六年级奥数讲义数论

第三讲

数论

1、某个自然数被187除余52，被188除也余52，那么这个自然数被22除的余数是

【分析】可推知这个数为52。52被22除的余数是522228

÷=⋅⋅⋅。

2、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是693，如果把所有这样的分数从大到小排列，

那么第二个分数是。

【分析】69333711

=⨯⨯⨯所以最大的为：3721

31133

⨯

=

⨯

，第二个分数为：

11

63

。

3、在200至300之间，有三个连续自然数，其中。最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的

能被7整除，那么，这样的三个连续自然数是。

【分析】运用中国剩余定理，可求出满足条件的三个连续自然数为：264265266。

4、先任意指定7个整数，然后将它们按任意顺序填入27

⨯方格表第一行的七个方格中，再将它们按任意顺序填入方格表第二行的芳格中。最后，将所有同一列的两个数之和相乘。那么，积是数。(填奇或偶)。

【分析】运用假设法，带入1,2,3,4,5,6,7这7个整数计算。可得知积应为偶数。

5、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘

积等于52605，那么，这两个三位数的和等于。

【分析】526053357167105501

=⨯⨯⨯⨯=⨯，所以这两个三位数的和等于105501606

+=。

真题模考

6、 1A ，A 除以11余5，除以9余7 ，除以13余3，这个数最小是（ ）

【分析】 运用中国剩余定理，可以得出这个数最小是：1303。

7、

一位现在一百多岁的老寿星，公元2x 时的年龄为x 岁，则此老寿星2001年多少岁？

【分析】 2441936=，老寿星出生于：1936441892-=，所以2001年为：20011892109-=岁。

8、 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然

数为_______，这三个连续自然数为_______。

【分析】 221314365+= 所以这两个连续自然数为13、14，222101112365++=，所以这三个连续自然

数为10、11、12。

9、

已知,m n 都是自然数，且2n =126m ，则n 的最小值为_______________。

【分析】 1262337=⨯⨯⨯ 所以244223377=⨯⨯⨯⨯⨯，n 最小值为44。

10、 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这3种物品每样均平分给每

个班，那么这三种物品剩下的数量相同，请问学校有多少个班？

【分析】 118a b ÷=，67a b ÷=，33a b ÷=，

利用被除数之间的差能被除数整除的原则，求出17a = 所以学校有17个班。

【例1】 在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是

【分析】 ()()23574689459+++⨯+++=。

【例2】 将1～9九个自然数分成三组，每组三个数。第一组三个数之积是48，第二组三个数之积是45，

第三组三个数之和最大是 。

【分析】 48246=⨯⨯，45159=⨯⨯，所以第三组之和最大为：37818++=。

考点拓展

【例3】 19967

7777741⋅⋅⋅÷个余 。

【分析】 观察找规律，7417÷=⋅⋅⋅□，774136÷=⋅⋅⋅□，7774139÷=⋅⋅⋅□，77774128÷=⋅⋅⋅□，

77777410÷=⋅⋅⋅□，777777417÷=⋅⋅⋅□…… 每5个一循环，所以199653991÷=余7。

【例4】 2002名学生成一横排，第一次从左至右1—3报数，第二次从右至左1—5报数，两次报的数之

和等于5的学生有 名。

【分析】 1231231231231231231231⋅⋅⋅， 2154321543215432154321观察找规律，从右边起，每隔15个

数打一包，一包里有3名同学符合条件。总共能打2002151337÷= 所以满足条件的学生共有

13333402⨯+=名。

【例5】 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美

妙数”。问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？

【分析】 60345=⨯⨯是一个美妙数，因此美妙数的最大公约数不会大于60。任何三个连续正整数，必有一个

能为3整除，所以，任何美妙数必有因子3。若中间的数是偶数，它又是完全平方数，必定能为4整除；若中间的数是奇数，则第一和第三个数是偶数，所以任何美妙数必有因子4。另外，由于完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，若其个位是0和5，则中间的数能被5整除；若其个位是1和6，则第一个数能被5整除；若其个位是4和9，则第三个数能被5整除。所以，任何美妙数必有因子5。由于3，4，5的最小公倍数是60，所以任何美妙数必有因子60，故所有美妙数的最大公约数至少是60。综上，所有美妙数的最大公约数既不能大于60，又至少是60，所以，只能是60。

【例6】 称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数。有一个四位数N ，它既是三角数，又是完全平

方数。则N =＿。

【分析】依题有2123k a +++

+=，即2(1)2k k a +÷=。因为k 与1k +是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数22a ⨯=相邻偶数。又由相邻自然数互质知，“奇数”与“2

相邻偶数”也互质，于是奇数2m =，22

n =相邻偶数（a m n =⨯），而2a 为四位数，有3299a ≤≤，即3299m n ≤⨯≤，又2m 与22n 相邻，有712m ≤≤。当7m =时，249m =，相邻偶数为50时，5n =满足条件，这时22(75)1225a =⨯=，即1225N =；当9m =时，281m =，相邻偶数为80和82都不满足条件；当11m =时，2121m =，相邻偶数为120和122都不满足条件。所以，1225N =。