福建省普通高中2019-2020学年高二6月学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2020年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题一、选择题1. 已知集合{}3A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A. {}1,2,3B. {}1,3C. {}3D. ∅【答案】C【解析】【分析】求出两个集合的交集即可.【详解】={3}A B故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于容易题目.2. 如图是某圆锥的三视图，则该圆锥底面圆的半径长是（ ）A. 1B. 2C. 3 10【答案】A【解析】【分析】 通过俯视图可以直接得出结论.【详解】通过俯视图，可以判断出直径为2，则半径为1.故选：A.【点睛】本题考查三视图的相关知识点，属于简单题.3. 若三个数1，3，a 成等比数列，则实数a =（ ）A. 1B. 3C. 5D. 9【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质可知231a=⨯，计算结果.【详解】1，3，a成等比数列，231a∴=⨯，解得：9a=.故选：D 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题型. 4. 一组数据3，4，4，4，5，6的众数为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】【分析】根据众数的定义，直接求众数. 【详解】众数是一组数据中出现次数最多的数据，4出现了3次，是出现最多的数字，所以这组数据中的众数是4.故选：B【点睛】本题考查众数，属于基础题型.5. 如图，在正方形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A.14B.12C.34D. 1【答案】A【解析】【分析】利用几何概型的概率公式可知，黄豆落到阴影部分的概率为三角形的面积与正方形的面积之比．【详解】由图象可知，阴影部分面积占了正方形面积的四分之一， 由几何概型的概率公式可得：14P =，故选：A【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，只要正确的选择事件的测度（长度，面积，体积），利用测度比求概率即可，属于基础题．6. 函数cos y x =的最小正周期为（ ） A. 2π B. π C. 32π D. 2π【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的性质可得函数的最小正周期．【详解】函数cos y x =的最小正周期为：2π故选：D【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．7. 函数12y x =-的定义域为（ ） A. (),2-∞B. ()2,+∞C. ()(),22,-∞+∞D. R【答案】C【解析】【分析】若函数有意义，则分母不为0，可得函数的定义域．【详解】20,2x x -≠∴≠， 故选：C【点睛】本题考查具体函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．8. 不等式240x y +-≤表示的平面区域是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出直线240x y +-=，利用特殊点确定出不等式表示的平面区域即可．【详解】取点()0,0代入不等式，可得40-≤，即()0,0在平面区域内，阴影部分应为直线240x y +-=的左下方，故选：A【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．9. 已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ）A. －2B. －1C. 0D. 1【答案】D【解析】【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.10. 化简MN NP QP +-=（ ）A. MPB. NQC. MQD. PM【答案】C【解析】【分析】根据向量加减法直接计算.【详解】MN NP QP MP PQ MQ +-=+=.故选：C【点睛】本题考查向量加减运算，属于基础题型.11. 不等式()()023x x +-<的解集是（ ） A. {2x x <-或}3x > B. {}23x x -<< C. 1123x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D. 12x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求得结果.【详解】不等式()()023x x +-<得23x -<<，故选：B.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属基础题.12. 化简()tan πα+=（ ）A. sin αB. cos αC. sin α-D.tan α【答案】D【解析】【分析】切化弦后利用诱导公式变形，然后再弦化切得出结论． 【详解】sin()sin tan()tan cos()cos πααπααπαα+-+===+-，故选：D ．【点睛】本题考查诱导公式，实际上利用同角间的三角函数关系式可得正切的诱导公式：tan()tan k παα+=，tan()tan k παα-=-，k Z ∈．13. 下列函数中，在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 3y x =-B. 2y x =C. 2y xD. 2x y =【答案】B【解析】【分析】 根据解析式的特征，区分函数类型，直接判断函数的单调性.【详解】A.3y x =-在R 上单调递增，所以不正确； B.2y x =在()0,∞+上单调递减，所以正确； C.2y x 是开口向上的抛物线，对称轴是0x =，所以在()0,∞+单调递增，故不正确；D.2x y =中，21>，所以函数在R 上单调递增，故不正确.故选：B 【点睛】本题考查判断函数单调性，属于基础题型.14. 已知0.54a =，24b =，4log 0.5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b << 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数单调性判a,b,利用对数单调性判断c【详解】4x y =单调递增，故0.504a <=24b <=，44log 0.5log 10c =<= 故c a b <<故选：C【点睛】本题考查指数函数与对数函数的单调性，比较大小经常与中间值0作比较，是基础题15. 函数21,2,log ,2x y x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 利用分段函数的解析式结合函数图象逐一检验即可．【详解】由题意，当2x <，即22x -<<时，1y =，排除选项B ；当2x ≥时，2log y x =，排除C 和D ；故选：A【点睛】本题考查函数图象的应用，考查分段函数，考查学生数形结合能力，属于基础题．二、填空题16. 已知向量()0,2a →=，则2a →=______．【答案】()0,4【解析】【分析】利用平面向量的坐标数乘公式计算得出答案．【详解】()()0,2,20,4a a →→=∴=，故答案为：()0,4【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查学生计算能力，属于基础题．17. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入的x 的值为－4，则输出相应的y 的值是______．【答案】－4【解析】【分析】根据程序框图的运行过程，可得出该程序运行后输出的y 值．【详解】输入的x 的值为－4,0,4x y <∴=-，输出的y 值为－4，故答案为：－4【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，按题意正确写出得到的y 的值是解题的关键，属于基础题．18. 函数()2f x x x =+的零点个数为______．【答案】2【解析】【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令20x x +=，解得：0x =或1x =-，函数的零点个数就是方程20x x +=的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.19. 在△ABC 中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC ＝ . 3【解析】222222cos 12212cos 603,3AC AB BC AB BC B AC =+-⋅=+-⨯⨯⨯=∴=20. 函数y=x+1x ，x ＞0的最小值是_____． 【答案】2【解析】【分析】 由题意，注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式，即可求得函数的最小值． 【详解】由题意，因为0x >，所以y=x+1122x x x≥=，当且仅当x=1 取等号． 故函数y=x+1x ，x ＞0的最小值是2． 故答案为2．【点睛】本题主要考查了函数的最值问题，以及基本不等式的应用，其中解答中注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题21. 已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的终边上任取点(),P x y ，它与原点的距离220r x y =+>，定义：sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．如图，()2,2P 为角α终边上一点．（1）求sin α，cos α的值；（2）求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）2sin α=，2cos α=；（2）1．【解析】 【分析】 （1）由题意可知2r ，根据三角函数的定义，直接计算结果； （2）根据两角和的正弦公式展开，根据（1）的结果代入求值.【详解】解：（1）依题意：()()22222r =+=，所以2sin α=，2cos α=． （2）由（1）知sin sin cos cos sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 222212222=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查三角函数定义的简单应用，两角和的正弦公式，属于基础题型.22. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且3AD =，2PD CD ==．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）若,E F 分别是棱,PC AB 中点，则EF 与平面PAD 的位置关系是______，在下面三个选项中选取一个正确的序号填写在横线上，并说明理由．①EF ⊂平面PAD ；②//EF 平面PAD ；③EF 与平面PAD 相交．【答案】（1）4；（2）②，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据四棱锥体积公式直接计算；（2）首先判断//EF 平面PAD ，要证明线面平行，需证明线线平行，取PD 的中点G ，连接GA，GE．根据条件证明四边形AFEG是平行四边形. 【详解】（1）因为PD⊥平面ABCD，所以112324 33ABCDV S PD=⨯⨯=⨯⨯⨯=矩形．（2）②，理由如下：取PD的中点G，连接GA，GE．因为,E G分别为PC，PD的中点，所以GE DC，12GE DC=．因为F为AB的中点，所以12AF AB=，又矩形ABCD中，AB DC，且AB DC=，所以GE AF，且GE AF=，所以四边形AFEG是平行四边形．所以EF GA．又EF⊄平面PAD，GA⊂平面PAD，所以//EF平面PAD．【点睛】本题考查证明线面平行，几何体的体积，重点考查逻辑推理，空间想象能力，计算能力，属于基础题型.23. 如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．（1）求第六排的座位数；（2）某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？（提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多） 【答案】（1）19；（2）95． 【解析】 【分析】（1）构造等差数列，写出首项及公差，利用等差数列通项公式求得结果； （2）构造等差数列，利用等差数列求和求得结果.【详解】解：（1）依题意，得每排的座位数会构成等差数列{}n a ，其中首项19a =，公差2d =，所以第六排的座位数()616119a a d =+-=．（2）因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人， 第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{}n b ， 首项15b =，公差1d '=，所以数列前10项和10110910952S b d ⨯'=+⨯=． 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等差数列求和，属中档题. 24. 已知圆C 的方程为()()22215x y -+-=． （1）写出圆心C 的坐标与半径长；（2）若直线l 过点()0,1P ，试判断与圆C 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长5r =（2）相交，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程写出圆心与半径；（2）先设出直线方程，和圆的方程联立，利用韦达定理判断出结论.【详解】解：（1）圆心C 的坐标为()2,1，半径长r = （2）当直线l 垂直于x 轴时，直线方程为0x =，与圆有2个交点； 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+， 将1y kx =+代入()()22215x y -+-=整理，得()221410kxx +--=，因为210k +≠，且()216410k ∆=++>恒成立，所以直线l 与圆C 相交．综上所述，直线l 与圆C 相交．【点睛】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系，属基础题.25. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到零件数i x （单位：件）与加工时间i y （单位：小时）的部分数据，整理如下表：根据表中的数据： （1）求3x 和4y 的值； （2）画出散点图；（3）求回归方程y bx a =+；并预测，加工100件零件所需要的时间是多少？ 【答案】（1）330x =，481y =；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的合计数据可得所求值. （2）根据表格中的数据可直接画出散点图.（3）由表格中数据计算,x ，y ，得到样本中心点，由公式计算出b ，将样本中心点代入直线方程可求得a ，从而得到回归方程，将100x =代入回归方程中可得所需时间. 【详解】（1）依题意可得：330x =，481y =．（2）散点图如图：（3）由表格数据计算得150305x ==，375755y ==． 1222111920530756700.6755005301000ni ii ni i x y nx yb x nx==-⋅-⨯⨯====-⨯-∑∑，750.673054.9a y bx =-=-⨯=，所求的回归方程为：0.6754.9y x =+．当100x =时，0.6710054.9121.9y =⨯+=（小时）． 所以加工100件零件所需要的时间约为121.9小时．【点睛】本题考查散点图，考查线性回归方程的求法和应用，属于基础题.。