泰勒公式
泰勒公式通式
泰勒公式通式常用的泰勒公式：e^x=1+x+x^2/2+x。
泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
相关内容解释：函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B 和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，常用的泰勒公式如下所示：1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)4、cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)5、arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)6、arccos x = π- ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……) (|x|<1)7、arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)8、sh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)9、ch x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)10、arcsh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - ……(|x|<1)11、arcth x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)扩展资料泰勒公式介绍：泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
泰勒公式
一、泰勒公式
x − sin x lim x→0 x3
x − f ( x) x − ( x + x3 + x5 ) lim = lim 3 x →0 x →0 x x3
在 3.1 节微分中， 已知
若 f ( x ) 在 x 0 可导，有
(1)
f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
(a )
x (4)
= a x (ln a ) 4
a (ln a ) 4 r4 ( x ) = x 4!
ξ
4
(ξ 在 0 与 x 之间)
(2) 注意求哪一点处的泰勒公式．
例如求 e 在 x = 1 处带皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式．
x
e = e⋅e
x
x −1
1 1 2 n n = e 1 + ( x − 1) + ( x − 1) + " + ( x − 1) + o ( x − 1) 2! n!
f
(k )
( x) =
( −1)
k −1
( k − 1)!
k
(1 + x )
f
(k )
(0) = ( −1)
k −1
( k − 1)!
ln(1 + x ) = x −
1 2 1 3 n n −1 1 n x + x − " + ( −1) x + o( x ) n 2 3
( 5)
f ( x ) = (1 + x )µ
或 f ( x) ≈ P( x)
泰勒数公式
泰勒数公式泰勒数（Taylor number）公式在流体力学中可是个相当重要的概念哦。
咱们先来了解一下泰勒数公式到底是啥。
简单说，泰勒数（Ta）的公式是：Ta = ω² R³ ν⁻¹，这里面的ω 是旋转角速度，R 是旋转半径，ν 是运动粘度。
举个例子来说，就像我们搅拌一杯咖啡的时候。
当我们用勺子快速搅拌，这时候勺子转动的速度就相当于ω ，勺子到杯子中心的距离就是 R 。
而咖啡本身的粘稠程度，就类似ν 。
如果我们搅拌得特别快，ω 增大，泰勒数也就跟着变大，这时候咖啡里就会形成各种奇妙的漩涡和流动模式。
在实际的工业应用中，泰勒数公式也有着重要的作用。
比如说在石油化工领域，那些大型的搅拌反应釜里，要想让里面的物质充分混合反应，就得好好研究泰勒数。
通过控制搅拌的速度和容器的尺寸，来调整泰勒数，从而达到最佳的反应效果。
还记得我有一次去工厂参观，看到那些巨大的反应釜正在工作。
工程师们就一直在讨论着泰勒数的问题，他们根据公式计算出最合适的参数，以确保生产的高效和稳定。
当时我就在旁边听着，虽然很多专业术语不太懂，但能感觉到他们对这个泰勒数公式的重视和依赖。
再比如说，在一些航空航天的领域，飞机发动机里的燃油流动，也得考虑泰勒数。
如果泰勒数不合适，可能就会影响燃油的燃烧效率，甚至会带来一些安全隐患。
回到我们的日常生活中，其实也能发现泰勒数公式的影子。
比如洗衣机洗衣服的时候，洗衣机内筒的旋转速度、内筒的大小以及水和洗衣液的混合特性，都与泰勒数有着千丝万缕的联系。
学习泰勒数公式，可不仅仅是为了应付考试或者在工作中使用。
它让我们更加深入地理解这个世界中各种流动和旋转现象背后的规律。
当我们明白了这些规律，就能更好地去创造、去改进，让我们的生活变得更加美好。
总之，泰勒数公式虽然看起来有点复杂，但它却隐藏在我们生活和工作的方方面面，等待着我们去发现和运用。
希望大家在学习和研究的过程中，能真正感受到它的魅力和价值！。
泰勒常用公式
泰勒常用公式泰勒常用公式的基本形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是函数在点x处的值，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数的值，f''(a)是函数在点a处的二阶导数的值，f'''(a)是函数在点a处的三阶导数的值，以此类推。
在这个无穷级数中，每一项都是函数在点a处的导数与自变量x与a之差的幂的乘积，再除以相应的阶乘。
泰勒常用公式的本质是将一个函数在某一点附近的局部行为用一个无穷级数来逼近。
通过考虑足够多的项，我们可以得到一个非常接近原函数的近似值。
这对于计算机科学中的数值计算非常有用，因为我们可以用有限的项来计算一个函数的值，而不需要进行复杂的数学运算。
泰勒常用公式的应用非常广泛。
在物理学中，我们经常需要对物理现象进行建模和计算。
通过使用泰勒常用公式，我们可以将一个复杂的物理过程用一个简单的数学函数来表示，从而更方便地进行计算和分析。
在工程学中，泰勒常用公式可以用于设计和优化各种工程系统。
在计算机科学中，泰勒常用公式可以用于图像处理、机器学习等领域，从而提高计算的效率和准确性。
泰勒常用公式的应用还有一些限制。
首先，它只适用于光滑的函数，也就是可以无限次求导的函数。
对于一些不光滑的函数，如阶梯函数或绝对值函数，泰勒常用公式并不适用。
其次，泰勒常用公式只在某一点的附近有效，对于整个定义域来说并不一定准确，特别是在函数的极值点附近。
此外，泰勒常用公式在计算中也存在误差累积的问题，随着项数的增加，误差也会逐渐累积，因此需要在实际应用中进行适当的调整和控制。
总结起来，泰勒常用公式是一个非常重要的数学工具，用于将一个函数在某一点的附近用无穷级数来表示。
它的应用广泛，可以用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
常用泰勒公式展开
常用泰勒公式展开泰勒公式是数学中的一种展开方法，它可以将一个函数在某一点的邻域内用无穷级数表示。
这种展开方法常用于近似计算和数值分析中。
本文将介绍常用的泰勒公式展开，并探讨其应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是函数f(x)在点a处的一阶、二阶、三阶导数。
二、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式的一个重要应用是进行近似计算。
通过将一个复杂的函数用泰勒公式展开，可以将其转化为一个简单的多项式函数，从而方便进行计算。
例如，我们可以用泰勒公式展开sin(x)，得到以下近似公式：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个公式可以用来计算较小的角度下的sin值，而不需要使用复杂的三角函数表或计算器。
类似地，我们还可以用泰勒公式展开cos(x)、e^x等函数进行近似计算。
2. 极值点和拐点的判断通过泰勒公式展开，我们可以判断一个函数的极值点和拐点。
对于一个函数f(x)，如果在某一点a处，f'(a)=0且f''(a)>0，那么a就是f(x)的一个极小值点；如果f''(a)<0，那么a就是f(x)的一个极大值点。
类似地，如果f'''(a)=0且f''''(a)>0，那么a就是f(x)的一个拐点。
通过泰勒公式展开并计算导数，我们可以得到函数在某一点处的导数值，从而判断函数的极值点和拐点，进一步分析函数的性质。
3. 函数的逼近和插值泰勒公式展开还可以用于函数的逼近和插值。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(-∞<x<∞)4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|这是写在纸上的八个常见的泰勒公式，泰勒公式是等号而不是等价，这就使所有函数转化为幂函数，在利用高阶无穷小被低阶吸收的原理，可以秒杀大部分极限题.常见的泰勒公式泰勒公式:就是用多项式函数去逼近光滑函数.简单来讲，1.泰勒公式能把任意一元方程展开为多项式，方便了计算2.能逼近地计算某些方程的值泰勒级数的重要性体现在以下三个方面:首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易.第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行.第三，泰勒f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2++f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n(泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。
在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了。
泰勒展开常用公式
泰勒展开常用公式泰勒展开式是数学中一种重要的近似计算方法，它通过在某一区间内对函数进行无穷级数展开，从而实现对函数值的精确计算。
泰勒展开式的基本公式如下：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! + f"""(a)(x-a)^3/3! + ...+f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，f(x) 表示待求函数，a 表示泰勒级数展开的中心点，f"(a)、f""(a) 等表示函数f 在a 点的一阶、二阶导数，R_n(x) 是余项，表示级数展开的精度。
泰勒级数的收敛性是泰勒展开式应用的基础。
当级数收敛时，表明级数中的各项在极限意义下趋于一个定值，从而可以利用级数的前几项来近似表示函数值。
泰勒级数的收敛性与函数在展开点附近的行为密切相关，如函数的连续性、导数的零点等。
下面我们通过一个实例来演示泰勒展开式的应用。
假设我们要计算函数f(x) = e^x 在x=1 处的值。
首先，根据泰勒展开式，我们可以得到：f(1) = e^1 = 1 + 0.5 * 1 + 0.5 * 0.5 * 1^2 + 0.5 * 0.5 * 0.5 * 1^3 + ...通过计算可知，泰勒级数的前几项分别为：1, 1.5, 1.75, 1.875，...，随着项数的增加，级数的值逐渐逼近e^1 = 2.71828。
泰勒展开式在实际问题中具有广泛的应用，如在数值分析、工程计算、物理学等领域。
通过泰勒展开式，我们可以将复杂的函数值问题转化为简单的线性方程组求解，从而降低问题的难度。
同时，泰勒展开式还可以用于分析函数的性质，如函数的极值、拐点等。
总之，泰勒展开式作为一种有效的近似计算方法，在数学和实际问题中具有重要意义。
泰勒公式简介
泰勒公式（Taylor's Theorem）是微积分中一个重要的定理，它描述了一个函数在某一点附近的局部近似。
泰勒公式的一般形式如下：
如果函数f(x)f(x)在x=ax=a处具有nn阶导数，那么在该点附近的泰勒展开式为：
其中：
f(a)f(a) 是函数在点x=ax=a处的函数值。
f'(a)f′(a) 是函数在点x=a处的一阶导数。
f''(a)f′′(a) 是函数在点x=a处的二阶导数。
f'''(a)f′′′(a) 是函数在点x=a处的三阶导数。
f(n)(a)f (n)(a) 是函数在点x=a处的第n阶导数。
这个展开式允许我们将一个复杂的函数在某一点近似为一个多项式，这在数学分析、工程、物理学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
特别是在数值计算中，泰勒公式可以用来构建数值逼近方法，以便在计算机上近似复杂函数的值。
泰勒公式表达式
泰勒公式表达式
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)。
高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) 。
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 。
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]。
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tan θ=sinθ·secθ。
相关信息：
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例，拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
14世纪，玛达瓦发现了一些特殊函数，包括正弦、余弦、正切、反正切等三角函数的泰勒级数。
17世纪，詹姆斯·格雷果里同样继续着这方面的研究，并且发表了若干麦克劳林级数。
直到1712年，英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒提出了一个通用的方法，这就是为人们所熟知的泰勒级数；爱丁堡大学的科林·麦克劳林教授发现了泰勒级数的特例，
称为麦克劳林级数。
泰勒公式
泰勒公式百科名片泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
目录公式定义证明1.麦克劳林展开式2.麦克劳林展开式的应用泰勒展开式1.原理2.余项泰勒简介1.简介公式定义泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。
）证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。
设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。
常用十个泰勒展开公式
常用十个泰勒展开公式1. e^x的泰勒展开公式：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + + x^n/n! +其中，n!表示n的阶乘。
2. sinx的泰勒展开公式：sinx = x x^3/3! + x^5/5! x^7/7! + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1)! +其中，n为正整数。
3. cosx的泰勒展开公式：cosx = 1 x^2/2! + x^4/4! x^6/6! + + (1)^n x^(2n)/(2n)! +其中，n为正整数。
4. ln(1+x)的泰勒展开公式：ln(1+x) = x x^2/2 + x^3/3 x^4/4 + + (1)^(n1) x^n/n +其中，n为正整数。
5. (1+x)^a的泰勒展开公式：(1+x)^a = 1 + ax + a(a1)x^2/2! + a(a1)(a2)x^3/3! + +a(a1)(a2)(an+1)x^n/n! +其中，n为正整数，a为实数。
6. 1/(1x)的泰勒展开公式：1/(1x) = 1 + x + x^2 + x^3 + + x^n +其中，n为正整数。
7. sqrt(1+x)的泰勒展开公式：sqrt(1+x) = 1 + 1/2x 1/8x^2 + 1/16x^3 + (1)^(n1) (2n3)!! x^n/(2n)!! +其中，n为正整数，!!表示双阶乘。
8. arctanx的泰勒展开公式：arctanx = x x^3/3 + x^5/5 x^7/7 + + (1)^(n1)x^(2n1)/(2n1) +其中，n为正整数。
9. 1/sqrt(1x^2)的泰勒展开公式：1/sqrt(1x^2) = 1 + 1/2x^2 + 3/8x^4 + 5/16x^6 + +(2n1)/2^n x^(2n) +其中，n为正整数。
10. 1/(1+x^2)的泰勒展开公式：1/(1+x^2) = 1 x^2 + x^4 x^6 + + (1)^n x^(2n) +其中，n为正整数。
几个常用的泰勒公式展开式
几个常用的泰勒公式展开式泰勒公式是数学中的一个重要的公式，可用于将一个光滑函数在其中一点的邻域中展开成无穷级数的形式。
常用的泰勒公式展开有以下几种：1.常函数展开：设函数f(x)=c，其中c为常数，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+0(x-a)+0(x-a)²+...2.指数函数展开：设函数f(x)=eˣ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...3. 正弦函数展开：设函数f(x) = sin(x) ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!-...4. 余弦函数展开：设函数f(x) = cos(x) ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!-...5. 对数函数展开：设函数f(x) = ln(x) ，则在任意一点a的邻域内，f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)²/2+f'''(a)(x-a)³/3-...以上是几个常用函数的泰勒公式展开式。
这些展开式可以用于近似计算，特别是在无法直接计算函数值时，可通过泰勒展开来近似计算。
通过不断增加展开项的数量，可以提高计算的精度。
同时，泰勒展开还在物理学、工程学和数学中有着广泛的应用。
【泰勒展开】常见泰勒公式大全
【泰勒展开】常见泰勒公式大全几个常见的泰勒公式(x\rightarrow0) ：sinx = x -\frac{x^3}{6} +o(x^3)\qquad \qquad \quad \ \ arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\qquad \quad arccosx=? [1]tanx = x +\frac{x^3}{3}+o(x^3)\qquad \qquad \quad \ arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)(1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2)另外\begin{align} &对于 (1+x)^{\alpha}=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) \\&\text{当}\alpha =\frac{1}{2}\text{，则}\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o\left( x^2 \right) \\ &\text{当}\alpha =\frac{1}{3}\text{，则}\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+o\left( x^2 \right) \end{align}习题中常见(x \rightarrow 0) ：\begin{align} tanx - sinx &= \frac{1}{2}x^3+o(x^3)\\ x - sinx &= \frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ arcsinx - x &=\frac{1}{6}x^3+o(x^3)\\ tanx - x &=\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ x-arctanx&=\frac{1}{3}x^3+o(x^3) \end{align}即有\begin{align*} tanx - sinx &\sim \frac{1}{2}x^3\\ x - sinx &\sim \frac{1}{6}x^3\\ arcsinx - x &\sim\frac{1}{6}x^3\\ tanx - x &\sim \frac{1}{3}x^3\\ x-arctanx &\sim\frac{1}{3}x^3 \end{align*}还可以得到(x\rightarrow0) ：\begin{align} x-\ln \left( 1+x \right) \,&\sim\frac{x^2}{2} \\ e^x-1-x\,&\sim \frac{x^2}{2} \\ 1-\cos ^ax\ &\sim \frac{ax^2}{2} \\ f\left( x \right)^{g\left( x \right)}-1 &\sim g\left( x \right)\left[ f\left( x \right) -1 \right] \qquad \left( 当f\left( x \right) \rightarrow 1\text{且}f\left( x\right) ^{g\left( x \right)}\rightarrow 1 \right)\end{align}注：上述四结论来自：有时还会用到\left( 1+x \right) ^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e}{2}x+\frac{11e}{24}{x^2}+o\left( x^2 \right) [2]一般地\begin{align} e^{x}&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!} x^{n}+\cdots \\ \ sinx&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3 !} +\frac{x^{5}}{5!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !} x^{2 n+1}+\cdots\\ \ cos x&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n) !}x^{2 n}=1-\frac{x^{2}}{2!} +\frac{x^{4}}{4!} -\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n}+\cdots \\ \ ln(1+x)&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1}+\cdots, x \in(-1,1] \\ \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \frac{1}{1+x} &= \sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} = 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n} x^{n}+\cdots, x\in(-1,1) \\ (1+x)^{\alpha} &= 1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n} = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2 !}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \ldots(\alpha-n+1)}{n !} x^{n}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \arctan x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2\pi+1} = x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}+\cdots, x \in[-1,1] \\ \end{align}{\LARGE \begin{align} \arcsin x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(2 n!)x^{2n+1}}{4^{n}(n !)^{2}(2n+1)} = x+\frac{1}{6} x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}+\frac{5}{112} x^{7}+\frac{35}{1152}x^{2}+\cdots+\frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n+1)}x^{2 n+1}+\cdots, x \in(-1,1) \\ \tan x &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2 n) !} x^{2n-1} = x+\frac{1}{3} x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315} x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925} x^{11}+\frac{21844}{6081075} x^{13}+\frac{929569}{} x^{15}+\cdots ,x \in(-1,1) \\ \sec x &= \sum_{\pi = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n} x^{2 n}}{(2 n) !} = 1+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{5}{24} x^{4}+\frac{61}{720} x^{6}+\cdots, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\\ \csc x &=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2\left(2^{2\mathrm{n}-1}-1\right) B_{2n}}{(2 n) !} x^{2 x-1} =\frac{1}{x}+\frac{1}{6} x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120} x^{5}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440} x^{2}+\frac{1414477}{}x^{11}+\cdots, x \in(0, \pi)\\ \cot x &= \sum_{n =0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2 n) !}x^{2 n-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{3} x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945} x^{5}-\cdots, x \in(0, \pi)\end{align}}相关链接：1.^利用arccosx = pi/2 - arcsinx即可得出。
泰勒公式常用展开式
泰勒公式常用展开式泰勒公式是数学中常用的工具，用于将一个函数在某个点附近展开成无穷级数的形式。
这个级数称为泰勒级数，而泰勒公式则是计算泰勒级数的方法之一。
泰勒公式的一般形式可以表示为：$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + cdots$$其中，$f(a)$表示函数在点$a$处的函数值，$f'(a)$表示函数在点$a$处的一阶导数值，$f''(a)$表示函数在点$a$处的二阶导数值，依此类推。
$(x-a)$表示$x$与$a$之间的差值。
泰勒公式的展开系数可以通过函数在给定点处的导数值来确定。
如果已知$f(x)$在点$a$的$n$阶导数存在，那么泰勒公式的展开式实际上是一个$n$次多项式。
泰勒公式的展开式在数学和物理学中有着广泛的应用。
通过使用泰勒公式，我们可以近似计算函数在某个点附近的值，尤其是当函数难以直接计算时。
此外，通过截取泰勒级数的有限项，我们可以得到一个多项式函数，这个多项式函数可以在点$a$的附近代替原函数进行计算，从而简化问题的求解过程。
虽然泰勒公式在一般情况下是无限级数，但在实际应用中，通常只需要考虑前几项即可达到所需的精度。
因为随着项数的增加，展开式中的高阶导数会越来越小，所以高阶项对于整个级数的贡献逐渐减弱。
需要注意的是，泰勒公式只适用于那些具有足够光滑性质的函数，即在展开点附近具有足够次数的导数存在和连续性。
对于不满足这些条件的函数，泰勒公式可能会引入较大的误差，因此在使用泰勒公式进行近似计算时需要谨慎。
总的来说，泰勒公式是一种非常实用的数学工具，通过将函数展开为无穷级数的形式，可以简化复杂的计算过程，并且在数学和物理学中有着广泛的应用。
泰勒展开的公式及定义
泰勒展开的公式及定义泰勒展开是一种把一个函数在一些点附近用多项式逼近的方法。
它的公式如下所示：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x-a)^3 + \ldots +\frac{{f^{(n)}(a)}}{{n!}}(x-a)^n \]其中，f(x)是要逼近的函数，f'(x)是函数的一阶导数，f''(x)是函数的二阶导数，f'''(x)是函数的三阶导数，以此类推，f^(n)(x)是函数的n阶导数。
而a是逼近点，也是展开的基准点。
假设我们想要在点a附近用一个一次多项式逼近函数f(x)，我们可以使用泰勒展开来实现。
根据公式，我们可以得到如下的一次逼近多项式：\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) \]这个逼近多项式看起来很简单，它只是在点a处的函数值，加上a点处的一阶导数乘以x-a。
如果我们想要更高阶的逼近多项式，我们可以继续进行展开。
\[ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 \]同样，对于更高阶的逼近，我们可以使用更多的泰勒展开项来逼近函数f(x)。
然而，需要注意的是，泰勒展开只在基准点附近有效。
当我们远离基准点时，泰勒展开的逼近结果可能会变得不准确。
此外，对于一些函数，例如有界函数或者周期函数，泰勒展开可能无法有效逼近函数的全局行为。
为了解决这些问题，可以使用其他的多项式逼近方法，或者在泰勒展开上进行改进，例如使用拉格朗日插值或者牛顿插值等方法。
总结起来，泰勒展开是一种通过使用多项式来逼近函数的方法。
通过展开函数在一些点附近的多项式，我们可以用多项式来近似函数。
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取 x 1，则 e 11 1 1 1 e (0 1)。
2! 3!
8! 9!
若e 11 1 1 1 ，
2! 3!
8!
则产生的误差为 R8 (1)
e 9!
e 9!
3 8.27106 9!
105，
故 e 11 1 1 1 2.71828.
2! 3!
8!
2．用于求某些极限
例 3．求下列极限
等等，它们顺序循环地取四个数 0，1，0，-1，
令n2m ，得
∴
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
(1)m1
x2m1 (2m1)!
R2m
(x)
，
R2m
( x)
x2m1 sin(x (2m1)!
2m1) 2
，(
0
1)
。
类似可得
c
osx
1
x2 2!
x4 4!
x6 6!
(1)m
x2m (2m)!
f
( x)
f
(x )
f
(x )(x x )
f
( x 2!
)
(
x
x
)2
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)n
f (n1) () (n 1) !
(
x
x
)n1
⑦
（ 在x 与x 之间）.
⑦式称为 f (x) 的带拉格朗日型余项的泰勒公式。
注：（1）当n 0 时，⑦式成为
f (x) f (x ) f ()( x x ) ,( 在 x 与 x 之间). 此即为拉格朗日中值公式。
R2m
(
x)
。
R2m (x)
x2m2 cos(x (2m 2)!
2m2 ) 2
，(
0
1)
。
（3） f (x) ln(1 x)
解： f (k)(x)(1)k1(k 1)!(1 x)k （k 1, 2, 3,, n1 ）， f (k)(o)(1)k1(k 1)!，（k 1, 2, 3,, n ），
∴
∴ (1 x)n 1 nx n(n1) x 2 n(n1)(n2)1 x n
2!
n!
即为二项式公式。
2.7.3 泰勒公式应用举例
1．用于近似计算
例2. 应用八阶泰勒公式计算e 的近似值，并估计误差。
解：ex 1 x x2 x3 x8 ex x9，(0 1)。
2! 3!
8! 9!
在上式中令x 0, 1 ，得
f (0)
f (c)
f (c)(0 c) 源自f(1 2)
(0
c)
2
，0
1
c
，①
f (1)
f (c)
f (c)(1 c)
f
(2 2
)
(1
c)
2
，c
2
1
，②
∵ f (0) f (1) 0 ，
∴②-①得：
f
(c)
1[ 2
f
(1)c2
f
(2)(1 c)2] ，
∴
（2）当 x 0 时，⑦式成为
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn f (n1) () xn1
2!
n!
(n1)!
（ 在 0 与 x 之间 ）
此公式称为 f (x) 的麦克劳林（Maclaurin ）公式。
（3）若 f (n1) (x) 在(a,b) 内有界，则当 f (x) Pn (x) 时，
x0
2 (cos
x
e
x2
)
s
in
x
2
lim
x0
8 x2[ 3x2
o(x2 )]
2
lim
x0
1 x4 o(x4) 8 3 x4 o(x4) 2
lim
x0
1 8
o(x4 x4
)
3 2
o(x4 x4
)
1 12
。
3．用于证明等式或证明不等式
带拉格朗日余项的泰勒公式常来用证明与中间 值相联的不等式，其关键是注意泰勒公式中展开 点 x 的 选择，通常选已知区间的端点，中间点或 函数的极值点和导数为零的点。这类题的特点是 已知函数可导的阶数较高（二阶以上），同时还有 若干个已知函数值或导数值。
f (k) (0) ( 1)( 2)( k 1) ， （k 1, 2, 3,, n ），
∴ (1 x) 1x (1) x2 (1)(2)(n1) xn
2!
n!
( 1)( (n1)!(1
2)( x) n1
n)
xn1 ，（0
1
）。
特别地，当 n ，nN 时，
∵ f (n1) (x) 0 ，∴ Rn (x) 0 ，
；
皮亚诺型余项是：Rn(x)o(xn) ；
拉格朗日型余项是： Rn (x)
f (n1) () xn1 ( 在 0 与 x (n 1)!
之间).
或 Rn (x)
f (n1) (x) xn1 (0 1 ). (n1)!
例 1．求下列函数的 n 阶 麦克劳林公式。
（1） f (x) e x
解：∵ f (k) (x) ex ， ( k 0, 1, 2, , n 1) ，
(x )(x )(n) (x )0 ，
对 Rn (x)与(x) 在以x 及 x 为端点的区间上应用柯西 定理，得
Rn (x) Rn (x) Rn (x ) Rn (1) (x) (x)(x ) (1)
（ 1 在 x 与 x 之间）
再对 Rn (x) 与(x) 在以 x 及 1 为端点的区间上 应用柯西定理，得
f (c)
1 2
f (1)c2
f (2 )(1 c)2
1[ 2
f (1)c2
f (2)(1 c)2 ]
1[ 2
f (1) c2
f (2) (1 c)2]
A [c2 (1 c)2] A .
2
2
例 5．设在(a,b) 内， f (x) 0 ，证明：x1, x2 (a,b) ，
例 4．设 f (x) 在[0,1] 上二阶可导，且 f (0) f (1) 0 ，
f (x) A ，试证： f (c) A ，c [0,1] 。 2
证明：设c [0,1] ， f (x) 在x c 的一阶泰勒公式为
f (x) f (c) f (c)(x c) f () (x c)2 ， 在 x 与 c 之间 。 2!
2
高阶无穷小之间的运算
（1）o(xm )o(xn ) o(xm ) （m n ）； （2）o(xm ).o(xn ) o(xmn ) ； （3） xm.o(xn ) o(xmn ) ； （4）ko(xn ) o(xn ) 。
x2 1 1 x2
（2）
lim
x0
2 (cos
x
e
x2
)
sin
x2
解： x2 1 1 x2 x2 1[1 x2 x4 o(x4 )]
Rn (x)
f
( x) [
f
(x )
f
(x )( x x )
f
(n) (x n!
)
(
x
x
)n
],
Rn (x) 称为余项。
Rn(x) f (x) Pn(x) 在(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数，且
Rn (x ) 0 ，Rn (x ) 0 ，Rn(x ) 0 ，…， Rn(n) (x ) 0 。
其误差的估计式为
Rn (x)
f
(n1) () (n 1)!
(
x
x
)
n1
M (n 1)!
x x
n1 ，
其中 M max f (n1) (x) 。
x(a, b)
2.7.2 几个初等函数的麦克劳林公式
函数 f (x) 的麦克劳林公式是：
f
( x)
f
(0)
f
(0) x
f
(n) (0) n!
xn Rn (x)
∴ f (k) (0) 1， ( k 0, 1, 2, , n ) ，
故 ex 1 x x2 x3 xn e x xn1(0 1)
2! 3!
n ! (n 1) !
（2） f (x) sin x
∵ f (n) (x) sin(x n ) ， 2
∴ f (0) 0 ， f (0) 1 ， f (0) 0 ， f (0) 1， f (4) (0) 0 ，
f
( x 2!
)
(
x
x
)
2
f
(
n) (x n!
)
(
x
x
)n
o((
x
x
)n
)
⑤
称 ⑤式为带皮亚诺型余项的泰勒公式。
皮亚诺型余项只给出了余项的定性的描述，因此无法进
行定量的估计，在实际计算中必须知道误差的数量，即在
x x 给定的情况下，误差有多大，这就需要其他形式的
泰勒公式余项。下面来推导较常用的拉格朗日型余项：
2
2
28
x4 o(x4 ) ，
8
cos xe x2
[1
x2
o( x 2
)][1 x2
o(x2 )]
2
3x2 o(x2 ) ， 2
注意：有限个 o(x k )(k 0) 的代数和仍为o(xk ) 。
不要犯o(xk )o(xk ) 0 这样的错误。
x2 1 1 x2
x4 o(x4)