运筹学 单纯形法表格形式
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学之线性规划的标准型及单纯形法
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
• 6、重复第二步到第五步
30
单纯形法的进一步探讨
• 极小化问题直接求解：检验数的判别由σj ≤0
……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0 （xj ≥0 j=1,2,…,n）
5
线性规划的标准型
• 和式：
Obj : S.T .
n
MaxZ c j x j j1
n
aij x j bi
j 1
i 1,2,, m
x j 0 j 1,2,, n
6
线性规划的标准型
70 120 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
94 1 0 0 45 0 1 0 3 10 0 0 1
70 120 0 7.8 0 1 2.5 0 0 0.3 1 0
34 0 0
00 0 -0.4 1 -0.5 0 0.1
0 -12
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
• 相应的基为可行基。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，
则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!
18
例题6 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
94100
4X1+5X2 +x4=200
单纯形表例题详解易懂
单纯形法（Simplex Method）是线性规划问题的一种求解方法。
下面我将以一个简单的线性规划问题为例，详细解释如何使用单纯形法求解。
例题：假设我们有一个简单的线性规划问题，目标是最小化目标函数 z = 3x + 2y，约束条件是 x + y <= 10, x >= 0, y >= 0。
首先，我们需要构建问题的数学模型。
数学模型可以表示为以下形式：z = 3x + 2yx + y <= 10x >= 0y >= 0然后，我们可以将这个线性规划问题表示为一个单纯形表。
单纯形表的形式如下：| c | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||x | y | z | u | v | w | x1 | x2 | x3 | ... | xn | s.x | s.y | s.z | c.val | b.x | b.y | b.z | dual.val | dual.x1 | dual.x2 | ... | dual.xn ||在这个表中，c 是目标函数的系数，b 是约束条件的系数，s 是松弛变量的系数，dual 是对偶问题的系数，c.val 是当前解的目标函数值，b.x, b.y, b.z 是约束条件的边界值，s.x, s.y, s.z 是松弛变量的值。
现在，我们可以将例题中的数据填入单纯形表：c = [3, 2, 1]b = [1, 0, -10]s = [1, 1, 0]dual = []然后，我们可以开始迭代求解。
在每一次迭代中，我们首先找到进入变量和离开变量，然后更新单纯形表中的数据。
运筹学教程 第五章 单纯形法(2表格形式)
r2 ÷ 6
b
15 24 5
x1 = 4 x2 = 0 x3 = 15 x4 = 0 x5 = 1
P P P P P 1 2 3 4 5
b
P 1
P2
P3
P4
P5
b
0 5 1 0 0 1 1/ 3 0 1 / 6 0 1 1 0 0 1
元数a 元数a21决定了从一个基可行解到相邻基可行解 的转移去向，取名主元 的转移去向，取名主元
§5.2单纯形法的表格形式
第3步:迭代。 步
1.确定入基变量 确定入基变量 2.确定出基变量 确定出基变量 3.用入基变量替换出基变量，得到一个新的基； 用入基变量替换出基变量， 用入基变量替换出基变量 得到一个新的基； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 对应这个基可以找到一个新的基可行解； 并画出一个新的单纯形表。 并画出一个新的单纯形表。
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
zj σj= cj -zj
? 0
z = c 3 × b1 + c 4 × b2 + c 5 × b3 = 0 × 15 + 0 × 24 + 0 × 5 = 0
§5.2单纯形法的表格形式
迭代 次数 基 x3 x4 0 x5 CB 0 0 0 x1 2 0 6 1 0 2 x2 1 5 2 1 0 1 x3 0 1 0 0 0 0 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 0 0 1 0 0 b 15 24 5 Z=0 比值 24/6 5
(完整word版)运筹学单纯形法
=0
σj=Cj- Zj
2
-1
1
0
0
0
1
S1
0
0
4
-5
1
-3
0
30
30/4
X1
2
1
-1
2
0
1
0
10
10/-1
S3
0
0
2
-3
0
-1
1
10
10/2
Zj
2
-2
4
0
2
0
Z=Z0=0*30+
2*10+0*10
=20
σj=Cj- Zj
0
1
-3
0
-2
0
2
S1
0
0
0
1
1
-1
-2
10
X1
2
1
0
1/2
0
s.t.
5x1+6x2-4x3-4x4+S1=20
3x1-3x2+2x3+8x4+S2=25
4x1-2x2+x3+3x4+S3=10
x1,x2,x3,x4,S1,S2,S3>=0
迭代次数
基变量
CB
(Ci)
X1
X2
X3
X4
S1
S2
S3
b
比值
bi/aij
6
2
10
8
0
0
0
0
S1
0
5
6
-4
-4
1
0
0
20
运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
1-4单纯形表(运筹学)
min
b
j
' m
A
检验数
不妨设此 为主列
24/6 求 l 5/1
c zz
0
mk
单纯形表
单纯形表结构
c
j
主元
2
1
C
B
X
B
b
b
' 1
x1
x2
C0
0
0
min
xm xn
a 1,m k a l, m k a m ,m k
c1 cm
j
x1 停止
检验数行全部变为非正值；
（得到最优解）或 主元列≤ 0
（最优解无界）
23
标准型的单纯型算法
(1)变换主行 (2)变换主列 除主元保留为1，其余都置0 (3)变换非主行、主列元素 aij (包括 bi) 四角算法公式：
bi bi
bi*aij* ai* j* ai* j aij* ai* j*
单纯型法的基本思路
确定初始基础可行解
检查是否为 最优解？ 否 确定改善方向
是
求最优解的目标函数值
求新的基础可行解
第四节 单纯形表
为书写规范和便于计算，对单纯形法 的计算设计了单纯形表。每一次迭代对应 一张单纯形表，含初始基可行解的单纯形 表称为初始单纯形表，含最优解的单纯形 表称为最终单纯形表。接下来介绍用单纯 形表计算线性规划问题的步骤。
j
' m
A
检验数
— 24/6 l 5/1
c zz
0
mk
用单纯形表求解LP问题
例、用单纯形表求解LP问题
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x1 x2 5 x1 , x2 0
第3章05-单纯形表法
第3章05单纯形表法同学们大家好，前面我们讲了单纯形法的原理，它的整个过程看似很复杂，但实际上，单纯形法的全部计算过程，可以简单地在一张类似增广矩阵的表格上进行，这种表格我们称为单纯形表，所以，今天我们就来学习线性规划模型的单纯形表法。
给定一个可行基，可以画出一张单纯形表。
单纯形表的行标是n个变量以及右端项b，列标是m个基变量以及检验数行σ。
所以，用矩阵的形式把它表示出来，就如下表所示我们注意到，像B，所以，是与原方程组等价的。
最后一行是检验数C-C B B-1A，右下角是-C B B-1b，它恰好是这个基B所对应的可行解的目标函数值的相反数。
用单纯形表法求解线性规划模型时，有下面的步骤：单纯形表法求解线性规划问题的步骤：Step1.转换一般的线形规划模型为标准型，并写出A，b，C。
Step2找初始基本可行解，写出B，B-1，X B，C B。
Step3计算单纯形表中的各矩阵B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，并构造初始单纯形表。
Step4判断基本最优解。
Step5换基迭代，返回Step4。
第一步是将一般的线性规划模型转化为标准形，并写出约束矩阵A，右端项b，以及价值向量C。
第二步，找初始的基本可行解。
根据上一讲单纯形法的原理，你要注意的是，我们总是从约束矩阵A里面选一个单位阵出来作为初始基，在右端项非负的条件下，这样选出来的单位阵一定是可行基，也就是找到了初始的基本可行解。
而如果约束矩阵A中没有单位阵，我们将会通过引入人工变量构造出一个单位阵，这种构造方法我们将在后面进行详细介绍。
初始基选出来之后，我们就能写出B，B-1，以及基变量X B和基变量所对应的价值向量C B。
第三步，计算B-1A，B-1b，C-C B B-1A，-C B B-1b，这样就可以把初始单纯形表写出来。
第四步，判断当前的基本可行解是不是最优解？按照我们上一讲介绍的单纯形法的原理，如果检验数行中所有的检验数都小于等于0，当前的基本解就是最优解；如果有一个非基变量的检验数是正的，而且它所对应A中的列的项都小于等于0,那么这个时候是无界解。
2运筹学之表格单纯型法
则对应的xk为换入变量。但也可以任选或按最小足码选。
2.换出变量的确定
设P1，P2，…，Pm是一组线性独立的向量组， 它们对应的基可行解是 X(0)。将它代入约束方 m 程组(1-21)得到
i 1
xi0 Pi b
1 28
其他的向量Pm+1,Pm+2,…,Pm+t,…,Pn都可以 用P1，P2，…，Pm线性表示， 若确定非基变量Pm+t为换入变量，
• 当所有非基变量的σ j≤0时，由（1-27）式可 知已不存在任一可换入的非基变量， 使目标函数继续增大。所以以σ j≤0，为最优解 的判别准则。
2.无穷多最优解判别定理
若 X b ,b , , b ,0, ,0 为一个基可 行解，对于一切j=m+1，…,n，有σ j≤0， 又存在某个非基变量的检验数σ m+k=0，则 线性规划问题有无穷多最优解。 证: 只需将非基变量 xm+k换入基变量中，找 到一个新基可行解X(1) 。因σ m+k=0，由(127)知z=z0，故X(1)也是最优解。由2.2节的 定理3可知X(0)，X(1)连线上所有点都是最优 解。
' ai,mk
以上讨论都是针对标准型，即求目标函数 极大化时的情况。当求目标函数极小化时， 一种情况如前所述，将其化为标准型。 如果不化为标准型，只需在上述1，2点中 把σ j≤0改为σ j≥0，第3点中将 σ m+k＞0改写为σ m+k＜0即可。
3.4 基变换 若初始基可行解 X(0)不是最优解及不能判别 无界时，需要找一个新的基可行解。具体做 法是从原可行解基中换一个列向量(当然要保 证线性独立)，得到一个新的可行基，这称为 基变换。为了换基，先要确定换入变量，再 确定换出变量，让它们相应的系数列向量进 行对换，就得到一个新的基可行解。
线性规划的单纯形表
21 / 5 3 14 / 5 2
8/5 4 2 /5
旋转运算
>0，最优！ X*=(1,3/2,0,0), Z*=35/2
(3)
单纯形表
例5
引进松弛变量，标准化并初始单纯形表：
Cj 1 2 1 0 0 0
x2进基
(1)
[ ]
X5 离 基
12 / 1
18 / 3
24 / 1
单纯形表
Cj 1 2 1 0 0 0
z CB X B CB B1b
(2)从当前的非基变量中选取一个xk ,使xk的值由 当前的值0开始增加，其余非基变量的值均保持零值 不变。如果任何一个非基变量的值由0增加时，目标 函数都不能增加，则当前的基已经是最优基。
用向量矩阵描述单纯形法原理
基于向量矩阵的单纯形法基本思路： (3)当xk的值由0开始增加时，当前各基变量的 值也会随之变化： 1) 当 xk 的值增加时，某些基变量的值随之减 小，则必定有一个基变量xr的值在xk的增加过程中 首先降为 0。这时，这个基变量xr成为非基变量， 而非基变量xk进基成为基变量，相应地， xk在矩阵 A中相应（不在基 B中）的列向量pk将取代基变量 xr 在基B 中的列向量 pr 。此时基变换后的目标函数 值必定大于原目标函数值。
最小比值 法！
单纯形表
Cj 2 3 0 0
x1进基
b1 1 2 a11 0 .5
b2 a21 2 4 0.5
(2)
[
]
X3 离 基
旋转运算
>0，最优！ X*=(2,1,0,0), Z*=7
(3)
单纯形表
例2
列出以x3、x4为基变量的单纯形表如下。
运筹学电子教案-LP单纯形法、表
基本理论
线性规划的标准型 定义： 定义： max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn = b1 + a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn = b2 + … 其中b s. t. 其中bj≥0， j =（1，2，…n） n am1x1 + am2x2 +…+ amnxn = bm + j=1， xj ≥ 0 （j=1，2 … n） 将一般线性规划问题化为标准型 1、max——min 、 2、不等式约束——等式约束 、不等式约束 等式约束 3、自由变量（无非负约束）——xj≥0 （非负约束） 非负约束） 、自由变量（无非负约束） 注意：以上转化是等价的，即转化后的标准型与原线性规划问题同 解 注意：以上转化是等价的，
10
线性规划Linear Programming（LP）
单纯形法、单纯形表 单纯形法、
所以可令 出基，新的典式方程变为： 典式方程变为 所以可令X4出基，新的典式方程变为： 4X1+ X3 =120- 3X2 2X1 = 50- X2 - X4 化简后得： X3 = 20- X2 + 2X4 化简后得： X1 = 25-0.5X2 -0.5X4 代入目标函数可得： 代入目标函数可得： Z2 =1250+5X2-25X4 非基变量X 令非基变量 2 =X4 = 0，即可得一个新的基本可行解 X2 =（ 25，0，20， ，即可得一个新的基本可行解 ， ， ， T 0） ，其对应的目标函数值 2 =1250，并完成了第一次迭代。 其对应的目标函数值Z 迭代。 ，并完成了第一次迭代 由于目标函数 的系数仍为正，该解X 由于目标函数 Z2 =1250+5X2-25X4中X2的系数仍为正，该解 2仍不是 最优解。重复上述迭代过程得到 迭代过程得到： 入基， 出基，则新的典式变为： 典式变为 最优解。重复上述迭代过程得到：X2入基，X3出基，则新的典式变为： X1 = 15 +0.5X3 - 1.5X4 X2 =20 - X3 + 2X4 Z3 =1350 -5X3 - 15X4
纯形法之单纯形表
对于大规模问题，单纯形法可能需要较长时间才能得 到结果。
未来研究方向
改进算法效率
01
研究更高效的单纯形算法，以处理大规模问题。
扩展应用领域
02
将单纯形法应用于更多类型的优化问题，如非线性规划、整数
规划等。
与其他算法结合
03
探索单纯形法与其他优化算法的结合，以获得更好的优化效果。
感谢您的观看
金融投资优化
金融投资是企业实现资产增值的重要手段，通 过单纯形表的应用，可以优化投资组合，降低 投资风险和提高投资回报。
单纯形表可以帮助企业确定最佳的投资组合方 案，包括股票、债券、基金等金融产品的配置 比例和投资时机，以实现最优的投资收益。
单纯形表还可以考虑投资过程中的约束条件， 如投资金额、风险承受能力等，以实现更稳健 和理性的金融投资决策。
单纯形表的概念
单纯形表是线性规划问题的一种表格形式表示，包含了决策变量、约束条件和目标函数的系数、常数项等信息 。
单纯形表由标准形式和松弛形式两种类型组成，标准形式包含了所有非负约束的限制条件，而松弛形式则去掉 了这些限制条件。
单纯形表的应用场景
单纯形表广泛应用于生产计划、资源分配、运输优化等领域，通过求解线性规划 问题来找到最优解决方案。
单纯形表在数学建模中的应用
线性规划问题
线性规划是一种数学优化技术，旨在找到一组变量的最优解 ，使得一组线性不等式约束下的线性函数达到最大或最小值 。在解决线性规划问题时，单纯形表可以用来表示和解决线 性规划模型，通过迭代算法找到最优解。
线性规划问题在现实生活中应用广泛，如资源分配、生产计 划、运输问题等。单纯形表的应用使得线性规划问题的求解 更加简便和高效。
02
对偶单纯形法(经典运筹学)
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1
1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
运筹学 单纯形法表格形式
P79，用单纯形法的表格形式求解第二章例1 1：在上表中有一个m*m 的单位矩阵，对应的基变量为s 1,s 2,s 3；●在s 1,s 2,s 3右边的C B 列中填入这些基变量的目标函数中相应的系数。
●2：← 在z j 行中填入第j 列与c B 列中对应的元素相乘相加所得的值，如z 2=0*1+0*1+0*1=0，所在z i 行中的第2位数填入0；← 在 j j jz c -=σ行中填入c j -z j 所得的值，如 050c 111-=-=z σ，01002-=σ，003-=σ，004-=σ，005-=σ← z 表示把初始基本可行解代入目标函数求得的目标函数值，即b 列*c B 列；3：4.5.6.初始基本可行解为s1=300,s2=400,s3=250,x1=0,x2=0;←由于250/1最小，因此确定s3为出基变量；σ>2σ，因此确定x2为←由于1入基变量。
出基变量所在行，入基变量所在列的交汇处为主元，这里是a32=1，在表中画圈以示区别.7：●第一次迭代，其变量为x2,s1,s2,通过矩阵行的初等变换，求出一个新的基本可行解。
●具体的做法：用行的初等变换使得x2的系数向量p2变换成单位向量，由于主元在p2的第3 分量上，所以这个单位向量是()Te1，=，也就是主元0，3素变成1。
在上表中第3个基变量s3已被x2代替，故基变量列中的第3个基变量应变为x2。
由于第0次迭代表中的主元a32已经为1，因此第3行不变。
为了使第1行的a12为0，只需把第3行*(-1)加到第1行即可。
同样可以求得第2行。
8：求得第1次迭代的基本可行解为s 1=50,s 2=150,x 2=250,x 1=0,s 3=0, z=25000.● 从上表可以看出，第一次迭的501=σ>0 ，因此不是最优解。
设x 1为入基变量，从此值可知b 1/a 11=50为最小正数，因此，s 1为出基变量，a 11为主元，继续迭代如下表所示。
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P79，用单纯形法的表格形式求解第二章例1 1：
在上表中有一个m*m 的单位矩阵，对应的基变量为s 1,s 2,s 3；
●
在s 1,s 2,s 3右边的C B 列中填入这些基变量的目标函数中相应的系数。
●
2：
← 在z j 行中填入第j 列与c B 列中对应的元素相乘相加所得的值，如z 2=0*1+0*1+0*1=0，所在z i 行中的第2位数填入0；
← 在 j j j z c -=σ 行中填入c j -z j 所得的值，如 050c 111-=-=z σ，01002-=σ，003-=σ，004-=σ，005-=σ
← z 表示把初始基本可行解代入目标函数求得的目标函数值，即b 列*c B 列；
3：
4.
5.
6.
初始基本可行解为s1=300,s2=400,s3=250,x1=0,x2=0;
←由于250/1最小，因此确定s3为出基变量；
σ>2σ，因此确定x2为←由于1
入基变量。
出基变量所在行，入基变量所在列的交汇处为主元，这里是a32=1，在表中画圈以示区别.
7：
●第一次迭代，其变量为x2,s1,s2,通过矩阵行的初等变换，求出一个新的基本可行解。
●具体的做法：用行的初等变换使得x2的系数向量p2变换成单位向量，
由于主元在p2的第3 分量上，所以这个单位向量是()T
e1，
=，也就是主元
0，
3
素变成1。
在上表中第3个基变量s3已被x2代替，故基变量列中的第3个基变量应变为x2。
由于第0次迭代表中的主元a32已经为1，因此第3行不变。
为了使第1行的a12为0，只需把第3行*(-1)加到第1行即可。
同样可以求得第2行。
8：
求得第1次迭代的基本可行解为
s 1=50,s 2=150,x 2=250,x 1=0,s 3=0, z=25000.
● 从上表可以看出，第一次迭的501=σ>0 ，因此不是最优解。
设x 1为入基变量，从此值可知b 1/a 11=50为最小正数，因此，s 1为出基变量，a 11为主元，继续迭代如下表所示。
●。