八年级数学-勾股定理的应用-北师大版=
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
典例精析 利用勾股定理的逆定理解答测量问题
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
12．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6米，当秋千荡到AB1的位置时，下端B1距静止位置的水平距离EB1等于2.4米，距地面1.4米，求秋千AB的长．
D
7．印度数学家什迦逻(1141年～1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．
解：如图，由题意知，AC＝2，AD＝0.5，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝22－0.52＝3.75.设湖水深BD为x尺，则BC为(x＋0.5)尺．在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2＋CD2＝BC2，即x2＋3.75＝(x＋0.5)2，解得x＝3.5.答：湖水深3.5尺
解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
新知二 利用勾股定理的逆定理解答实际问题
合作探究
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
2024北师大版数学八年级上册
2024北师大版数学八年级上册一、勾股定理。
1. 勾股定理。
- 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度为c，那么a^2+b^2=c^2。
- 例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，根据勾股定理，斜边c=√(3^2) + 4^{2}=√(9 + 16)=√(25) = 5。
2. 勾股定理的逆定理。
- 如果三角形的三边长a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 例如，三角形三边为5、12、13，因为5^2+12^2=25 + 144=169=13^2，所以这个三角形是直角三角形。
3. 勾股数。
- 满足a^2+b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数有（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17）等。
二、实数。
1. 无理数。
- 无限不循环小数叫做无理数。
例如√(2)、π等。
2. 平方根。
- 如果x^2=a，那么x叫做a的平方根，记作x=±√(a)(a≥slant0)。
例如，9的平方根是±3，因为(±3)^2=9。
3. 算术平方根。
- 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√(a)(a > 0)。
0的算术平方根是0。
4. 立方根。
- 如果x^3=a，那么x叫做a的立方根，记作x=sqrt[3]{a}。
例如，8的立方根是2，因为2^3=8。
5. 实数的运算。
- 实数包括有理数和无理数。
在进行实数运算时，有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用。
例如，√(2)+3√(2)=(1 + 3)√(2)=4√(2)。
三、位置与坐标。
1. 确定位置。
- 在平面内，确定一个物体的位置需要两个数据。
例如，用数对表示电影院里座位的位置。
2. 平面直角坐标系。
- 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为坐标原点O。
八年级数学勾股定理的应用北师大版
初二数学勾股定理的应用北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：勾股定理的应用1、圆柱侧面上两点间的距离2、两线段是否垂直3、勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用。
二、教学目标1、掌握利用勾股定理解决圆柱侧面上两点间的距离的方法。
2、能利用勾股定理的逆定理判断两条线段是否垂直。
3、会把勾股定理与方程思想结合起来解决相应的实际问题。
4、掌握利用勾股定理及数形结合思想解决物品安置问题。
三、知识要点分析1、圆柱侧面上两点间的距离问题（这是重点）平面内两点之间，线段最短，即两点之间的所有连线中，最短路线是两点之间的线段。
但对于立体图形如圆柱体来说，两点之间的连线绝大部分是曲线，而解决圆柱侧面上两点间的距离时，需将圆柱的侧面展开成一个长方形，构造直角三角形，利用勾股定理来求。
2、两线段是否垂直（这是重难点）判断两条线段是否垂直的方法较多，本节重点是利用直角三角形的判别条件来判断，即以已知两线段为边构造一个三角形。
根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题，解题时注意将实际问题转化为数学问题，将其中的数量关系归纳为直角三角形中各元素之间的关系。
3、勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用勾股定理与方程思想、数形结合思想相结合的实际问题比较多，例如航海问题、折叠问题、物品安置问题、测量问题等等，都需要把勾股定理运用到方程思想、数形结合思想中。
【典型例题】考点一：圆柱侧面上两点间的距离例1：请阅读下列材料：问题：如图，一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线。
小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的两端AC。
如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则222222215(5)2525l AC AB BC ππ==+=+=+路线2：高线AB + 底面直径BC 。
如上图（1）所示：设路线2的长度为2l ，则225)105()(2222=+=+=AC AB l 222212252522525200l l ππ-=+-=-225(8)0π=->∴2221l l > ∴21l l >所以选择路线2较短。
北师大版八年级上册数学课件.3.1 勾股定理的应用(共19张PPT)
•
怎样计算AB的长？
A’ r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AA’2 +A’B2 =AB2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
把空间几何图形转化为平面几何问题的步骤： 1.展开图形 2.找出对应点 3.应用勾股定理
二、利用勾股定理的逆定理判断线段垂直： 用刻度尺量出所构造的三角形的三边的长，看是
否满足两边的平方和等于第三边的平方，满足就有直 角（即线段垂直）。
当堂训练（10分钟）
1.课本第14页随堂练习1； 2 .课本第14页习题1.4的第1、2、4题。 3.课本第15页问题解决的第5题。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
勾股定理的应用课件北师大版八年级上册数学
3
勾股定理
勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问
题.
2.会将实际问题抽象成几何图形，构造直角三角形解题.
◎重点:知道用勾股定理及其逆定理解决生活实际问题.
小狗要吃到香肠，所走的最短路线应该是一条线段；A点的蚂
蚁要吃到B点的食物，该怎样走，路线才能最近呢？就让我们带
出未知线段长.
变式演练 如图，有一个底面周长为36 cm，高为24
cm的圆柱，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃
到上底面与点A相对的点B处的食物再返回到A点处休息，
请问它需爬行的最短路程约是多少？
解:如下图，将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开.
则AC＝24，BC＝×36＝18.
则AC＝24，BC＝×36＝18.
解:由图可得AA'＝30 cm，A'B'＝50 cm，B'C'=40cm.
△A'B'C'、△AA'C'都为直角三角形.由勾股定理，得A'C'2＝
A'B'2＋B'C'2.在直角△AA'C'中，AC'最长，则AC'2＝AA'2＋
A'B'2＋B'C'2＝302＋502 ＋402＝5000＞702.
故70 cm的木棒能放入长，宽，高分别为50 cm，40 cm，30
在学习知识点二时，可以让学生用一个长方体盒子实际操作一
下.
1.如图，这是一个底面圆周长为24 m，高为5 m的圆柱体，一
只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为 (
北师大版八年级上册 1.3 勾股定理应用 课件(共18张PPT)
(一)小对子或小组长组织组员合作学习以下两个内容， 要求交流解题思路或存在的疑难.
一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm， 一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短 的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？（自己动手试一试）
分析：长方体盒子的展开可有多种方式，但关键思考哪种 展开方式求得的蚂蚁爬行的路程是最短。
【内容二】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置， 则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m， 试求滑道AC的长.
分析：根据题意可知:AC=AB，CE= m, CD= = , 因为△ACE是直角三角形，所以AE2+CE2 AC2, 若设滑道AC长为x米， 则：AE= ，然后可根据勾股定理列方程求得AC的长。
AB2 AA2 A' B2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半
若已知圆柱体高为12cm，底面周长为18cm，A‵B=9cm 则:
AB 2 12 2 92
AB 15
A
O
B
A’ 9
B
2’
侧面展开图12
你学会了吗?
A
A
如图为一圆柱体工艺品,其底面周长为60cm,高为25cm,
从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B,则该
三、课堂小结(你学到了什么?)
解题模板
1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.1.5, 2, 3; B.7, 24, 25 C.6 ,8, 10 D.9, 12, 15 2.完成课本P14《习题1.4》第3题，并在下面写出解答过程。
3.完成课本P15《习题1.4》第4题，并在下面写出解答过程。
高等于12厘米，底面上圆的周长等
八年级数学上册第1章勾股定理3勾股定理的应用新版北师大版
A. 1 cm
B. 2 cm
C. 3 cm
D. 不能确定
1
2
3
4
5
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B )
10
3. 某小区入口上方 A 处装有红外线激光测温仪(如图)，测温
仪离地面的距离 AB ＝2.4米，当人体进入感应范围内时，
测温仪就会自动测温并显示人体体温.当身高
为1.8米的居民 CD 正对门缓慢走到离门0.8米
＋BD2＝(5＋12)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以A点到B
点的表面最短距离是如图①所示
的情况.此时AB≈18 cm.故A点
到B点的表面最短距离约为18 cm.
1
2
3
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10. 如图所示， A ， B 两块试验田相距200 m， C 为水源地，
AC ＝160 m， BC ＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方
①所示，连接AB. 根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(5
＋9)2＝340；将长方形ACDF与长方形DCEB在同一平面上展
开，如图②所示，连接AB. 根据勾股定理，得AB2＝BE2＋AE2
＝52＋(12＋9)2＝466；将长方形AHGF与长方形FDBG在同一平
面上展开，如图③所示，连接AB.根据勾股定理，得AB2＝AD2
么，建好桥后从 A 村到 B 村比原来减少的路程为(
A. 2 km
B. 4 km
C. 10 km
D. 14 km
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.3 勾股定理的应用(课件)北师大版数学八年级上册
点 清
在实际生活中，可运用勾股定理解决一些实际问题（如
单 解
方位角问题、旗杆折断问题、蚂蚁最短路线问题、方案设计
读 问题等）．不能直接用勾股定理解决问题时，可以尝试通过
添加辅助线（作高）的办法构造出直角三角形，再利用勾股
定理解答．
1.3 勾股定理的应用
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考 归纳总结
点 清
勾股定理在实际生活中应用很多，当已知直角三角形的
1.3 勾股定理的应用
考 ［答案］ 6 点 清 单 解 读
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1.3 勾股定理的应用
返回目录
重 ■题型 勾股定理中的方案设计问题
难 题
例 一路上 A，B 两地（视为直线上的两点）相距 25
型 突
km，C，D为两村庄（视为两点），DA⊥AB
于点
A，CB⊥AB
破 于点 B（如图），已知 DA=10 km，CB=15 km，现要在路
原理 两点之间线段最短
1.3 勾股定理的应用
返回目录
考
对点典例剖析
点 清
典例1 如图所示的是一个长方体盒子，其长、宽、高分
单 解
别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点
A，B
处，不计线
读 头，求细线的最短长度.
1.3 勾股定理的应用
考 ［解题思路］ 点 清 单 解 读
返回目录
1.3 勾股定理的应用
1.3 勾股定理的应用
● 考点清单解读 ● 重难题型突破
1.3 勾股定理的应用
返回目录
考 ■考点一 立体图形上的最短路线
点 清 1. 确定圆柱侧面上两点之间的最短距离，其步骤如下：
单 解
（1）将侧面展开为长方形；
读
北师大八年级数学上册《勾股定理的应用》课件(24张PPT)
B
① A′
②
B′
A
B A′
③Aຫໍສະໝຸດ （2）路线①，②，③中最短路线是哪条？
③
3
B
① A′
B
A′
12
③
B′ ②
AA
（3）若圆柱的高为12，底面半径为3时,3条路线分别多 长？（π取3）
做一做
Br
① A′
B
A′
h
③
B′②
h=12，r=3 h=3.75，r=3 h=2.625，r=3
A A
路线① 路线② 路线③ 最短
最短时: x 1.5,
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
3．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一 只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬 到B？
B
A
B B
A
【解析】因为从A到B最短路径AB满足 AB2=202+102=500＞400，所以不能在20 s内从A爬 到B.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间的最 短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图的要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方程 来解.
数学是无穷的科学.
——赫尔曼外尔
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
八年级数学上册第1章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证及简单应用预学新版北师大版
长分别是 a ， b ， c ，将它们拼成如图②的大正方形.
1
2
3
4
(1)观察：图②中，大正方形的面积可以用( a ＋ b )2表示，也
可以用含 a ， b ， c 的代数式表示为 2 ab ＋ c2 ，那么可
以得到等式： ( a ＋ b )2＝2 ab ＋ c2 .整理后，得到 a ，
解： (2)如图.(答案不唯一)
1
2
3
4
知识点1
验证勾股定理
如图是边长为1的正方形网格，下面是勾股定理的探索与
验证过程，请补充完整：
因为 S1＝
4
＝
S3.
)2＋(
BC
所以 S1＋ S2
即(
笔记：
AC
， S2＝
9
， S3＝ 13
)2＝(
AB
)2.
，
变式1【教材P7读一读变式】意大利著名画家达·芬奇用如图
的面积.
解： 根据勾股定理得，斜边长为10 cm，
所以圆的半径为5 cm.所以 S圆＝π×52＝25π(cm2).
1
2
1. 勾股定理的验证方法很多，有测量法、数格子法、割补法
面积
(拼图法)、面积法(通过
的不同表示方法得到验
证，也叫等面积法或等积法)等.
1
2
3
4
直角
2. 勾股定理的适用范围仅限于
所示的方法证明了勾股定理.图①中的空白部分是由两个正
方形和两个全等的直角三角形组成的.若设图①中空白部分
的面积为 S1，图③中空白部分的面积为 S2，则下列表示 S1，
S2的等式成立的是( B )
新北师大八年级上册数学勾股定理的应用ppt
做一做
(2)李叔叔量得AD长就是30 cm,AB 长就是40 cm,BD长就是50 cm,AD 边垂直于AB边吗？为什么？
解:
AD2 AB2
302 402
2500
BD2 2500
AD2 AB2 BD2
∴AD与AB垂直、
做一做
(3)小明随身只有一个长度为20 cm得刻度尺,她能有办法检验AD 边就是否垂直于AB边吗？BC边与 AB边呢？
中国古代人民 得聪明才智真 就是令人赞叹 !
举一反三
解: 设水池得水深AC为x尺,则这根芦苇长 为AD=AB=(x+1)尺,
在直角三角形ABC中,BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即
52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1,
2x=24,
∴ x=12, x+1=13 、
答:水池得水深12尺,这根芦苇长13尺、
最短时: x 1.5
∴最短就是1、5+0、5=2(m) 、 答:这根铁棒得长应在2～3m之间、
举一反三
1、在我国古代数学著作《九章算 术》中记载了一道有趣得问题,这 个问题得意思就是:有一个水池,水 面就是一个边长为10尺得正方形, 在水池得中央有一根新生得芦苇, 她高出水面1尺,如果把这根芦苇垂 直拉向岸边,她得顶端恰好到达岸 边得水面,请问这个水池得深度与 这根芦苇得长度各就是多少？
小试牛刀
练习1 1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某
练习2 练习3
日早晨8:00甲先出发,她以6 km/h得速度
向正东行走,1小时后乙出发,她以5 km/h
得速度向正北行走、上午10:00,甲、乙两
北师大版本八年级上册2.3勾股定理的应用
勾股定理的应用(一)1．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．①由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．①勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．①勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．例题精讲知识点一利用勾股定理列出方程求线段长度的应用例1．如图1-1，在①ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．训练3-1.①ABC中，①ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，则CD的长为___________．训练1-2．如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于D，求AD的长．知识点二、勾股定理在实际中的应用（注意列方程的思想解答）勾股定理在生活中的应用三步走：1、学会设未知数x；2、利用题目条件尽量去表示出相关的边长；3、寻找一个合适的三角形使用勾股定理列方程；例题2．一个长方形池塘的池深与池宽相等，如图，有一颗芦苇长在塘中央，露出水面1m，把芦苇顶拉到岸边，刚好与水面齐平，求水深和芦苇的长度（结果可保留根号），你能解决这个问题吗？训练2-1．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？训练2-2．如图，旗绳自由下垂时，比旗杆长1米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部5米，求旗杆的高度．知识点三、滑梯问题例题3．如图所示，一架长10m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，AO长度是8m；（1）求BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行，如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且BD=1m，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米．例题4．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点．当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点，已知梯子长2.5m，D点到地面的垂直距离DE＝1.5m，两墙的距离CE长3.5m．求B点到地面的垂直距离BC．综合应用1．有两棵树，一棵高7米，另一棵高2米，两树相距12米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，求小鸟至少需要飞多少米.2．如图．公路AB的同侧有两所学校C、D，学校D到公路的距离DA＝3km，学校C到公路的距离CB＝2km，已知AB＝5km．现在要在公路AB上建一个公交车站E，使车站E 到学校C、D的距离相等，则AE为多少？3．如图，为了求出湖两岸的A、B点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？解：在Rt△ABC中，∠＝90°，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2∴AB2＝（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2＝∴AB＝（米）答：从点A穿过湖到点B有米．ABCDEFAE BCDF 勾股定理的应用（二）翻折问题的应用知识点一 翻转折叠问题1、翻折问题的实质是全等，寻找相等线段和相等角度；2、设X; 并且表示出相关边长；3、在合适的三角形中，用勾股定理列方程；例1．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F:处（折痕为AE ）(1)求BF 的长； (2)求EC 的长．训练1-1．如图，折叠长方形的一边BC ，使点B 落在AD 边的F 处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF 的长．训练1-2．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，求CD的长度．训练1-3.如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长是多少？例题2.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为多少？训练2-1．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长.ACDBEFEDCBA训练2-2.．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为多少？训练2-3.如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为多少？综合应用1．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．3．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．5．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．。
北师大版数学八年级上册勾股定理的应用课件
思路点拨：解题的关键是根据题设信息构造直角三角形并求出边 上进行判断.
举一反三
4. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城 街路上行驶速度不得超过70 km/h.如图1-3-7，一辆小汽车在一 条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 A的正前方60 m处的C点，过了5 s后，测得小汽车所在的B点与车 速检测仪A之间的距离为100 m. （1）求B，C间的距离； （2）这辆小汽车超速了吗？请 说明理由.
谢谢
解：将曲面沿AB展开，如答图1-3-3，过点C作CE⊥AB于点E,连接 CF. 在Rt△CEF中，∠CEF=90°，EF=18-1-1=16（cm）， CE= ×60=30（cm）， 由勾股定理，得CF2= CE2+EF2＝302+162=342. 所以CF=34（cm）. 答：蜘蛛所走的最短路线的长度是34 cm.
典例精析 【例3】如图1-3-4所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别为5 dm,3 dm和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁，想到点B处吃可口的食物.请你想一想，这只 蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B的最短路程是多少？
解：如答图1-3-1,将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC ＝3×(3＋1)＝12(dm)，∠C＝90°，AB即为最短路程. 在Rt△ABC中，因为AB2＝AC2＋BC2， 所以AB2＝52＋122＝132. 所以AB＝13（dm）. 答：这只蚂蚁从点A出发,沿着台阶面 爬到点B的最短路程是13 dm.
第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
目录
01 本课目标 02 课堂演练
本课目标
1. 能够运用勾股定理解决实际问题，体会把立体图形转化为平面 图形，解决“最短路径”的问题，树立转化思想. 2. 会运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 3. 利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及 其逆定理解决实际问题.
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【典型例题】考点一：圆柱侧面上两点间的距离 例1：请阅读下列材料：问题：如图，一圆柱的底面半径及高AB 均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线。
小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的两端AC 。
如下图（2）所示：设路线1的长度为1l ，则222222215(5)2525l AC AB BC ππ==+=+=+路线2：高线AB + 底面直径BC 。
如上图（1）所示：设路线2的长度为2l ，则225)105()(2222=+=+=AC AB l222212252522525200l l ππ-=+-=-225(8)0π=->∴2221l l > ∴21l l >所以选择路线2较短。
（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ，高AB 为5dm”继续按前面的路线进行计算。
请你帮小明完成下面的计算：路线1：==221AC l ____________； 路线2：=+=222)(AC AB l __________ ∵2221_____l l ∴ 21_____l l ( 填>或<)所以应选择路线____________(填1或2)较短.(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短。
【思路分析】本题是阅读理解题,题目信息量大,认真阅读从中找出做题的思想和方法,利用图形的展开与勾股定理进行求解．解：(1)线路1: ==221AC l 225π+ 线路2:=+=222)(AC AB l 36 ∵2212l l < ∴ 12l l <( 填>或<) 所以应选择路线___1_(填1或2)较短. (2)线路1: ==221AC l 222h r π+线路2:=+=222)(AC AB l 2()h r +22212(2)0l l r r h r π-=--<∴ 12l l <( 填>或<)所以应选择路线___1_(填1或2)较短.方法与规律总结：学会正确应用勾股定理，解决实际应用问题,学会处理信息和收集信息的能力.例2：如图，一架长5米的梯子AB ，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识论证你的结论．【思路分析】下滑前后梯子的长度是不变的.梯子滑动前后底端与墙底的距离用勾股定理可以求得. 解：是．在Rt △ACB 中,BC=3,AB=5,AC 2=AB 2-BC 2=42,AC=4米，DC=4-1=3. 在Rt △DCE 中：DC=3,DE=5, CE 2=DE 2-DC 2=42,CE=4米．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．方法与规律: 学会画草图.画草图的过程实际就是将实际问题转化为数学问题的过程，即数学建模过程，利用直角三角形求线段长。
考点二：线段是否垂直的问题例3：小月同学根据印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出的“荷花问题”编了一道“新荷花问题”：“平平湖水清可鉴，某处湖底生有莲，湖水深知3.75尺，面上红莲有半尺；忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远，恰露花朵在水面；此莲出泥而不染，是否亭亭立湖间？【思路分析】首先要根据题意画出图形，构造成三角形，利用三角形的三边关系确定三角形是否是直角三角形，从而说明花是否与湖面垂直。
解：根据题意画图如下：BD=0.5尺,BC=3.75尺,AC=BD+BC=0.5+3.75=4.25尺,AB=2尺.在△ABC 中,因为AB 2+BC 2=22+3.752=18.0625=4.252=AC 2,所以∠ABC=90°.因为水面是水平的,故荷花亭亭立于湖水中.友情提示:本题的创新之处是以原材料为基础,创造出新的材料、新的背景，要判断荷花是否亭亭立，实际是判断CD ⊥AB 是否成立。
例4：如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B 修一条公路BD 直达AC.已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？【思路分析】先利用勾股定理的逆定理确定此三角形是直角三角形，然后利用等积法求出直角三角形斜边上的高。
解：在△ABC 中，AB 2+BC 2＝52+122＝169＝132,AC 2＝132＝169,故AC 2＝AB 2+BC 2，可判定△ABC 是直角三角形。
由面积关系,2121AB BC AC BD ⋅=⋅即13BD ＝12×5,解得BD ＝1360，即公路的最短距离BD=1360km ， ∴最低造价为120000元.考点三：勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用例5： 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行,1.5小时后两船相距多远?【思路分析】根据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解.解：如下图,由题意知△AOB 为直角三角形,因为OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里).在Rt △AOB 中,由勾股定理得AB 2=OA 2+OB 2=242+182=576+324=900,所以AB=30海里。
所以1.5小时后两船相距30海里。
友情提示：解决航行问题的关键是确定船的航行路线，理解方位角、灯塔等概念。
在确定航行路线时，一般会碰到几何图形的形状，这其中的直角三角形是最常见的图形之一，要确定它，就需利用直角三角形的判定条件。
例6：如图，将长方形ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落到点C ˊ处，BC ˊ交AD 于点E ，AD=8,AB=4,求△BED 的面积.【思路分析】由于△BED 的面积=21DE·AB,所以只要求出DE 的长即可,而DE=BE,AE=AD-DE=8-BE.在Rt △ABE 中,利用勾股定理列方程求出BE 的长.解:因为四边形ABCD 是长方形,所以AD ∥BC,所以∠2=∠3,由折叠的过程知△BCD 与△BC ˊD 关于直线BD 对称,所以∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以BE=ED.设ED=x,则AE=AD-ED=8-x,在Rt △ABE 中,因为AB 2+AE 2=BE 2,所以42+(8-x)2=x 2,解得x=5,所以DE=5.所以△BED 的面积:21DE·AB=21×5×4=10. 方法与规律总结:本题是勾股定理与方程思想、数形结合思想的结合。
解决此类问题的关键是根据对称确定等量关系，然后利用勾股定理把问题转化成方程的问题求解。
例7：有一个长、宽、高分别是0.3米，0.4米、1.2米的纸箱，那么，能放入纸箱内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能帮丽丽估计一下吗？【思路分析】当竹竿倾斜放置时，竹竿的长度最大，由此可把问题转化成勾股定理的问题进行求解。
解：如图所示，连接BD 、DF ，在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD 2=AD 2+AB 2,而DF 2=BD 2+BF 2,所以DF 2=AD 2+AB 2+BF 2=0.32+0.42+1.22=1.69=1.32,所以DF=1.3.竹竿的最大长度约是1.3米.【本讲涉及的数学思想和方法】本讲主要讲述了勾股定理的实际应用。
本讲所涉及到的数学思想主要是数形结合的数学思想以及方程的思想。
例如航海问题、折叠问题、物品安置问题、测量问题等等，都需要把勾股定理运用到方程思想、数形结合思想中。
预习导学案（2）(平方根）一、预习前知1、什么是无理数？2、什么是平方根？什么是算术平方根？二、预习导学探究与反思探究任务①：面积为2的正方形的边长a1、借助计算器多次探索a 的整数部分和小数部分2、探索的结果可以发现a 既不是整数，也不是分数。
【反思】（1）什么是无理数？（2）你能估计面积为10的正方形的边长x 吗？ 探究任务②：算术平方根和平方根 1、回答课本提出的两个问题2、归纳出算术平方根、平方根的概念【反思】（1）一个正数有几个平方根？几个算术平方根？ （2）负数有没有算术平方根和平方根？三、牛刀小试1. 在下列各数0，0.3，3.14，π，3.12103，5.21021002100021…中是无理数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 下列说法正确的是（ ）A.无理数是小数B.有理数就是有限小数C.正数、0、负数统称为有理数D. 无限小数是无理数 3．81的平方根是______。
4．________的算术平方根和平方根等于它本身。
5．若249x ，则x=________．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1. 现有两根木棒，长度分别为44cm 和 55cm ，若要钉成一个三角形的木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）cmA. 55B. 44C. 33D.222. 如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ）A. 45mB. 40mC. 50mD. 56m.3. 如图，已知雕塑底座的AB 边长160cm ,AD 为120cm,要使AB 垂直于AD,BD 的长应为（ ） A. 180cm B. 200cm C. 220cm D. 240cm4. 如图，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD 的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在顶点A 处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D 三个顶点的蚂蚁，那么它拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（ ）A. 14mB. 13mC.12mD.10m﹡5. 如图，在高为5m,坡长为13m 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. 17m B. 18m C. 25m D. 26m﹡6.已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（）A. 8B. 5C. 3D. 2﹡7. 放学后，斌斌先去同学小华家玩了一会，再回到家里。
已知学校C、小华家B、斌斌家A的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则斌斌家在学校的（）A. 正东方向B. 正南方向C. 正西方向D. 正北方向﹡8.如图，正方形小方格边长为1,则网格中的△ABC是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上答案都不对二、填空题9. 一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放于杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为________cm.﹡10.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20千米，遇到冰山后，又折向正东方向航行15千米，此时轮船与A点的距离为______。