∉B .故选C. 答案：C2．已知p ：|x ＋1|>2，q ：x >a ，则﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：由|x＋1|>2，得x<－3或x>1，∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，∴﹁p⇒﹁q，∴q⇒p，∴a≥1，故选A.答案：A3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么( )A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．答案：D4．下列三个结论：①命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．其中正确结论的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不能推出p，所以﹁q能推出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都为真，所以p∨q为真；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，即③错误．故选C. 答案：C5．已知命题p：若a>b，则a2>b2，命题q：若a<b，则ac2<bc2，下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(﹁q)C．p∨(﹁q) D．p∨q解析：若a＝－1，b＝－2，满足a>b，但a2<b2，∴p为假命题，当c＝0，a<b时，但ac2＝bc2，q为假命题．∴p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨q为假，p∨(﹁q)为真，故选C.答案：C6．已知命题p：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命题q：若S n为等差数列{a n}的前n项和，则S m，S2m，S3m(m∈N*)成等差数列，下列命题为真命题的个数是( )①p∨(﹁q) ②(﹁p)∧q③(﹁p)∨(﹁q) ④p∧qA．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵p为假命题，q为假命题，∴p∨(﹁q)为真命题，(﹁p)∧q为假命题，(﹁p)∨(﹁q)为真命题，p∧q为假命题．故选B. 答案：B全称量词与存在量词‖知识梳理‖1．全称量词和全称命题2.存在量词和特称命题3．全称命题与特称命题的辨析同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义去判断．4．全称命题与特称命题的真假要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．。

常用逻辑用语(解析版)

常用逻辑用语【考纲要求】1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否一、充分条件与必要条件【思维导图】【考点总结】一、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.p是q的充分条件只反映了p⇒q，与q能否推出p没有任何关系.(2)注意以下等价的表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.(3)“若p，则q”为假命题时，记作“p q”，则p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p⇒q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件二、全称量词与存在量词【思维导图】【考点总结】一、全称量词与全称量词命题1.短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.2.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.3.全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题量词是真命题,必须对限定集合M 中的每一个元素x ,验证p (x )成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个0x ∈M ,使得p (0x )不成立即可. 二、存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)存在量词命题的表述形式:存在M 中的一个0x ,使p (0x )成立,可简记为:∃0x ∈M ,p (0x ),读作“存在M 中的元素0x ,使p(0x )成立”.(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M 中,能找到一个0x ,使得命题p (0x )成立即可;否则这一命题就是假命题. 三、全称量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝. （2）存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝. 【常用结论】从集合的角度理解充分条件与必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；【易错总结】(1)命题的条件与结论不明确；(2)含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况； (3)对充分必要条件判断错误．【题型汇编】题型一：充分条件与必要条件题型二：全称量词与存在量词【题型讲解】题型一：充分条件与必要条件一、单选题1．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A.2．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3．（2022·全国·一模（理））设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使“l α⊥”成立的充分条件是（） A ．αβ⊥，//l β B ．αβ⊥，l β⊂C ．//l n ，n α⊥D ．m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据面面垂直、线面垂直、线面平行的判定与性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，当αβ⊥，//l β时，可能l α⊂、//l α或l 与α相交，充分性不成立，A 错误；对于B ，当αβ⊥，l β⊂时，可能//l α或l 与α相交，充分性不成立，B 错误；对于C ，若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面，充分性成立，C 正确；对于D ，若//m n ，则m α⊂，n ⊂α，l m ⊥，l n ⊥无法得到l α⊥，充分性不成立，D 错误. 故选：C.4．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量(1,),(2,4)a k b ==，则“12k =-”是“222a b a b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】由222a b a b +=+，得22222a a b b a b +⋅+=+，得0a b ⋅=，得(1，k )·(2，4)＝0，解得12k =-，反之，当12k =-时，0a b ⋅=，所以22222a a b b a b +⋅+=+，所以222a b a b +=+，所以“12k =-”是“222a b a b +=+”的充要条件.故选：C. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查向量的运算，属于基础题 5．（2022·全国·模拟预测（理））设a >0，b >0，则“94a b +≤”是“49ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由均值不等式得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为a >0，b >0，所以4929=6a b a b ab ≥+≥⋅则49ab ≤，当且仅当9=2a b =时，等号成立，所以94a b +≤可以推出49ab ≤，所以充分性成立. 当1=981a b =，，满足49ab ≤，但19=9+9481a b +⨯>，所以49ab ≤推不出94a b +≤，所以必要性不成立.故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由ln ln a b >及对数函数的单调性可得0a b >>；将sin sin a b b a +>+变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得a b >，即可得解．【详解】由ln ln a b >，得0a b >>．由sin sin a b b a +>+，得sin sin a a b b ->-．记函数()sin ()x x f x x R =-∈，则()1cos 0f x x '=-≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又sin sin a a b b ->-，则()()f a f b >，所以a b >．因此“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的充分不必要条件．故选：A ．7．（2022·全国·模拟预测）已知向量(),2m k =-，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出m 与n 的夹角为钝角时k 的范围，即可判断. 【详解】当m 与n 的夹角为钝角时，0m n ⋅<，且m 与n 不共线，即6032k k -<⎧⎨≠-⎩所以k 6<且23k ≠-.故“k 6<”是“m 与n的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选B.8．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】利用余弦函数的单调性、大边对大角定理以及正弦定理判断可得出结论. 【详解】因为A 、()0,B π∈，且余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，在ABC 中，cos cos sin sin A B A B a b A B >⇔<⇔<⇔<. 因此，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的充要条件. 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）“1a b +>”是“2221a b b -+>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】先对“条件”和“结论”变形，再看由“条件”能否推出“结论”，及由“结论”能否“推出”条件，从而确定充分性和必要性．【详解】若2221a b b -+>成立，则2212a b b >-+成立，即()221a b >-，即1a b >-，由1a b +>可得1a b >-，但不一定得到1a b >-，相反由1a b >-也不一定能得出1a b >-，故选:D ．10．（2022·全国·模拟预测）2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）是数列{}n a 满足：4n n a a +=()*∀∈N n 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】由2+=n n a a c 可得4n n a a +=()*∀∈N n 成立，反之举反例2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数可得必要性不成立；【详解】∵2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数），∴24++=n n a a c ()*∀∈N n ，∴224+++=n n n n a a a a ()*∀∈N n ， ∴4n n a a +=()*∀∈N n ，∴2+=n n a a c 是4n n a a +=的充分条件．若2,,1,,n n a n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数则4n n a a +=()*∀∈N n ，但2+=n n a a c （n N *∀∈，c 为非零常数）不成立，所以不是必要的．故选：A. 【点睛】本题考查数列与简易逻辑知识的交会，求解时证明结论不成立，可举反例说明.11．（2022·全国·模拟预测（理））设甲：实数0a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由方程表示圆可构造不等式求得a 的范围，根据推出关系可得结论. 【详解】若方程2230x y x y a +-++=表示圆，则()221341040a a -+-=->，解得：52a <； 502a a <⇒<，502a a <<，∴甲是乙的充分不必要条件.故选：A.12．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“20a b +=”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出20a b +=，不满足充分性；当20a b +=，则0a b ，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“20a b +=”的必要不充分条件．故选：B ．13．（2022·全国·模拟预测）设R x ∈，则“215x -≤”的必要不充分条件是（） A ．[)2,3- B ．(),3-∞C ．[]2,4-D ．[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合[]2,3-，由此可判断答案. 【详解】由215x -≤，得5215x -≤-≤，即23x -≤≤，则选项是“23x -≤≤”的必要不充分条件，即[]2,3-是选项中集合的真子集，结合选项，A,B 中集合都不含3，不符合题意，D 中集合[)3,+∞不能包含[]2,3-，不符合题意，而C 集合满足[][]2,32,4--，故选：C.14．（2022·全国·模拟预测）已知m ，n ，p 是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（） A ．“m α∥”是“m 平行于平面α内的任意一条直线”的充分不必要条件 B ．“m α∥，//n α”是“//m n ”的必要不充分条件C ．“p m ⊥，p n ⊥”是“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”的必要不充分条件D ．已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充要条件【答案】C 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系，结合充分条件与必要条件的概念依次判断各选项即可得答案.解：对于A 选项；“m 平行于平面α内的任意一条直线”这句话本身的表达就是错的；对于B 选项：“//m α，//n α”是“m n ∥”的既不充分也不必要条件；对于C 选项：“m α⊂，n ⊂α，p α⊥”可以证明“p m ⊥，p n ⊥”，由“p m ⊥，p n ⊥”要证明“p α⊥”，还需添加条件“m α⊂，n ⊂α，且m 和n 相交”，所以C 正确；对于D 选项：已知αβ∥，则“m α⊂”是“m β∥”的充分不必要条件. 故选：C15．（2022·全国·模拟预测（文））已知0,0m n >>，条件:53p m n mn +=，条件:3564q m n +≥，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；【详解】解：因0,0m n >>，由53m n mn +=，得：531n m +=，则()531515353464m n m n n m n m ⎛⎫+⋅+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当8m n ==时取等号，因此p 推得出q ，即充分性成立，取2,12m n ==，满足3564m n +≥，但53m n mn +≠，即q 推不出p ，即必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故选：A16．（2022·全国·模拟预测（理））“2m =-”是“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”的（） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两直线平行求得m 的值，由此确定充分、必要条件.“直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行”因为2m =-，所以直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=，1l 与2l 平行，故充分条件成立；当直线1:420l mx y ++=与直线2:10++=l x my 平行时，24m =，解得2m =或2m =-，当2m =时，直线1:210l x y ++=与直线2:210l x y ++=重合，当2m =-时，直线1:210l x y --=，直线2:210l x y -+=平行，故充要条件成立．故选：A ．17．（2022·上海奉贤·二模）在ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对应的边分别是a 、b 、c ．已知α：sin sin A B >，β：a b >，则α是β的（）．A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件．【答案】C 【解析】【分析】利用定义法直接判断. 【详解】充分性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为sin sin A B >，可得a b >.故充分性满足；必要性：由正弦定理sin sin a bA B=.因为a b >，可得sin sin A B >.故必有性满足. 故α是β的充要条件. 故选：C18．（2022·上海普陀·二模）“0x y >>”是“11x y x y->-”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】由221111(1)()()x y xy x y x y x y x y xy--+----=-=，又0x y >>，所以11()0x y x y --->，即11x y x y->-，充分性成立；当11x y x y ->-时，即(1)()0xy x y xy+->，显然2,1x y ==-时成立，必要性不成立. 故“0x y >>”是“11x y x y->-”的充分非必要条件. 故选：A19．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））若0,0a b >>，则“222a b +≥”是“2a b +≥”的（）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既非充分也非必要【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件，必要条件的定义直接判断作答. 【详解】依题意，取12,2a b ==，满足222a b +≥，而2a b +<，当2a b +≥时，()()()22222122a b a b a ba b ++-+=≥+，当且仅当a b =时取“=”，则222a b +≥， “222a b +≥”是“2a b +≥”的必要不充分条件. 故选：B20．（2022·北京·北大附中三模）已知ABC ，则“sin cos 1A A +<”是“ABC 是钝角三角形”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在三角形中，由sin cos 1A A +<先利用辅助角公式结合正弦函数性质求得角A 为钝角成立，反之举反例得出必要性不成立，从而得出结论.【详解】解：ABC 中，0A π<<，sin cos 2)14A A A π++<，2sin()4A π∴+<444A ππππ<+<+，344A ππ∴+>，2A π∴>，所以ABC 是钝角三角形，充分性成立；若ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：6A π=,此时sin cos =sincos166A A ππ++>，必要性不成立；故选：A.21．（2022·海南海口·二模）已知x ，R y ∈且0x ≠，则“x y >”是“21yx x>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为0x ≠，所以20x >，则“x y >”两边同除以2x 即可得到“21yx x>”，反过来同乘以2x 即可，故“x y >”是“21yx x >”的充要条件．故选：C.22．（2022·北京四中三模）已知数列{n a }的通项为22n a n n λ=-，则“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据1n n a a +>，求得21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，进而得到32λ<，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-，则221(1)2(1)22120n n a a n n n n n λλλ+=+-+-+=+->-，即21122n n λ+<=+，对n *∀∈N 恒成立，当1n =时，1n 2+取得最小值32，所以32λ<，所以“0λ<”是“*n ∀∈N ，1n n a a +>”的充分不必要条件. 故选：A.23．（2022·天津·耀华中学二模）已知下列命题：①命题：“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”； ②抛物线216y x =的焦点坐标为(0,4)；③已知x ∈R ，则|1|3x +>是24x >的必要不充分条件； ④在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件. 其中真命题的个数为（）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定性质、抛物线焦点坐标公式，结合必要不充分条件、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】①；因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“(0,2)x ∀∈，33x x >”的否定是：“(0,2)x ∃∈，33x x ≤”，因此本说法正确；②：2211616y x x y =⇒=，因此该抛物线的焦点坐标为：1(0,)64，所以本说法不正确； ③：由|1|32x x +>⇒>，或4x <-，由242x x >⇒>，或2x <-，因此由|1|3x +>能推出24x >，但是由24x >不一定能推出|1|3x +>，所以|1|3x +>是24x >的充分不必要条件，因此本说法不正确；④：在ABC 中，一方面，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >；另一方面，由sin sin A B a b A B >⇒>⇒>，所以在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，因此本说法正确，所以真命题的个数为2个，24．（2022·山东烟台·三模）若a 和α分别为空间中的直线和平面，则“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合线面垂直的意义判断作答. 【详解】若a α⊥，则a 垂直α内所有直线，因此，命题“若a α⊥，则a 垂直α内无数条直线”正确，a 垂直α内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线a 可以在平面α内，即不能推出a α⊥，所以“a α⊥”是“a 垂直α内无数条直线”的充分不必要条件. 故选：A25．（2022·山东淄博·三模）已知条件:p 直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件:q 1a =，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的条件分析判断【详解】当直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=平行时，21112a a +=≠，解得12a =-，当1a =时，直线210x y +-=与直线()2110a x a y ++-=重合，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，二、多选题1．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）下列命题正确的是（） A ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件 B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” C ．若0MN >，则log log log a a a MN M N =+ D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：求出不等式11a<的解集，即可判断出两个命题的关系；对于B ：根据命题的否定规则即可判断；对于C ：根据对数定义域的限制条件即可判断；对于D ：根据不等式的性质即可进行判断. 【详解】因为11a <，1110aa a --=<，解得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 错误；命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”，所以选项B 正确；当0M <且0N <时，log a M 与log a N 没有意义，所以选项C 错误；若22ac bc >，可得20c >，则a b >，所以选项D 正确.故选：BD.2．（2022·河北张家口·三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．n S 是关于n 的二次函数C ．{}n na 不可能是等差数列D ．“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据等差数列前n 项公式及函数特征结合等差数列的定义即可判断ABC ，再结合充分条件和必要条件的定义即可判断D. 【详解】解：由11(1)2n S na n n d =+-知，11(1)2n S a n d n =+-，则1112+-=+n n S S d n n ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，故A 正确；当0d =时，1n S na =不是n 的二次函数，故B 不正确；当0d =时，11,n n a a na na ==，则()111n n n a na a ++-=，所以{}n na 是等差数列，故C 不正确；当0d >时，1102n n n S S d S -+=->+，故112n n n S S S -++>，11111120n n n n n n n n n n n S S S S S S S a a a a d -++-+++>⇔->-⇔>⇔-=>，所以“0d >”是“112n n n S S S -++>”的充要条件，故D 正确. 故选：AD.3．（2022·江苏南京·三模）设2P a a=+，a ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．22P ≥B ．“a ＞1”是“22P ≥的充分不必要条件 C ．“P ＞3”是“a ＞2”的必要不充分条件 D ．∃a ∈（3，＋∞），使得P ＜3 【答案】BC 【解析】【分析】根据双勾函数的单调性，逐一分析，即可求解. 【详解】解：A 错误，当0a <时，显然有P 小于0B 正确，1a >时，22222P a a a a=+⋅≥22P ≥0a >即可；C 正确，23P a a=+>可得01a <<或2a >，当2a >时3P >成立的，故C 正确； D 错误，因为3a >有22333a a +>+>，故D 错误；故选：BC.4．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( ) A ．“5x >是“25x >”的充分不必要条件B ．2πtan 18π21tan 8=+ C ．已知在前n 项和为Sn 的等差数列{n a }中，若75a =，则1375S = D ．已知001a b a b >>+=，，，则14ba b-+的最小值为8【答案】AD 【解析】【分析】A ：求解不等式25x >，根据充分条件和必要条件的概念即可判断；B ：根据同角三角函数的商数关系、平方关系、正弦的二倍角公式即可化简求值；C ：根据等差数列与下标和有关的性质及等差数列前n 项和公式即可求解判断；D ：()14141411b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++- ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解判断．【详解】对于A ，由255x x >⇔>5x <-A 正确；对于B ，22222πsin8ππππtancossin cos 1π28888sin ππππ241tan sin sin cos88881πcos 8====+++B 错误；对于C ，11313713()13652a a S a +===，故C 错误；对于D ，()14141444114248b b a b a a b a b a b a b a b a b -⎛⎫+=+-=++-=++≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1233a b ==，时取等号，故D 正确﹒ 故选：AD ．5．（2022·湖南衡阳·二模）下列结论中正确的是（） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B >B ．在ABC 中，若sin2sin2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．两个向量,a b 共线的充要条件是存在实数，使b a λ=D ．对于非零向量,a b ，“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件【答案】AD 【解析】【分析】根据三角形的边与角的关系，以及根据共线向量的定义，逐个选项判断即可得到正确答案. 【详解】对于A ：大角对大边，用正弦定理可得该命题正确；对于B ：若sin2sin2A B =，则22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=即ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；对于C ：若0,0b a ≠=，满足向量,a b 共线，但不存在实数λ，使b a λ=，所以该命题不正确；对于D ：若“0a b +=”，则“//a b ”；若“//a b ”，则“0a b +=”不一定成立.所以该命题正确；故选：AD6．（2022·重庆·二模）已知空间中的两条直线,m n 和两个平面,αβ，则αβ⊥”的充分条件是（）A ．,m mα⊥βB ．,,m n m n αβ⊂⊂⊥C ．,m mα⊂,n n β⊥D ．,,m n m n αβ⊥⊥⊥ 【答案】ACD 【解析】【分析】根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可. 【详解】对于选项A ，m β ，则有m β内的一条直线,l 因为m α⊥，所以,l α⊥ 又,l β⊂所以αβ⊥，即条件“,m m α⊥β”能够得到αβ⊥,所以选项A 是αβ⊥的充分条件；对于选项B ，,,m n m n αβ⊂⊂⊥不一定能够得出结论αβ⊥，,βα 也可能相交或平行；因此该选项错误；对于选项C ，n β⊥，m n ，所以m β⊥，又因为,m α⊂所以αβ⊥，因此该选项正确；对于选项D ，因为,,m n m α⊥⊥ 所以,n α或,n α⊂又因为n β⊥，所以αβ⊥.故选：ACD.7．（2022·辽宁·沈阳二中二模）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中假命题是（）A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“5a <”是“3a <”的必要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件【答案】ABD【解析】【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A ：由a b =有ac bc =，当ac bc =不一定有a b =成立，必要性不成立，假命题；B ：若12a b =>=-时22a b <，充分性不成立，假命题；C ：5a <不一定3a <，但3a <必有5a <，故“5a <”是“3a <”的必要条件，真命题；D ：5a +是无理数则a 是无理数，若a 是无理数也有5a +是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD8．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）下列说法错误的是（）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦【答案】AC【解析】【分析】当1a =-时，可判断直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相平行，判断A;根据直线的方程可求得斜率，进而求得倾斜角的范围，判断B;根据圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，判断出两圆的位置关系，求得a 的值，判断C;求出曲线234y x x =-数形结合，求得b 的范围，判断D.【详解】对于A,当1a =-时，30x y ++=与直线10x y --+=互相平行，即“1a =-”不是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分条件，故A 错误；对于B, 直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ满足tan cos [1,1]θα=∈- ，故30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故B 正确；对于C ，圆221:64120C x y x y +-++=的圆心为3,2-（），半径1r =，圆222:1420C x y x y a +--+=的圆心为(7,1) ，半径50,(50)R a a =-<，两圆有且只有一个公共点，则两圆外切或内切，()()223721550a -+--==-()()2237215150a -+--==-，解得34a = 或14a = ，故C 错误；对于D, 曲线234y x x =-22(2)(3)4,(3)x y y -+-=≤ ，表示以(2,3) 为圆心，半径为2 的半圆，如图示：直线y x b =+与曲线234y x x =-y x b =+与圆相切或过点(0,3), 22= 22= ，解得122b =-，当直线过点(0,3)时，3b = ，则数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦，故D 正确，故选：AC9．（2022·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（）A ．“αβ=”是“sin sin αβ=”的必要不充分条件B ．已知命题P ：“0x R ∃∈，00e 1x x <+”，则P ⌝：“x R ∀∈，e 1x x ≥+”C ．若随机变量12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()23E ξ= D ．已知随机变量()23,XN σ，且()()213P X a P X a >-=<+，则43a = 【答案】BCD【解析】【分析】选项A ：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B ：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C ：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D ：利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】选项A ：若αβ=，则sin sin αβ=；若sin sin αβ=，则2k αβπ=+，k Z ∈，从而“αβ=”是“sin sin αβ=”的充分不必要条件，故A 错误；选项B ：由特称命题的否定的概念可知，B 正确；选项C ：因为12,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12233E ξ=⨯=，故C 正确；选项D ：结合已知条件可知，正态曲线关于3x =对称，又因为()()213P X a P X a >-=<+，从而21323a a -++=⨯，解得43a =，故D 正确. 故选：BCD10．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）下列命题正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C ．命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D ．设函数()f x 的导数为()'f x ，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称量词命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.题型二：全称量词与存在量词1．（2022·全国·模拟预测（理））若“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+【答案】D【解析】【分析】写出全称量词命题为真命题，利用辅助角公式求出()[]2,2f x ∈-，从而求出实数a 的取值范围.【详解】因为“x ∃∈R ，使得sin 3x x a =”为假命题，则“x ∀∈R ，使得sin 3x x a ≠”为真命题，因为()[]πsin 32sin 2,23f x x x x ⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+故选：D2．（2022·全国·模拟预测）命题“π,02x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是（）A ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤B ．,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x <C ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤D ．,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x <【答案】C【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】解：由全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，tan x x >”的否定是“,02x π⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭，tan x x ≤”，故选：C ．3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））命题“2x ∀≥，2440x x -+≥”的否定是（）A ．2x ∀≥，2440x x -+<B ．2x ∃<，2440x x -+<C ．2x ∀<，2440x x -+<D ．2x ∃≥，2440x x -+<【答案】D【解析】【分析】对原命题“改量词，否结论”即可求得结果.【详解】命题2x ∀≥，2440x x -+≥的否定是：2x ∃≥，2440x x -+<.故选：D.4．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（文））命题“0x R ∃∈，00e 1x x -≥”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1x x -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】命题“0R x ∃∈，00e 1x x -≥”为特称量词命题，其否定为R x ∀∈，e 1x x -<；故选：D5．（2022·全国·模拟预测（文））命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是（）A ．R x ∀∈，20x <B ．R x ∀∈，20x ≥C ．0R x ∃∈，200x < D ．0R x ∃∈，200x ≥ 【答案】C【解析】【分析】由全称量词命题的否定：将任意改为存在并否定原结论，即可写出命题的否定形式.【详解】由全称量词命题的否定为特称命题，所以原命题的否定为：0R x ∃∈，200x <. 故选：C6．（2022·全国·东北师大附中模拟预测（理））命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是（）A ．00x ∃<，001x e x -<B ．00x ∃≥，001x e x -<C ．0x ∀<，1x e x -<D ．0x ∀≥，1x e x -<【答案】D【解析】【分析】将特称命题的否定改为全称量词命题即可【详解】命题“00x ∃≥，001x e x -≥”的否定是“0x ∀≥，1x e x -<”，故选：D7．（2022·全国·模拟预测）命题():0,p x ∀∈+∞，1ln x x +≤的否定为（）A ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +≤B ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +≥C ．()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>D ．()0,x ∀∈+∞，1ln x x +> 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，故原命题的否定是()0,x ∃∈+∞，1ln x x +>．故选：C8．（2022·广东汕头·三模）下列说法错误的是（）A ．命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”B ．在△ABC 中，sin sin A B ≥是A B ≥的充要条件C ．若a ，b ，R c ∈，则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“0a >，且240b ac -≤”D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题【答案】C【解析】【分析】利用全称量词命题的否定可判断A ,由正弦定理和充要条件可判断B ，通过举特例可判断C ,通过特殊角的三角函数值可判断D .【详解】A.命题“x R ∀∈，cos 1≤x ”的否定是“0x R ∃∈，0cos 1x >”,正确；B. 在△ABC 中，sin sin A B ≥，由正弦定理可得22a b R R≥(R 为外接圆半径)，a b ≥，由大边对大角可得A B ≥；。

常用逻辑用语复习-题型小结

练习 3：已知命题 p：lg(x2－2x－2)≥0；命题 q：0<x<4，若命题 p 是真命题，命题 q 是假命题，求实数 x 的取值范围．
解：命题 p 是真命题，则 x －2x－2≥1，∴x≥3 或 x≤－1，命题 q 是假命题，则 x≤0 或 x≥4.∴x≥4 或 x≤－1.
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四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断 π 例 4．命题“若△ABC 有一内角为，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( 3 A．与原命题同为假命题 B．与原命题的否命题同为假命题 C．与原命题的逆否命题同为假命题 D．与原命题同为真命题
解析：(1)若一个数是 6，则它是 12 和 18 的公约数，是真命题． (2)若 a>－1，则方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等实根，是假命题． 1 因为当 a＝0 时，方程变为 2x－1＝0，此时只有一个实根 x＝ . 2 (3)已知 x、y 为非零自然数，若 y －x＝2，则 y ＝4，x＝2，是假命题．
例 7．已知条件 p：－1≤x≤10，q：x －4x＋4－m ≤0(m>0)，若非 p 是非 q 的必要而不充分条件，求实数 m 的取值范围.
解：p：－1≤x≤10. q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0) ⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．因为非 p 是非 q 的必要而不充分条件，所以 p 是 q 的充分不必要条件，即{x|－1≤x≤10}含于{x|2－m≤x≤2＋m}， 2－m≤－1 故有 2＋m>10 ，解得 m≥8.所以实数 m 的范围为{m|m≥8}．
q：关于 x 的不等式 ax2－ax＋1>0 解集为 R.若 p∧q 假，p∨q 真，
求实数 a 的取值范围．

常用逻辑用语题型归纳

《常用逻辑用语》一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是（）A ．221,sin cos 222x x x R ∃∈+= B ．(0,),sin cos x x x π∀∈>C ．2,1x R x x ∃∈+=-D ．(0,),1x x e x∀∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨⌝（”为假命题，则（）A. p,q 均为假命题B. p,q 均为真命题C. p,q 中至少有一个为真命题D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ∃x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ⇒ x+y=2π 其中假命题的是（）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p4、给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数；③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( )A ．“p∨q”为假B ．“p∨q”为真C ．“p∧q”为真D ．以上都不对6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是( )7、下列命题中的假命题．．．是 ( )A. ,lg 0x R x ∃∈=B. ,tan 1x R x ∃∈=C. 3,0x R x ∀∈>D. ,20x x R ∀∈>8、下列命题中的假命题是（）A ．∀x R ∈,120x -> B. ∀*x N ∈,2(1)0x ->C ．∃ x R ∈,lg 1x < D. ∃x R ∈,tan 2x =9、有以下四个命题：①ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件；②若命题:,sin 1,P x R x ∀∈≤则:,sin 1p x R x ⌝∀∈>；③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立；④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。

专题02 常用逻辑用语3题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)

专题02常用逻辑用语3题型分类1．充分条件、必要条件与充要条件的概念2．全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)（一）充分、必要条件的判定成立的一个充分不必要条件为（（二）充分、必要条件的应用（三）全称量词与存在量词A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知命题“[]1,2x ∀∈，20x x a +->”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],5-∞B ．[)6,+∞C ．(],3-∞D ．[)3,+∞一、单选题1．（2024高三·安徽合肥·阶段练习）设非空集合P ，Q 满足P Q P ⋂=，则下列选项正确的是（）A ．x Q ∀∈，有x P ∈B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．x Q ∃∉，使得x P∈D ．x P ∃∈，使得x Q∉2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知01b a <<<，下列四个命题：①(0,)∀∈+∞x ，x x a b >，②(0,1)x ∀∈，log log a b x x >，③(0,1)x ∃∈，a b x x >，④(0,)x b ∃∈，log x a a x >．其中是真命题的有（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④3．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a ++=-∈R ，直线21:2l y x =-，给出下列命题：①R a ∃∈，使得12//l l ；②R a ∃∈，使得12l l ⊥；③R a ∀∈，1l 与2l 都相交；④R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为2.其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④4．（2024·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数5．（2024高一上·湖南·阶段练习）若命题:P “()()22R,14130x k x k x ∃∈-+-+≤”是假命题，则k 的取值范围A ．()17，B ．[)1,7C ．()71-，D ．(]7,1-6．（2024高三·全国·专题练习）“x 为整数”是“21x +为整数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要7．（2024高三上·上海杨浦·期中）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2024·北京）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2024·广西南宁·一模）有下列四个命题，其中是假命题的是（）A ．已知()()1i 12i z =+-，其在复平面上对应的点落在第四象限B ．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在ABC 中，“π6A >”是“12A >”的必要不充分条件D ．命题“1x ∀>，32x x >”的否定是“1x ∃>，32x x ≤”10．（2024·安徽黄山·三模）“1a <”是“函数()()2log 11f x a x =--⎡⎤⎣⎦在区间()1 ∞,+上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．（2024·重庆·三模）将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位得到函数()g x 的图象，则“38πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）定义[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-.例如：[]3.23=，{}3.20.8-=.①[][][]x y x y +≤+；②存在0x ∈R 使得{}00x ⎡⎤≠⎣⎦；③1x y -<是[][]x y =成立的充分不必要条件；④方程{}210x x x --=的所有实根之和为1-，则上述命题为真命题的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④13．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题）命题：“[]1,2x ∀∈，2230x -≥”的否定是（）A ．[]1,2x ∀∉，2230x -≥B ．[]1,2x ∀∈，2230x -<C ．[]01,2x ∃∈，20230x -<D ．[]01,2x ∃∉，20230x -<14．（2024·天津河北·二模）若,,R a b c ∈，则“ac bc =”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（2024·北京）若0xy ≠，则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．（2024·天津）已知,R a b ∈，“22a b =”是“222a b ab +=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件18．（2024高三·全国·专题练习）设α，β是两个平面，直线l 与α垂直的一个充分条件是（）A ．//l β且αβ⊥B ．l β⊥且αβ⊥C ．l β⊂且αβ⊥D ．l β⊥且αβ∥19．（2024高一上·山东烟台·期中）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件20．（2024·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2024·广东揭阳·二模）下列结论正确的是（）①“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的充分非必要条件．②随机变量ξ服从正态分布()222N ，，则()2D ξ=③线性回归直线至少经过样本点中的一个．④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有c b a>>A ．③④B ．①②C ．①③④D ．①④22．（2024·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（）条件．A ．充分B ．必要C ．充分必要D ．既非充分又非必要23．（高考广西桂林、崇左市2022届高三5月联合模拟考试数学（文）试题）设,αβ为两个不同的平面，则αβ∥的一个充分条件可以是（）A ．α内有无数条直线与β平行B ．,αβ垂直于同一条直线C ．,αβ平行于同一条直线D ．,αβ垂直于同一个平面24．（2024·浙江嘉兴·二模）若0a >，0b >，则“1a b +=”是“11+4a b≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件25．（2024·广东湛江·二模）已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，且m αβ= ，则“m n ⊥”是“n β⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件26．（天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题）设x ∈R ，则“502x x->-”是“14x -<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2024·北京通州·一模）若a ，b ∈R ，则“224a b +≤”是“2ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件28．（2024·山东枣庄·一模）命题“n ∀∈Z ，n ∈Q ”的否定为（）A ．n ∀∈Z ，n ∉QB ．n ∀∈Q ，n ∈ZC ．n ∃∈Z ，n ∈QD ．n ∃∈Z ，n ∉Q29．（2024·江西九江·二模）已知命题p ：0x ∀≥，cos e x x ≤，则p ⌝为（）A ．0x ∀≥，cos e x x >B ．00x ∃<，00cos e xx >C ．0x ∀<，cos e xx >D ．00x ∃≥，00cos e xx >30．（2024高三下·湖南衡阳·开学考试）下列有关命题的说法正确的是()A ．若+=- a b a b ，则a b⊥B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若命题p ：0x ∃∈R ，0e 1<x ，则命题p ⌝：x ∀∈R ，e 1x ≥D ．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，n β ，那么αβ⊥31．（重庆市2022届高三上学期1月调研数学试题）命题p 的否定为“0x ∃<，使得22x x +>”，则命题p 为（）A ．0,22x x x ∀<+>B ．0x ∃，使得22x x +>C ．0,22xx x ∀<+D ．0x ∃，使得22xx +32．（2024·全国）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件33．（2024·山东）已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件34．（2024·北京）已知,R αβ∈，则“存在Z k ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件35．（甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（文）试题）“x =1”是“2320x x -+=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件36．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件37．（2024·全国·模拟预测）“153a >”是“253a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件38．（2024·山东临沂·一模）已知圆C ：()()22233x y R -+-=，点()0,2A ，()2,0B ，则“28R >”是“直线AB 与圆C 有公共点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件39．（山东省淄博市2023-2024学年高三模拟考试（一模）数学试题）若向量(),3a m =- ，()3,1b =r，则“1m <”是“向量a ，b夹角为钝角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件40．（2024·河北·模拟预测）“b 是“圆22:9C x y +=上有四个不同的点到直线:l y x b =-的距离等于1”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件41．（2024·山东·模拟预测）“4a <”是“过点()1,1有两条直线与圆2220x y y a ++-=相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件42．（2024·北京西城·模拟预测）设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件43．（2024·山东潍坊·一模）已知0a >，则“3a a a >”是“3a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件44．（2024·全国·模拟预测）已知向量(),2m k =- ，()1,3n =，则“k 6<”是“m 与n 的夹角为钝角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件45．（2024·全国·模拟预测）已知,R a b ∈，则“ln ln a b >”是“sin sin a b b a +>+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件46．（2024·黑龙江·一模）已知a ，b ∈R ，则“0ab ≠”的一个必要条件是（）A ．0a b +≠B ．220a b +≠C ．330a b +≠D ．110a b+≠二、多选题47．（2024·全国·模拟预测）设m ，n 是空间中两条不同直线，α，β是空间中两个不同平面，则下列选项中错误．．的是（）A ．当αβ⊥时，“m α∕∕”是“m β∕∕”的充要条件．B ．当αβ∕∕时，“n α⊥”是“n β⊥”的充要条件．C ．当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．D ．当m α⊂时，“n α∕∕”是“m n ∕∕”的必要不充分条件．48．（2024·全国·模拟预测）下列四个条件中，是αβ>的一个充分不必要条件的是（）A ．22αβ>B ．11αβ<<C ．22C C αβ>D ．22ln ln αβ>49．（2024·湖南·一模）下列选项中，与“2x x >”互为充要条件的是（）A ．1x >B ．222x x>C ．11x<D ．|(1)|(1)x x x x -=-50．（2024·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（）A ．“αβ=”是“sin sin αβ=”的必要不充分条件B ．已知命题P ：“0x ∃∈R ，00e 1xx <+”，则P ⌝：“x ∀∈R ，e 1x x ≥+”C ．若随机变量12,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()23E ξ=D ．已知随机变量()23,X N σ ，且()()213P X a P X a >-=<+，则43a =51．（2024高三上·湖北·阶段练习）关于充分必要条件，下列判断正确的有（）A ．“m>2”是“3m >”的充分不必要条件B ．“222log log 2log a c b +=”是“a ，b ，c 成等比数列”的充分不必要条件C ．“()f x 的图象经过点()1,1”是“()f x 是幂函数”的必要不充分条件D ．“直线1l 与2l 平行”是“直线1l 与2l 的倾斜角相等”的充要条件52．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个选项中，q 是p 的充分必要条件的是（）．A ．0:0a p b =⎧⎨=⎩，0:0a b q ab +=⎧⎨=⎩B ．1:1a pb =⎧⎨=⎩，2:1a b q ab +=⎧⎨=⎩C ．0:0a p b >⎧⎨>⎩，0:0a b q ab +>⎧⎨>⎩D ．1:1a pb >⎧⎨>⎩，2:1a b q ab +>⎧⎨>⎩53．（2024·重庆九龙坡·二模）下列说法正确的是（）A ．AB CD =是||||AB CD = 的充分不必要条件B ．幂函数223()()mm f x mx m R --=∈在区间(0,)+∞上单调递减C ．抛物线24y x =的焦点与椭圆22143x y +=的右焦点重合D ．函数()sin |||sin |f x x x =+的最大值为254．（2024·山东·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．若3412a b ==，则4a b +>B ．“1a =”是“直线10ax y +-=与直线(2)50ax a y +-+=垂直”的充分条件C ．已知回归直线方程2y x a=+$，且5x =，20y =，则 15=a D ．函数()cos 4f x x =的图象向左平移8π个单位，所得函数图象关于原点对称55．（2024·湖南常德·一模）下列说法正确的是（）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-B ．二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C ．已知直线a ⊂平面α，则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D ．函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列说法不正确．．．的是（）A ．等比数列{}n a ，2104,8a a ==，则6a =±B ．抛物线24y x =-的焦点()1,0F -C ．命题“20,2x x x ∀>>”的否定是：“20,2x x x ∃≤≤”D ．两个事件A B 、，“A 与B 互斥”是“A 与B 相互对立”的充分不必要条件.57．（2024·山东淄博·三模）下列说法正确的是（）A ．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为6:5:4，则应从高二年级中抽取20名学生B ．线性回归方程ˆˆˆybx a =+对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点C ．命题“0x ∀>，()2lg 10x +≥”的否定是“0x ∃>，()2lg 10x +<"D ．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小58．（2024·湖南岳阳·一模）下列叙述正确的是（）A ．命题“[)2,x ∀∈+∞，24x ≥”的否定是“[)02,x ∃∈+∞，204x <”B ．“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件C ．()51x -的展开式中3x 的系数为10-D ．在空间中，已知直线,,a b c 满足a b ⊥r r，a c ⊥，则b c∥59．（2024·海南·模拟预测）已知函数2()||sin f x x x =+，设12,x x ∈R ，则()()12f x f x >成立的一个充分条件是（）A ．12x x >B ．120x x +>C ．2212x x >D ．121x x >60．（2024·重庆渝中·一模）下列命题中，正确的有（）A ．线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y B ．若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面βC ．“若11a b<，则a b >”的否命题为真命题D ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>61．（2024·福建莆田·模拟预测）设0a >，0b >，且a b ¹，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（）A ．332a b +>B ．222a b +>C ．1ab >D ．112a b+>62．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2221e xf x ax x =-+，则（）A ．()f x 有零点的充要条件是1a <B ．当且仅当(]0,1a ∈，()f x 有最小值C ．存在实数a ，使得()f x 在R 上单调递增D ．2a ≠是()f x 有极值点的充要条件三、填空题63．（2024·上海长宁·二模）若“1x =”是“x a >”的充分条件，则实数a 的取值范围为．64．（2024·浙江·二模）命题“()1,x ∀∈+∞，0x >”的否定为．65．（2024·宁夏中卫·二模）命题0:0x p y >⎧⎨>⎩，命题1:0q xy >，则p 是q 的条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）66．（2024·北京顺义·一模）能说明“若()()2f x f ≤对任意的[]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上单调递增”为假命题的一个函数是．67．（2024·河南·模拟预测）设命题p ：2x ⎛∀∈ ⎝，1x a x +>.若p ⌝是假命题，则实数a 的取值范围是.68．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）命题“0x ∃≥，2230x x --≤”的否定是．四、解答题69．（2024·广东中山·模拟预测）已知函数)()(log 21a f x x =+A ，不等式)()(110x m x m ⎡⎡⎤⎤-+⋅-->⎦⎦⎣⎣)(m R ∈的解集为集合B ．（1）求集合A 和B ；（2）已知“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．70．（2024·海南·一模）已知:p x R ∀∈，()241+>m x x ；:[2,8]∃∈q x ，2log 10+m x .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 与q 的真假性相同，求实数m 的取值范围.。

常用逻辑用语知识点总结

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。

4. 示例：如果下雨，地面就会湿。

这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。

3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题，由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。

简单逻辑用语知识点及题型总结(一)含答案

简单逻辑用语知识点及题型总结知识点精讲一、命题可以荆断真假的语句叫做命题.注：判断一个语句是否为命题包含以下两个要素：①必须是陈述句；②必须能判断真假. 二、四种命题1．四种命题的表述只有“若p ，则q ”形式的命题才有以下四种命题：原命题：若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若p ⌝，则q ⌝；逆否命题：若q ⌝，则p ⌝.2．四种命题的关系（1）原命题为真(假)，其逆命题不一定为真(假)；（2）原命题为真(假)，其否命题不一定为真《假)；（3）原命题为真(假)，其逆否命题一定为真(假)；（4）若命题的逆命题为真(假)时，其否命题一定为真（假）（两者互为逆否命题）.如图1-6所示，根据互为逆否命题的两个命题的真值相同，可知四种命题中实质不同的命题只有原命题和逆命题两类.另外两类只是它们的不同表示形式.三、充分条件、必要条件、充要条件 1．定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件.2．从逻辑推理关系上看（1）若p q ⇒且q p ¿，则p 是q 的充分不必要条件；（2）若p q ¿且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；（3）若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)；（4）若p q ¿且q p ¿，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立).注：根据互为逆否命题等价.若有p q ⇒，则一定有q p ⌝⇒⌝. 3．从集合与集合之间的关系上看设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==.（1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B 躡，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ¿；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；（3）若A B =，则p 与q 互为充要条件.题型归纳及思路提示题型1 四种命题及真假关系思路提示互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真同假，即一个命题与其逆否命题同真同假；一个命题的逆命题和否命题同真同假.当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断.例 1.12 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，有命题：若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.（1）写出命题的否命题，判断真假，并证明你的结论；（2）写出命题的逆否命题，判断真假，并证明你的结论.分析：“已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈”为大前提，写否命题时，要保证大前提不变.理清命题的结构，分清命题的条件与结论，写出否命题和逆否命题，然后判断真假，并证明.解析：（1）否命题：已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，若0a b +<，则()()()()f a f b f a f b +<-+-.该否命题为真命题，证明如下：因为函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，若0a b +<，则,a b b a <-<- 所以()(),()()f a f b f b f a <-<-所以()()()()f a f b f a f b +<-+-，故否命题为真命题.（2）逆否命题：已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，,a b R ∈，若()()()()f a f b f a f b +<-+-，则0a b +<.该逆否命题为真命题，证明如下：由()()()()f a f b f a f b +<-+-，得()()()()0f a f a f b f b --+--<.令()()()g x f x f x =--，x R ∈，函数()g x 在R 上为单调递增的奇函数.由()()0g a g b +<得()()()g a g b g b <-=-，所以a b <-，即0a b +<.评注：当命题有大前提，写该命题的逆命题、否命题和逆否命题时，应保持大前担不变.变式1 命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（）A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤-B ．若11x -<<，则21x <C ．若1x >或1x <-，则21x >D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥变式2 命题“若,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是( )A.若a b +不是偶数，则,a b 都不是奇数B.若a b +不是偶数，则,a b 不都是奇数C.若a b +是偶数，则,a b 都是奇数D.若a b +是偶数，则,a b 不都是奇数题型2 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明思路提示条件与结论的呈现有两种方式：（1）题中出现“A 是B 的……条件”时，则A 是条件，B 是结论. （2）若出现“A 成立的……条件是B ”，则B 是条件，A 是结论.若由条件可以推出结论，就是充分性成立；若从结论可以推出条件，就是必要性成立.例1.13 （2013安徽理4）“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件分析：本题利用函数的图像确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断.解析：当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.变式1 设x R ∈，则1x =是3x x =的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件变式2 若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件变式3 已知0a >，则0x 满足关于x 的方程ax b =的充要条件是（）A ．220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- B ．220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≤- C ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- D ．220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-题型3 充分条件、必要条件中的含参数问题思路提示求解充要条件中的含参问题，往往要先求出必要条件所需满足的参数范围，再证明其充分性.例1.14 设非空集合{}{}|2,|23,A x x a B y y x x A =-≤≤==+∈，{}2|,C z z x x A ==∈，求使C B ⊆的充要条件.分析：利用集合与命题之间的关系求解.解析：由2x a -≤≤得12323x a -≤+≤+，即{}|123B y y a =-≤≤+ 当20a -≤<时，{}2|4C z a z =≤≤；当02a ≤≤时，{}|04C z z =≤≤ 当2a >时，{}2|0C z z a =≤≤所以，当22a -≤≤时，123422C B a a ⊆⇒+≥⇒≤≤，反之亦真当2a >时，22323C B a a a ⊆⇒≤+⇒<≤，反之亦真所以132C B a ⊆⇔≤≤，即使C B ⊆的充要条件是132a ≤≤. 变式1 是否存在实数p ，使40x p +<是220x x -->的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围.变式2 已知21:|1|2,:210(0)3x p q x x m m 2--≤-+-≤>，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.最有效训练题：1．以下命题中：①函数()ln 2f x x x =+-的图像与x 轴有2个交点；②向量,a b r r不共线，则关于x 的方程20ax bx +=r r r 有唯一实根；③函数y =的图像关于y 轴对称.真命题是（）A ．①③B ．②C ．③D ．②③2．设,a b r r 是向量，命题“若a b =-r r ，则||||a b =r r”的逆否命题是（） A ．若a b ≠-r r ，则||||a b ≠r r B ．若a b =-r r ，则||||a b ≠r rC ．若||||a b ≠r r ，则a b ≠-r rD ．若||||a b =r r，则a b =-r r3．以下四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“1x ≠，则2320x x -+≠”； ②若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题；③命题:p 存在x R ∈，使得210x x ++<，则:p ⌝对任意x R ∈，都有210x x ++≥； ④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知集合{}1|28,|112x A x R B x R x m ⎧⎫=∈<<=∈-<<+⎨⎬⎩⎭，若x B ∈成立的一个充分不必要条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．(2,2)-6．已知a b <，函数()sin ,()cos f x x g x x ==.命题:()()0p f a f b <，命题:()q g x 在(,)a b 内有最值，则命题p 是命题q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．给定下列命题:①若0k >，则方程220x x k +-=有实数根； ②“若a b >，则a c b c +>+”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若0xy =，则,x y 中至少有一个为0"的否命题. 其中真命题的序号是 .8．已知对数函数21()log a f x x +=，命题21:()log a p f x x +=是增函数.则p ⌝为真时，a 的取值范围是 .9．已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1132x <<，则m 的取值范围是 . 10．已知集合{}1|0,|||1x A x B x x b a x -⎧⎫=<=-<⎨⎬+⎩⎭，若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是 .11．设命题2:(43)1p x -≤，命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.12．已知全集U R =，非空集合2|0(31)x A x x a ⎧⎫-=<⎨⎬-+⎩⎭，22|0x a B x x a ⎧⎫--=<⎨⎬-⎩⎭. （1）当12a =时，求()U B A ⋂ð；（2）集合:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.参考答案：例1.12 变式1解析“若，则”的逆否命题形式是“若，则”，由此可知“若，则”的逆否命题为“若，则”。

专项二：常用逻辑用语(含解析)

专项二：常用逻辑用语〖考纲解读〗1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．4．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．5．理解全称量词与存在量词的意义．6．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．〖知识梳理〗四种命题及其关系(1)四种命题：“若p，则q”的命题，其逆命题是“若q，则p”，否命题是“若非p，则非q”，逆否命题是“若非q，则非p”．(2)四种命题之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．3．充要条件(1)充要条件：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．(2)充要条件与集合：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B.4．逻辑联结词(1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(2)含有逻辑联结词的命题真假：命题p∨q，只要p，q有一为真，即为真命题，换言之，只有p，q均为假命题时才为假；命题p∧q，只有p，q均为真命题时才为真，换言之，只要p，q有一为假，即为假命题；非p和p为一真一假两个互为对立的命题．(3)或命题和且命题的否定：命题p∨q的否定是(非p)∧(非q)；命题p∧q的否定是(非p)∨(非q)．5．量词(1)全称量词与存在量词．(2)全称命题和特称命题．(3)含有一个量词的命题的否定：“,()x M P x ∀∈”的否定为“x M ∃∈，非()P x ”；“x M ∃∈，()P x ”的否定为“,()x M P x ∀∈非”．〖分析考向〗考向一：四种命题之间的关系①在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件与结论，当确定了命题p 为原命题时，根据四种命题的关系写出其他三种命题．②当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变．③判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例．④否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论．【例】命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（） A.0||,2<+∈∀x x R x B.0||,2≤+∈∀x x R x C.0||,2000<+∈∃x x R x D.0||,2000≥+∈∃x x R x【练习1】命题:3p x y +≠，命题:1q x ≠或2y ≠，则命题p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【练习2】命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( ) A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ．若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠ D ．若tan 1α≠，则4πα=【练习3】命题“若()f x 是奇函数，则()f x -是奇函数”的否命题是( )A ．若()f x 是偶函数，则()f x -是偶函数B ．若()f x 不是奇函数，则()f x -不是奇函数C ．若()f x -是奇函数，则()f x 是奇函数D ．若()f x -不是奇函数，则()f x 不是奇函数考向二：充分条件与必要条件的判断充要条件的三种判断方法①定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．②集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的充要条件转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出问题，如“1xy ≠”是“1x ≠或1y ≠”的何种条件，即可转化为判断“1x =且1y =”是“1xy =”的何种条件．【例】设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件【练习1】若集合2{|0},{|()(1)0}A x x xB x x a x =-<=-+<，则“1a >”是“A B φ≠ ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【练习2】“3101x +≥-”是“(2)(1)0x x +-≥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【练习3】对于常数,m n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【练习4】已知集合{}a A ,1=，{}3,2,1=B ，则”“3=a 是”“B A ⊆的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件考向三：逻辑联结词命题真假的判断“p ∨q ”“p ∧q ” “﹁p ”式的命题真假的判断步骤：①确定命题的构成形式．②判断简单命题p ，q 的真假．③确定“p ∨q ”“p ∧q ” “﹁p ” 形式的命题真假．在进行上述判断过程时，必须熟悉命题的数学背景，应用相关知识进行判断．如本例中的三角函数的性质等．【例】已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（） A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C.p q ⌝∧ D.p q ∧⌝【练习1】已知命题:1p m <，命题:q 函数()(52)x f x m =--是减函数，若p 与q 一真一假，则实数m 的取值范围是 .所以1,1,22,m m m m <≥⎧⎧⎨⎨≥<⎩⎩或即1≤m<2. 【练习2】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q考向四：全称命题与存在性命题真假的判断【例】若存在x R ∈，使得20x x a -+<有解，求实数a 的取值范围．【练习】已知命题p ：“[0,1],x x a e ∀∈≤”，命题q ：“2,40x R x x a ∃∈-+=”，若命题p ，q 均是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,)+∞B ．[1,4]C ．[,4]eD ．(,1]-∞考向五：全称命题与存在性命题的否定命题的否定：①复合命题的否定：“p q ∧”的否定是“()()p q ⌝∨⌝”；“p q ∨”的否定是()()p q ⌝∧⌝.②含量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，即将全称量词与存在量词互换，再否定原命题的结论．③常见词语的否定形式有：原语句是> 至少有一个至多有一个对任意x A ∈使()p x 为真否定形式不是 ≤一个也没有至少有两个存在0x A ∈使0()p x 为假【例】命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥【练习1】已知“命题2:,210p x R ax x ∃∈++<成立”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞【练习2】已知命题122121:,,(()())()0p x x R f x f x x x ∀∈--≥，则p ⌝是( )A ．122121,,(()())()0x x R f x f x x x ∃∈--≤B ．122121,,(()())()0x x R f x f x x x ∀∈--≤C ．122121,,(()())()0x x R f x f x x x ∃∈--<D ．122121,,(()())()0x x R f x f x x x ∀∈--<【练习3】设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（）（A）:,2p x A x B⌝∃∉∈p x A x B⌝∃∈∈（B）:,2（C）:,2⌝∀∉∉p x A x B p x A x B⌝∃∈∉（D）:,2。

2023年高考数学真题分训练常用逻辑用语(含答案含解析)

专题 02 常用逻辑用语年份题号考点考查内容2011 课标卷理 10 命题及其关系平面向量模与夹角、命题真假推断 2023 新课标理 2 命题及其关系复数的概念与运算、命题真假的判定卷 1 理 9 全称量词与特称量词二元一次不等式表示的平面地域、全称命题与特称命题真假的判定2023卷 2文 3 充分条件与必要条件导数与极值的关系、充要条件的判定 2023 卷 1 理 3 全称量词与特称量词特称命题的否认 2023卷 1 理 2 命题及其关系复数的有关概念与运算卷 2 理 7充分条件与必要条件面面平行的判定与性质、充要条件判定2023卷 3文 11 1. 全称量词与特称量词 2. 简单逻辑联结词二元一次不等式表示的平面地域、全称命题与特称命题真假推断、含逻辑联结词命题的判定卷 2文理16 简单逻辑联结词含逻辑联结词命题真假的推断2023 卷 3理 16命题及其关系命题真假的推断，三角函数图象及其性质考点出现频率2023 年预测考点 5 命题及其关系 4/10 考点 6 简单逻辑联结词 2/10 考点 7 全称量词与特称量词 3/10 考点 8 充分条件与必要条件 2/102023 年仍将与其他知识结合，考查命题及其关系、含简单逻辑连接词的敏体真假推断、特称命题与全称命题真假推断及其否认的书写、充要条件的判定，其中充要条件判定为重点.考点 5 命题及其关系1．(2023 新课标 III 理 16)关于函数 f ( x ) = sin x + 1．sin x① f ( x ) 的图像关于 y 轴对称；② f ( x ) 的图像关于原点对称； ③ f ( x ) 的图像关于 x = π对称；④ f ( x ) 的最小值为2 ．2 其中全部真命题的序号是．12（答案）②③（解析）（分析）利用特别值法可推断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可推断命题②的正误；利用对称性的定义可推断命题③的正误；取-π< x < 0 可推断命题④的正误．综合可得出结论．（详解）对于命题①， f ⎛ π⎫ = 1 + 2 = 5， f ⎛ - π⎫ = - 1 - 2 = - 5 ，则 f ⎛ - π⎫≠f ⎛ π⎫ ，6 ⎪ 2 26 ⎪ 2 2 6 ⎪ 6 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象不关于 y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数 f ( x ) 的定义域为{x x ≠ k π, k ∈ Z} ，定义域关于原点对称，f (-x ) = sin (-x )+ 1 = - sin x -1 = - ⎛sin x +1 ⎫= - f(x ) ， sin (-x ) sin x sin x ⎪⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象关于原点对称，命题②正确；f ⎛ π- x ⎫ = sin ⎛ π- x ⎫ +1= cos x + 1对于命题③， 2⎪ 2⎪⎛ π⎫cosx ， ⎝⎭⎝⎭ sin ⎝ - x ⎪⎭f⎛π+ x ⎫ = sin ⎛π+ x ⎫ +1= cos x + 1⎛π ⎫ ⎛π ⎫2 ⎪ 2⎪ ⎛π⎫cos x ，则 f - x = f+ x ，⎝ ⎭ ⎝⎭ sin + x2 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭∴函数 f ( x ) 的图象关于直线 x = π对称，命题③正确；对于命题④，当 -π< x < 0 时， sin x < 0 ，则2f ( x ) = sin x +1sin x< 0 < 2 ，命题④错误，故答案为：②③． 2.(2023 新课标Ⅰ)设有下面四个命题p 1 ：假设复数 z 满足 z∈ R ，则 z ∈ R ；p ：假设复数 z 满足 z 2∈ R ，则 z ∈ R ； p 3 ：假设复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ； p 4 ：假设复数 z ∈ R ，则 z ∈ R ．其中的真命题为 A. p 1 ， p 3B. p 1 ， p 4C. p 2 ， p 3D. p 2 ， p 4（答案）B （解析）设 z = a + b i ( a , b ∈ R )，则 1= z 1 = (a + b i) a - b i a 2 + b 2∈ R ，得b = 0 ，所以 z ∈ R ， p 1 正222⎭确；z 2 = (a + b i)2 = a 2 - b 2+ 2ab i ∈ R ，则 ab = 0 ，即 a = 0 或b = 0 ，不能确定 z ∈ R ，p 不正确；假设 z ∈ R ，则b = 0 ，此时 z = a - b i = a ∈ R ， p 4 正确．选 B ．3.(2011 新课标)已知a ， b 均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题p :| a + b |> 1 ⇔ θ∈0, 2π 13 p : | a + b |> 1 ⇔ θ∈ (2π,π] 23p 3 :| a - b |> 1 ⇔ θ∈ π0, )3p 4 : | a - b |> 1 ⇔ θ∈ π( ,π3其中真命题是 A. p 1, p 4B. p 1, p 3C. p 2 , p 3D. p 2 , p 4（答案）A （解析）由 a + b 1 得，cos θ> - 1， 2⇒θ∈ ⎡0, 2π⎫。

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