中考数学反比例函数综合经典题附答案

中考数学反比例函数综合经典题附答案

一、反比例函数

1．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△ABH面积．

【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，

∴CO=2，即C（0，2），

把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，

，解得，

∴一次函数解析式为y=2x+2，

∵点A的横坐标是1，

∴当x=1时，y=4，即A（1，4），

把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，

∴反比例函数解析式为y=

（2）解：解方程组，可得或，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵A（1，4），BH⊥y轴，

∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．

【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.

2．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO= ．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

【答案】（1）解：设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，

则S△ABO= •|BO|•|BA|= •（﹣x）•y= ，

∴xy=﹣3，

又∵y= ，

即xy=k，

∴k=﹣3．

∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；

（2）解：由y=﹣x+2，

令x=0，得y=2．

∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），

A、C两点坐标满足

∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），

∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•（|x1|+|x2|）= ×2×（3+1）=4．

【解析】【分析】两解析式的k一样，根据面积计算双曲线中的k较易，由公式=2S△ABO,可求出k；（2）求交点就求两解析式联立的方程组的解，可分割△AOC为S△ODA+S△ODC，即

可求出.

3．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，

OE=2．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．

【答案】（1）解：∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．

∵CE⊥x轴，

∴∠CEB=90°．

在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，

∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，

结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．

∵点C在反比例函数y= 的图象上，

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴反比例函数的解析式为y=﹣

（2）解：∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，

∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2．

∵S△BAF= AF•OB= （OA+OF）•OB= （2+ ）×4=4+ ．

∵点D在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，

∴S△DFO= ×|﹣6|=3．

∵S△BAF=4S△DFO，

∴4+ =4×3，

解得：n= ，

经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，

∴点D的坐标为（，﹣4）．

【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的

图象上，设出点D的坐标为（n，﹣）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．

4．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实

数a、b，可作如下变形a+b= = - + = + ,

又∵≥0，∴ + ≥0+ ，即≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在≥ （a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值．

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a， DB＝2b, 试根据图形验证≥ 成立，并指出等号成立时的条件．

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即≥2 .

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解： ,

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=，再由（1）中的结论即可得出等号成立时的条件。

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE，可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。

5．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉