第十章- 动量定理解析
动量和动量定理精ppt课件
⑵动量定理给出了冲量（过程量）和动量变化（状态量） 间的互求关系。
⑶实际上现代物理学把力定义为物体动量的变化率： ∑ F=Δp／ Δt （这也是牛顿第二定律的动量形式）
⑷动量定理的表达式是矢量式。在一维的情况下，各个矢
量必须以同一个规定的pp方t精选向版为正。
8
2.动量定理具有以下特点：
①矢量性：合外力的冲量∑F· Δt 与动量的变化量Δｐ均
为矢量，规定正方向后，在一条直线上矢量运算变为代数运算；
②相等性：物体在时间Δｔ内物体所受合外力的冲量等于物体 在这段时间Δｔ内动量的变化量；因而可以互求。
③独立性：某方向的冲量只改变该方向上物体的动量；
A、向下，m(v1-v2) C、向上，m(v1-v2)
B、向下，m(v1+v2) D、向上，m(v1+v2)
ppt精选版
13
例5 水平面上一质量为m的物体，在水平恒力F
作用下，由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 后
撤去外力，又经过时间2t 物体停下来，设物体所受阻
力为恒量，其大小为（
C）
Ａ．F Ｂ． F / 2 Ｃ． F / 3 Ｄ． F / 4
动量和动量定理
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1
• 在上一节我们学过，mv这个量是我们在 碰撞中所追寻到的守恒量，故mv这个量 具有特殊的含义。我们把这个量命名为 动量。
ppt精选版
2
一、动量概念及其理解
（1）定义：物体的质量及其运动速度的乘积称为
该物体的动量
p=mv
（2）特征：
①v为瞬时速度，故动量是状态量，它与某一时刻 相关；
动量定理(高中物理教学课件)
解：mg
tan
m
4 2
T2
L sin
T
2
（1）IG mgT 2mg
L cos
g
L cos
g
（2）IG IT p 0 IT 2mg
L cos
g
（3）I合 IG IT 0或者I合 p 0
典型例题
例4.质量是40kg的铁锤从5m高处落下，打在水泥 桩上后立即停止，铁锤与水泥桩撞击的时间是 0.05s，撞击时，铁锤对桩的平均冲击力有多大？
四.动量定理在生活中的应用
问题：鸡蛋为什么掉水泥地上易破而掉海绵垫上不易破？ 为什么跳伞运动员落地时要下蹲？足球飞来时运动员会 用头去顶球，如果飞过来的是铅球能顶吗？胸口碎大石 为什么人没事？高空作业的工人往往身上要绑一根弹性 绳是为什么？运输物体为什么要包一层泡沫？骑车为什 么要带头盔？汽车为什么要有安全气囊……
典型例题 例6.如图所示，一恒力F与水平方向夹角为θ，作 用在置于粗糙水平面上质量为m的物体上，作用 时间为t，物体保持静止，则力F的冲量为 Ft ， 合力的冲量 0 。
例7.关于冲量和动量，下列说法中正确的是: （ABC） A、冲量是反映力的作用时间积累效果的物理量 B、动量是描述物体运动状态的物理量 C、冲量是物体动量变化的原因 D、冲量是描述物体状态的物理量
②动量定理适用范围广：恒力做功、变力做功、直线运动、
曲线运动、宏观物体、微观物体、单过程、多过程……
③当变力作用时，冲量的方向与动量的变化量Δp 方向一致。如求圆周运动冲量的方向时不可以用Ft来求，但可
以用Δp来求。
④动量定理解题只需要知道初末状态。 ⑤虽然I合=Δp，但是单位不要混用
三.动量定理 思考与讨论: 如果在一段时间内的作用力是一个变力，又该怎 样求这个变力的冲量？
《动量定理》 讲义
《动量定理》讲义一、什么是动量定理在物理学中，动量定理是一个非常重要的概念。
简单来说，动量定理描述了力在一段时间内对物体的作用效果。
动量，用符号 p 表示，它等于物体的质量 m 乘以速度 v ，即 p ＝mv 。
而动量定理指出，合外力的冲量等于物体动量的增量。
冲量，用符号 I 表示，等于力 F 乘以作用时间 t ，即 I ＝ Ft 。
当一个力作用在物体上一段时间时，这个力就会产生冲量，从而导致物体的动量发生改变。
为了更直观地理解，我们来举个例子。
想象一个足球运动员用力踢球，脚对球施加了一个力，这个力在与球接触的短暂时间内产生了冲量，使球的速度发生了很大的变化，也就是球的动量发生了改变。
二、动量定理的表达式动量定理的数学表达式为：Ft ＝Δp ，其中 F 是合外力，t 是作用时间，Δp 是动量的变化量。
这个表达式告诉我们，如果力的作用时间长，即使力不是很大，也能产生较大的动量变化；相反，如果力很大但作用时间很短，可能产生的动量变化也不一定很大。
比如，一辆缓慢行驶的大货车，要让它停下来需要较长的时间和持续的阻力；而一个快速飞行的小皮球，用手瞬间阻挡就能让它停下来，虽然手施加的力相对较大，但作用时间极短。
三、动量定理的应用（一）解释日常生活中的现象1、跳远运动员在起跳前要助跑跳远运动员助跑是为了在起跳时获得较大的初速度，从而具有较大的初动量。
起跳时，脚与地面的作用时间很短，根据动量定理，合外力（地面给运动员的支持力）在短时间内产生的冲量等于运动员动量的变化。
由于初动量较大，所以在相同的冲量作用下，运动员能够跳得更远。
2、篮球运动员接球时的缓冲动作当篮球运动员接球时，如果双手伸直硬接，球对手的冲击力会很大，可能导致受伤。
而通过双手随球回缩做缓冲动作，可以延长球与手接触的时间。
根据动量定理，在动量变化相同的情况下，作用时间延长，冲击力就会减小，从而保护运动员的手部。
（二）在体育运动中的应用1、拳击比赛拳击手出拳时，要在短时间内施加很大的力，以产生较大的冲量，使拳头具有很大的动量，从而给对手造成较大的打击力。
《工程力学》(伍春发)434-7课件 第10章 动量定理
2.2 质点系的动量定理
设质点系由 n 个质点组成，第 i 个质点的质量和速度分别为 mi ， vi ；外界物体对该质点的作 用力为 Fi(e) ，称为外力；质点系内其他质点对该质点的作用力为 Fi(i) ，称为内力。由质点的动量定 理可得
d(mi vi
)
(Fi(e) +Fi(i) )dt
2.2 质点系的动量定理
于是，得出
dP Fi(e)dt dIi(e)
（10-7）
式（10-7）是微分形式的质点系动量定理，即质点系动量的变化量等于作用在质点系上的外力元 冲量的矢量和。
将式（10-7）在时间间隔 0 到 t 内积分，可得到
P P0
t 0
Fi(e)dt
I (e) i
冲量是度量力在作用时间内的累积效应的物理量。例如，人推车子时，经过一段时间可使车
子达到一定的速度；若改用汽车来牵引车子，则只需经过很短的时间就可以使车子达到这一速度。
因此可以用力和作用时间的乘积来表示力在作用时间内的累积效应。我们把作用在物体上的力与
其作用时间的乘积称为力的冲量，用 I 表示，即
I Ft
基于上述情况，我们把质点的质量 m 与速度 v 的乘积称为质点的动量，用 mv 表示。动量是 矢量，其方向与质点速度方向相同。在国际单位制中，动量的单位是 kg m/s 或 N s 。
质点系的动量等于质点系中各质点动量的矢量和，若以 P 表示质点系的动量，则
P mivi
（10-1）
1.2 冲量
解：系统的动量等于物块 A，B 以及圆盘 C 动量的矢量和，即 P mvA 2mvB 2mvC
由于 vC 0 ，将上式在图 10-1（b）所示坐标轴上投影后可得
第10章动量定理-文档资料
m
v
2 C
F (e) n
m
dv C dt
F(e)
F (e) b
0
质心运动量守恒定律
1.若Fie 0
质心作匀速直线运动；若开始静止， 则质心的位置始终保持不变。
2.若Fx(e) 0
vCx =常数；若开始时速度投影等于零， 则质心沿该轴的坐标保持不变。 32
例题6
电动机的外壳和定子的 总质量为 m1 ,质心C1与转子 转轴 O1 重合 ；转子质量 为 m2 ，质心 O2 与转轴不 重合 ，偏心距 O1O2 = e 。
pm ivi mvC
m aC m iai F ie
z
mn
m2
m1
C
mi
rC ri
o y
x
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作
用于质点系外力的矢量和。
28
★ 质心运动定理的实例分析
定 向 爆 破
29
★ 质心运动定理的实例分析
驱动汽车行驶的力
m aC F ie F 1F 2F r
由质点系动量定理
p p 0 Ii(e)
q( v 2 v 1 )d ( W t F 1 F 2 F N )dt
q(v 2 v 1 ) ( W F 1 F 2 F N )
22
q(v 2 v 1 ) (W F 1 F 2 F N )
FNFN FN
C
O t
vB
x
B
pmCvC2ml
方向沿 vC 方向
11
？1
1
O
O1
求：图示系统的总动量。
？2
动量动量定理课件
实验结论
实验结果表明，一个物体所受合外力的冲量等于物体 动量的变化量，验证了动量定理的正确性。通过实验， 学生可以更加深入地理解动量定理，掌握其应用方法， 提高物理实验能力和科学素养。
06
动量定理的扩展与深化
动量定理的推广
推广到多维空间
动量定理不仅适用于一维空间，还可以推广 到多维空间，描述物体在任意方向上的动量 变化。
2. 在滑块上加砝码，使滑块具有一定质量。
实验器材与步骤
3. 用橡皮筋拉动滑块 加速，使滑块受到合 外力的作用。
5. 记录实验数据并分 析。
4. 测量滑块加速过程 中的合外力和作用时 间。
实验结果与结论
实验结果
通过实验测量和计算，得到合外力、作用时间和动量 变化量的数值关系，验证了动量定理的正确性。
动量的计算
总结词
动量的计算公式是 $p = mv$。
详细描述
动量的计算公式是 $p = mv$，其中 $m$ 是物体的质量，$v$ 是物体的速度。 这个公式适用于任何惯性参考系中的质点。
动量的单位
总结词
在国际单位制中，动量的单位是千克· 米/秒（kg·m/s）。
详细描述
根据国际单位制的规定，动量的单位 是千克·米/秒（kg·m/s）。这个单位 是由质量单位千克（kg）和速度单位 米/秒（m/s）相乘得来的。
定义
物体的质量m、速度v和动量p之间的关系为 p=mv。
推导过程
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于 其质量与加速度的乘积，即F=ma。对时间 进行积分，得到冲量I=∫Fdt。根据定义， 动量的变化量等于冲量，即Δp=I。将F=ma 代入积分式，得到Δp=∫ma dt=m∫adt=mat=mv2-v1。
第十章 动量定理
F (e) 0
则
vC 常矢量
Fx(e) 0
则
vCx 常量
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10-3 质心运动定理
例10-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1 ,假设受力偶作用以不变 的角速度ω 转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D ,
如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2 ,质心在点C .在活
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10-3 质心运动定理
在直角坐标轴上的投影式为:
ma Cx F
(e) x
maCy F
(e) y
maCz Fz(e)
在自然轴上的投影式为:
2 dvC v m Ft (e) m C Fn(e) dt
0 Fb(e)
质心运动守恒定律 若
若
塞上作用一恒力F .不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲 柄轴A 处的最大水平约束力Fx .
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10-3 质心运动定理
解: 如图所示
m1 m2 aCx Fx F
1 r xC m1 cos m2 r cos b 2 m1 m2 d 2 xC r 2 m1 aCx m2 cos t 2
附加动约束力
动约束力
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10-3 质心运动定理
由 得
n d (mvC ) Fi (e) i 1 dt n dvC 或 m Fi (e) i 1 dt
maC Fi (e)
i 1
n
－－质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系 外力的矢量和. 问题：内力是否影响质心的运动？ 质心运动定理与动力学基本方程有何不同？
理论力学动量定理PPT课件
dpx
dt
i
Fixe ,
dpy dt
i
Fiye ,
dpz dt
i
Fize
若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标轴上的 投影恒为零，由上式可知，质点系的动量在该坐标轴上守恒。例 如
FRex 0 , px C2
式中C2为常量，由运动初始条件决定。
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第10章 动量定理 质心运动定理
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几个有意义的实际问题
蹲在磅秤上的人站起来时， 磅秤指示数会 不会发生的变化？
？
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几个有意义的实际问题
？ 台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，
会发生什么现象？
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几个有意义的实际问题
隔板
水池
？ 抽去隔板后，将会
发生什么现象？
水
光滑台面
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v
－ m1cos m2
m1 m2 m3 m4
vr
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动量定理应用举例 例 题 1
解：2. 确定四棱柱体的速度和四棱柱体 相对地面的位移。
v
－ m1
m1cos m2
m2 m3 m4
vr
又因系统初始静止，故在水平方向上质心守恒。对上式积分， 得到四棱柱体的位移。
x － m1cos m2 s
m1 m2 m3 m4
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动量定理应用举例 例 题 1
解：3.确定对凸起部分的作用力，可以 采用质心运动定理。
设物块相对四棱柱体的加速度为ar， 由于凸起部分的作用，四棱柱体不动，
ae a4 0 ar a 故，四棱柱体的加速度a极易由牛顿定律 求出。 根据质心运动定理，并注意到
动量定理.ppt
dp dt
Fie
Fii
Fie
dp dt
Fi e
p2
p1
I
e i
注意：只有外力才能改变质点系的动量
取直角坐标轴，动量定理的投影式为：
d px dt
Fixe
d py dt
Fiye
d pz dt
Fize
p2 x p2 y
p1x p1y
I
e ix
Iiey
p2z p1z
I
e iz
三、质点系动量守恒
AB杆作瞬时平动。
vC
1 2
l1
vA vB l1
POA
1 2
ml1
PAB ml1
PB ml1
P
1 2
ml1
ml1
ml1
5 2
ml1
6
三、冲量 力对时间的累计效应，冲量是矢量。
1.常力冲量
I F t2 t1
冲量的量纲: dimI =MLT-1，和动量相同。
常用单位：kg·m/s
2.变力冲量
1. Fie 0 在运动过程中质点系的动量 p =常矢量。
2. Fixe 0 在运动过程中质点系的动量在x轴上的投影
质点系动量守恒常用于求运动量。
9
小车重W1= 2kN，车上有一装沙的箱重W2=1kN，以3.5km/h 的速度在光滑直线轨道上匀速行驶。今有一重W3= 0.5kN的物体 铅垂落入沙箱中，求此后小车的速度。又设重物落入沙箱后， 沙箱在小车上滑动 0.2s ，然后与车面相对静止, 求车与箱底 间相互作用的摩擦力。
py m2v2 m3v2 sin 600 5.4kg.m/ s
Py
P
x
Px
理论力学第十章课件 动量定理
qV dt(vb va )
流体受外力如图, 由动量定理,有
qV
dt(vb
va
)
(P
Fa
Fb
F )dt
即
qV
(vb
va
)
P
Fa
Fb
F
设
F
F
F
F
解:如图所示
m1 m2 aCx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1 m2
aCx
d2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r 2
m1 2
m2
cos
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r 2
m1 2
m2
e 例 10-6 地面水平,光 质量 m2.
求:质心运动方程、轨迹及系统动量.
解:设 t ，质心运动方程为
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
2(m1 m2 ) l cost
2m1 m2
yC
2m1
l 2
2m1 m2
sin
t
m1 2m1
m2
l sin
t
消去t 得轨迹方程
[
xc
mAxA mB (xA a b) 0
mA 3mB
xA
第十章 动量定理概论
vC
drC dt
d dt
mr
M
mv
M
mv MvC
p M vC
（10-5）
即质点系的动量等于系统的质量与质心速度的乘积。
对于质量均匀分布的刚体，质心也就是几何中心。用式 (10-5)计算刚体的动量是非常方便的。
例如，长为l，质量为m 的均质细杆，在平面内绕 O 轴转动， 角速度为w，如图10-2（a）所示。
10.1.2 冲量
冲量(Impulse)是表示作用于物体的力在一段时间内对物 体作用效果的累积。物体运动状态的改变，不仅与作用于物体上 的力的大小和方向有关，而且与力作用的时间的长短有关。
力与其作用时间的乘积称为该力的冲量，用 I 表示。冲量 是一个矢量，它的方向与力的方向一致。 冲量的单位是牛顿·秒( N ·s)。
质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量
(Momentum of system of particles)，记为 p 。
p mv
（10-1）
式(10-1)在直角坐标系 Ox y 的三个坐标轴的投影式为：
px py
mv
m
x
v y
pz
mv z
（10-2）
px ，py ，pz 分别表示质点系的动量在坐标轴 x ，y 和 z 轴 上的投影。
I F t 力 F 是常矢量时，冲量：
力 F 是变矢量时，在 dt 时间内，力F(t) 可以似近地认为 不变，力F(t) 在 dt 时间内的冲量(称为元冲量)为：
dI F tdt
设力的作用时间是由 t1 到 t2 ，则力 F(t) 在时间 ( t2-
t1) 内的冲量 I ，应等于在这段时间内元冲量的矢量和。即：
I t2 F t dt t1
动量定理解析
动量定理解析一、引言动量是物体运动的基本性质之一，描述了物体的运动状态以及与其他物体相互作用的程度。
动量定理是物理学中的基本定律之一，揭示了力对物体运动状态的影响。
本文将对动量定理进行深入分析和解析。
二、动量的定义和性质动量是一个物体的质量与速度的乘积，用数学式表示为p=mv，其中p为动量，m为质量，v为速度。
从定义中可以看出，质量越大，速度越快的物体具有更大的动量。
动量是一个矢量量，即具有大小和方向，与速度的方向一致。
若物体的速度发生改变，其动量也会相应改变。
三、动量定理的表述动量定理是指一个力在作用于物体上时，会引起物体动量的变化。
根据牛顿第二定律F=ma，将加速度a用速度v和时间t表示，即a=(v-u)/t，其中u为物体作用力前的速度。
代入动量的定义式p=mv和速度变化的关系式v-u=at，可以得到动量定理的数学表达式为FΔt=Δmv，即力乘以时间等于动量的改变量。
根据动量定理的数学表达式，我们可以得到以下几个重要结论：1. 力和时间的乘积引起的动量变化是一个矢量量，其方向与力向量相同，大小等于力的大小乘以时间。
2. 若力和时间的乘积为正，即力和物体的运动方向相同，那么物体的动量会增加；若力和时间的乘积为负，即力和物体的运动方向相反，那么物体的动量会减小。
3. 动量定理不仅适用于单个物体的运动，也适用于多个物体同时作用的情况。
在多体系统中，要考虑各个物体之间的相互作用力。
四、动量定理的应用1. 运动中的汽车在汽车行驶过程中，动量定理可以解释为何汽车的速度与质量成反比。
考虑两辆质量相同的汽车，当相同大小的力作用于两辆汽车上时，质量较大的汽车受到的加速度较小，因此速度改变较小，而质量较小的汽车则受到较大的加速度，速度改变较大。
这说明了质量越大的物体，受到相同作用力产生的速度改变越小。
2. 球类运动在球类运动中，动量定理可以解释为何把一个球踢或投得越快，球的反弹或射程越远。
由于力和时间的乘积等于动量的改变量，对于一个静止的球而言，施加给球的力越大，作用时间越长，动量改变量越大，球的速度越快，它的运动轨迹也会更远。
第十章 动量定理
= FAy − m1 g − m2 g ,
p y = m2ω e sinω t
FAy = ( m1 + m2 ) g + m2 eω 2 cos ωt
电机不转时
O1 ϕe O2 m1 g m2 g A FAx FAy M A
ω
p
x
FAx = 0; FAy = (m1 + m2 ) g 静约束力
n p = ∑ mi vi
i =1
n:质点的个数 mi:第i个质点的质量 vi :第i个质点的速度
Σmi ⋅ xi ΣPi ⋅ xi Σmi gxi xC = ΣP = Σm g = Σm i i i Σ ⋅ P y Σmi ⋅ yi 刚体重心 yC = i i 刚体质心 = ΣPi Σmi Σmi ⋅ zi z = ΣPi ⋅ zi C = Σ P i Σmi
Σmi ri 质心公式的矢量形式 rC = m d ri d rC ⇒m = Σmi dt dt ⇒ mvC = Σmi vi
⇒ p= Σmi vi = mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积；
⑴ 长为2l、质量为m的均质细杆，在平 面内绕O点转动，角速度为ω 细杆动量 p = mvC = mωl 细杆质心速度
与动量的定理
动量定理
dv =F ma = F ⇒ m dt d ⇒ (mv ) = F — 动量定理的导数形式 dt ⇒ d (mv ) = Fdt — 动量定理的微分形式
t ⇒ mv − mv0 = ∫ Fdt = I — 动量定理的积分形式
aCx = 0; vCx = 常数 vCx = 0; xC = 常数
高考物理动量定理知识点与难点解析
高考物理动量定理知识点与难点解析在高考物理中，动量定理是一个重要的知识点，也是学生们在学习过程中常常遇到困难的部分。
掌握动量定理不仅对于解决相关物理问题至关重要，还能帮助我们更深入地理解物理世界的运行规律。
一、动量定理的基本概念动量，用符号 p 表示，其定义为物体的质量 m 与速度 v 的乘积，即p ＝ mv 。
动量是一个矢量，其方向与速度的方向相同。
动量定理指出：合外力的冲量等于物体动量的增量。
用公式表示为：I ＝Δp ，其中 I 是合外力的冲量，Δp 是动量的变化量。
冲量则是力与作用时间的乘积，用符号 I 表示。
如果力 F 是恒力，且作用时间为 t ，那么冲量 I ＝ Ft 。
如果力是变力，就需要通过积分来计算冲量。
二、动量定理的推导我们从牛顿第二定律 F ＝ ma 开始推导。
加速度 a ＝（v u）／ t ，其中 u 是初速度，v 是末速度。
将 a 代入 F ＝ ma 中，得到 F ＝ m（v u）／ t ，整理可得 Ft ＝ mv mu 。
等式左边 Ft 就是合外力的冲量 I ，等式右边 mv mu 就是动量的变化量Δp ，从而得到动量定理 I ＝Δp 。
三、动量定理的应用1、解释生活中的现象比如，在体育运动中，接球时手臂会顺势后缩，这是为了延长接球的作用时间，从而减小球对手的冲击力。
同样，跳高运动员在落地时要屈膝，也是为了延长与地面的作用时间，减小地面对人的冲击力。
2、解决碰撞问题在碰撞过程中，由于相互作用的时间很短，往往内力远大于外力，可以忽略外力的影响，应用动量定理来分析。
例如，两个物体发生完全弹性碰撞或完全非弹性碰撞时，通过动量定理可以计算出碰撞前后物体的速度变化。
3、计算平均作用力当已知物体动量的变化和作用时间时，可以通过动量定理计算出平均作用力。
比如，一个质量为 m 的物体在 t 时间内速度从 v1 变为 v2 ，则平均作用力 F ＝（mv2 mv1）／ t 。
四、动量定理的难点1、理解冲量的概念冲量是力在时间上的积累，是一个过程量。
物理动量定理知识点解析
物理动量定理知识点解析在物理学的浩瀚海洋中，动量定理是一个极其重要的概念，它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解锁许多与物体运动和相互作用相关的谜题。
让我们一起来深入探究这个充满魅力的知识点。
首先，咱们来明确一下动量定理到底说的是什么。
动量定理指出：合外力的冲量等于物体动量的增量。
用公式表达就是：＄I ＝＼Delta p$，其中$I$表示合外力的冲量，＄＼Delta p$表示动量的变化量。
那什么是冲量呢？冲量等于力与作用时间的乘积，即$I ＝ F ＼cdot ＼Delta t$。
这意味着，力作用在物体上的时间越长，冲量就越大。
比如说，用同样大小的力去推一个物体，推的时间长，产生的冲量就比推的时间短要大。
再来说说动量。
动量用符号$p$表示，定义为物体的质量$m$与速度$v$的乘积，即$p ＝ m ＼cdot v$。
动量是一个矢量，它的方向与速度的方向相同。
这就很有意思了，因为质量不变的情况下，速度越大，动量就越大。
那动量定理有什么用呢？它的用处可大了去了！比如说，在分析碰撞问题的时候。
当两个物体发生碰撞，我们可以利用动量定理来计算碰撞前后物体的速度变化。
因为在碰撞过程中，往往力的作用时间很短，但力的大小却可能变化很大，很难直接用力去分析，而动量定理就给了我们一个很好的工具。
举个例子，一辆汽车以一定的速度行驶，突然刹车。
刹车时，地面对汽车的摩擦力就是合外力。
通过计算摩擦力的大小和刹车的时间，我们可以利用动量定理求出汽车停下来时速度的变化。
再比如，一个小球从高处自由落下，落到地面后反弹。
在与地面接触的瞬间，地面给小球的冲击力就是合外力。
我们可以通过测量小球与地面接触的时间，以及计算小球落地前后的动量变化，来求出冲击力的大小。
在实际生活中，动量定理也有很多应用。
比如在体育运动中，篮球运动员接球时会顺势向后缓冲，这就是为了延长接球的时间，减小球对手的冲力，避免受伤。
还有，在安全生产中，工人戴安全帽也是利用了动量定理。
《动量定理》 讲义
《动量定理》讲义一、引入在我们日常生活和物理学的研究中，动量定理是一个非常重要的概念。
它帮助我们理解物体运动状态的变化与所受外力之间的关系。
想象一下，你正在打台球，当球杆击打台球时，台球会以一定的速度和方向滚动。
为什么球会这样运动？球的运动状态改变的原因是什么？这就涉及到动量定理。
二、动量的概念首先，我们来了解一下什么是动量。
动量（momentum）用字母 p 表示，它等于物体的质量 m 乘以物体的速度 v ，即 p ＝ mv 。
动量是一个矢量，它的方向与速度的方向相同。
这意味着，如果一个物体的速度方向改变了，那么它的动量方向也会改变。
例如，一辆以 10m/s 的速度向东行驶的汽车，质量为 1000kg ，那么它的动量就是 1000×10 ＝ 10000 kg·m/s ，方向向东。
三、冲量的概念有了动量的概念，接下来我们引入冲量（impulse）。
冲量等于作用力 F 与作用时间 t 的乘积，用字母 I 表示，即 I ＝ Ft 。
冲量也是一个矢量，它的方向与作用力的方向相同。
比如说，一个力在 5 秒内持续作用在一个物体上，力的大小为 20N ，那么冲量就是 20×5 ＝ 100 N·s 。
四、动量定理的内容动量定理指出：合外力的冲量等于物体动量的增量。
用数学表达式可以写成：I ＝Δp ，其中Δp 表示动量的变化量。
这意味着，如果一个物体所受的合外力在一段时间内有作用，那么这个力的冲量就会导致物体动量的改变。
举个简单的例子，一个质量为 2kg 的球，原来静止不动，现在受到一个 10N 的力，作用了 2 秒。
首先计算冲量 I ＝ 10×2 ＝ 20 N·s 。
因为球原来的动量为 0 ，所以动量的增量Δp 就等于冲量 I ，即 20 kg·m/s 。
根据动量的定义 p ＝ mv ，可以算出球的速度 v ＝ p ／ m ＝ 20 ／ 2 ＝ 10 m/s 。
第10章动量定理
冲量的单位： Ns kgm/s 2 s kgm/s
3
§10-2 动量定理
1．质点的动量定理
由
d
(mv)
F
dd(tmv)
Fdt
动量定理的微分形式
即：质点动量的增量等于作用在质点上的元冲量。
对m上v 式积m分v0，时间0t由Fd0t到t，速I 度由动v量0变定为理v，的得积分形式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
dri dt
d dt
mi ri
令 m mi
rC
mi ri m
为质心
则
p
d
dt
mi ri
d dt (mrC )
mvC
结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
二．冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力 在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。
I
t2
Fdt
t1
质点系动量守恒定律
§10-2 质心运动定理
1．质心
rC
m i m
ri
mmi
xC
m ix m
i
,
yC
mi m
y
i
,
zC
m iz m
i
2.质心运动定理
由
d dt
(mvC
)
n
i 1
F (e) i
得
m dvC dt
n
F (e) i
i 1
n
或
maC
F (e) i
i 1
称为质心运动定理，即：质点系的质量与质心加速度的乘
则
vC
常矢量
若
F (e) x
0
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B、D和BD杆组合体质心在A处，有：
POA mvE P组合 3mvA
VA和VE方向相同，有：
P mvE 3mvA
Px
7 2
ml
sin
Py
7 ml
2
cos
P
7
ml
sin
i
7
ml
cosj
2
2
例：A、B、滑轮O质量均为m。
解：
求系统的动量。
滑轮质心速度为零： A、B的动量大小相等，方向相反，有：
解： 以物块和小球整体为研究对象，垂直方向受力 为重力和约束反力；水平方向不受外力作用，水 平方向动量守恒。
杆的角速度为：
即0时
最大
杆铅垂时，球相对于物块有最大的水平速度，则有：
vr lmax
动系固结在物块
小球速度向左时，物块应有向右的速度v
小球向左的绝对速度值为：
水平方向动量守恒，有： mAv mB vr v 0
Fymax m1 m2 g m22e
Fymin (m1 m2 )g m22e
例：水流过弯管，流速V=2m/s，管径d=0.3m， 忽略重力。求弯头处受力。
解： t时间内流过质量为m的水 拐弯前，有：
q—体积流量 —密度
拐弯后，有： 由动量定理，可知：
Py2 Py1 N y t
初动量：
p1x
G2 g
v0
末动量：
p2 x
G2
g
G3
v
动量定理： p2x p1x
I
(e) x
G2
g
G3
v
G2 g
v0
Ff
t
得： Ff 142 N
§10-3 质心运动定理
1. 质量中心
质点系在力的作用下，其运动状态与各质点的质量及其 相互位置都有关系。
与重心类似，质心位置：
质心位置反映质点系质量分布的一种特征
得基础反力： Fx m22esin t
Fy (m1 m2)g m22ecost
电机不转时，基础只有静反力：(m1 m2 )g
动反力是系统运动附加产生的
X方向附加动反力： m22esint Y方向附加动反力： m22e cost
是转子偏心引起的谐变力，会引起电机和基础振动 Fxmax m2 2e Fxmin m2 2e
xc
mi xi mi
矢量和。
质点系的动量对时间的导数等于作用于 质点系的外力的矢量和
积分：
P0为t=0时质点系的动量。
质点系动量定理的 积分 形式: 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段
时间内作用于质点系外力冲量的矢量和。
质点系动量定理在直角坐标的投影式：
和
px py
p0 x p0 y
(e) x
(e) y
第十章 动量定理
§10 -1 动量与冲量
1.动量
质点的动量：质点的质量与速度的乘积，mv
动量的量纲：
动量的单位： kg m / s
质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和。
flash
质心坐标： 质点系质量中心 C的矢径和速度：
结论：质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积 用来分析刚体很方便
例：椭圆规机构，OA=l，AB=AD=l，AO、 BD、B、D质量均为m，曲柄OA角速度为 。求系统的动量。
质点动量定理的 微分 形式： 质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
质点动量定理的 积分 形式：
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在 同一时间内的冲量。
2.质点系的动量定理 n个质点的质点系，质点i上作用有:
=
n个方程，两端分别相加：
外力 内力
质点系动量定理的 微分 形式： 质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的
分析：运用质点系动量定理。
取电动机外壳与转子组成质点系，这样 可不考虑使转子转动的内力。
外力有重力、基础反力和反力偶。
质点系的动量就是转子的动量。
p m2e
设t=0时，O1O2铅垂。φ=ωt 由动量定理的投影式，得：
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1g
m2g
px m2e cost
py m2e sin t
pz
p0 z
(e) z
例： 物体沿斜面下滑，摩擦系数为f，斜 面倾角为，初速为V1。求其增速一倍时 经历的时间。
解：
质点动量变化=力在 t 内的冲量，有：
px
p0 x
t
0
Fxdt
t
v1
g(sin f cos)
例10-1：电动机外壳固定在水平基础上，定子质量为m1，转子质量为m2， 如图所示。设定子的质心位于转轴的中心O1，由于制造误差，转子的质心 O2到O1的距离为e，已知转子匀速转动，角速度。求基础的支座反力。
解： (1)可用动量守恒求末动量
X (e) 0 系统在水平方向动量守恒
px0
G1
G2 g
v0
px
G1
G2 g
G3
v
px0 px
G1
G2 g
v0
G1
G2 g
G3
v
v
G1 G2 G1 G2 G3
v0
3km/ h
0.833m / s
(2)已知初、末动量和时间 求内力， 可取分离体用动量定理求解。
所以：
例：已知履带质量为m1，每个均质车轮质量为m2，半径为R， 前进速度为V，求系统的动量。
解：
P mvc
P m总v (m1 2m2 )v
2. 冲量
冲 量：作用力与作用时间的乘积
微分形式：
dI称为元冲量
冲量的量纲：
冲量的单位： N S
§10-2 动量定理
1. 质点的动量定理 牛顿第二定律 ma=F 可写成： 或：
V,较大时需加支座
3.质点系动量守恒定律
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质点系的动 量保持不变。
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影恒等 于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影不变。
dpx
dt
F (e) ix
=恒量
例10-3：物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为 mB，以细杆与物块铰接。设杆长为L，质量不计，初始时系统静止，并有 初始摆角0；释放后，杆近似以 0coskt 规律摆动（k为已知常数）。求： 物块A的：A、B质量各为m1、m2，初始静止， 不计摩擦。求B的加速度。
解： 总动量在X轴守恒 动系固定B上
再由物块A：
m1ax X
可解得： 也可得FN，此时，FNm1g+m2g=(m1+m2)g
例：小车重G1=2kN，车上箱子重G2=1kN， v0=3.5km/h。重G3=0.5kN 的物体铅垂落入箱内。 (1)求此后小车速度；(2)若物体落入后，箱子沿 小车滑动了0.2s才相对停止，求箱子与小车间的 摩擦力的平均值。