等差数列前n项和性质ppt课件

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等差数列前n项和公式课件

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6
例1 如图,一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层多一支, 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔?
解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅
笔,且自下而上各层的铅笔数成等差数列,记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式,得
120 (1120)
S120
2
7 260
答:V形架上共放着 7 260支铅笔。
7
例2 等差数列 10,6,2,2,…前多少项的和是54?
解:设题中的等差数列为{an},前n项和是 Sn,
则a1= 10,d= 6(10) 4,设 Sn=54, 根据等差数列前 n项和公式,得
10n n(n 1) 4 54 n2 6n 27 0
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
这个问题,可看成是求等差数列 1,2,3,…, n,…的前100项的和。
3
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
2
问题1:1+2+3+…+100=?

4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)

4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)
最小值时n的值为(
A.5

B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析 由 7a5+5a9=0,得 d =- 3 .
又a9>a5,所以d>0,a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y=2x +a1-2x 的图象的对称轴为 x=2- d =2+ 3 = 6 ,


取最接近的整数 6,故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列{ an }的首项为a1,项数
是n,第n项为an,求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距
10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________米.
解析 假设20位同学是1号到20号依次排列,
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,
由①+②,得
2Sn (a1 an)+(a1 an)+(a1 an)+...+(a1 an)
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式:
n(a1 an )
Sn
不含d

4.2.2等差数列的前n项和公式的性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式的性质课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

12
3
4
S9 6 S12 10
探究新知
三、等差数列前n项和的性质
Sn ,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和.
性质2 : ① a1 an Sn ; b1 bn Tn
析 : Sn
n(a1 an ) , 2
Tn
n(b1 bn ) 2
② ak S2k 1 . bk T2k 1
析 : ak 2ak a1 a2k1 S2k1 . bk 2bk b1 b2k 1 T2k 1
解 :当n 2时,an Sn Sn1 4n2 n 3 [4(n 1)2 (n 1) 3] 8n 3
当n 1时, a1 S1 4 1 3 8 81 3,
数列{an}的通项公式为an
8, n 1 8n 3, n
2
探究新知
三、等差数列前n项和的性质
Sn为等差数列{an }的前n项和. 性质1: Sk , S2k Sk , S3k S2k ,成等差数列(k Z ) a1 ak , ak1 a2k , a2k1 a3k ,

联立①②解得a1 4,d 6.
前n项和Sn
4n
n(n
1) 6 2
3n 2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题讲授
[例1]若等差数列{an }的前10项和为310, 前20项和为1220,
求该数列的前n项和Sn .
(法2)解 :
S10
(a1
a10 ) 10 2
310,
a1
a10
62,

S20
(a1
a20 ) 20 2
②等差中项法:an1 an1 2an (n 2) {an}为等差数列
③通项法:an pn q( p, q为常数) {an}为等差数列

等差数列前n项求和ppt

等差数列前n项求和ppt

公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和,其中首项为 a1,公差为d,项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成,反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项, 公差d表示相邻两项的差,项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列,其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合,其中任意两个相邻项的差都等于一个常数,这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d,其中 a_n 是第 n 项,a_1 是第一项,d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质,将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值,再利用等差数列的通项公式, 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式,将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2,同样利用等差数列的通 项公式,推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时,等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价,以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中,等差数列求和公式可用于计算工资 总额,以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中,等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模,例如在解决一 些实际问题时,可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ,从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中,有些物理量呈等差数列 分布,例如光的波长、音阶的频率等 ,等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中,有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ,例如在求解一些物理问题的近似解 时,可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中,有些投资组合的收益 呈等差数列分布,例如定期存款、基 金定投等,等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn,其中S表示总和 ,n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n,前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人:可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

等差数列前n项和PPT优秀课件

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n 个 2 S ( a a ) ( a a ) ( a a ) n 1 n 1 n 1 n
n ( a a ) 1 n
n ( a 1 a n) S n 2
等差数列的前n项和公式的其它形式
n ( a 1 a n) S n 2 n ( n 1 ) S na d n 1 2
解: 由题意 , m 是 7 的倍数 , 且 0 m 100 .
练习1.
课 堂 小 练
1. 根据下列条件,求相应的等差数列
a n 的 S
( 1 ) a 5 , a 95 , n 10 ; 1 n
( 2 ) a 100 , d 2 , n 50 ; 1
n
练习2.
解得: n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2
M m |m 7 n ,n N , 且 m 100 例3. 求集合
的元素个数 , 并求这些元素的和 .
将它们从小到大排列得 : ,7 7 0,7 1, 7 2, 7 , 14 , 21 , , 98 . 14 .即 共有 15 个元素 , 构成一个等差数列 ,记为 a , n 15 ( 0 98 ) a 0 , a 98 S 1 15 735 15 2 答 : 集合 M 共有 15 个元素 , 和等于 735 .
= 7260 120 = (1 + 120 ) · 2
120 (a1 a120) · 2
(三)构建数学:猜测
问题 1: 问题 2: S120=1+2+ · · · · · ·+12 0 120
(a1 a120 )· 2

4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件ppt

4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和课件ppt

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,

3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析 设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案:16;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有4a + 6d = 12,解得a+d=2,所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案:42;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 10d = 25,解得a+d=5, 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案:25;解析:设等差数列的首项为a,公 差为d,根据题意有5a + 20d = 80,解得a+4d=8,
第二题答案:18;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有3a + 3d = 15,解得a+d=5,所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案:30;解析:设等差数列的首项为a,公差为d,根据题意有5a + 45d = 200,解得a+d=5,所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式,而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁,而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系,可以用于求解某些特定 问题。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

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实例
总结词
等差数列的实例包括正整数序列、负数序列、斐波那契数列等。
详细描述
正整数序列1, 2, 3, ...是一个等差数列,其中首项a=1,公差d=1;负数序列-1, 2, -3, ...也是一个等差数列,其中首项a=-1,公差d=-1;斐波那契数列0, 1, 1, 2, 3, 5, ...也是一个等差数列,其中首项a=0,公差d=1。
01
求等差数列3, 6, 9, ..., 3n的前n项和。
进阶习题2
02
求等差数列-2, -4, -6, ..., -2n的前n项和。
进阶习题3
03
求等差数列5, 10, 15, ..., 5n的前n项和。
高阶习题
1 2
Байду номын сангаас
高阶习题1
求等差数列-3, -6, -9, ..., -3n的前n项和。
高阶习题2
总结词
等差数列是一种特殊的数列,其 中任意两个相邻项的差是一个常 数。
详细描述
等差数列通常表示为“an”,其 中a是首项,n是项数,d是公差 (任意两个相邻项的差)。
性质
总结词
等差数列的性质包括对称性、递增性、递减性等。
详细描述
等差数列的对称性是指任意一项与它的对称项相等,即a_n=a_(n+2m),其中 m是整数;递增性是指如果公差d>0,则数列是递增的;递减性是指如果公差 d<0,则数列是递减的。
PART 04
等差数列前n项和的变式 与拓展
REPORTING
变式公式
01
02
03
04
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$

等差数列的前n项求和公式ppt课件

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由等差数列的性质 即
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+..
Sn=n(a1+an)/2
5
如果代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,Sn也可 以用首项a1和公差d表示,即 Sn=na1+n(n-1)d/2 所以,等差数列的前n项求和公式是
-------方程、函数思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个 -------知三求二
15
A组2、4、5
16
谢谢观赏
17
S
n

n a1 a n 2

S
n
n a1
n n 1 d 2
6
例题
例1
54?
等差数列-10,-6,-2, 2,…前多少项的和是
例2
已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前 20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3
求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素 个数, 并求这些元素的和.
8a 52 d n 2 14n nn 1 d S na d
a
n 1
13 d 0 d 0 2
2
2
解2: S3 S11
即 n=7
a1 0
由等差数列构成的函数图象,可知 n=(3+11)/2=7时,Sn最大
12
an 例8.等差数列 的前项n和S n,且a3 12 ,S12 0, S13 0

等差数列的前n项和公式的性质ppt课件

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可编辑课件
22
『变式探究』
1.数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an+1+an=0,n∈N*. (1)求数列{an}的通项; (2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn.
解析:(1)由an+2-2an+1+an=0得,2an+1=an+an+2,
所以数列{an}是等差数列,d= a 4 a 1 = -2,
Sna 1a 2a 5(a 6a 7a n) (a 1a 2a 3a n)2 (a 1a 2a 5)
n 9n40 Sn=2-25+9·5+n-52+2 2n-10=n2-9n+40.
由①,②可得
Sn=-n2-n2+9n+9n,40,
1≤n≤5 n≥6
可编辑课件
,n∈N*.
24
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可编辑课件
25
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Sn Tn
7n 2 n3
,则
a5 b5
65 12
.
可编辑课件
13
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn,且
An Bn
7n 45,则使得 n3
a b
n n
为整数的正整数n的
个数是( D )
A.2
B.3
C.4
D.5
可编辑课件
14
【题型分类 深度剖析】
题型1:等差数列前n项和性质的简单应用
一般地若数列abn那么数列a为等差数列那么是什么数列为等差数列即等差数列a项的平均值组成的数列仍然是等差数列且公差是数列aa0b2011201120112009200720092007知识探究二等差数列前n项和的性质思考1
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①若C=0,则数列{an}是等差数列; ②若C≠0,则数列{an}从第2项起是等差数列。
4
结论:
等差数列前n项和的最值问题有两种方法:
(1) 由
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1>0,d<0,前n项和有最大值. 可由an≥0,且an+1 < 0,求得n的值; 当a1<0,d>0,前n项和有最小值. 可由an≤0,且an+1 > 0,求得n的值. 5
3.等差数列前n项和的性质(2)
已知等差数列的前n项和Sn,如何求an ? 利用Sn与an的关系:
an
=
SS1n,
n
1 Sn1
,
n
2
6
二.巩固练习
1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, (1)求其通项公式an; (2)求Sn的最值。
2.在等差数列{an }中,a1 =25,S17 =S9 , 求Sn的最值。
等差数列前n项和性质
1
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式:
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)d Sn na1 2
2
2.等差数列前n项和的性质(1)
由Sn
na1
n(n
1)d 2
可化成
Sn
d 2
n2
(a1
d )n 2
当d≠0时,是一个常数项为零的二次式.
3
思考3:一般地,若数列{an}的前n和Sn=An2+Bn,那 么数列{an}是等差数列吗?若Sn=An2+Bn+C 呢? (1)数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn (2)数列{an} 的前n项和是Sn=An2+Bn+C ,则:
11
5.等差数列前n项和的性质(4) 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论:
S奇 S偶 S所有 1.当项数为2n(偶数)时:
(1)S偶
S奇
n • d (2)
S偶 S奇
an1 an
2.当项数为2n-1(奇数)时:
(1)S奇
S偶
an (an是中间项)(2)
S奇 S偶
n n 1
12
例2:已知等差数列{an}中,共有10项,S偶=15,S奇 =12.5, 求a1与d。 例3:已知等差数列{an}中,共有2n-1项,S奇 =290, S偶=261, 求项数与中间项。
1) (2) 2
n2
26n
(n 13)2
169
由二次函数的性质知,当n 13, (Sn )max 169
(法二)先求出d=-2(同法一)
Q
a1
25
0,由
an 25 (n 1) (2) an1 25 n (2) 0
0得
n n
13.5 12.5
当n 13, (Sn )max 169
13
例2:已知等差数列{an }中,共有10项,S偶 =15,S奇 =12.5, 求a1与d。
解 :Q 该等差数列的项数为10项,
S偶
S奇 =n
• d即15-12.5=5 • d,解得d
1 2
10 9 1
又Q S偶 S奇 S10即15 12.5 10a1
2 2
解得a1
1 2
a1
1 2
,d
1 2
14
例3:已知等差数列{an}中,共有2n-1项,S奇=290, S偶=261. 求项数与中间项。
解 :Q 该等差数列的项数为2n 1项, S奇 S偶 a中即 290 261 a中,a中 29 又Q S奇 n 即 290 n ,解得n 10
S偶 n 1 261 n 1 项数为210 1 19
9
4.等差数列前n项和的性质(3) 等差数列连续的k项之和也成等差数列。即 Sk,S2k -Sk,S3k -S2k,......也成等差数列。 (公差为k2 • d)
10
例1:在等差数列{an}中,S10 =10,S20 =40,求S30 课堂练习2:等差数列{an}中,若S2=2,S6 =24,求S4
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课堂练习:已知等差数列{an}中,共有2n+1项,S奇 =51, S偶 =42.5, a1 1,求项数及通项公式。
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1.已知数列{an}的前项和Sn =2n2 -23n, (1)求其通项公式an;
(2)求Sn的最值。
1.解:(1)由题意可知:
当n 2时,an Sn Sn1 2n2 23n [2(n 1)2 23(n 1)] 2n2 2(n 1)2 23n 23(n 1) 4n 25
当n 1时,a1 21 S1
an 4n 25(n N )
(2)Q
Sn
2n2
23n
2(n2
23 2
n)
2(n
23)2 4
529 8
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66

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2.解
:
(法一)由S17
=S9
,
得25
17
17
(17 2
1)
d
25 9 9 (9 1) d解得d 2 2
Sn
25n
n (n
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