三角形四心概念与性质

三角形“四心”概念及性质

（学生填表时，教师巡视，看到有的学生不会填“四心”位置，启发他

们多画几个不同形状的三角形试试，让学生会从特殊到一般的思想方法。）

师：三角形的重心有什么性质?

生甲：分中线为1:2。

生乙：分中线为3:1。

师：应当把重心看成中线的内分点，即顶点到重心与重心到对边中点的距离之比是2:1。三角形的垂心性质，课本上没有明确提出过，不必填上。但如果题中有两条以上的高线，就应想到“四点共圆”。如图1, H是垂心，有几组四点共圆？（学生回答略。）

师：外心与内心各有什么性质？（学生回答略。）

［通过上述问题的讨论，让学生从对比中认识点到点的距离与点直线距离的区别，从而更好地理解概念，加深印象。］

（教师在黑板上画一个直角三角形，一个钝角三角形，让学生上黑板作垂心，然后归纳总结。）

师：锐角三角形的垂心必在形内，钝角三角形的垂心必在形外，直角三角形的垂心就是直角顶点。

[ 通过实际画图，强化垂心可能在形外的情况，练一遍胜过背几遍。] 师：至于外心，请同学们课后

用同样的方法画几个不同形状的三角形来

验证结论的正确性。

上面，我们归纳了“四心”中每个“心”与三角形的相对位置关系。下面，我们再考虑“四心”在同一三角形中的位置有什么关系？先考虑在等腰三角形中“四心”的位置关系。

生：都在同一条直线上。

师：在哪一条直线上？生：在底边上的中线或底边上的高或顶角的平分线上。师：对！三

线合一，“四心”在三角形的对称轴上。师：等边三角形的“四心”位置又有什么关系呢？

生：都重合成一个点了。

师：这“四心”共点，这个点叫什么名称？

生：“中心”，师：等边三角形叫做正三角形。正三角形的重心、内心、垂心、外心重合成一个点，就是正三角形的“中心”。“中心”是正多边形所特有的，不是正多边形就没有中心。因此三角形中只有等边三角形才有中心，其他三角形都没有中心。

[ 把课本中学过的几个“心”都串起来了，揭示出其内在的联系，让学生能够系统地掌握知识。]二、练习

师：我们先做下面的练习：已知三角形的三边长分别为5、12、13，那

么垂心到外心的距离是多少？

生：6.5

师：怎么得到的？

生：如图2，因为已知三角形是直角三角形，外心是斜边的中点，垂心是直角顶点，所以，此两“心”距离是斜边中点到顶点的距离，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，便可得出已知三角形的垂心到外心的距离为。

师：为什么已知三角形是直角三角形呢？

生甲：根据勾股定理得出。

师：对不对？

（生甲一时回答不出。）

生乙：不对，应是根据勾股定理的逆定理。

师：对！回答推理根据时，要弄清是勾股定理还是勾股定理的逆定理。

（教师让学生叙述勾股定理还是勾股定理的，分析其区别与联系。）

师：重心到垂心的距离是多少？

生：。

师：为什么乘以？

生：根据重心性质。

师：性质是2:1 ，而现在是2:3 ，其中有什么关系？请大家观察图3 进行思考。

[ 提出这个问题的目的，是为了帮助中、下程度的学生进一步理解线段比的变化，明白解题的道理。]

师：垂心到最大边的距离是多少？先请同学们思考一下，这距离应是图

2 中哪条线段的长度？

生甲：是斜边上的高。

师：怎样计算斜边上的高呢？

生甲：可以用相似形计算师：有没有更简便的办法？

生乙：利用面积计算。

••• S △,

师：利用面积解题是一种常用的办法，同学们应对此引起足够的重视，灵活地加以运用。

重心到最长边的距离是多少？

生：如图4,重心到最长边的距离是指GH的长，通过两线平行，对应线段成比例的性质，可计算出GH 的长为即，结果是。

师：对！这里同样也到了重心的性质。

[ 反复运用重心性质，有利于学生记忆和灵活应用。]

师：外心到最短边的距离是多少？

生：如图5，外心到最短的距离为。

（反应快的学生脱口而出是6，教师追问其理由，并顺便复习有关定理。）师：内心到重心的距离是多少？

学生交头接耳，纷纷讨论解题的方法，教师简要地指出解题的关键。）

师：问题的关键是求出内切圆半径r，然后，等腰直角三角形DIC中，求出内心到垂心的距离CI，那么怎样来求出r呢？请同学们思考一下。

生：根据我们以前在课堂练习中所做的题目，知道。

师：对！这是直角三角形的重要性质之一，希望同学们牢记结论并学会运用。

对于这道练习题的结论，我已换了不少问法，也就是从一个问题演变出其他一些问题，这种“一题多变”与我们以前介绍过的“一题多解”方法一样都是些好的学习方法。同学们做好题目后，可以思考一下，是否有其他解法——这就是“一题多解”；还可以思考一下，能否把已知条件或求解结论“变”一下——这就是“一题多变”。请大家模仿我刚才的做法试着变变看。当然，有的题目改变以后，可能超过你们现有的知识范围，解不出来，这不要紧，同学们可以互相讨论或者问老师来加以解决。另外，刚才我是通过改变题目的结论来实现一题多变的，还可以改变题目的条件。譬如，刚才的知识水平，编不等边三角形的题目比较难做，直角三角形的我已编过，你们可以编等腰三角形的试试看，并说出解题的基本思想。

[ 要使学生学好数学，不仅要求学生能一题多解，还要学生能“一题多变”，这样才能真正掌握概念，活学学活。教学中通过对命题结论的更改，引出新命题，可以培养学生思维的多发性；通过对命题条件的更改，引出新命题，可以培养学生思维探索性；通过特殊到一般及一般到特殊的联想，可以培养学生思维的深刻性，跳跃性。所以说，“一题多变”是培养学生思维的一种有效手段。]

生丙：三角形三边长为6、6、5，求：

（1）三角形外心到重心的距离；

（2）三角形外心到最短边的距离。

这道题的关键是求外接圆半径R,用三角形面积公式S△很方便，也可以用正弦定理。

生丁：三角形三边长为10、10、。求：

（1）三角形外心到重心的距离？

（2）三角形内心到最长边的距离？

这道题实际上是两个三边长为的直角三角形拼成的等腰三角形。第（2）

小题是求此等腰三角形的内切圆半径，如图7,可用面积公式&=rs求，即；还可以利用等腰三角形三线合一，设内切圆半径为r，列出方程来解。