数学建模-最优化理论

建模方法之最优化理论
生活何处不优化
最短路径优化 最省时间优化 管理科学优化 工程设计优化 市场调度优化 城市建设优化
建模真题之优化问题
1994年全国赛A题：逢山开路 1996年全国赛A题：最优捕鱼策略 2001年全国赛B题：公交车优化调度 2010年东三省A题：企业的营销管理问 题 据统计， 1992~2005 年全国赛28个赛题中有 2010年东三省 B题：周游全中国 关优化问题有19个，最优化方法是用的最多 的方法之一。
in F x 然后求 m 。
i 1
p

* i

2
如果对其中不同的目标重视程度不同，则 可采用加权的平方和作为评价函数，即求：
min F x x f i f i
x R i 1
p

k2 i

i 为加权系数，可按各目标被重视的程 式中， 度给出。
4.乘除法
x , f x , , f x 设有 p 个目标 f 。式中，有k 1 2 p x , f x , , f x 个要求极小值，例如设 f ，而余 1 2 k x , f x , , f x 下f 的要求其极大值，并假 k 1 k 2 p 定f 。这时，采用以 x , f x , , f x 0 k 1 k 2 p 下评价函数：
f xf x f x 1 2 k F x f x f x f x k 1 k 2 p
作为单目标问题求极小值。
5.分层序列法
将目标按重要性的次序分成最重要目标、 x , f x , , f x 次重要目标，如 f 。然后按 1 2 p 顺序将一个多目标规划问题转化为一系列单目 标优化问题来求解。
假设有n个城市， 最短路径的排 序为1~n，则可 以得到这样两 个矩阵。
线性规划模型
线性规划
又称线性最优化,当目标函数和约束条 件都是决策变量的线性函数时称为线性规划； 否则称为非线性规划。 一般形式
Max : ya x a a 1 1 2x 2 nx n ST :a x a x a b 0 ; 11 1 12 2 1 nx n 1 a x a x a b 0 ; 21 1 22 2 2 nx n 2 a x a a x b 0 ; n 1 1 n 2x 2 nn n n
基金使用优化模型
某公司有100 万元的资金可供投资（要求全部用 完 ) 。该公司有六个可选的投资项目，其各种数 据如表1－2所示。
投资项目 1 2 风险（%） 18 6 红利（%） 增长率（%） 4 5 22 7 信用度 4 10
3
4 5 6
10
4 12 8
9
7 6 8
12
8 15 8
2
10 4 6
p min f x f x p p

x R p 1

最后所求出的 x 为最优解。
p
线性加权法解多目标规划问题
某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车 有如下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方 案属性：维修期限f1(年)，每100升汽油所跑路程 f2(里)，最大载重f3(吨)，价格f4(万元)，可靠性f5， 灵敏性f6。这4种型号的卡车分别关于目标属性的 指标值fij如下表所示。
效益型指标 很低 1 很高 低 3 高 一般 5 一般 高 7 低 很高 9 很低 成本型指标
可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性
灵敏性
一般
5 高 7
低
3 一般 5
高
7 很高 9
很高
9 一般 5
按以下公式作无量纲的标准化处理
99 (fijfmax ) a 1 ij fmin fmax
该公司想达到的目标为：投资风险最小，每年红 利至少为6.5万元，最低平均增长率为12%，最 低平均信用度为7。请设计投资计划。
（1）决策变量
本问题的决策变量是在每种投资项目上的投 资 额 。 设 xi 为 项 目 i 的 投 资 额 （ 万 元 ） （i=1,2,,6）
（2）目标函数
本问题的目标为总投资风险最小，即
这是个典型的线性规划模型，为了解这个模型，我 们可以借助LINGO、MATLAB等软件或者直接用单纯形 法来解决。
多目标规划模型
在多指标的最优化问题背景下所建立起 来的数学规划问题即为多目标规划问题。 （多目标决策） 在实际问题中，可能会同 时考虑几个方面都达到最优，比如企业可能 会要求产量最高，成本最低，质量最好，利 润最大，环境达标，运输满足等。多目标规 划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系， 求得更切合实际要求的解。
多目标规划可以按照实际情况分主次， 轻重缓急来考虑问题。
多目标规划的解法
一、将多目标转化为单目标
优选法
线形加权法
平方和加权法
乘除法 分层序列法 二、直接用数学方法求非劣解
1.优选法（使主要目标优化兼顾其它目标）
的最优 x , f x , , f x 假定要求 p个目标 f 1 2 p 值，约束条件为 xR 。如果其中一个目标比较关 键，如 f1x希望它取极小值，使其他目标满足一 定条件，如使
M i n z 0 . 1 8 xx 0 . 0 6 0 . 1 0 x 0 . 0 4 x 0 . 1 2 x 0 . 0 8 x 1 2 3 4 5 6
（3）约束条件
本问题共有五个约束条件: ① 各项目投资总和为100万元; ② 每年红利至少为6.5万元;
③ 最低平均增长率为12%;
6
f5 34 1 67 100
f6 50.5 1 100 1
假设权系数向量为

w （ 0.2,0.1,0. 1,0.1,0.2, 0.3 ）
6
j1 6
j a 1 j 34 j a 2 j 40 . 6 j a 3 j 57 . 925 j a 4 j 40 . 27
其中：
f f f f max ij min ij max min
i
变换后的指标值矩阵为：
aij A1 A2 A3 A4
f1 1 100 1 40.6
f2 1 100 42.25 25.75
f3 67 1 100 67
f4 50.5 100 1 25.75
U ( A1 ) U (A2) U ( A3) U (A4)
④ 最低平均信用度为7;
⑤ 非负约束。
于是，可以建立线性规划数学模型：
M inz= 0 .1 8x .0 6x2 0 .1 0x .0 4x4 0 .1 2x .0 8x6 1 0 3 0 5 0 x2 x x4 x x6 1 0 0 x 1 3 5 0 .0 4x .0 5x2 0 .0 9x .0 7x4 0 .0 6x .0 8x6 6 .5 1 0 3 0 5 0 s.t. 0 .2 2x .0 7x2 0 .1 2x .0 8x4 0 .1 5x .0 8x6 1 2 1 0 3 0 5 0 4x 1 0x2 2x 0x4 4x 6x6 7 0 0 1 3 1 5 ， x2， x ， x4， x ， x6 0 1 3 5 x
解最优化问题的方法 最优化问题的求解方法一般可以分 成解析法、直接法、数值计算法和其他 方法 最优化理论的三大非经典算法：模 拟退火算法、神经网络算法、遗传算法
最优化模型基本要素
决策变量、目标函数和约束条件
（1）决策变量是问题中有待确定的未知 因素。 （2）目标函数是指对问题所追求的目标 的数学描述。

i 1 i j
n
i j
j
1 , 2 ,
x

{0 , 1 },
i ,
1 , 2 ,
问 题 类 别： 0-1 规 划 问
dij 距 离 0 d 12 d 13 d 1 n 矩 d 21 0 d 23 d 2 n 阵 D D： d n 1 d n 2 d n 3 元 0x ij 决 素 策 矩 0 1 0 0为 0 0 1 0 阵 X X ： 1 0 0 0元 素
一个商人拟到n个城市去推销商品，已知每 两个城市A i 和 A j 之间的距离为 d ij ，如何选择 一条道路，使得商人每个城市走一遍后回 到起点，且所走的路径最短。 这个问题称为旅行商问题(Traveling Salesman Problem)，简称TSP。
旅行商问题
我们应 该怎么 做？
最优化问题概述
Fx i fi x
i 1
i 1
p
然后使这个新的目标函数取极小值。这里的 权系数大小根据每个目标函数的相对重要性 来确定。
3.平方和加权法
首先确定各个目标 fi x 的希望目标值 f i ，
*
要求所有的目标值和相应的希望目标值尽可能 接近。此时采用下列评价函数：
xfi xf F
fij A1 A2 A3 A4 f1 2.0 2.5 2.0 2.2 f2 1500 2700 2000 1800 f3 4 3.6 4.2 4 f4 55 65 45 50 f5 一般 低 高 很高 f6 高 一般 很高 一般
首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行 标准化处理。先将定性指标定量化：
f f x f i i i
x R
'
i 2 , ,p
而把问题转化为单目标规ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ问题
min f x 1
R f f x f , i 2 , , p , x R 1 i i
2.线性加权法
x , f x , , f x 当p 个目标 f 都要 1 2 p 求最小时，可以给每个目标相应的权系 p 数i 0，且 i 1 ，构成新的目标函数