《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》教学中的探索研究
《空间解析几何》教学中的探索研究《空间解析几何》是高中数学教学中的一门重要课程，也是同学们在学习数学的过程中接触到的较难的一门课程。
在教学中，教师可以通过探索研究的方式，提高学生对空间解析几何的理解和运用能力。
本文将从几何的角度出发，探索《空间解析几何》教学中的探索研究。
教师可以通过让学生观察几何图形、分析几何图形的性质等方式，引导他们主动思考和探索。
可以让学生观察三维图形的投影，分析投影的性质，探索投影的关系等。
通过学生的观察和分析，可以引导学生逐步理解和掌握空间解析几何的基本概念和性质。
教师可以设计一些列探索性的问题，让学生通过自主探索和思考，发现问题的解决方法。
可以设计一些关于直线和平面的交点、距离和夹角的问题，让学生通过推理和推导，找到解决问题的规律和方法。
通过这种方式，可以提高学生解决问题的能力和思维能力，培养他们的探索精神和创造能力。
教师可以利用教学软件和多媒体等现代教育技术手段，结合实际生活中的例子和案例，让学生通过实际操作和观察，探索解决问题的方法。
可以利用几何软件，设计一些与实际场景有关的问题，让学生通过模拟实验和观察，发现问题的解决方法。
通过这种方式，可以将数学知识与实际生活相结合，提高学生的学习兴趣和学习效果。
教师还可以组织一些与空间解析几何有关的数学竞赛和活动，鼓励学生积极参与并展示自己的创造和发现。
可以组织学生通过编写程序模拟解决空间解析几何问题，或者设计一些与实际生活有关的几何推理题，让学生利用空间解析几何的知识解决问题。
通过这种方式，可以培养学生的团队合作精神和创新意识，激发他们对数学学习的兴趣和热情。
《空间解析几何》教学中的探索研究是一种有效的教学方法，可以提高学生对空间解析几何的理解和运用能力。
教师可以通过引导学生观察和分析几何图形的性质，设计探索性问题，利用教育技术手段和组织数学竞赛和活动等方式，培养学生的探索精神和创造能力。
通过这种方式，能够更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果和学习能力。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点在数学中，解析几何是研究几何图形与代数表达式之间关系的分支学科。
解析几何广泛应用于物理、工程学和计算机图形学等领域。
而在解析几何中，空间解析几何是其中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形状和位置关系。
本文将就空间解析几何的一些重要知识点进行探讨。
一、平面与直线的表示在空间解析几何中，平面和直线是两个基本的几何概念。
我们可以通过向量和点坐标来表示平面和直线。
对于平面来说，如果已知平面上的一个点A和两个不共线的向量AB和AC，那么平面上的任意一点P都可以表示成向量AP的线性组合，即P=A+x(AB)+y(AC)，其中x、y为实数。
而对于直线来说，如果已知直线上的一个点A和一个不为零的向量u，那么直线上的任意一点P都可以表示成P=A+tu，其中t 为实数。
二、平面与平面的位置关系在空间解析几何中，平面与平面的位置关系有三种情况：相交、平行和重合。
我们可以通过向量来判断平面与平面的位置关系。
如果两个平面的法向量不平行，那么它们一定相交于一条直线；如果两个平面的法向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两个平面的法向量相等，那么它们重合。
三、直线与直线的位置关系在空间解析几何中，直线与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和重合。
我们同样可以通过向量来判断直线与直线的位置关系。
如果两条直线的方向向量不平行，那么它们一定相交于一个点；如果两条直线的方向向量平行但不重合，那么它们一定平行；如果两条直线的方向向量相等，并且经过它们的一点也相等，那么它们重合。
四、平面与直线的位置关系在空间解析几何中，平面与直线的位置关系也有三种情况：相交、平行和包含。
对于平面与直线的相交关系，我们可以通过求解平面与直线的交点来判断。
如果平面与直线有且只有一个交点，那么它们相交；如果平面与直线没有交点，那么它们平行；如果平面包含直线，那么它们重合。
五、球面与直线的位置关系在空间解析几何中，球面与直线的位置关系也有三种情况：相交、不相交和切线。
向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
空间解析几何复习纲要
向量与空间解析几何内容提要(一)向量和空间直角坐标系 1．概念 （1）向量既有大小又有方向的量称为向量，常记为→a 、→b 、→c ，或→AB 、→CD 。
只有大小没有方向的量称为标量。
（2）径向量给定坐标原点O ，设P 为空间中任意一点，则称向量→OP 为点P 相对于原点O 的径向量。
任一向量都可以看作是空间中某一点相对于原点O 的径向量。
（3）模向量→a 的大小称为它的模，记作||→a 或a 。
模为0的向量称为零向量，记作→0。
（4）单位向量模为1的向量称为单位向量。
与向量→a 同方向的单位向量记为||→→→=→a ae a 。
（5）向量的坐标表示设向量→a 的起点为坐标原点，则其终点的坐标),,(z y x a a a 称为向量→a 的坐标，记作},,{z y x a a a a =→，向量→a 的模为222||z y x a a a a ++=→。
设),,(1111z y x M =，),,(2222z y x M =为空间中两点，则以1M 为起点，2M 为终点的向量},,{12121221z z y y x x M M ---=→。
（6）向量的夹角，平行，垂直对任意两个非零向量→→=OA a 和→→=OB b ，称=θ∠AOB 为向量→a 和→b 的夹角，并规定],0[πθ∈。
向量→a 和→b 的夹角通常记为∧→→b a ,或),(∧→→b a 。
当0,=∧→→b a 或π时，称→a 与→b 平行，也称→a 与→b 共线，记作→→b a //；当2,π=∧→→b a 时，称→a 与→b 垂直或正交，记作→→⊥b a 。
（7）方向余弦设向量→a 与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为γβα,,，则αcos 、βcos 、γcos 称为向量→a 的方向余弦，它们满足等式1cos cos cos 222=++γβα。
2．向量的运算（1）加法把向量→b 的起点移到向量→a 的终点，则以向量→a 的起点为起点，向量→b 的终点为终点的向量称为向量→a 和→b 的和，记作→→→+=b a c 。
空间解析几何与向量代数学习指导
第七章 空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。
通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。
也为学习多元微积分做准备。
重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。
（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O ，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。
当1e ，2e ，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。
在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。
关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。
2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。
书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：，a等。
②可由向量的坐标来把握向量。
必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,=的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---=，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系： 12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。
因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。
当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。
3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。
如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。
空间解析几何知识点总结
空间解析几何知识点总结
空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它研究的是三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
以下是空间解析几何的一些重要知识点总结：
1. 空间直角坐标系，空间解析几何的基础是空间直角坐标系，通常用三个相互垂直的坐标轴来表示三维空间中的点的位置。
2. 点的坐标，在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标（x, y, z）来表示，其中x、y、z分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
3. 点的距离公式，两点在空间中的距离可以通过三维空间中的距离公式来计算，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-
z1)²)。
4. 向量的运算，空间解析几何中，向量是一个重要的概念，它可以表示空间中的位移和方向。
向量的加法、减法、数量积和向量积是空间解析几何中常见的运算。
5. 空间直线的方程，空间直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示，这些方程形式各有特点，可以根据具体问题的需要选择合适的表示形式。
6. 空间平面的方程，空间平面可以用点法式方程、一般方程等形式来表示，点法式方程可以直观地表示平面的法向量和过某一点的特点。
7. 空间几何体的性质，空间解析几何还涉及到一些空间几何体的性质，如球、圆柱、圆锥等的方程和性质。
8. 空间解析几何与其它学科的应用，空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在三维建模、空间定位、运动轨迹分析等方面发挥着重要作用。
以上是空间解析几何的一些重要知识点总结，希望对你有所帮助。
如果你还有其他问题，可以继续问我。
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大学数学的一门基础课程，主要研究几何对象在空间中的性质和相互关系。
以下是大一空间解析几何的一些主要知识点总结，供参考学习：1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是三维空间中最常用的坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，通常用x、y、z表示。
空间中的点可以由它们在三个坐标轴上的坐标表示。
2. 点的坐标计算：在空间直角坐标系中，给定一个点P，可以通过测量与三个坐标轴的距离，计算出点P的坐标。
例如，点P在x轴上的坐标为x，点P在y轴上的坐标为y，点P在z轴上的坐标为z。
3. 点、线、面的方程：通过坐标计算，可以得到点、线、面的方程。
例如，对于点P(x, y, z)，点P的坐标就可以通过方程x = x，y = y，z = z来表示。
对于直线l，可以通过两点的坐标计算直线的方程。
对于平面，可以通过三点的坐标计算平面的方程。
4. 空间中的距离：空间中两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设点P(x1, y1, z1)和点Q(x2, y2, z2)为两点，它们之间的距离为d，表示为d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]。
5. 点、线的位置关系：在空间解析几何中，点和线的位置关系有几种情况：点在直线上、点在直线外、点在直线的延长线上等。
可以通过点和线的坐标来判断它们的位置关系。
6. 直线的方向向量和参数方程：在空间直角坐标系中，直线可以用方程式表示，其中的参数t表示直线上的任意一点P的位置。
直线的方向向量可以用一个行向量表示，例如，直线l可以表示为l：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)，其中，(x0, y0, z0)表示直线上一点，(a, b, c)表示直线的方向向量。
7. 平面的法向量和一般方程：在空间直角坐标系中，平面可以用方程式表示。
平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C)为平面的法向量，D为常数。
空间解析几何教案
空间解析几何教案教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算，掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
6、点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；、两个向量垂直和平行的条件；、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；、点到直线以及点到平面的距离；、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；7? 1 向量及其线性运算一、向量概念向量? 在研究力学、物理学以及其他应用科学时? 常会遇到这样一类量? 它们既有大小? 又有方向? 例如力、力矩、位移、速度、加速度等? 这一类量叫做向量?在数学上? 用一条有方向的线段来表示向量? 有向线段的长度表示向量的大小? 有向线段的方向表示向量的方向.? 向量的符号?以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB? 向量可用粗体字母表示? 也可用上加箭头书写体字母表示? 例如? a、r、v、F或?a、r、v、F?自由向量? 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向? 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量? 并称这种向量为自由向量? 简称向量? 因此? 如果向量a和b的大小相等? 且方向相同? 则说向量a和b是相等的? 记为a ? b? 相等的向量经过平移后可以完全重合?向量的模? 向量的大小叫做向量的模?向量a、a、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB|?单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行?当两个平行向量的起点放在同一点时? 它们的终点和公共的起点在一条直线上? 因此? 两向量平行又称两向量共线?类似还有共面的概念? 设有k个向量? 当把它们的起点放在同一点时? 如果k个终点和公共起点在一个平面上? 就称这k个向量共面?二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法? 设有两个向量a与b? 平移向量使b 的起点与a的终点重合? 此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和? 记作a+b? 即c?a+b . 三角形法则?上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则?平行四边形法则?当向量a与b不平行时? 平移向量使a与b的起点重合? 以a、b为邻边作一平行四边形? 从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a?b? ?cC bCAaBB向量的加法的运算规律?交换律a?b?b?a?结合律?c?a?? ?由于向量的加法符合交换律与结合律? 故n个向量a1? a2? ? ? ?? an相加可写成a1?a2? ? ? ??an?并按向量相加的三角形法则? 可得n个向量相加的法则如下? 使前一向量的终点作为次一向量的起点? 相继作向量a1? a2? ? ? ?? an? 再以第一向量的起点为起点? 最后一向量的终点为终点作一向量? 这个向量即为所求的和?负向量?设a为一向量? 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量? 记为?a?向量的减法?我们规定两个向量b与a的差为b?a?b??即把向量?a加到向量b上? 便得b与a的差b?a? ? 特别地? 当b?a时? 有a?a?a??0?abbb?aab?a显然? 任给向量AB及点O? 有AB?AO?OB?OB?OA?因此? 若把向量a与b移到同一起点O? 则从a的终点A向b的终点B所引向量AB便是向量b与a的差b?a ?三角不等式?由三角形两边之和大于第三边的原理? 有|a?b|?|a|?|b|及|a?b|?|a|?|b|?其中等号在b与a同向或反向时成立?2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义?向量a与实数?的乘积记作?a? 规定?a是一个向量?它的模|?a|?|?||a|? 它的方向当?>0时与a相同? 当? 当??0时? |?a|?0? 即?a为零向量? 这时它的方向可以是任意的?特别地? 当1时? 有1a?a? a??a?运算规律?结合律 a；分配律 a??a??a； a??b?例1? 在平行四边形ABCD中? 设AB?a? AD?b?试用a和b表示向量MA、MB、MC、MD? 其中M是平行四边形对角线的交点?解由于平行四边形的对角线互相平分? 所以a?b?AC?2AM? 即 ??2MA? 于是 MA2DC因为MC??MA? 所以MC??2又因?a?b?BD?2MD? 所以MD?1?2B由于MB??MD? 所以MB??2向量的单位化? ?设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? |a|于是a?|a|ea?向量的单位化?设a?0? 则向量a是与a同方向的单位向量? 记为ea? |a|于是a ? | a | ea?定理1 设向量a ? 0? 那么? 向量b平行于a的充分必要条件是? 存在唯一的实数?? 使 b ? ?a? ?证明? 条件的充分性是显然的? 下面证明条件的必要性?设b // a? 取|?|?|b|? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a?|a|这是因为此时b与?a同向? 且|?a|?|?||a|?|b||a|?|b|?|a|再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得a?0? 即|||a|?0? 因|a|?0? 故||?0? 即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴? 设点O及单位向量i确定了数轴Ox? 对于轴上任一点P? 对应一个向量OP? 由OP//i? 根据定理1? 必有唯一的实数x? 使OP?xi? 并知OP与实数x一一对应? 于是点P?向量OP? xi?实数x ?从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系? 据此? 定义实数x为轴上点P的坐标?由此可知? 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP? xi ? 三、空间直角坐标系在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴、y轴、z轴? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?注: 通常三个数轴应具有相同的长度单位?通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线? 数轴的的正向通常符合右手规则?? 坐标面?在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面?x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面?《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
空间解析几何基础知识
=0,y=0.
方程F (y, z) =0 表达:
母线平行于 x 轴旳柱面, 准线为yoz面上旳曲线
C: F (y, z) = 0 , x = 0 . 19
例4 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几 何中分别表达什么图形？
(1) x 2; (2) x2 y2 4; (3) y x 1.
x2 y2 a2 b2 1
31
四、平面区域旳概念及其解析表达
平面上具有某种性质P旳点旳集合,称为平面点集,
记作 E { ( x, y) ( x, y)具有性质 P}
例如,平面上以原点为中心、r为半径旳圆内
全部点旳集合可表达为
y
C {(x, y) x2 y2 r2 }
o rx
32
1.邻域
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S旳方程, 而曲面S 叫做方程F (x, y, z) =0旳图形 .
12
例3 已知A(1,2,3) ，B(2,1,4) ，求线段AB 的垂直
平分面的方程.
解 设M ( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 ( x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2 ,
D {( x, y) | ( y) x ( y), c y d }
y
d
x ( y)
x ( y)
c
x
o
36
练习：
P138 4.(做在书上) 5.
37
50
9
9
9
2º 球面方程
建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、
半径为 R 的球面方程.
《空间解析几何》学习指导
《空间解析几何》学习指导一、教学目的与课程性质、任务。
《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。
本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。
本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。
二、教学要求通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。
逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。
具体要求如下：第一章向量与坐标1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律6理解线性相关和线性无关的含义7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系.8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系9掌握投影与矢量模及夹角的关系.10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系第二章轨迹与方程1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法4 了解螺旋线的方程.第三章平面与空间曲线1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程2 熟练掌握平面方程几种形式的求法3 熟练掌握点到平面的距离公式4 熟练掌握平面与平面的夹角公式5 了解平面与平面的三种位置关系并能根据平面的方程判断其关系6 了解直线方程的各种类型的形式7 熟练掌握直线标准方程和一般方程的求法.8 掌握能根据直线的方程和平面的方程判断二者之间的关系9 了解直线与平面之间夹角的概念及计算公式10 掌握直线与直线的四种关系的判断，掌握直线与直线的夹角公式，了解异面直线的距离公式11 掌握点到空间直线的距离公式12掌握两类平面束的概念及方程，能用平面束的性质解决有关的问题第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面1 掌握两类平面束的概念及方程，能用平面束的性质解决有关的问题2 了解锥面的有关概念，掌握锥面方程的求法3 掌握旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋转曲面方程的求法，了解几个常见的旋转曲面4 了解椭球面的概念及方程，熟练掌握椭球面的性质和截线的形状及方程5 了解双曲面的概念及方程，熟练掌握双曲面的性质和截线的形状及方程6 了解两类抛物面的概念及方程，熟练掌握抛物面的性质和截线的形状及方程7 了解直纹曲面的概念，熟练掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的求法及性质.第五章二次曲线的一般理论1 了解二次曲线的基本概念.2 了解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的概念3 熟练掌握渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类4 了解二次曲线的切线及奇点、正常点的概念，熟练掌握二次曲线的切线的求法5 了解二次曲线的直径及共轭方向、共轭直径的概念，熟练掌握二次曲线的直径的求法.6 了解二次曲线的主直径与主方向、特征方程及特征根的概念，熟练掌握各类二次曲线的主直径的求法7 了解移轴及转轴变换，熟练掌握利用移轴及转轴化简二次曲线方程的方法，二次曲线的分类.8了解不变量与半不变量的概念，熟练掌握利用不变量化简二次曲线方程的方法. 三、课程的重点和难点本课程的重点第一章向量与坐标1矢量及矢量的相等的概念2矢量加法的三角形法则和平行四边形法则3数乘矢量的定义.4利用矢量线性相关和线性无关判断矢量共线、共面.5空间坐标系的概念；矢量坐标和点的坐标的概念及关系.6矢量投影的计算公式7矢量的矢性积的概念；矢积坐标的公式.8混合积的计算公式.第二章轨迹与方程1 曲面方程的概念；曲面矢量参数方程的求法2 平行于轴的柱面方程的概念及其方程的求法3 空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法第三章平面与空间曲线1 平面点法式方程与一般式方程的求法.2 点到平面的距离公式.3 平面与平面的夹角公式4 直线标准方程和一般方程的求法.5 直线和平面二者之间关系的判断.6 直线与直线的四种关系的判断7 点到空间直线的距离公式.第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面1 平面束的概念及方程.2 锥面方程的求法.3 旋转曲面方程的求法4 椭球面的性质和截线的形状及方程.5 双曲面的性质和截线的形状及方程6 抛物面的性质和截线的形状及方程7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的求法及性质.第五章二次曲线的一般理论1 二次曲线的相关表示符号2 渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类3 二次曲线的切线的求法4 二次曲线的直径的求法.5 二次曲线的主直径的求法6 利用移轴及转轴化简二次曲线方程.7利用不变量化简二次曲线方程的方法本课程的难点第一章向量与坐标1 矢量共线、矢量共面的判定2加法的运算律的证明.3数乘矢量的运算律的证明.4矢量投影的计算公式的证明.5数积与矢量坐标的关系6混合积运算律的证明第二章轨迹与方程1 曲面参数方程的求法2 空间曲线矢量参数方程的求法第三章平面与空间曲线1 平面方程不同形式之间的互相转化.2 平面与平面的夹角公式的推导.3 直线方程不同形式之间的互换4 直线与平面之间夹角的概念及计算公式.5 异面直线的距离公式.6 点到空间直线的距离公式.第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面1锥面方程的求法.2 旋转曲面方程的求法3 截线的形状及方程.4 单叶双曲面与双曲抛物面是直纹曲面的证明第五章二次曲线的一般理论1 渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类2 二次曲线的切线的求法3 二次曲线的直径的相关定理4 二次曲线的主直径的相关定理.5 利用移轴及转轴化简二次曲线方程.6利用不变量化简二次曲线方程的方法四、学习方法指导1根据我校学生的实际和这门课的基础性与重要性，修读本课程共需120个学时，修读时间为一学期。
空间解析几何》对中学数学的指导作用
摘要空间解析几何其基本思想和主要任务是用代数方法研究几何问题，它是高师院校数学专业的一门基础课程，也是中学数学平面解析几何相关知识的延伸与推广，而“平面与空间直线”是贯穿于《空间解析几何》的灵魂，因此，笔者通过论述高师《空间解析几何》中的“平面与空间直线”的相关知识，介绍平面与空间直线对中学数学的影响，讨论其在中学数学中的应用，进而介绍如何运用空间解析几何中有关“平面与空间直线”的知识去解决中学立体几何的相关问题，本文在描述一些理论知识的同时，又例举一些实际且针对性强的问题，并做出详细的解答。
在理论与实践相结合的过程中，使学生对这部分知识加深认识与理解，为其能更好的应用打下基础。
关键词：平面，空间直线，解析几何，实际应用The Space analytic geometry guide for middle schoolmathematicsAbstract:Space analytic geometry and the basic ideas and the main task is to study the geometric problems by algebraic method, it is a basic course of mathematics in normal universities and professional, also is the middle school mathematical plane analytic geometry knowledge related to the extension and promotion, and "plane and space line"runs through the "soul" of space analytic geometry,Therefore, the author discusses the normal "analytic geometry" in the "plane and space line" knowledge,introduces the influence of plane and space line of middle school mathematics, discusses its application in mathematics teaching in high school, and then introduced how to use the "plane and space line" of space analytic geometry knowledge to solve related problems of middle school geometry, this paper describes some theoretical knowledge, and give some practical and targeted problems,and make a detailed answer.In the process of the combination of theory and practice, so that students in this part of the knowledge understanding and recognition, to lay the foundation for the application of the better.Keywords: plane, space analytic geometry,linear, practical application目录一、引言 (1)二、空间平面与空间直线中的基本概念 (1)（一）空间平面及其方程 (1)1.平面的点法式方程 (1)2.平面的一般方程 (1)3.两平面的夹角 (2)（二）空间直线及其方程 (3)1.空间直线的一般方程 (3)2.空间直线的对称式方程 (3)3.直线的参数方程 (4)4.直线的两点式方程 (4)5.两直线的夹角 (4)三、对中学数学的指导作用 (5)（一）加深对中学数学的理解 (5)（二）用较高的观点解决立体几何问题 (7)（三）寻求一题多解，培养发散思维 (12)四、收获与启示 (16)（一）培养学生的空间想象能力 (16)（二）培养学生的逻辑思维能力 (17)（三）培养学生分析和解决问题的能力 (19)五、结束语 (19)参考文献 (20)一、引言在高师的空间解析几何里，就可以通过坐标法和矢量法，建立空间平面、直线方程，利用方程去研究空间平面、直线的性质。
线性代数与空间解析几何学习指导——典型例题精解
线性代数与空间解析几何学习指导——典型例题精解线性代数与空间解析几何学习是高中数学课程中重要的一部分，学习者需要通过不断探究、实践才能掌握。
于是，典型例题精解就成为了线性代数与空间解析几何学习的重要手册。
今天，这本手册将为高中学生介绍如何学习线性代数与空间解析几何，从而帮助他们通过深入理解来完成学习任务。
典型例题精解涉及以下内容：1.性代数：典型例题精解中，我们将研究如何利用类似行列式的方法，计算向量、矩阵、多项式和向量空间等问题。
我们还会学习如何解方程组、利用特殊矩阵解决特定问题等知识。
2.间解析几何学习：在典型例题精解中，我们将研究如何绘制空间几何图形，如直线、平面、面的基本形状，如平行四边形、梯形和三角形等，以及如何解决相关空间几何问题。
为了让大家更好地了解典型例题精解，让我们来看看以下实例。
第一个例题：求解 X= 2A+3B，其中A=（3，4，5），B=（5，7，8），X=（x1，x2，x3）。
解法：由题意，X= 2A+3B，其中A=（3，4，5），B=（5，7，8），X=（x1，x2，x3）。
等式可以表示为：X1 = 2*3 + 3*5 = 21X2 = 2*4 + 3*7 = 30X3 = 2*5 + 3*8 = 39即X1=21，X2=30，X3=39第二个例题：求出平面ABCD中，AB=4，AD=3，∠BAC=90°，AC 的长度。
解法：由∠BAC=90°，可知AC是一条直角线，又因为AB=4，AD=3，AC 为直角三角形的斜边，所以AC的长度可以用勾股定理求得：AC=√（4 + 3）=（16 + 9）=25 = 5因此，AC的长度为5。
以上就是线性代数与空间解析几何学习指导典型例题精解的简介，由此可见，典型例题精解对于学习者来说，有助于理解和掌握线性代数与空间解析几何学科的基础知识，解决学习中遇到的问题，在有效的控制学习时间和学习成本的基础上，进行高效学习。
《空间解析几何》课件
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领 域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解 析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等， 求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义 。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模 等基本概念。
空间解析几何
空间解析几何第一节课程概论1、解析几何的起源与发展公认的解析几何的创始人是法国哲学家、数学家笛卡儿（R.Descartes 1596—1650）.笛卡儿对欧氏几何十分偏爱，又深感不安.几何命题的每一步证明，总是要求某种新的、依赖于图形直观的奇巧构思.能不能有更好的一般方法呢？他深信，只要把几何和代数的力量结合在一起，互相取长补短，就能弥补欧氏几何的缺陷，就能找到一种解所有几何问题的统一方法.1637年，《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（简称《方法论》）一书出版，作为该书三个附录之一的《几何学》，阐述了他的坐标几何的思想，标志着解析几何的诞生.笛卡儿的《几何学》共分三卷.卷一讨论直线型和圆的尺规图，用语言叙述代替坐标的使用；卷二讨论曲线的性质及巴布什的轨迹问题；卷三讨论当时流行的图解方程问题，特别是三次以上的代数方程图解问题，其中包含了笛卡儿的符号法则.笛卡儿在《几何学》中通过选定一条射线作为基线的方法建立了倾斜坐标系.用两个坐标x,y表示平面点的位置，形成了明确的坐标概念.然后，他借助于坐标，并通过点动成线的观点用以建立曲线的方程.笛卡儿的方程不只是已知数和未知数之间的一个关系式，不只是古典代数学家心目中的方程，而是两个变数之间的一个关系式，而是平面曲线的一种全新的表示方法.这就实现了代数与几何的相互结合，开创了一门崭新的数学学科——坐标几何.1792年被拉克鲁瓦（Lacroix）定名为解析几何.解析几何的课题有两类：一类是已知方程求曲线，用方程的代数性质研究对应曲线的几何性质.另一类是已知曲线或仅仅是曲线的某些几何特征，确定曲线的方程，并用曲线的几何性质探讨对应方程的代数性质.总之，笛卡儿的功绩在于：它证明了几何问题可以转化为代数问题，因此，可以使用代数方法研究几何对象，或者说，用形来表示数，用数来研究形，进而探讨周围变化着的客观世界.因为客观世界不过是固体化了的空间，或者说是几何学的化身.正如笛卡儿所说：“给我延展和运动，我将把宇宙构造出来.”笛卡儿的解析几何向着实现这一目标，前进了一大步.笛卡儿研究了线段的定比分点、两点间的距离、三角形的面积等简单几何问题，并用含已知点的坐标的代数公式给出了这些几何问题的解.进一步，它指出，如果两条曲线以同一个坐标系为参考，则其交点由它们的方程的公共解来确定.求出曲线y=f(x)与直线y=0的交点，相当于找到了代数方程f(x)=0的解，这就创造了一种用几何曲线解代数方程的图解法.虽然他称之为《几何学》，实质上并不是解析几何，只是一部几何代数学.值得一提的是，笛卡儿对坐标几何的贡献只是他研究哲学的附产品，他的唯一数学专著《几何学》，只是他的哲学著作《方法论》的三个附录之一.他根据自己的经验和体会，总结出一套科学研究的方法：将一切问题化为代数方程求解的问题，最后将方程的解给以几何的或物理的解释.这种解题模式充分体现了笛卡儿宣称的科学的本质是数学的观点.为科学研究提供了最重要的数学方法——代数分析法.笛卡儿认为：古希腊人只能证明那些偶然想到的定理，他们没有系统的方法.只有他自己，把代数解析的方法用于几何，才解决一般问题.自然，笛卡儿的工作也不是完美无缺的.他没有引入第二条坐标轴，即y轴；也没有明确使用过“横坐标”、“纵坐标”、“坐标”等解析几何的语言.他的坐标轴只有正向而没有负向，因此，他的曲线仅限于x取正值的第一象限之内.加之语言晦涩，过于精简，人们很难弄清它的基本思想，这就大大限制了他的新颖思想在数学上乃至整个科学上的革命性意义.严格地说，笛卡儿创立的新几何应称为代数几何或坐标几何.现在统称为解析几何是历史原因形成的.在十八世纪，人们把“代数”和“解析”两个词等同对待，当时的解析法即为代数法.因此，为这门新几何命名时，称之为解析几何，后来，一直沿用到现在.同笛卡儿几乎同时的另一位著名法国数学家费马（Fermat 1601——1665），他与笛卡儿相区别：笛卡儿侧重从轨迹出发然后寻找它的方程，而他则从方程出发然后来研究轨迹；笛卡儿对希腊人的传统持批判的观点，而他是从继承希腊人的思想开始工作的.但他俩确实异途同归，同时而又各自独立地创立了解析几何，理应分享这一崇高的殊荣.1629年费马写成《平面和空间轨迹引论》一书，内容是关于直线、圆锥曲线方面的.只是过了半个世纪才公开发表.书中通过引进坐标，找到了用研究代数方程推断曲线性质的一般方法，从而将几何命题的证明归结为一种代数技巧，降低了几何证明的繁难程度.费马精辟地加以概括：“凡含有两个未知数的方程，总可确定一个轨迹，并能画出一条直线或曲线.”但是，费马和笛卡儿一样，既没有y轴的概念，也不用负数，不能认为是成熟的坐标几何.费马一生的职业是法官，要求尽量避开社交界，以超凡脱俗的姿态审案判案.为此，他把全部余暇用于数学.对十七世纪数学的所有分支，无论是解析几何、数论、微积分、概率论等都卓有建树.被称为“业余数学家之王”.他一生谦虚谨慎，性格怪异，很少发表文章.他的成果很多是他去世后留下的旧纸堆或书籍边缘的空白处发现的，也散见于他与朋友的书信中，许多资料直到现在，还很有研究价值.笛卡儿和费马创立的解析几何都很不完善.稍后一点，英国数学家，皇家学会创始人、牛津大学几何教授瓦里斯（Wallis 1616——1703）在1655年出版的《圆锥曲线论》一书中，才引进了纵横轴和负坐标，把曲线范围扩大到整个实平面，才使笛卡儿和费马创立的解析几何完善起来.这部著作中，他还考察了阿波罗尼的圆锥曲线理论，用代数方程定义圆锥曲线，历史上第一次搞清了圆锥曲线就是含ｘ，ｙ的二次方程所表示的曲线.把坐标几何推广到三维空间的是拉·希尔（L·Hire）的工作，他在1679年的论文中，用三个坐标表示空间的点，并给出了空间曲面的方程，尽管这之前，笛卡儿和费马也有类似的设想，不过始终没能变为事实.1691年雅各·伯努利（Jakob·Bernoulli1654——1705）引入了极坐标，先后发现了双纽线，悬链线、对数螺线和旋轮线等多种特殊曲线.1704年，牛顿(Nenton1642——1727)在他的《三次曲线之枚举》一书中，将平面三次曲线细分为七十二种.书中定义了三次曲线的直径概念.牛顿与瓦里斯一样，正确地使用了纵横轴和负坐标，使曲线与方程名副其实地形成一一对应的关系.1705年．居西尼（Guisnee）在《代数在几何中的应用》一书中，第一次明确使用直角坐标系.1731年，法国的克雷洛(Clairaut 1713——1765)指出，表示空间曲线需要两个曲面方程；而x,y,z的齐次方程则表示顶点在原点的锥面.第一本现代形式的解析几何教程是1784年出版的欧拉（Euler 1707——1783）的《无穷小分析引论》.该书的第二部分专讲几何学，引入了直角坐标、斜角坐标和极坐标的概念；使用了弧度制，定义了三角函数，给出了六种三角函数的现代记号；详尽地研究了一般二次曲线以及部分高次曲线；定义了欧拉角，给出了空间直角坐标变换的公式，考察了一般形式的三元二次方程表示的曲面，以及将它化为锥面、柱面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛物面的方法.1788年法国数学家、天文学家、物理学家拉格朗日（Lagrange 1736——1813）发表了他的力学著作《解析力学》，书中使用向量表示力、速度和加速度等具有方向的量，用于研究质点力学和刚体力学，为向量几何奠下了第一块基石.1804年法国数学家蒙日(Monge 1746——1818)和他的学生哈歇特(Hachette)在《代数在几何中的应用》一书中，证明了二次曲面的平截线是二次曲线，单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹曲面.欧拉，拉格朗日和蒙日公认为是使解析几何成为一门独立学科的最重要的三位数学家.1827年和1831年，德国的莫比乌斯（Mobius）和普吕克(Plucker)，分别在《重心计算》和《解析几何的发展》两本书中各自独立地引进了齐次坐标，用以研究曲线的无穷远性质.1844年，德国人格拉斯曼（Grassmann）最先提出多维欧氏空间的概念，引进了向量的记号，定义了向量的数量积，使解析几何从坐标代数进入向量代数的更高阶段.解析几何的近代发展，产生了无穷维解析几何与代数几何两门新的几何分支.无穷维解析几何是建立在德国数学家康托(Cantor)无限集基础上的一门新兴的几何学.弗雷歇(Frechet 1878——1973)、里斯(Riesz 1880——1956)、希尔伯特（D.Hilbert 1862～1943）等为他的创立和发展做出了重要贡献.无限维的希尔伯特空间是n维欧氏空间的一种推广，它要求无限个变元的平方和收敛，换成几何语言则是希尔伯特空间中任一点到坐标原点有一个有限的距离，这门学科在量子力学上有着广泛的应用.古典的代数几何学以多项式理论为工具，考察三次和三次以上的代数方程或方程组表示的曲线和曲面的结构和性质.前面提到，牛顿研究过三次曲线.1839年，普旅客在他的《代数曲线理论》一书中，为代数几何奠定了基础；凯莱和库麦尔(Kummer)分别于1849年和1864年研究了三次曲面和四次曲面的性质.19世纪后半叶，意大利学派把这类研究推广到n维空间.现代的代数几何学使用抽象代数（交换环、同调代数）和拓扑学（层论，同调理论）的理论和方法，为这门学科准备了新的基础，特别要提到20世纪著名的女数学家爱米·诺特(E·Noether 1882——1935)，他的学生范·德·瓦尔登(Vander Waerden)，以及魏依(A Weil)、查瑞斯基(Zariski)、塞尔（Serre）、小平邦彦等杰出代表的贡献，与古典代数几何相比较，主要在两方面做了推广：一是研究对象推广到流行或簇（代数流形、复流形或高维代数簇）；二是定义流形或簇的方程系数从实域、复域的元素推广到一般的抽象环或域中的元素.与之相应，研究方法也从古典的算术、代数、几何法更新为抽象代数学的方法、拓扑的方法.要指出的一点是，代数几何学是一门十分艰难，而又成果迭出的数学学科.上世纪六十年代以来，好些数学家因这方面的成果而获得菲尔兹奖.可惜的是在这个领域内，我国还几乎是个缺门.尽管1986年以来，华东师范大学以肖钢为首的一批青年人做过一些出色的工作.2、与本课程相关的课程及课程教材参考资料《解析几何》课程是数学类专业的三门基础课（数学分析、高等代数、解析几何）之一.它和分析、代数有密切的联系，它能为分析中抽象性质作直观解释，并为代数中的抽象对象提供具体模型，使几何、分析与代数形成不可分割的有机整体.解析几何在工程技术、物理、化学、生物、经济等其他领域里都有广泛的应用.作为高等数学的部分内容，为理工科专业，提供必需的数学基础；它是数学类专业后继课程，诸如《高等几何》、《微分几何》、《多元函数微积分》和《微分方程》等课程的重要基础.《空间解析几何》课程以实数代数和向量代数为工具来研究欧几里得三维空间几何.为了配合欧氏空间度量性质的特点，以笛卡儿直角坐标系为主，同时要会运用向量和坐标两种方法.至于仿射解析几何与射影解析几何，放在高等几何课程里学习.教材:《解析几何》（第四版）吕林根许子道编.高等教育出版社,2006.5教材参考:（1）《空间解析几何》南开大学主编.高等教育出版社,2002年（2）《空间解析几何》王敬庚傅若男主编.北京师范大学出版社,2004年（3）《解析几何》丘维生编.北京大学出版社,1996年（4）《空间解析几何》李养成郭瑞芝编.科学出版社2004年（5）《解析几何》学习辅导书吕林根编，高等教育出版社2006年3．本课程学习的课时安排解析几何课程安排在第一学年第一学期，讲授课时大约64课时.课时分配（可适当调整）：第二节课程主要内容简介《空间解析几何》主要内容包括五个方面:（一）向量代数；（二）空间的一次问题（平面与空间直线）；（三）特殊曲面与空间曲线；（四）一般二次曲线问题的理论研究（平面解析几何的补充）；（五）空间的二次问题.教材按六章进行编排,以下按章节顺序作一简要介绍:第一章、向量与坐标向量与坐标是学习解析几何的基础,十分重要.本章介绍了向量代数的基本知识和标架与坐标的概念,系统地介绍了向量及其线性运算(向量的加法与数乘)与乘法运算（向量的数量积,向量积,混合积与双重向量积）,并证明了这些运算的算律.这样就把空间的几何结构向量化、代数化了,从而也就把代数的方法引入到几何中来了.又通过标架与坐标的介绍引入了仿射坐标系与直角坐标系,建立了空间向量的坐标(分量)与空间点的坐标,给出了向量各种运算的坐标表示,从而使向量的运算转化为数的运算,这样就把几何问题的讨论推进到可以计算的数量层面.今后我们还会看到,空间的曲面与曲线都可以用方程来表示,并通过方程来研究这些图形性质.这些都是解析几何的根本思想方法.本章内容分为三个单元.第一单元：向量及其线性运算该单元内容包括四点.1.向量的相关概念；2.向量的加（减）法；3.数量与向量的乘法；4.向量的分解.第二单元：标架与坐标该单元内容包括五点.1.标架与坐标的关系；2.坐标系建立的要素；3.向量的代数表示;4.直角坐标系下两个基本公式——距离公式与分点公式；5.向量的方向余弦与方向数.第三单元：向量的乘法本单元内容包括四点.1.两向量的数量积（数量积的定义，运算律，向量与坐标表示）；2.两向量的向量积（向量积的定义，运算律，向量与坐标表示法）；3.三向量的混合积（混合积的定义，运算律，向量与坐标表示法）；4.三向量的双重向量积（双重向量积的定义，性质，坐标表示）.第二章、轨迹与方程本章是在建立了坐标系，使得空间的点有了坐标后，进一步建立作为点的轨迹的曲线与曲面和其方程的联系，也就是曲线与曲面都可以用其方程来表示，这样几何问题也就转化为代数问题，可用代数的方法来研究几何了.本章内容分为三个单元.第一单元:平面曲线的方程.本单元内容包括两点.1.平面曲线方程建立;2. 参数方程与其普通方程的互化(互化时的等价性).曲线方程的建立有两种方法，一种是直译几何条件法，另一种就是参数表示法。
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
线性代数与空间解析几何学习指导
《线性代数与空间解析几何》学习指导陈延梅课程名称：线性代数与空间解析几何英文名称：Linear Algebra and Space Analytic Geometry开课院系：远程教育学院开课学时：54学分：3授课对象：远程教育学院专升本计算机科学与技术专业学生一、教学目的与课程性质、任务。
《线性代数与空间解析几何》是为计算机等工科专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。
本课程的基本概念、基本方法和基本理论是计算机专业学生学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。
本课程将线性代数与空间解析几何融为一体，使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。
二、教学要求通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握行列式，矩阵，几何向量，n 维向量，线性方程组，特征值、特征向量和相似矩阵，二次型及二次曲面的基本概念、基本方法和基本运算技巧。
逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。
具体要求如下：第一章行列式1 了解行列式的定义；2 掌握行列式性质、行列式的降阶法则；3 熟练掌握三阶行列式、四阶行列式和特殊高阶行列式的计算方法；4 了解克莱姆法则的基本思想，并会将其运用于求解特殊的线性方程组。
第二章矩阵1 了解矩阵的概念和一些特殊矩阵；2 掌握矩阵的基本运算（加法、减法、数乘以及矩阵的乘法）；3 理解方阵的逆的概念和方阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵方法求可逆方阵的逆；4 理解矩阵的秩的概念；5 掌握矩阵的初等变换和矩阵等价的概念，并会熟练运用矩阵的初等变换将矩阵化成行阶梯形、最简形和标准形；掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩和可逆方阵的逆；6 了解初等方阵的概念及其与初等变换的关系；7 了解分块矩阵的概念，熟悉分块矩阵的基本运算。
空间解析几何基础知识
空间两点间距离公式
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a或 M1M2
M 1
向量的以 模M ：1向为 量起 点 的， 大M 小.2为 | a终 |或点 |的 M有 1M 向 2线 | 段 .
单位向量：模长为1的向量. a 0
或 M1M20
零向量：模长为0的向量. 0
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a | |a |
(2)0, a 0
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
a 2a 1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： (a )(a )()a
在三个坐标轴上的分向量： a xi,a yj,a zk,
向向量 量的 的坐 坐标 标表：达ax式, ：ay,a a z{ ,a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 } 特殊地： O M {x ,y ,z}
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
cos
az
.
ax2ay2az2
方向余弦的特征
c2 o s c2 o s c2 o 1 s
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0
《空间解析几何》教学纲要
《空间解析几何》课程教学纲要一、课程基本信息：课程类别：专业基础课适用专业：数学专业课程简介：本课程是数学专业三门基础专业课之一，其内容主要是以向量代数为工具，利用代数的方法去研究空间中的平面和直线的位置关系与度量性质，探讨柱面、锥面、旋转曲面和常见的二次曲面的几何性质，为数学分析等后继课程打下必备的基础。
开课学期：高师四年级上下两学期。
课程总的教学时数：72授课教材：《空间解析几何》，许子道，殷剑兴编，南京大学出版社。
参考书目：1、《解析几何》，吕林根，许子道等编，高等教育出版社。
2、《空间解析几何简明教程》，吴光磊，田畴编，高等教育出版社。
3、《解析几何学习指导书》，吕林根，张紫霞，孙存金编，高等教育出版社。
二、课程教育目标：1、为后续课程的学习提供必要的基础知识，同时为以后继续深造打下坚实的基础。
2、使学生对小学数学中的有关内容有新的更深刻的认识和体会，可居高临下，为学生将来从事小学数学教育提供必要的知识与理论、技能与方法上的准备。
3、使学生学会并掌握用代数方法解决几何问题并在几何中为代数问题寻找直观背景的方法。
初步学会从实际问题中建立数学模型，提高学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。
4、通过基本概念、基本理论的学习及一定量的习题训练，提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、逻辑演绎能力、计算推理能力。
三、课程内容与要求：（一）教学要求在教学上要很好体现用代数方法研究几何问题的思想方法，注意基本概念、基本理论、基本方法的教学；要搞清各种概念之间的联系，通过分析对比，加深对概念本质的理解；体现素质教育的观念和思想，充分重视和突出能力的培养；结合课程特点适时地对学生进行思想教育。
（二）课程学时分配（三）教学内容第一章向量代数1、教学目的及要求本章引进了向量及其运算，它是空间解析几何的基础。
通过学习培养学生抽象概念的理解能力，基本理论的运用能力，以及运用向量解决几何、力学等实际问题的能力。
认识将空间几何结构代数化的过程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《空间解析几何》学习指导
一、教学目的与课程性质、任务。
《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。
本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。
本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。
二、教学要求
通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。
逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。
具体要求如下：
第一章向量与坐标
1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念
2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念
3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则
4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义
5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律
6理解线性相关和线性无关的含义
7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系.
8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系
9掌握投影与矢量模及夹角的关系.
10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线
12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系
第二章轨迹与方程
1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系
2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征
3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法
4 了解螺旋线的方程.
第三章平面与空间曲线
1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程
2 熟练掌握平面方程几种形式的求法
3 熟练掌握点到平面的距离公式
4 熟练掌握平面与平面的夹角公式
5 了解平面与平面的三种位置关系并能根据平面的方程判断其关系
6 了解直线方程的各种类型的形式
7 熟练掌握直线标准方程和一般方程的求法.
8 掌握能根据直线的方程和平面的方程判断二者之间的关系
9 了解直线与平面之间夹角的概念及计算公式
10 掌握直线与直线的四种关系的判断，掌握直线与直线的夹角公式，了解异面直线的距离公式
11 掌握点到空间直线的距离公式
12掌握两类平面束的概念及方程，能用平面束的性质解决有关的问题
第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面
1 掌握两类平面束的概念及方程，能用平面束的性质解决有关的问题
2 了解锥面的有关概念，掌握锥面方程的求法
3 掌握旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋转曲面方程的求法，了解几个常见的旋转曲面
4 了解椭球面的概念及方程，熟练掌握椭球面的性质和截线的形状及方程
5 了解双曲面的概念及方程，熟练掌握双曲面的性质和截线的形状及方程
6 了解两类抛物面的概念及方程，熟练掌握抛物面的性质和截线的形状及方程
7 了解直纹曲面的概念，熟练掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的求法及性质.
第五章二次曲线的一般理论
1 了解二次曲线的基本概念.
2 了解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的概念
3 熟练掌握渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类
4 了解二次曲线的切线及奇点、正常点的概念，熟练掌握二次曲线的切线的求法
5 了解二次曲线的直径及共轭方向、共轭直径的概念，熟练掌握二次曲线的直径的求法.
6 了解二次曲线的主直径与主方向、特征方程及特征根的概念，熟练掌握各类二次曲线的主直径的求法
7 了解移轴及转轴变换，熟练掌握利用移轴及转轴化简二次曲线
方程的方法，二次曲线的分类.
8了解不变量与半不变量的概念，熟练掌握利用不变量化简二次曲线方程的方法. 三、课程的重点和难点
本课程的重点
第一章向量与坐标
1矢量及矢量的相等的概念
2矢量加法的三角形法则和平行四边形法则
3数乘矢量的定义.
4利用矢量线性相关和线性无关判断矢量共线、共面.
5空间坐标系的概念；矢量坐标和点的坐标的概念及关系.
6矢量投影的计算公式
7矢量的矢性积的概念；矢积坐标的公式.
8混合积的计算公式.
第二章轨迹与方程
1 曲面方程的概念；曲面矢量参数方程的求法
2 平行于轴的柱面方程的概念及其方程的求法
3 空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法
第三章平面与空间曲线
1 平面点法式方程与一般式方程的求法.
2 点到平面的距离公式.
3 平面与平面的夹角公式
4 直线标准方程和一般方程的求法.
5 直线和平面二者之间关系的判断.
6 直线与直线的四种关系的判断
7 点到空间直线的距离公式.
第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面
1 平面束的概念及方程.
2 锥面方程的求法.
3 旋转曲面方程的求法
4 椭球面的性质和截线的形状及方程.
5 双曲面的性质和截线的形状及方程
6 抛物面的性质和截线的形状及方程
7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的求法及性质.
第五章二次曲线的一般理论
1 二次曲线的相关表示符号
2 渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类
3 二次曲线的切线的求法
4 二次曲线的直径的求法.
5 二次曲线的主直径的求法
6 利用移轴及转轴化简二次曲线方程.
7利用不变量化简二次曲线方程的方法
本课程的难点
第一章向量与坐标
1 矢量共线、矢量共面的判定
2加法的运算律的证明.
3数乘矢量的运算律的证明.
4矢量投影的计算公式的证明.
5数积与矢量坐标的关系
6混合积运算律的证明
第二章轨迹与方程
1 曲面参数方程的求法
2 空间曲线矢量参数方程的求法
第三章平面与空间曲线
1 平面方程不同形式之间的互相转化.
2 平面与平面的夹角公式的推导.
3 直线方程不同形式之间的互换
4 直线与平面之间夹角的概念及计算公式.
5 异面直线的距离公式.
6 点到空间直线的距离公式.
第四章柱面，锥面，旋转曲面与二次曲面
1锥面方程的求法.
2 旋转曲面方程的求法
3 截线的形状及方程.
4 单叶双曲面与双曲抛物面是直纹曲面的证明
第五章二次曲线的一般理论
1 渐近线的求法及二次曲线按渐近方向和按中心分类
2 二次曲线的切线的求法
3 二次曲线的直径的相关定理
4 二次曲线的主直径的相关定理.
5 利用移轴及转轴化简二次曲线方程.
6利用不变量化简二次曲线方程的方法
四、学习方法指导
1根据我校学生的实际和这门课的基础性与重要性，修读本课程共需120个学时，修读时间为一学期。
2 学习过程中，认真阅读课本，学完每一节、每一章后都要总结，学完指定内容后做作业，以强化、巩固所学内容，完成作业后再很快地回顾一遍所学内容，看看它与前一部分有何联系，对后一部分的学习有何帮助。
3 本课程教学提倡“少”而“精”及参与式，对本学科内容的难点与框架作一剖析，从而为学生的自学作好指导，学习过程中如有疑问或见解，可通过作业、E-mail、信件、电话等方式与任课教师联系。
4 做作业是学好本课程的非常有效的方法，建议你边读边做。
你也可以在本手册的指导下进一步细化你的“读—做”方案。
五、教材及学习参考书：
1 吕林根，许子道等，空间解析几何，高等教育出版社
2 丘维声，解析几何；北京大学出版社
3 朱鼎勋，陈绍菱，空间解析几何学；北京师范大学出版社
4 宋卫东，鲍佩恩，桂加谷，空间解析几何习题课设计与解题指导，中国科学技术大学出版社
六、成绩考核办法
1、平时成绩：30分。
主要根据平时作业，上课迟到早退和课堂练习等计分。
2、期末考试：70分。
期末闭卷考试卷面成绩。