《空间解析几何》学习指导

《空间解析几何》学习指导

一、教学目的与课程性质、任务。

《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。

二、教学要求

通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下：

第一章向量与坐标

1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念

2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念

3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则

4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义

5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律

6理解线性相关和线性无关的含义

7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系.

8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系

9掌握投影与矢量模及夹角的关系.

10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线

12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系

第二章轨迹与方程

1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系

2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征

3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法

4 了解螺旋线的方程.

第三章平面与空间曲线

1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程

2 熟练掌握平面方程几种形式的求法

3 熟练掌握点到平面的距离公式

4 熟练掌握平面与平面的夹角公式

5 了解平面与平面的三种位置关系并能根据平面的方程判断其关系

6 了解直线方程的各种类型的形式

7 熟练掌握直线标准方程和一般方程的求法.

8 掌握能根据直线的方程和平面的方程判断二者之间的关系

9 了解直线与平面之间夹角的概念及计算公式

10 掌握直线与直线的四种关系的判断，掌握直线与直线的夹角公式，了解异面直线的距离公式

11 掌握点到空间直线的距离公式

12掌握两类平面束的概念及方程，能用平面束的性质解决有关的问题

第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面

1 掌握两类平面束的概念及方程，能用平面束的性质解决有关的问题

2 了解锥面的有关概念，掌握锥面方程的求法

3 掌握旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋转曲面方程的求法，了解几个常见的旋转曲面

4 了解椭球面的概念及方程，熟练掌握椭球面的性质和截线的形状及方程

5 了解双曲面的概念及方程，熟练掌握双曲面的性质和截线的形状及方程

6 了解两类抛物面的概念及方程，熟练掌握抛物面的性质和截线的形状及方程

7 了解直纹曲面的概念，熟练掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的求法及性质.

第五章二次曲线的一般理论

1 了解二次曲线的基本概念.

2 了解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的概念

3 熟练掌握渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类

4 了解二次曲线的切线及奇点、正常点的概念，熟练掌握二次曲线的切线的求法

5 了解二次曲线的直径及共轭方向、共轭直径的概念，熟练掌握二次曲线的直径的求法.

6 了解二次曲线的主直径与主方向、特征方程及特征根的概念，熟练掌握各类二次曲线的主直径的求法

7 了解移轴及转轴变换，熟练掌握利用移轴及转轴化简二次曲线

方程的方法，二次曲线的分类.

8了解不变量与半不变量的概念，熟练掌握利用不变量化简二次曲线方程的方法. 三、课程的重点和难点

本课程的重点

第一章向量与坐标

1矢量及矢量的相等的概念

2矢量加法的三角形法则和平行四边形法则

3数乘矢量的定义.

4利用矢量线性相关和线性无关判断矢量共线、共面.

5空间坐标系的概念；矢量坐标和点的坐标的概念及关系.

6矢量投影的计算公式

7矢量的矢性积的概念；矢积坐标的公式.

8混合积的计算公式.

第二章轨迹与方程

1 曲面方程的概念；曲面矢量参数方程的求法

2 平行于轴的柱面方程的概念及其方程的求法

3 空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法

第三章平面与空间曲线

1 平面点法式方程与一般式方程的求法.

2 点到平面的距离公式.

3 平面与平面的夹角公式

4 直线标准方程和一般方程的求法.

5 直线和平面二者之间关系的判断.

6 直线与直线的四种关系的判断

7 点到空间直线的距离公式.

第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面

1 平面束的概念及方程.

2 锥面方程的求法.

3 旋转曲面方程的求法

4 椭球面的性质和截线的形状及方程.

5 双曲面的性质和截线的形状及方程

6 抛物面的性质和截线的形状及方程

7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的求法及性质.

第五章二次曲线的一般理论

1 二次曲线的相关表示符号

2 渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类

3 二次曲线的切线的求法

4 二次曲线的直径的求法.

5 二次曲线的主直径的求法

6 利用移轴及转轴化简二次曲线方程.

7利用不变量化简二次曲线方程的方法

本课程的难点

第一章向量与坐标

1 矢量共线、矢量共面的判定

2加法的运算律的证明.

3数乘矢量的运算律的证明.

4矢量投影的计算公式的证明.

5数积与矢量坐标的关系

6混合积运算律的证明

第二章轨迹与方程

1 曲面参数方程的求法

2 空间曲线矢量参数方程的求法

第三章平面与空间曲线

1 平面方程不同形式之间的互相转化.

2 平面与平面的夹角公式的推导.