八年级数学-勾股定理的应用-北师大版=

【典型例题】

考点一：圆柱侧面上两点间的距离 例1：请阅读下列材料：

问题：如图，一圆柱的底面半径及高AB 均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线。小明设计了两条路线：

路线1：侧面展开图中的两端AC 。如下图（2）所示：

设路线1的长度为1l ，则

222222215(5)2525l AC AB BC ππ==+=+=+

路线2：高线AB + 底面直径BC 。如上图（1）所示：

设路线2的长度为2l ，则225)105()(222

2=+=+=AC AB l

222212252522525200l l ππ-=+-=-

225(8)0π=->

∴2

221l l > ∴21l l >

所以选择路线2较短。

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm”继续按前面的路线进行计算。请你帮小明完成下面的计算：

路线1：==22

1AC l ____________； 路线2：=+=22

2)(AC AB l __________ ∵2

221_____l l ∴ 21_____l l ( 填>或<)

所以应选择路线____________(填1或2)较短.

(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短。

【思路分析】本题是阅读理解题,题目信息量大,认真阅读从中找出做题的思想和方法,利用图形的展开与勾股定理进行求解．

解：(1)线路1: ==221AC l 2

25π+ 线路2:=+=22

2)(AC AB l 36 ∵2212l l < ∴ 12l l <( 填>或<) 所以应选择路线___1_(填1或2)较短. (2)线路1: ==22

1AC l 2

2

2

h r π+

线路2:=+=22

2)(AC AB l 2()h r +

22212(2)0l l r r h r π-=--<

∴ 12l l <( 填>或<)

所以应选择路线___1_(填1或2)较短.

方法与规律总结：学会正确应用勾股定理，解决实际应用问题,学会处理信息和收集信息的能力.

例2：如图，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识论证你的结论．

【思路分析】下滑前后梯子的长度是不变的.梯子滑动前后底端与墙底的距离用勾股定理可以求得. 解：是．

在Rt △ACB 中,BC=3,AB=5,AC 2=AB 2-BC 2=42,AC=4米，DC=4-1=3. 在Rt △DCE 中：

DC=3,DE=5, CE 2=DE 2-DC 2=42,CE=4米．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．

方法与规律: 学会画草图.画草图的过程实际就是将实际问题转化为数学问题的过程，即数学建模过程，利用直角三角形求线段长。

考点二：线段是否垂直的问题

例3：小月同学根据印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出的“荷花问题”编了一道“新荷花问题”：“平平湖水清可鉴，某处湖底生有莲，湖水深知3.75尺，面上红莲有半尺；忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远，恰露花朵在水面；此莲出泥而不染，是否亭亭立湖间？

【思路分析】首先要根据题意画出图形，构造成三角形，利用三角形的三边关系确定三角形是否是直角三角形，从而说明花是否与湖面垂直。

解：根据题意画图如下：

BD=0.5尺,BC=3.75尺,AC=BD+BC=0.5+3.75=4.25尺,AB=2尺.在△ABC 中,因为AB 2+BC 2=22+3.752=18.0625=4.252=AC 2,所以∠ABC=90°.因为水面是水平的,故荷花亭亭立于湖水中.

友情提示:本题的创新之处是以原材料为基础,创造出新的材料、新的背景，要判断荷花是否亭亭立，实际是判断CD ⊥AB 是否成立。

例4：如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B 修一条公路BD 直达AC.已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？

【思路分析】先利用勾股定理的逆定理确定此三角形是直角三角形，然后利用等积法求出直角三角形斜边上的高。 解：在△ABC 中，AB 2+BC 2＝52+122＝169＝132,AC 2＝132＝169,故AC 2＝AB 2+BC 2，可判定△ABC 是直角三角形。由面积关系,2121AB BC AC BD ⋅=⋅即13BD ＝12×5,解得BD ＝1360，即公路的最短距离BD=13

60

km ， ∴最低造价为120000元.

考点三：勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用

例5： 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,1.5小时后两船相距多远?

【思路分析】根据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解.

解：如下图,由题意知△AOB 为直角三角形,因为OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里).在Rt △AOB 中,由勾股定理得AB 2=OA 2+OB 2=242+182=576+324=900,所以AB=30海里。所以1.5小时后两船相距30海里。

友情提示：解决航行问题的关键是确定船的航行路线，理解方位角、灯塔等概念。在确定航行路线时，一般会碰到几何图形的形状，这其中的直角三角形是最常见的图形之一，要确定它，就需利用直角三角形的判定条件。

例6：如图，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落到点C ˊ处，BC ˊ交AD 于点E ，AD=8,AB=4,求△BED 的面积.

【思路分析】由于△BED 的面积=2

1

DE·AB,所以只要求出DE 的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE.在Rt △ABE 中,利用勾股定理列方程求出BE 的长.

解:因为四边形ABCD 是长方形,所以AD ∥BC,所以∠2=∠3,由折叠的过程知△BCD 与△BC ˊD 关于直线BD 对称,所以∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以BE=ED.设ED=x,则AE=AD-ED=8-x,