-第1章-量子力学基础详细讲解汇总
chapter1 量子力学基础知识习题解答
λ/nm
v /1014 s−1
312.5 9.59
365.0 8.21
404.7 7.41
546.1 5.49
Ek/10-19J
3.41
2.56
1.95
0.75
由表中数据作图，示于图 1.2 中
由式 hν = hν 0 + Ek 推知
E /10-19J k
4 3 2 1 0
4 5 6 7 8 9 10 ν/1014g-1
= 9.403×10-11m
(3) λ = h = h p 2meV
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s
2× 9.109 ×10−31kg ×1.602×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
4
乐山师范学院 化学与生命科学学院
【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV，计算电子 加速后运动时的波长。
算符：作用对象是函数，作用后函数变为新的函数。 线性算符：作用到线性组合的函数等于对每个函数作用后的线性组合的算 符。
1
乐山师范学院 化学与生命科学学院
Aˆ (c1ψ1 + c2ψ 2 ) = c1Aˆψ1 + c2 Aˆψ 2
∫ ∫ 自厄算符：满足
ψ
* 2
(
Aˆψ
1
)dτ
=
ψ 2 ( Aˆψ1)*dτ 的算符。
【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为 1000V，电子运动速度的不确定度 ∆v
为 v 的 10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：
∆x = h =
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。
1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。
黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。
按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。
Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。
• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。
能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
第一章 量子力学基础
氧化锆晶体的X射线衍射图 (Debye-Scherrer图)
de Broglie还利用他的关系式为Bohr的轨道角动 量量子化条件
h mvr n 2
作了一个解释：由这一条件导出的
nh h S 2r n n mv p
表明圆轨道周长S是波长的整数倍，这正是在圆周上形 成稳定的驻波所需要的，如同琴弦上形成驻波的条件是 自由振动的弦长为半波长的整数倍一样. 尽管这种轨迹确定的轨道被不确定原理否定了， 但“定态与驻波相联系”的思想还是富有启发性的.
测物理量. 波函数应具有品优性 , 包括单值性、连续性 、平方可积性.
波函数的概率解释
例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动量矩等.
不确定原理可以用不同的方式来阐述, 最容易理解也 最常用的是电子的单缝衍射实验:
波是不确定性的表现
单 缝 衍 射
这个象征着科学 的标志, 迄今仍被有 些人认为是原子模型 的真实图像. 实际上, 它只是照耀过科学历 程的星光:
由于坐标与相应 的动量分量不可能同 时精确测定, 所以， 原子中的电子不可能 具有这种轨迹确切的 轨道.
(photoelectric effect), 后来导致了光的粒子学说. 1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案(下图G为电 流表, V为电压表; C为阴极, A为阳极):
1898年，P.勒纳特确认放电粒子为电子, 并于1902年指出: 1.入射光线的频率低于一定值就不会放出光电子; 2.光电子的动能与光强度无关而与光的频率成正比; 3.光电流强度与光强成正比。
de Broglie波不仅对建立量子
力学和原子、分子结构理论有重要
意义，而且在技术上有重要应用.
使用de Broglie波的电子显微镜分辨率
第一章量子力学基础知识总结
第一章量子力学基础知识总结微观粒子的运动特征1.黑体辐射和能量量子化●黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。
●黑体辐射的能量量子化公式:●普朗克常数(h=6.626×10-34 J·s)2.光电效应和光子学说●只有当照射光的频率超过某个最小频率（即临阈频率）时，金属才能发射光电子。
●不同金属的临阈频率不同。
●随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
●增加光的频率，光电子的动能也随之增加●式中h为Planck常数，ν为光子的频率●m = h ／c2所以不同频率的光子有不同的质量。
●光子具有一定的动量(p)P = mc = h /c = h／λ●光的强度取决于单位体积内光子的数目，即光子密度。
Ek = h －W3.实物微粒的波力二项性● E = h v , p = h / λ●光（各种波长的电磁辐射）和微观实物粒子（静止质量不为0的电子、原子和分子等）都有波动性（波性）和微粒性（粒性）的两重性质，称为波粒二象性4.不确定度关系●具有波动性的粒子其位置偏差(△x )和动量偏差(△p )的积恒定.，有以下关系:量子力学基本假设1、波函数和微观粒子的状态●波函数ψ和微观粒子的状态●合格波函数的条件2、物理量和算符●算符：对某一函数进行运算,规定运算操作性质的符号。
如：sin，log等。
线性算符：Â( 1＋ 2)＝Â 1＋Â 2自轭算符：∫ 1*Â 1 d ＝∫ 1(Â 1 )*d 或∫ 1*Â 2 d ＝∫2(Â 1 )*d3、本征态、本征值和Schrödinger方程●A的本征方程Aψ= aψa 称为力学量算符 A 的本征值，ψ称为A的本征态或本征波函数，4、态叠加原理●若 1， 2… n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所得的 也是该体系可能的状态。
5、Pauli(泡利)原理●在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个自旋相反的电子。
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
第1章 量子力学基础知识
d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
福师《结构化学》第一章-量子力学基础和原子结构-课堂笔记
福师《结构化学》第一章量子力学基础和原子结构课堂笔记◆主要知识点掌握程度了解测不准关系，掌握和的物理意义；掌握一维势箱模型方程的求解以及该模型在共轭分子体系中的应用；理解量子数n，l，m的取值及物理意义；掌握波函数和电子云的径向分布图，原子轨道等值线图和原子轨道轮廓图；难点是薛定谔方程的求解。
◆知识点整理一、波粒二象性和薛定谔方程1．物质波的证明德布罗意假设：光和微观实物粒子（电子、原子、分子、中子、质子等）都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为：对于低速运动，质量为m的粒子：其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过常数h联系起来，普朗克常数焦尔·秒。
实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。
λν量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。
如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为ν的整数倍。
2．测不准关系：内容：海森保指出：具有波粒二象性的微观离子（如电子、中子、质子等），不能同时具有确定的坐标和动量，它们遵循“测不准关系”：（y、z方向上的分量也有同样关系式）ΔＸ是物质位置不确定度，Δ为动量不确定度。
该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。
对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。
3．波函数的物理意义——几率波实物微粒具有波动性，其运动状态可用一个坐标和时间的函数来描述，称为波函数或状态函数。
1926年波恩对波函数的物理意义提出了统计解释：由电子衍射实验证明，电子的波动性是和微粒的行为的统计性联系在一起的，波函数正是反映了微粒行为的统计规律。
这规律表明：对大量电子而言，在衍射强度大的地方，电子出现的数目多，强度小的地方电子出现的数目少，即波函数的模的平方与电子在空间分布的密度成正比。
-第1章-量子力学基础详细讲解
1.3.4 表象变换 设有两个表象A和B，其基矢分别为、。 （a）态矢的表象变换 在表象A中，可将任意态矢展开为 ，； 在表象B中，可将同一个态矢展开为 ，。 所谓态矢的表象变换，就是要建立和之间的关系。
（1.28） （1.29）
， （1.30） 其中
（1.31） 矩阵称为表象A和表象B之间的变换矩阵。（1.30）式可简写成
态矢量的归一化条件为 （1.23）
在连续变量表象中，完备性条件为 （1.24）
任意态矢量可展开为 （1.25a）
其中 （1.25b）
是态矢在表象中的表示，也就是通常讲的波函数。可见，态矢量在连续 表象中表现为一个普通函数。
态矢量的归一化条件为
（1.26） 可见，选定了一组基矢，就选定了一个表象；这类似于，选定了一 组单位矢量，就选定了一个坐标系。常用的连续表象有坐标表象和动量 表象；常用的离散表象有能量表象和角动量表象。
由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐 标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。不过，我 们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算 符等。
算符在量子态中的期望值（平均值）记为 （1.12a）
平均值为c数。若将态矢量按（1.11a）式用算符的本征态展开，则平均 值的计算如下：
1.4.2 纯态和混合态举例 (a) 纯态： 光子数态（photon-number state） ，其密度算符为 （1.51）
其中为光子数。 相干态（coherent state），其密度算符为 （1.52）
（1.18） 其中 。例如，坐标和动量的对易关系为
其不确定度关系为
（5） 全同粒子假设 作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有 的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是 全同的粒子。因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒 子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交 换要么是对称的，要么是反对称的。 研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零 或正整数（，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（，…）。玻 色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对 粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对 称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统 计。
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
量子力学基础
i 2 i 2 xpx Et xpx Et A exp h x h
第一章 量子力学基础知识
i 2 i 2 i 2 xpx Et px A exp p x h h h
z
e2
第一章 量子力学基础知识
e1
不考虑核的运动
r1 r12 r2
z
2 p12 p2 2e 2 2e 2 e2 E 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
e2
ˆ 2 2 2e 2e e H 1 2 2m1 2m2 4 0 r1 4 0 r2 4 0 r12
第一章 量子力学基础知识
合格（品优）波函数
由于波函数的概率性质，所以波函数必须满足下 列条件： • 单值的，即在空间每一点 只能有一个值；
• 连续的，即 的值不出现突跃； 对x, y, z的 一级微商也是连续函数；
• 平方可积的，即 在整个空间的积分
* d
为一个有限数，通常要求波函数归一化，即
态函数的形式与光波的方程类似，习惯上称之为 波函数。如： 平面单色光的波动方程： A exp i 2 x t E hv, p h 代人波粒二象性关系： i 2 得单粒子一维运动波函数： A exp xpx Et
h
定态波函数：当微观粒子的运动状态不随时 间而变时，其波函数可以写作：
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , t
or
or
1,2,3, t
q1 , q2 , q3 , t ,
<关于波函数的一些概念和说明> 波函数是体系中所有粒子的坐标和时间的函数。
第一章.量子力学基础知识-3
假设Ⅲ：自轭算符的第二项重要性质
• 自轭算符的本征函数y1, y2, y3,...正交归一。 • Consider these two eigen equations： • Multiply the left of the 1st eqn by ψm* and integrate, then take the complex conjugate of eqn 2, multiply by ψn and integrate
力学量与算符
• To every physical observable there corresponds a linear Hermitian operator. • To find this operator, write down the classical-mechanical expression for the observable in terms of Cartesian coordinates and corresponding linear-momentum components, • and then replace each coordinate x by the operator x. and each momentum component px by the operator -iћ∂/∂x.
假设Ⅰ：波函数
y一般是复数形式： y f+ig
y的共轭复数为： y *f-ig
那么：
y *y f2+g2
y *y是实数，有时也用y2来代替
假设Ⅰ：波函数
波函数y描述的波为概率波，在原子或分子Байду номын сангаас体系中， 称为原子轨道或分子轨道
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
[结构化学]第一章-量子力学基础详解
![[结构化学]第一章-量子力学基础详解](https://img.taocdn.com/s3/m/1233bc93192e45361066f5c3.png)
★光子不但有能量，还有质量(m)，但光子的静止质量为零。 根据相对论的质能联系定律=mc2，光子的质量为： m=h/c2，不同频率的光子具有不同的质量。
★光子具有一定的动量：p=mc=h/c=h/ (c=） ★光的强度取决于单位体积内光子的数目（光子密度）。
=h，p＝h/
de Broglie(德布罗意）假设：
1924年，de Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒
（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也 有 波 粒 二 象 性 .[ 微 观 粒 子 :10-10m 数 量 级 的 粒 子 ] 。 认 为 =h ， p=h/ 也适用于实物微粒，即以p=mv的动量运动的实物微粒， 伴随有波长为 =h/p=h/mv 的波。此即de Broglie关系式。 de Broglie波与光波不同：光波的传播速度和光子的运动速度相 等；de Broglie波的传播速度（u）只有实物粒子运动速度的一 半 ： v=2u 。 对 于 实 物 微 粒 ： u= ， E=hν=hu/λ=h(1/2v)/λ=h(1/2v)/(h/mv)=p2/(2m)=(1/2)mv2 ,对于光： c=，E=pc=mc2
上述理论可解释当时常见物理现象，但也
发现了解释不了的新现象。
1. 黑体辐射与能量量子化
黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一 小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾： 经典电磁理论假定，黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出 的，按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量 随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
中科院量子力学超详细笔记_第一章_量子
第一章 量子力学的物理基础§1.1 ，实验基础1, 第一组实验 —— 光的粒子性实验：黑体辐射、光电效应、Compton 散射能量分立、辐射场量子化的概念，实验揭示了光的粒子性质。
《黑体辐射谱问题》黑体辐射谱的Wien 经验公式（1894年）：考虑黑体空腔中单位体积的辐射场，令其中频率在ννν→+d 间的能量密度为dE d νεν=((1.1)这里c 1、c 2β=1/kT 间内与实验符合，但在中、低频区，特别是低频区与实验差别很大。
Rayleigh-Jeans 公式（1900，Rayleigh ；1905，Jeans ）：将腔中黑体辐射场看成大量电磁波驻波振子集合，利用能量连续分布的经典观念和Maxwell - Boltzmann 分布律，导出黑体辐射谱的另一个表达式——。
若记ενενν()=N ，这里N ν是腔中辐射场单位体积内频率ν附近单位频率间隔内电磁驻波振子数目（自由度数目），它为823πνc。
下面来简单推算出它： 00:222ikx ikxx x LL e e n kL n k k L L πππ==→==→=→Δ= 于是，在单位体积辐射场中，波数在3k k d k →+v v 内的自由度数目（22k c c ππνωλ===v ）为 22332233232312428882L k d k k d k d kd d c cL ππννπννππππ=⋅====⎛⎞⎜⎟⎝⎠v v v v 而εν是频率为ν的驻波振子的平均能量， 由M -B 分布律得kT d e d e ==∫∫∞−∞−00εεεεεβεβν于是得到 (1.2)这个与Wien但在高频波段不但不符合，出现黑体辐射能量密度随频率增大趋于无穷大的荒谬结果。
这就是著名的所谓“紫外灾难”，是经典物理学最早显露的困难之一。
1900年Planck 用一种崭新的观念来计算平均能量εν。
他引入了“能量子”的概念，即，假设黑体辐射空腔中振子的振动能量并不象经典理论所主张的那样和振幅平方成正比并呈连续变化，而是和振子的频率ν成正比并且只能取分立值， ......,3,2,,0νννh h h这里的正比系数h 就是后来所称的Planck 常数。
第一章 量子力学基础总结
ψ c1ψ1 c 2 ψ 2 ... c n ψ n ci ψi
i 1
假设Ⅴ 微观粒子除空间运动外还作自旋运动
一维势箱
通解
2 d 2 ( x) E ( x) 2 2m dx 2mE 2mE ( x) A cos x B sin x
量 子 力 学 的 简 单 应 用
[
h
8 2 m h2 [ 2 2 V ( x, y, z )] ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 8 m
N
2 V ( x, y, z )] ( x, y, z, t )
ih ( x, y , z , t ) 2 t
假设Ⅳ 如果ψ1、ψ2、ψ3、...、ψn是某个微观体系的可能状态，那么， 将这些状态线性组合得到的ψ也是这个体系可能存在的状态
第一章 量子力学基础
§1量子力学产生的背景 §2量子力学基本原理 §3量子力学基本原理的简单应用
刘杰 2012210605
黑体辐射 经典 力学 无法 解释 光电效应 氢原子光谱 光照在金属表面上，金 属发射出电子的现象。
能量量子化 光子学说 波尔理论
量 子 力 学 产 生 的 背 景
1 1 1 RH( 2 2 ) n1 n 2
2i ( x, t ) a0 exp[ ( x p x Et )] h
品优波函数条件：①单值函数②一阶微商连续③平方可积
假设Ⅱ 微观体系每一个可观察的力学量都对应于一个线性厄米算符 哈密顿算符 拉普拉斯算符 2
ˆ T
h
8 mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
ˆ H
h2
8 2 m
ˆ 2 V
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第1章、 量子力学基础1.1 量子力学和量子光学发展简史1900，Planck （普朗克），黑体辐射，能量量子化：h εν=1905，Einstein （爱因斯坦）, 光电效应，光量子–光子：E h ν=， h p λ= （h h E p c c νλ===）1913，Bohr （玻尔）, 原子光谱和原子结构，定态、量子跃迁及跃迁频率：()/mn m n E E h ν=-1923， de Broglie （德布罗意）, 物质粒子的波动性，物质波：E h ν=，h p λ=1925， Heisenberg （海森堡）， 矩阵力学1926, Schrödinger （薛定谔）, 波函数(),r t ψ，波动方程- Schrödinger 方程，波动力学:()(),,ir t H r t tψψ∂=∂ 1926， Born （波恩）, 波函数的统计诠释：()2,r t ψ为概率密度，()2,1dr r t ψ=⎰1926， Dirac （狄拉克），狄拉克符号、态矢量ψ、量子力学的表象理论1927， Dirac ，电磁场的量子化 1928， Dirac ，相对论性波动方程至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分子、固体等实物粒子问题。
尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名的有： 1935， Schrödinger 猫态 1935， EPR 佯谬1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss ，强度关联实验 1963， Glauber （2005年诺奖得主），光的量子相干性1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax 三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s ，光学双稳态1990’s ，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、量子光学新发展：量子信息科学：量子通信、量子计算等。
冷原子物理：原子的激光冷却与囚禁、atom optics （通常直译为“原子光学”，但作者认为意译为“原子波学”更合适，因为它研究的是由原子的波动性引起的物理效应）、玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）、atom laser （通常直译为“原子激光（器）”，但作者认为意译为“相干原子波激射（器）” 更合适）、nonlinear atom optics （建议意译为“非线性原子波学”，原因同上）等。
1.2 量子力学的基本原理（1） 量子体系状态的描述在量子理论中，量子体系的状态用一个态矢量ψ描述。
态矢量满足下列线性叠加性1122c c ψψψ=+ （1.1a ）n n nc ψψ=∑ （1.1b ）其中n c 为普通的数，一般为复数。
（1.1）式称为态叠加原理，它是量子力学中非常重要的一条原理。
右矢的厄密共轭定义为左矢，记为()ψψ+= （1.2）态矢量ψ和ϕ的内积记为ψϕψϕ≡ （1.3a ）内积为普通的数，其复数共轭为*ψϕϕψ= （1.3b ）态矢量ψ和ϕ的正交性表示为0ψϕ= （1.4a ）态矢量ψ的归一化条件表示为1ψψ= （1.4b ）（2） 量子体系力学量的描述在量子理论中，量子体系的力学量用一个线性算符描述，线性算符ˆF满足11221122ˆˆˆF c c c F c F ψψψψ⎡+⎤=+⎣⎦ （1.5a ） ˆˆn n n nnnF c c F ψψ=∑∑ （1.5b ） 有时将量子力学算符称为q 数(q: quantum)，对应的，将经典的数称为c 数(c: classical) 。
以后为了书写方便，在不引起混淆的情况下，我们略去算符ˆF 上的帽子“”，简单写为F 。
算符F 的厄密共轭算符记为F +。
算符乘积的厄密共轭算符满足()ABC C B A ++++= （1.6）如果F F += （1.7）则F 称为厄密算符。
算符的本征方程为n n n F F ψψ= （1.8）其中n F 称为算符F 的本征值，n ψ称为算符F 的本征矢量（简称本征矢或本征态）。
可以证明，线性厄密算符的本征值和本征矢具有下列性质：a) 本征值为实数：*n n A A =；b) 属于不同本征值的本征矢彼此正交：()0mn m n ψψ=≠；可将本征矢的正交性和归一性统一写为1,0,m n mnm nm n ψψδ=⎧=≡⎨≠⎩（1.9） 称为本征矢n ψ的正交归一性。
c) 本征矢张起一个完备的矢量空间nn nI ψψ=∑ （1.10）其中I 为单位算符（或恒等算符）。
（1.10）式称为本征矢n ψ的完备性。
基于此，任意态矢量ψ可以用算符的本征态n ψ展开为：n n n n nc ψψψψψ==∑∑ （1.11a ）其中n n n c ψψψψ=≡ （1.11b ）由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。
不过，我们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算符等。
算符F 在量子态ψ中的期望值（平均值）记为F F ψψ= （1.12a ）平均值为c 数。
若将态矢量ψ按（1.11a ）式用算符的本征态n ψ展开，则平均值的计算如下：*,m n m n m nF F c c F ψψψψ==∑ （1.12b ）进一步，若n ψ为F 的本征态，即 n n n F F ψψ=，则**,,2**,m n m n m n n m nm nm nm nn mn n nn n nm nnnF c c F c c F c c F c c F c F ψψψψδ=====∑∑∑∑∑ （1.12c ）可见，2n c表示当量子体系处于量子态ψ时，测量力学量F 得到其本征值n F 的概率。
上面讨论的是本征值不连续变化的情况（离散情况），对本征值连续变化的情况则有：正交归一性：()''x x x x δ=- （1.13）完备性：dxx x I =⎰ （1.14）一般态矢量展开()dx x x dx x x ψψψ==⎰⎰ （1.15a ）其中()x x x ψψψ=≡ （1.15b ）期望值()()()()**''''''F F dx x x F dx x x dx dx x x x F x ψψψψψψ===⎰⎰⎰⎰ （1.16a ）进一步，若x 为F 的本征态，即()F x F x x =，则()()()()()()()()()()()**2*'''''''F dx dx x x x F x dx dx x x F x x x dx x x F x dx x F x ψψψψδψψψ==-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （1.16b ）作为特例，若F x =，则()F x x =，()2x dx x x ψ=⎰ （1.16c ）可见，()2x ψ为概率密度。
（3） 量子态随时间的演化量子体系的状态随时间的演化服从 Schrödinger 方程：()()dit H t dtψψ= （1.17a ） 其中H 是体系的Hamiltonian （哈密顿量）。
若H 不显含时间，则有()()()0t U t ψψ= （1.17b ）其中()exp i U t Ht ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1.17c ）称为时间演化算符。
（4） 量子力学中的测量问题a) 设算符A 的本征方程为 n nn A A ψψ=，若系统处于算符A 的本征态n ψ，则测量力学量A 得到相应的本征值n A ，测量后系统仍处于本征态n ψ；若系统处于任意态n n nc ψψ=∑，则测量力学量A 时以概率2n c 得到本征值n A ，若测量得到本征值n A ，则测量后系统塌缩到相应的本征态n ψ。
b) 若两个力学量算符A 和B 彼此对易，即[],0A B AB BA ≡-=，则A 和B 具有共同本征态，可以同时具有确定值；若A 和B 彼此不对易，即[],0A B ≠，则A 和B 不具有共同本征态，他们不能同时具有确定值，其不确定度服从不确定度原理：]1,2A B A B ∆⋅∆≥（1.18）其中 A ∆=x 和动量x p 的对易关系为[],x x p i=其不确定度关系为2x x p ∆⋅∆≥（5） 全同粒子假设作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是全同的粒子。
因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。
研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零或正整数（0,1,2，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（135,,222，…）。
玻色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统计。
1.3 态矢量和力学量算符的表象及表象变换1.3.1 表象的概念设有力学量算符A （例如：坐标、动量、能量、角动量、自旋等），其正交归一化的本征态集为{nψ，{}nψ张起一个完备的矢量空间。
若将这组态矢量作为基矢量来表示任意态矢量和算符，则称采用A 表象。
1.3.2 态矢量在具体表象中的表示设力学量算符A 的本征方程为n n n A A ψψ= （1.19）其本征值n A 构成离散谱，其本征态的完备性条件为nn nI ψψ=∑ （1.20）则任意态矢量ψ可用{}nψ展开为n n n n nnc ψψψψψ==∑∑ （1.21a ）其中n n c ψψ= （1.21b ）表示态矢量ψ沿基矢n ψ的分量（或投影）。
由于作为基矢的{nψ是已知的，因此，知道了{}n c 就知道了ψ。
通常将态矢量ψ表示为下面的列矢量12...c c ψ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1.22）这称为态矢量ψ在A表象中的表示。
可见，态矢量在离散表象中表现为一个列矢量。
态矢量的归一化条件为2***,,1m n m n m n mn n n nm n m n n nc c c c c c cψψψψδ=====∑∑∑∑（1.23）在连续变量x表象中，完备性条件为dx x x I=⎰（1.24）任意态矢量ψ可展开为()dx x x dx x xψψψ==⎰⎰（1.25a）其中()x xψψ=（1.25b）是态矢ψ在x表象中的表示，也就是通常讲的波函数。