泰勒公式

R2m
(
x)
。
R2m (x)
x2m2 cos(x (2m 2)!
2m2 ) 2
，(
0
1)
。
（3） f (x) ln(1 x)
解： f (k)(x)(1)k1(k 1)!(1 x)k （k 1, 2, 3,, n1 ）， f (k)(o)(1)k1(k 1)!，（k 1, 2, 3,, n ），
∴
x0
2 (cos
x
e
x2
)
s
in
x
2
lim
x0
8 x2[ 3x2
o(x2 )]
2
lim
x0
1 x4 o(x4) 8 3 x4 o(x4) 2
lim
x0
1 8
o(x4 x4
)
3 2
o(x4 x4
)
1 12
。
3．用于证明等式或证明不等式
带拉格朗日余项的泰勒公式常来用证明与中间 值相联的不等式，其关键是注意泰勒公式中展开 点 x 的 选择，通常选已知区间的端点，中间点或 函数的极值点和导数为零的点。这类题的特点是 已知函数可导的阶数较高（二阶以上），同时还有 若干个已知函数值或导数值。
（1） lim [x x2 ln(1 1)]
x
x
解：令u 1 ，当x 时，u 0 。 x
lim [
x
x
x
2
ln(1
1 x
)]
lim [
u0
1 u
1 u2
ln(1u)]
lim
u0
u
ln(1u) u2
lim
u
[u
u2 2
0(u 2 )]
lim [1
0(u 2 )]
1
u0
u2
u0 2 u 2
Rn (x)
f
( x) [
f
(x )
f
(x )( x x )
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)n
],
Rn (x) 称为余项。
Rn(x) f (x) Pn(x) 在(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数，且
Rn (x ) 0 ，Rn (x ) 0 ，Rn(x ) 0 ，…， Rn(n) (x ) 0 。
§2.7 泰勒公式
2.7.1 泰勒（Taylor）定理 背景：如何用一个多项式表示函数f (x) ？
若函数 y f (x) 在点x 可导，则有 f (x) f (x ) f (x )( x x )o(x x ) ， 令 P1(x) f (x ) f (x )( x x ) ， 故在点x 附近有 f (x) P1(x) ，即 f (x) f (x ) f (x )( x x ) ，且 f (x) P1 (x) o(x x ) 。
(x )(x )(n) (x )0 ，
对 Rn (x)与(x) 在以x 及 x 为端点的区间上应用柯西 定理，得
Rn (x) Rn (x) Rn (x ) Rn (1) (x) (x)(x ) (1)
（ 1 在 x 与 x 之间）
再对 Rn (x) 与(x) 在以 x 及 1 为端点的区间上 应用柯西定理，得
在上式中令x 0, 1 ，得
f (0)
f (c)
f (c)(0 c)
f
(1 2
)
(0
c)
2
，0
1
c
，①
f (1)
f (c)
f (c)(1 c)
f
(2 2
)
(1
c)
2
，c
2
1
，②
∵ f (0) f (1) 0 ，
∴②-①得：
f
(c)
1[ 2
f
(1)c2
f
(2)(1 c)2] ，
∴
；
皮亚诺型余项是：Rn(x)o(xn) ；
拉格朗日型余项是： Rn (x)
f (n1) () xn1 ( 在 0 与 x (n 1)!
之间).
或 Rn (x)
f (n1) (x) xn1 (0 1 ). (n1)!
例 1．求下列函数的 n 阶 麦克劳林公式。
（1） f (x) e x
解：∵ f (k) (x) ex ， ( k 0, 1, 2, , n 1) ，
∴ (1 x)n 1 nx n(n1) x 2 n(n1)(n2)1 x n
2!
n!
即为二项式公式。
2.7.3 泰勒公式应用举例
1．用于近似计算
例2. 应用八阶泰勒公式计算e 的近似值，并估计误差。
解：ex 1 x x2 x3 x8 ex x9，(0 1)。
2! 3!
8! 9!
（2）当 x 0 时，⑦式成为
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n1) () xn1
2!
n!
(n1)!
（ 在 0 与 x 之间 ）
此公式称为 f (x) 的麦克劳林（Maclaurin ）公式。
（3）若 f (n1) (x) 在(a,b) 内有界，则当 f (x) Pn (x) 时，
例 4．设 f (x) 在[0,1] 上二阶可导，且 f (0) f (1) 0 ，
f (x) A ，试证： f (c) A ，c [0,1] 。 2
证明：设c [0,1] ， f (x) 在x c 的一阶泰勒公式为
f (x) f (c) f (c)(x c) f () (x c)2 ， 在 x 与 c 之间 。 2!
∴ f (k) (0) 1， ( k 0, 1, 2, , n ) ，
故 ex 1 x x2 x3 xn e x xn1(0 1)
2! 3!
n ! (n 1) !
（2） f (x) sin x
∵ f (n) (x) sin(x n ) ， 2
∴ f (0) 0 ， f (0) 1 ， f (0) 0 ， f (0) 1， f (4) (0) 0 ，
由洛必达法则知
lim
xx
Rn (x) (x x )n
lim
xx
Rn (x) n(x x )n1
lim Rn(n) (x) Rn(n) (x ) 0
xx n!
n!
故当 x x 时， Rn (x)o((xx )n ) .
④
Rn (x) 的表达式④称为皮亚诺型余项。
故
f
(x)
f
(x )
f
(x )(x x )
f
( x)
f
(x )
f
(x )(x x )
f
( x 2!
)
(
x
x
)2
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)n
f (n1) () (n 1) !
(
x
x
)n1
⑦
（ 在x 与x 之间）.
⑦式称为 f (x) 的带拉格朗日型余项的泰勒公式。
注：（1）当n 0 时，⑦式成为
f (x) f (x ) f ()( x x ) ,( 在 x 与 x 之间). 此即为拉格朗日中值公式。
等等，它们顺序循环地取四个数 0，1，0，-1，
令n2m ，得
∴
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
(1)m1
x2m1 (2m1)!
R2m
(x)
，
R2m
( x)
x2m1 sin(x (2m1)!
2m1) 2
，(
0
1)
。
类似可得
c
osx
1
x2 2!
x4 4!
x6 6!
(1)m
x2m (2m)!
f
( x 2!
)
(
x
x
)
2
f
(
n) (x n!
)
(
x
x
)n
o((
x
x
)n
)
⑤
称 ⑤式为带皮亚诺型余项的泰勒公式。
皮亚诺型余项只给出了余项的定性的描述，因此无法进
行定量的估计，在实际计算中必须知道误差的数量，即在
x x 给定的情况下，误差有多大，这就需要其他形式的
泰勒公式余项。下面来推导较常用的拉格朗日型余项：
2
高阶无穷小之间的运算
（1）o(xm )o(xn ) o(xm ) （m n ）； （2）o(xm ).o(xn ) o(xmn ) ； （3） xm.o(xn ) o(xmn ) ； （4）ko(xn ) o(xn ) 。
x2 1 1 x2
（2）
lim
x0
2 (cos
x
e
x2
)
sin
x2
解： x2 1 1 x2 x2 1[1 x2 x4 o(x4 )]
Pn (n) (x) n!an .
把 x x 代入上列各式，再由②得
a0 f (x ) ，
a1 f (x ) ，
a2
f (x ) 2!
，
， an
f
(n) (x ) n!
。
∴
Pn (x)
f
(x )
f
( x
)(x x )
f
(x ) 2!
(x x )2
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)
n
③
多项式③称为 f (x) 在 x x 的 n 阶泰勒多项式。 记 Rn (x) f (x) Pn (x) ，即
2
2
28
x4 o(x4 ) ，
8
cos xe x2
[1
x2
o( x 2
)][1 x2
o(x2 )]
2
3x2 o(x2 ) ， 2
注意：有限个 o(x k )(k 0) 的代数和仍为o(xk ) 。
不要犯o(xk )o(xk ) 0 这样的错误。
x2 1 1 x2
x4 o(x4)
∴
lim
Rn (1) (1)
Rn (1) Rn (x ) (1)(x )
Rn(2 ) (2 )
.
( 2
在
1
与
x
之间)
…，经过(n1) 次后，得
Rn (x) Rn(n1) () ， (x) (n1)!
( 在 n 与 x 之间，因而也在x 与 x 之间). 注意到 Rn(n1) (x) f (n1) (x) （因 P(n1) (x) 0 ），则由上式得
f (k) (0) ( 1)( 2)( k 1) ， （k 1, 2, 3,, n ），
∴ (1 x) 1x (1) x2 (1)(2)(n1) xn
2!
n!
( 1)( (n1)!(1
2)( x) n1
n)
xn1 ，（0
1
）。
特别地，当 n ，nN 时，
∵ f (n1) (x) 0 ，∴ Rn (x) 0 ，
Rn (x)
f (n1) () (n1) !
(
x
x
)
n1
（
在
x与
x
之间）。
Rn (x)
f
( x) [
f
(x )
f
(x )( x x )
f
(
n) (x n!
)
(
x
x
)n
]
令(x) (x x )n1
由假设可知 Rn (x) 在(a,b) 内具有直到(n 1)阶 导数，且 Rn (x ) Rn (x ) R(n)n (x ) 0 ，
其误差的估计式为
Rn (x)
f
(n1) () (n 1)!
(
x
x
)
n1
M (n 1)!
x x
n1 ，
其中 M max f (n1) (x) 。
x(a, b)
2.7.2 几个初等函数的麦克劳林公式
函数 f (x) 的麦克劳林公式是：
f
( x)
f
(0)
f
Leabharlann Baidu
(0) x
f
(n) (0) n!
xn Rn (x)
f (c)
1 2
f (1)c2
f (2 )(1 c)2
1[ 2
f (1)c2
f (2)(1 c)2 ]
1[ 2
f (1) c2
f (2) (1 c)2]
A [c2 (1 c)2] A .
2
2
例 5．设在(a,b) 内， f (x) 0 ，证明：x1, x2 (a,b) ，
取 x 1，则 e 11 1 1 1 e (0 1)。
2! 3!
8! 9!
若e 11 1 1 1 ，
2! 3!
8!
则产生的误差为 R8 (1)
e 9!
e 9!
3 8.27106 9!
105，
故 e 11 1 1 1 2.71828.
2! 3!
8!
2．用于求某些极限
例 3．求下列极限
P1(x) 的特点是 P1(x ) f (x ), P1(x ) f (x ) ，
提出问题：若 f (x) 在(a,b) 内具有n 1阶 导数，
x (a,b) ，能否用一个关于(x x ) 的多项式 Pn (x) a a1(x x ) a2 (x x )2 an (x x )n ① 来近似表达 f (x) ，要求 f (x) Pn (x) o(( x x )n ). 假设 Pn (x ) f (x ), Pn(x ) f (x ), , Pn(n) (x ) f (n) (x ) ②
ln(1
x)
x
x2 2
x3 3
x4 4
(1) n1
xn n
Rn
(x)
，
其中 Rn (x) (1)n
x n1 (n 1)(1 x) n1
，( 0
1)
.
（4） f (x) (1 x) .
解： f (k) (x) ( 1)( 2)( k 1)(1 x)k ， （k 1, 2, 3,, n1 ），
由① Pn (x) a a1(x x ) a2 (x x )2 an (x x )n 得 Pn (x) a1 2a2 (x x ) 3a3 (x x )2 nan (x x )n1 ，
Pn (x) 2 1a2 3 2a3 (x x ) n(n 1)an (x x )n2 ，
Rn (x)
f (n1) () (n1) !
(
x
x
)
n1
.(
在
x
与 x 之间)
⑥
或 Rn (x)
f
(n1)
(x (x (n1) !
x
)) ( x x
)n1
，(0
1)
。
泰勒中值定理
设函数 f (x) 在(a, b) 内具有直到(n1) 阶的导数，
x (a, b) ，则对任意 x(a,b) ，有