苏州大学历年高等代数真题

2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。

2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。

3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。

４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-K 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴+Q +1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。

2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=Q(),A n r R A r A ⨯=∴Q 是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯Q -2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==-则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>． 故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n AA α-≠Q 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=K ．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=K ．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====K ．21,,,,n A A A αααα-∴K 线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-K (＝21,,,,)n A A A αααα-K (0000100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭KK K K K ． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K K K ， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L L L L ，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L 都是n n ⨯矩阵。

解矩阵方程AX B =。

2．（20分）设143253442A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，A 是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C ，使得1C AC -是一个对角矩阵。

3．（10分）设,,,k m r s 都是非负整数。

设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。

证明：()f x 整除()g x 。

4．（10分）设A ，B 都是n n ⨯矩阵，G 是n m ⨯矩阵，并且G 的秩是n 。

证明：如果AG BG =，则A B =。

5．（10分）设A 是n n ⨯矩阵，并且A 是可逆的。

证明：如果A 与1A -的所有的元素都是整数，则A 的行列式是-1或1。

6．（10分）设A 是n n ⨯反对称矩阵，证明：2A -是半正定的。

7．（15分）设A 是n n ⨯矩阵。

如果2n A E =，并且()n A E -的秩是r ，A 是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。

8．（10分）设V 是有理数域¤上的线性空间，V 的维数是n ，A 与B 是V 的线性变换。

其中B 可对角化，并且AB BA A -=。

证明：存在正整数m ，使得m A 是零变换。

2003年真题2004年真题2004年真题答案111115'10112101021350101021252353120110111102122210210110112101521010213501031010102X X X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭一(）求满足下列条件的解；1101021102411511222-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭15∂∂1212i 12二（‘）设P 是一个数域，p （x)是P[x]中次数大于0的多项式，证明：如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。

证明：假设p(x)是可约多项式，则存在p (x),p (x)使得p(x)=p (x)p (x),且（p (x))<(p(x)),i=1,2取f(x)=p (x),g(x)=p (x),因此f(x)g(x)=p(x)则p(x)|f(x)g(x)但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！所以p(x)是不可约多项式21112112510{|}200()()000{|}P n V V V V σσσσασαασστσστσττσασασασασασασαασασσασααβσ-----==-∈=⊕∀∈-==-∈⇒⊇-∈∈三（’）设是数域上的维向量空间的一个线性变换，，证明：（）（）（）（）（）(V)(3)如果是V 的线性变换，（），(V)都是的不变子空间，则有=证明：（1）V,则(（）)=()-()-则（）（）（）（）又取1211111120()0,{|}0{|}0{|}2,0000V V V V V σβββσββασαασασαασασαααασασαασασασσσσβσσσβαβσαβσασασσασ-------==-⇒∈-∈⇒⊆-∈=-∈∀∈-∈-∈++∈⋂∀∈==（）,（）（）（）（）所以（）（）（）则（）（）=（）+（）（）(V)即V=（）(V)任取（）(V)，则()=0，使得()从而()=()=（()）=(1111100000V βσσσσσστασβσγγαβταστβσσταστβτβστγστγσταβστατβστβτβσασββτσγ-----⋂=⊕∀∈∈∈∈∈==)=0所以（）(V)={0}因此（）(V)（3）因为（），(V)是的不变子空间（），(V)，V ，且=+（）（），（）(V)，（（））=0，（（））=（）（）（（））=（（+））=（（）+（））=（（））=（）()=0，()=（）τσγτσαβτσασβτβστγτσγσττσ⇒=（（））=（（+））=（（）+()）=（）从而（）=（）11212120,s s s i i σασλααασλααααασλαασααλααααα==+=i+1i i+1i i+1i i+112s i 四（20）设是数域P 上的向量空间V 的一个线性变换，是属于特征值的特征向量，向量组，，……满足关系（-E ）=，i=1，2 ?… s-1,其中E 是恒等变换证明：，， ?… 线性无关证明：因为（-E ）=所以（），i=1，2 ?… s-1设k + k + ?… + k 即 k 1121111111111111111120()0()()0,00,0,ss s i i s s i i i i s s si i i i i i s i i s So σααασασαλααλαλααααααα-+=--+==-===-===+=⇒++=⇒+==⇒=∑∑∑∑∑∑∑∑12s 1i+11i+1i+1i i+1i i+123s-1k + k + ?… + k k k i=1，2 ?… s-1k k k k k 由于 k k k + k + ?… + k 1212111211120()00000000s s s s σααααααααααααααα-=======⇒====23s-134s-2s s 12s-1s-1s-112s k + k + ?… + k 重复上述过程可得k + k + ?… + k 继续重复上述过程，我们有k ，因为显然不为，所以k 从而我们有k + k + ?… + k 再继续上面步骤，可得k k 由归纳法得k k ?… + k 因此，，…… 线性无关21,231,212(20),122224242||0122224(2)(7)02422,72(0,1,1),(2,0,1)E A λλλλλλξξ-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭-=---=-+=-==-===222123123121323五用正交线性替换三元二次型f(x ,x ,x )=x -2x -2x -4x x +4x x +8x x 为标准型并给出所用的正交线性替换.解:设A 为二次型矩阵,A=令即对应于的特征向量为对31122211132221237(1,2,2)(0,1,1)()11(2,,)(,)22(1,2,2)02111221122200020007)()''227C C AC X CYCY A CY Y C ACY y y y λξααξαξαααα=-=-=-=-=-=-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪'= ⎪⎪-⎝⎭=''==+-3123应于的特征向量为正交化令从而令从而令则f(x ,x ,x )=X AX=(****(15),,()()1,1()()1,()()1,0,0A B n r A r B n n r A r B n so r r because AA A E BB B E A B ==->==-======⇒******六设为两个阶方阵其中齐次线性方程组AX=0与BX=0同解,证明:A 的非零列与B 的非零列的非零列成比例,其中A ,B 分别是A,B 的伴随矩阵.证明:since A B 的列向量是AX=0的解,的列向量是BX=0的解For,AX=0与BX αβαβ⇒**=0同解设是A 的非零列,是B 的非零列=k,,((),)(,()),:(,())((),)(0,)0()()...............................................(1),(),(V V V and V σταβσαβατβστασσαατβσαββατστβτβ⊥⊥⊥∈=∀∈⇒===⇒∈⇒⊆∀∈⇒七(15)设,是n 维欧式空间V 的线性变换,对任意都有证明的核等于的值域的正交补证明:ker , so,()=0ker ,())0((),)(,())0()0()....................................................................(2)(1)(2)()V According and WeCanSeeV τβσβββτβσββστστσ⊥⊥=⇒==⇒=⇒∈⇒⊆=ker ,ker ker12112211111112(15)(1),(),()[]((),())1(),(),,,0,0,0.:(1),0()0()()()()0(2),(M P n n f x g x P x f x g x A f M B g M W W W ABX AX BX c W W A f M AB f M g M g M f M W W W W W Wbecause αααααααα>∈======∀∈∈=⇒=⇒===⇒∈⇒⊆⊆⇒+⊆12八设是数域上的阶方阵且分别是方程组的解空间,证明:证明同样W W (),())1,,(),()[]()()()()1()()()(),0,0,()0,()0(()()()())0{0}(3)sin ,,dim()dim(),{0}dim(f x g x so u x v x P x u x f x v x g x u M f M v M g M E A B f M g M u M f M v M g M E ce W so W Also αααααααα=∃∈+=⇒+=∀∈⋂==⇒==⇒+=⇒=⇒⋂=+⊆+≤⋂=⇒12121212121W W W W W W W W W W W )dim()dim()dim()dim()dim()....................................................(1),()()()dim()dim()dim()dim()dim()dim().........................W Still r A r B n r AB n n n n W W +=+⇒+≤+≤+⇒-+-≤+-⇒+≥212121212W W W W W W W W W ...........................(2),(1)(2),dim()dim()dim(){0}{0}From and W +=⋂=⇒⋂=121212W W also,W W W W1(10),..........(,(1,2..........)(())()(n V n i n στστστσσστσστλσαλατασταστατσα-⇒===2i i i i i i i i 九设是数域P 上的n 维线性空间,,是V 的线性变换,有n 个互异的特征值,证明:与可交换的充分必要条件是:是E,,的线性组合,其中E 是恒等变换.证明:因为=,设是的个互异的特征值,是属于的特征向量则也是的特征向量事实上对于每个有222(((((),)1,(1,2..........),(),(1,2..........),.........),..........),.....i i i n n V V i n u V u u i n λλτσατλαλταταλατταλλσααααααλτααα∈==∃∈==⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O i i i i i i i i i i i 1211n 1)=))=)=)从而由于互异,所以dim(故也是的特征向量)从而使于是有(((2111),.........)1121212 (1)..............................................n n n n n u u u n n n x x x u x x x u x x x u αααλλλλλλλ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭++=++=++=O 121n (考虑方程组111222n n n由于系数行列式（）{11211121121121()0(1.........,(1,2..........)..................n n i j i i j nn n n n i in i n i i a a u i n a a u a a λλλλλλλλλλλλααεσασατα--≤<≤---=-≠'++==++=++∏L L L L L L L112n n 12n i i i i i i 互异）则方程组有唯一解，设为（a ,a ......a )则a 即（a ）得（a （）（））=（）由于12121,.................,..........n n i n i n V a a ααατεσασατσσσ--++12是的一组基，因此=a （）（）所以是E,,的线性组合2005年真题1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?2、（20分）设A=。