向量组与线性方程组的解的结构
第四讲 线性方程组与向量组的线性关系
第四讲 线性方程组和线性关系部分是矩阵齐次线性方程组问题：有无非零解？解的结构问题非齐次线性方程组问题：有无解？解的个数、解的结构问题解的存在性：有解当且仅当永远有零解解的个数：有唯一解当且仅当；有无穷多解当且仅当；只有零解当且仅当；有非零解当且仅当的解与的解的关系：的解的线性组合还是它的解；的两个解的差是的解；的一个解与的解的和是的解解的结构：1）的个线性无关解称为的基础解系.（是的基础解系当且仅当都是的解，且能够线性表示的任意解）2）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.3）是的基础解系，则（为任意数）为的通解.其中是的一个特解.一 解的结构（概念题）1.是的两个特解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为：；;;解：是的特解，不是的特解，所以不可能选择.又与等价，所以也是的基础解系，因此是的通解.而虽然都是的解，但是是否线性无关是不能确定，所以不能确定是的基础解系，因此选择.2. 是矩阵, ，的两个特解满足，求的通解3.求一个齐次线性方程组，使该齐次线性方程组的基础解系为解：设的基础解系为，所以也是的基础解系.所以方程组的解可以写成构造方程组即可二 求解方程组（计算题）1.是3阶方程，.1）求证：存在使得2）求齐次线性方程组的基础解系解： ，，所以或1，如果，1）的结论显然，的基础解系为如果，存在可逆矩阵使得此时齐次方程组即为，即由于，所以，由于所以不全为零，不妨设，的基础解系为2. 已知是齐次线性方程组的一个基础解系， ，问当满足什么条件时，是的基础解系.解：是的基础解系当且仅当与等价当且仅当可逆.由于所以可逆，所以时，时，是的基础解系.3.讨论取何值时下列方程组有解？并在有解时求解1）；解：时，方程无解时，方程有无穷多解，此时，，方程组的通解为为任意数）时，方程有唯一解，此时所以；2）解：时，，方程无解当时，方程组等价于，方程组有无穷多解，此时方程组的通解为（为任意数）; 当，且时，方程有唯一解3）；解：.所以时方程组有唯一解方程组有无穷多解，解为（为任意数）时方程组无解4）解：，所以时方程组有唯一解当时，方程组无解，当时有所以时无解;时，，无穷多解.解为（为任意数）4.求三个线性无关的向量，使它们都是下列线性方程组的解解：通解（为任意数）取，则都是方程组的解，且线性无关.5.（I）；（II）1）求（I）的解；2）当（II）中参数取何值时（I）与（II）同解解：（I）的解为（为任意数）（II）与（I）同解，所以是的解，将解代入方程有是的解，将解代入方程有解的理论（证明题）1.是矩阵，,，的任意个线性无关解满足：1）的任意解均可以表示为2）是的解的充分必要条件是证明：由于是的解，所以1）设是的任意解，由于是的线性无关解，所以是的线性无关解，即的基础解系.事实上，显然是的解，再设，有，由于线性无关，有，故线性无关，所以是的基础解系.所以即.2）当时，，所以是的解如果是的解，则，所以2.证明：是的非空子集，则是某个线性方程组的解集的充分必要条件是对任意的当且仅当.证明：设是线性方程组的解集，，则，所以，所以如果任意，都有取的极大无关组，做以为解的线性方程组，则的通解可表示为所以的解都在中.反之对任意的，，由于，有，所以.所以是某个线性方程组的解集.3.是中的行向量，，证明:的解都是的解的充分必要条件是可由线性表示.证明：充分性:如果可由线性表示,设,则则时,显然有必要性: 的解都是的解则,所以向量组与,秩相同,所以可由线性表示.4. 是矩阵，，有解当且仅当对使得的任意解，有证明：有解可由的行向量线性表示的解都是的解，即对使得的任意解，有5.证明：有解当且仅当无解证明：由于，无解有解.6. 是矩阵，有非零解，证明：存在，使得无解证明： 有非零解当且仅当，所以存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得,所以等价于等价于，令，取，则无解7.的行向量组是齐次线性方程组的基础解系，证明：任意阶可逆矩阵，的行向量组也是的基础解系.证明：令所以，由可逆，知与等价，所以的行向量组也是的基础解系.8. 是矩阵，已知齐次线性方程组的基础解系为，令,求的基础解系解：由已知，所以,令,所以是的解，又由已知，所以是的个线性无关解，又，所以是的基础解系.9. 是中的一组列向量，，求线性方程组的解解： =，当时，，此时只有零解；当时，，此时任意中的列向量都是的解；当时，，此时有，所以的极大无关组是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.10.,且存在的某个元素的代数余子式，证明：1）是的基础解系；2)证明：1）当时，有，所以的列向量都是的解， 是的第列，又，所以是的非零解.由于，的解空间是1维的，所以是的基础解系.2）由的解空间是1维的，且的列向量都是的解，知，又，所以，故. 11. 是的前行组成的矩阵，求的基础解系.解：，所以，可逆，设，，，所以又，且是的个线性无关解向量，所以是的基础解系.11.设的行向量组是线性方程组的解,令表示中划掉第列的阶行列式, 1) 证明:当且仅当的行向量组不是的基础解系.2）令，求解：，设1)证明: 如果，由已知是的行向量组，它们都是的解，假设它们是的基础解系，则它们线性无关，又，所以可由线性表示，所以是的解，显然不成立.所以不是的基础解系.反之，如果不是的基础解系.则线性相关，所以，所以，所以，即. 2），所以是的基础解系.则，即，所以.同理12.设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：方程组的解都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.证明：所以.设是的解，由于，令，则所以都可以表示为形式，其中分别是的解下证表示的唯一性，假设方程组的一个解可以表示为和形式，其中和满足，.所以，即，所以，即由于，所以，即.所以方程组的解都可以唯一表示为形式.（此题也可以表述为：设两个多项式互素，为阶方阵，,证明：分别是方程组，的解空间，证明：都可以唯一表示为形式，其中分别是的解.）13. 是矩阵，，设线性方程组都有解，分别是的任意一个解，则（为与解选取无关的定常数）证明：设也是的解，则，所以是一个与的解选取无关的常数，同理也是一个与的解的选取无关的常数，所以，则（为与解无关的固定常数）向量组的线性相关性1. 是线性空间中线性无关向量组，线性相关，证明：线性无关.证明：设由于线性无关，线性相关，所以可由线性表示，所以存在使得，即由于线性无关，所以代入（1）得到，又线性无关，所以所以，线性无关.2.设向量组的秩为，则中任意个向量线性无关当且仅当对任意的，若，则全为零或全不为零证明：向量组的秩为，且中任意个向量线性无关，设对任意的，若，若中存在为零的数，则不妨设，则，由中任意个向量线性无关有.所以全为零或全不为零.反之，向量组的秩为，且中任意的个向量的线性组合为零都有系数全为零或全不为零.现任取中任意个向量，不妨就记为，设，在向量组中任意取一个异于的向量记为，则，由已知，所以线性无关.3.设向量组线性无关，且可由线性表示，则可以适当调整的顺序使得与等价.（替换定理）证明：当时，由可由线性表示，所以存在，使得，由于线性无关，所以，故存在，适当调整的顺序可使，则，所以与等价.假设对个线性无关向量结论成立，对个线性无关向量向量，如果它们可由线性表示，归纳假设适当调整顺序可使与等价，所以可由线性表示，，如果，则，与线性无关矛盾，所以不全为0，可适当调整顺序可使得，所以所以与等价，即有与等价.4.是阶实方阵，证明：1）如果，则；2），则证明：设，任取不全为零的数，令，则，则所以，所以所以线性无关，所以2）构造矩阵则是的次多项式函数，且且（由1）），如果，则存在，由知，满足由1），矛盾，所以5. 是互不相同的个数，证明：线性无关证明：设方程两边逐步求导，有这个关于的齐次线性方程组的系数行列式为，所以，所以，所以线性无关6.证明：线性无关（三角函数正交系）证明：设利用即可证得，所以线性无关。
同济大学线性代数教案第三章向量空间与线性方程组解的结构
线性代数教学教案第三章 向量组及其线性组合授课序号01,n a 组成的有序数组称为2n a ⎪⎪⎪⎭维向量写成),,n a个分量，其中T,…来表示,n a 是复数时，维复向量，当12,,,n a a a 是实数时，本书所讨论的向量都是实向量0⎪⎪⎪⎭或()0,0,,00=.2n a ⎪⎪⎪⎭称为向量2n a ⎪⎪⎪⎭的负向量，记为α. 向量的运算：由于向量可看成行矩阵或列矩阵，因此我们可用矩阵的运算来定义向量的运算，也就是：122,n n a a b ⎛⎫⎛⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭β，k ∈，则有1122n n a b a b a b +⎛⎫ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭β； （2）2n k ka ⎪⎪⎪⎭α；我们称这两种运算为向量的线性运算)1221122,,n n n n b ba a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭；()111212212221212,,,n n n n n n n n a b a b a b a b a ba b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎪⎭⎝⎭. 二、向量组及其线性组合：：由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组． ：给定n 维向量组,,,n ααα，对于任意一组数,,,n k k k ，表达式+n n k k α,n α和一个,n k ，使得++n n k =βα，,,n α线性表示，或者说向量β是向量组,n α的一个线性组合量组12,,,n ααα（唯一）线性表分必要条件是+n n x =α有（唯一）解.三、向量组的等价：由向量组B 线性表示：,,m αα是m ,,s β是s 维向量组成的向量组. 中每一个向量,)s β均可由向量组,m α线性表,s β可由向量组:A 12,,,m ααα线性表示.A 与向量组可以相互线性表示，则称向量组A 与向量组2,,,m αα与向量组:B 2,,,s βββ. 令矩阵),m A α，),s β，则向量组B 可由向量组线性表示的充分必要条件是矩阵方程=B向量组A 与向量组等价的充分必要条件是矩阵方程=BY A四、主要例题：1211222221122n n n n m m mn n ma x a x a x a x a xb +++++=中第()121,2,,i i i mi a ai n a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，维列向量2m b ⎪⎪⎪⎭， n n x β+=α12122212n n m m mn a a a a a ⎫⎪⎪⎪⎪⎭，将矩阵A 与列向量组和行向量组对应2100010,,,001n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e ，将任一向量2n a ⎪⎪⎪⎭由12,,n e e e 线性表示536⎫⎪⎪⎪-⎭及向量组123101,2,11⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭βββ，试问α能否由12,ββ123-⎫⎛⎫⎛⎫授课序号02,m α，如果存在一组不全为零的数,m k ，使得m m k +α，则称向量组,m α线性相关．线性无关：若当且仅当0m k ==时，才有112m m k k k ++=0ααα,m α线性无关.m 个n 维向量构成的向量组12,,,m ααα线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组1122m m k k k +++=0ααα有非零解；线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解0m k k k ===(,m m α线性相关的充分必要条件是存在某一个向量(1j ≤α2线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例是向量组A 的部分组线性无关，则其部分组,m α是m 个,m α线性无关，而向量组,,m αβ线性相关，则向量,m α线性表示，且表示式是唯一的如果向量组1,,s ααα可由向量组,t β线性表示，并且s >,s α线性如果向量组12,,,s ααα可由向量组2,,t β线性表示，并且向量组,s α线性无关，则2,,s α与向量组,t β均线性无关，并且这两个向量组等价，则s t =.2322,2⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪α，存在一组不全为零的数20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e ，对任意一组数12120001001n n n n k k k k k k k ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e ，0n k ==时，才有1122n n k k k +++=0e e e ，所以向量组1,,n e e e 线性无关证明：任一含有零向量的向量组必定线性相关.221,11⎫⎛⎫⎛⎫⎪ =⎪ ⎪ -⎭⎝α，判断向量组12,,αα授课序号03,r α满足条件：）向量组1,,r ααα线性无关；）对于A 中任意的向量β，向量组,,r αβ线性相关，则称向量组12,,r ααα为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组向量组A 的任意一个极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩，记为等价的向量组有相同的秩二、矩阵秩的概念及求法：rB ，则RA B ,n α为列构作矩阵),,n α，对矩阵的阶梯数给出矩阵的秩，从而给出向量组1,,n ααα的秩),n β，,n α与向量组,n β有相同的线性相关性，从而可以根据向量组,n β的极大无关组给出向量组12,,,n ααα的极大无关组，并给出不属于极大无关组的向量由极大无关组线性表示的表示20,,,001n ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭e e 线性无关，所以该向量组的极大无关组就是它3145,1227⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭α，向量1α与2α的分量不对应成比例，。
线性方程组解的结构
线性方程组解的结构
线性方程组的解的结构是线性空间。
线性方程组是数学中一个很重要
的概念，它是由多个线性方程组成的方程组。
线性方程组是指所有未知量
的各个线性方程组成的一个方程组。
线性方程组的解的结构本质上是线性
空间的结构。
线性空间是指一个能进行线性运算的集合。
线性空间具有加法运算和
数乘运算，而且满足线性运算的性质。
线性方程组的解符合线性空间的定义，因此可以将线性方程组的解看作是线性空间中的向量。
首先，线性方程组的解是一个向量空间。
向量空间是线性空间的一种
特殊情况，它是一个向量的集合，可以进行线性运算。
在线性方程组中，
解是通过求解方程组得到的向量。
其次，线性方程组的解是一个子空间。
子空间是线性空间的一个子集，同时也是一个线性空间。
线性方程组的解是通过线性运算得到的，所以它
也是线性空间中的子空间。
1.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
唯一解。
2.如果矩阵的秩小于线性方程组的未知量的个数，那么线性方程组有
无穷多解。
3.如果矩阵的秩等于线性方程组的未知量的个数，但是矩阵的秩小于
矩阵的列数，那么线性方程组有无解。
总之，线性方程组的解的结构是线性空间，它满足线性空间的定义和
性质。
线性方程组的解是线性空间中的向量，该向量可以通过矩阵运算来
求解。
线性方程组的解的结构与矩阵的秩有密切的关系，矩阵的秩决定了线性方程组的解的结构。
线性方程组的解的结构是线性空间及其应用的一个重要领域，它在数学和工程中都有广泛的应用。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
向量的秩与线性方程组解的结构
所以向量组
α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4
α α
3 4
= (0,0,0,5 )
= (0,0,0,0 ) 的秩为3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 4⎟ β1 = ⎜ ⎟ , β 2 = ⎜ ⎟ , β 3 = ⎜ ⎟ , β 4 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ 7 1 而 可以验证 β 1 , β 2 , β 4 线性无关， β 3 = β 1 − β 2 + 0 β 4 2 2 所以向量组 β 1 , β 2 , β 3 , β 4 的一个极大无关组是 β 1 , β 2 , β 4
知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系.
3. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 B = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 b 11 br1 b 1 ,n − r ⎞ ⎟ ⎟ b r,n − r ⎟ ⎟, 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x1 ⎞ ⎛ − b 11 ⎞ ⎛ − b 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− b ⎟ ⎜−b xr r1 r2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x r +1 ⎟ = c1 ⎜ 1 ⎟ + c 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎜ 1 xr+2 ⎟ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ xn ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0
⎛x1 ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b ⎞ ⎛−b,n−r ⎞ 11 12 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ,⎜ ⎟ , ,⎜ ⎜x ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎜−b ⎟ ⎝ r ⎠ ⎝ r1⎠ ⎝ r2 ⎠ ⎝ r,n−r ⎠
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第四节 线性方程组的解的结构
2. 基础解系的求法
设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个
列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为
1
0
b11
b1,nr
B
0
0
1 0
br1 0
br,nr
,
0
0
0
0
0
与 B 对应, 即有方程组
x1
b11xr1 b1,nr xn
,
(3)
例 12 求齐次线性方程组
2xx11x52x2
x3 x4 3x3
2
0, x4
0,
7x1 7x2 3x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵 A 作初等行变换, 变为行最
简形矩阵, 有
1
1
1 1
行变换
1
0
2 7 5
3
7 4
例 13 设 Am×nBn×l = O，证明
xr
br1xr1 br,nr xn
,
把 xr+1 , ···, xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ···, cn-r ，可得方程组 (1) 的通解
x1
b11
b12
b1,nr
xr
br1
br
2
br
,nr
xr1 c1 1 c2 0 cnr 0 .
把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S ,
如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , ···, t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关
组 S0 线性表示；另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合
12向量空间及线性方程组的解结构
x1 + x2 x3 x4 = 0 例2 求齐次线性方程组 2 x1 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 0 7 x 7 x + 3 x + x = 0 的基础解系。 的基础解系。 2 3 4 1
1 1 1 1 1 1 1 1 解： → 0 7 5 4 2 5 3 2 7 7 3 1 0 14 10 8 1 1 1 1 1 0 2 / 7 3 / 7 0 1 5 / 7 4 / 7 → 0 1 5 / 7 4 / 7 → 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 2/ 3 4/ 3 → 0 1 0 2 / 3 1 0 0 1 1 2 / 3
线性无关，并且： 从中可以看到α1, α2, α3线性无关，并且：
2 2 4 2 β 1 = α1 α 2 α 3 ; β 2 = α1 + α 2 + α 3 3 3 3 3
二. 线性方程组的解结构
2 3 5 4 由此可知： 由此可知： 1 = ,α 2 = α 7 0 0 7 是该齐次线性方程组的基础解系。 是该齐次线性方程组的基础解系。 8 5 13 9 例3 证明 β 1 = , β 2 = 7 7 7 14
也是上面齐次线性方程组的基础解系
x1 c1 + c2 + 0.5 x c 令: x2 = c1, x4 = c2, 则 2 = 1 x3 2c2 + 0.5 c2 x4
证明： 证明：验证向量组α1, α2与β1, β2相互等价便可
2 5 7 0
3 4 0 7
8 13 7 14
5 2 3 8 5 1 2 3 1 9 → 7 7 0 7 7 7 0 7 14 7
1 2 3 1 1 2 2 3 8 5 0 7 → → 7 0 7 7 0 14 0 7 14 7 0 7
向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
线性方程组解的结构
这就证明了, 1,2 ,,nr 是方程组（3.10），从而也是
齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系， 齐次线性方程组
Ax 0 的基础解系含 n r个解向量。
2x1 x2 2x3 3x4 0 例3.14 求齐次线性方程组 3x1 2x2 x3 2x4 0
1
设
r
r1
是（3.10）的一个解，令
n
d1 d2
r 1 1 r2 2 n nr dr
0
0
则依据齐次线性方程组 Ax 0 解的性质可知， 也是（3.10） 的一个解，将 代入（3.10）可得
d1 d2 dr 0
从而 r 1 1 r 2 2 nnr
,
brn 0
.
0
1
下面证明向量组
b1,r1
b2,r1
1
br ,r 1 1
,
0
0
b1,r2
b1n
b2,r2
b2n
2
br,r2
0
,
,
nr
brn
0
1
0
0
1
是齐次线性方程组 Ax 0 的一个基础解系。
k是任意常数，则 k 也是 Ax 0 的解。 事实上， A(k ) kA k 0 0
齐次线性方程组 Ax 0 若有非零解，则这些解的任意
线性组合仍然是它的解。从而可知，齐次线性方程组 Ax 0
的所有解向量构成一个向量空间，称之为该齐次线性方程组
的解空间，记为 S
定定义义3.31.133 齐次线性方程组 Ax 0 的解空间 S 的一个基，
.
于是得到方程组 Ax 0的 n r 个解向量：
4.4-线性方程组解的结构
cr brr1cr1 brr2cr2 cr1 1 cr1
ccrn2
1 cr2
写成向量形式即为：
b1ncn b2ncn
brncn b1ncn
b2ncn brncn 1 cn
b1r1
b1r2
b1n
c r 1
brr1 1
b1n
b2n
A
行
0
0
1 brr1 brr2
brn
0 0
00 0
0
0 0
00 0
0
于是，齐次线性方程AX=0组的同解方程组为
x1 b1r1xr1 b1r2xr2 b1
b2r2 xr2
b2n xn
xr brr1xr1 brr2xr2 brn xn
0
xn
0
0
1
得到方程组AX=0的 n r 个解：
n－r个 n－r维 向量。
b1r1
b2r
1
b1r2
b2r
2
1
brr1 1
,
2
brr2 0
,
0 1
0
0
b1n
b2n
, nr
brn 0
0
1
现证1,2, ,nr就是线性方程组AX=0的
x1 x3
x2
4x5 x5
x4 0
令自由未知量
x2 x5
1 0
,
0 1
,
得基础解系
1
4
1
0
0 , 1,
1
0
2 0
0
1
所以, 通解为＝c11 c22 c1,c2 R.
※ ※ 一般常用齐次线性方程组 AX=0 的基础解 系所含向量个数 n－r(A) 与系数矩A的秩的关系 证明矩阵的秩。
问题：什么是线性方程组的解的结构？
基础解系的概念
定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：ξ1, ξ2, ..., ξr 如果满足 ① ξ1，ξ2，...，ξr 线性无关； ②方程组中任意一个解都可以表示ξ1, ξ2, ..., ξr 的线性组合， 那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．
设 R(A) = r ，为叙述方便， 不妨设 A 行最简形矩阵为
称为方程组的解向量．
ξ11 ξ 21 ξ= M ξ n1
齐次线性方程组的解的性质
性质1：若 x = ξ1， x = ξ2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解， 则 x = ξ1 + ξ2 还是 Ax = 0 的解． 证明： A(ξ1 + ξ2 ) = Aξ1+ Aξ2 = 0 + 0 = 0 ． 性质2：若 x = ξ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数， 则 x = kξ 还是 Ax = 0 的解． 证明： A( kξ ) = k ( Aξ ) = k 0 = 0 ．
令
− b11 − b12 − b1,n− r M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r ξ1 = 1 , ξ 2 = 1 ,L , ξ n − r = 0 0 0 0 M M M 0 0 1
齐次线性方 程组的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
− b11 − b12 − b1,n − r x1 − b11c1 − L − b1,n− r cn − r M M M M M − br 1 − br 2 − br ,n − r xr − br 1c1 − L − br ,n− r cn − r = = c1 1 + c1 1 + L + cn − r 0 xr +1 c1 0 0 0 M O M M M x c n− r n 0 0 1
向量组的应用—线性方程组解的结构
b1,nr xn 0 ， b2,nr xn 0 ，
br,nr xn 0 ，
其中，xr1 ，xr2 ， ，xn 是 n r 个自由未知数。特别取
xr1 1 0 0
xr
2
0
， 1
，
， 0
，
xn 0 0 1
（2-17）
可得齐次线性方程组的 n r 个解
x r 1 1 r 1 2 nnr
综合（1），（2）知，1 ，2 ， ，nr 是齐次线性方程的一组 基础解系，它所含线性无关的解向量的个数恰等于 n r（方程组 中未知数个数减去系数矩阵的秩）。矩阵的秩是确定的，所以通 解中所含任意常数的个数也是确定的。
例1
求齐次线性方程组
2x1x1x52
推论
设 m n 矩阵 A 的秩 R(A) r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的 解集 S 的秩 R(S) n r 。
例2
设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解，证明R(A) R(B) 。
证
由于方程组 Ax 0与 Bx 0 有相同的解集，设为 S，解集为秩 为 R(S) ，则有 R( A) n R(S) ，R(B) n R(S) ，因此R( A) R(B)。
经济数学
向量组的应用—线性方程组解的结构
齐次线性方程 组 Ax 0 解的 结构
非齐次线性方程 组 Ax b解的结 构
1.1 齐次线性方程组Ax=0 解的结构
齐次线性方程组 Ax 0 的解具有以下性质：
性质1 如果1 ，2 是齐次线性方程组的解，则 1 2 也是齐次线
性方程组的解。
证 因为A(1 2 ) A1 A2 0 0 0 ，所以 1 2是齐次线
1.2 非齐次线性方程组Ax=b 解的结 构
线性方程组解的结构及性质
§4线性方程组的解的结构设有齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a n mn m m n n n n ，⑴记，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x a aa aa a a a a n mn m m n nx A21212222111211则⑴式可写成向量方程Ax =⑵若ξξξ1212111n n x x x ===，，，为⑴的解，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ξξξ12111n ξx1称为方程组⑴的解向量，它也就是向量方程⑵的解.性质1若ξx ξx 21，==为向量方程⑵的解，则ξξx 21+=也是向量方程⑵的解.性质2若ξx 1=为向量方程⑵的解，k 为实数，则ξx 1k=也是向量方程⑵的解.把方程⑵的全体解所组成的集合记作S ，如果能求得解集S 的一个最大无关组ξξξl 21，，， ：S 0，那么方程⑵的任一解都可由最大无关组S 0线性表示；另一方面，由上述性质1、2可知，最大无关组S 0的任何线性组合ξξξx t21k k k t +++= 21（为任意实数）都是方程⑵的解，因此上式便是方程⑵的通解.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系.设方程组⑴的系数矩阵A 的秩为r ，并不妨设A 的前r 个列向量线性无关，于是A 的行最简形矩阵为，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--000010011111b b bbt n r r rn B 与B 对应，即有方程组⎪⎩⎪⎨⎧---=---=-+-+，，，，x b x b x x b x b x n r n r r r rn r n r 1111111⑶把x x n r ，，1+作为自由未知数，并令它们依次等于c c r n -，， 1，可得方程组⑴的通解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++100010001------121221111211 b b c b b c b b c x x x x x r n r r n r n r r n r r r ，，把上式记作，ξξξx rn 21--+++=c c c r n 21可知解集S 中的任一向量x能由ξξξr n 21，，，- 线性表示，又因为矩阵()ξξξrn 21，，，- 中有r n -阶子式0E rn ≠-，故()r n R -=-ξξξrn 21，，， ，所以ξξξrn 21，，，- 线性无关.根据最大无关组的等价定义，即知ξξξr n 21，，，- 是解集S 的最大无关组，即ξξξr n 21，，，- 是方程组⑴的基础解系.令自由未知数x x x n r r ，，，21++取下列r n -组数，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++10001000121 x x x n r r 由⑶即依次可得，，，，，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b b b b x x r n r r n r r r ------,12121111 合起来便得基础解系.100010001------121221111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--- b b b b b b r n r r n r n r r ，，，，，ξξξ定理7设n m ⨯矩阵A 的秩()r R =A ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩r n R S -=.方程组⑴的任何r n -个线性无关的解都可构成它的基础解系.齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的.例12求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=--+0377023520432143214321x x x x x x x x x x x x ，，的基础解系与通解.上述解法中，由于行最简形矩阵的结构，x 1总是选为非自由未知数.对于解方程来说，x 1当然也可选为自由未知数.如果要选x 1为自由未知数，那么就不能采用上述化系数矩阵为行最简形矩阵的“标准程序”，而要稍作变化，对系数矩阵A 作初等行变换时，先把其中某一列（不一定是第一列）化为()0,0,1T.如本例中第四列数值较简，容易化出两个0：，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000013-41025-026-8013-4111-1-137-7235-21-1-11A上式最后一个矩阵虽不是行最简形矩阵，但也具备行最简形矩阵的功能.按照这个矩阵，取x x 21，为自由未知数，便可写出通解⎪⎩⎪⎨⎧=+=，，x x x x x x 2142132-534-（xx 21，可任意取值），即()，，R c c c c x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212143212-31054-01而对应的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-31054-01，.例13设O B A l n n m =⨯⨯，证明()()n R R ≤+B A .例14设n 元齐次线性方程组0Ax =与0Bx =同解，证明()()B A R R =.例15证明()()A AA T R R =.设有非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++，，，b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n22112222212111212111它也可写作向量方程b Ax =，性质3设ηx 1=及ηx 1=都是向量方程⑸的解，则η2ηx 1-=为对应的齐次线性方程组0Ax =的解.性质4设ηx =是方程⑸的解，ξx =是方程⑹的解，则ηξx +=仍是方程⑸的解.如果求得方程⑸的一个解η*（称为特解），那么方程⑸的通解为ηξξx r-n 1*+++=k k r n -1（为任意实数），其中ξξr -n 1，，是方程⑹的基础解系.事实上，由性质4知上式右端向量总是方程⑸的解；反过来，设x 0为方程⑸的任一解.由性质3知x 0-η*是方程⑹的解，从而可由其基础解系线性表示为x 0-η*=，ξξξr -n 21k k k r n 0-0201+++ 即+=*ηx，ξξξr-n 21k k k r n 0-021+++ 至此我们已得到了非齐次线性方程的解的结构：非齐次方程的通解=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解.例16求解方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=+--21-,.43214321432132130x x x x x x x x xx xx ，，。
向量组与线性方程组的解的结构
满足⑴ 向量组 1,2,L,r 线性无关； ⑵ 向量组 A 中任意一个向量都能由 1,2,L,r线性表示
那么称 1,2,L,r 是向量组的一个极大线性无关组，简称极
大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 r ,称为向量组 A
4.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系
定理8 矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量 组的秩.
r 结论:若 D r 是矩阵 A 的一个最高阶非零子式，则 D r 所在的 r 列即是列向量组的一个极大无关组，D r 所在的 行即
是行向量组的一个极大无关组.
4.3.3 利用初等行变换求向量组的秩与极大无关组
试问 能否由1,2,3 线性表示？若能，写出具体表示式.
解:
1 2 3 0 1 0 0 1
B(1,2,3, ) 2
3
3 1
1 2
4 2
0 0
1 0
0 1
1 1
R(A)R(B)3
所以 能否由1,2,3惟一线性表示，且
123
例2 ( 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 7 , 4 )
推论：向量组 A 与向量组 B 等价 R (A ) R (B ) R (A ,B )
4.2向量组的线性相关性
4.2.1线性相关与线性无关的定义 1.定义4 设有n 维向量组A:1,2,L,m,若存在一组不全为
零的数 k1,k2,L ,km使 k11 k 22 L k mm 0,则
称向量组 A:1,2,L,m线性相关,否则称为线性无关. 换言之,若 A:1,2,L,m线性无关,则上式当且仅当
因为 1,2,3线性无关，故有
《线性代数》第3章向量空间与线性方程组解的结构
称为该向量组的一个线性组合.
定义 4
n 给定 维向量组1,2,L ,n 和一个n 维向量 ，如果存在一组数 k1, k2,L , kn ，使得
k11+k22 +L
+kn
，
n
则称向量 可由向量组1,2,L ,n 线性表示，
或者说向量 是向量组1,2,L ,n 的一个线性组合.
一、向量的概念及运算
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 7
例1 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21x1 LL
a22 x2 LLL
L a2n xn b2 LLLLLL
am1x1 am2 x2 L amn xn bm
a1i
将第 i
个未知量
维向量组
1T
,
T 2
,L
， ,
T m
则得到一个以
1T
,
T 2
,L
,
T m
为行的
m
n
矩阵
A
1T
T 2
M
.
T m
因此，一个所含向量个数有限的向量组总可与一个矩阵建立一一对应关系.
二、向量组及其线性组合
定义 3
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 11
给定 n 维向量组1,2,L ,n ，对于任意一组数 k1, k2,L , kn ，表达式
2 矩阵方程 AX B 与 BY A同时有解 X Kms ，Y = Msm .
三、向量组的等价
第3章 向量空间与线性方程组解的结构 22
例6
1 2
3 3 1
已知向量组
线性代数线性方程组的解结构及解法
(3) 得
令 xr 1 c1,xr 2 c2 , ,xn cnr ,
b11c1 b12 c2 x1 br1c1 br 2 c2 xr 得通解为： c1 xr 1 c2 x n cn r
b11 b12 br1 br 2 于是基础解系为： 1 1 , 2 0 , 0 1 0 0
b11 b12 br1 br 2 c1 1 c2 0 0 1 0 0
18 返回
法二： 先求通解，再从中找出基础解系.
x1 b11 xr 1 x2 b21 xr 1 由 xr br1 xr 1
b1,n r xn b2, n r xn br ,n r xn
b1, n r cn r br , n r cn r 19 返回
22 返回
二、非齐次线性方程组的解的结构
非齐次线性方程组 Ax b (5)
1、非齐次线性方程组解的性质
性质3:
设 x 1 与 x 2 都是方程(5)的解，
则 x 1 2是对应的齐次方程组Ax 0的解.
性质4: 设 x 是(5)的解，x 是 Ax 0 的解,
16 返回
xr 1 1 x 0 r 2 取 依次为 , 0 xn
x1 x2 则 依次为 xr b11 b21 , br1
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a1 a2 an
行向量 即 1 n 矩阵
n
列向量
即 n 1 矩阵
2．零向量
3．负向量
0 (0,0,
,0)
(a1, a2 , , an ), (a1, a2 , , an )
km 0
, m 线性相关，否则称为线性无关．换言之，若 , m 线性无关，则上式当且仅当 k1 k2
时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关 齐次线性方程组 x 11 x22 xmm 0 有非零解 R( A) R(1 , 2 , ,m ) m
k1 , k2 ,
, km ,表达式 k11 k22 kmm 称为向量组 , km 称为该线性组合的系数
kmm
A 线性表示
k1 , k2 , A 的一个线性组合， k1 , k2 , , km
(2)给定向量组 A : 1 , 2 , , m 和向量 ,如果存在一组实数 ,使 k11 k22
4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 定理3 向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关 R( A) m
k 为任意实数，则
(b1 , b2 , , bn )
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ) k (ka1 , ka2 , , kan ),
注：利用向量的运算，对于方程组 Ax b A (1 , 2 ,
a1 j a2 j j , ( j 1, 2, a mj
可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是
R( A) R( B) m
例
1 (1,2,3)T ,2 (2,3,1)T ,3 (3,1,2)T , (0,4,2)T
1 0 0 1 1 2 3 0 B (1 , 2 , 3 , ) 2 3 1 4 0 1 0 1 0 0 1 1 3 1 2 2
4．向量的相等
(a1, a2 , , an ),
5．向量组
(b1 , b2 , , bn )
ai bi (i 1, 2, , n)
同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组
4.1.2
n
维向量的线性运算
1．加法与数乘
(a1, a2 , , an ),
2．加法与数乘的运算规律（略）
x1 x2 , n) x xn
, n )
则
ห้องสมุดไป่ตู้
b1 b b 2 bm
Ax b x11 x22
xnn b (1,2,
,n) x = b
4.1.3 向量组的线性组合与线性表示 1.定义2 (1) 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ,对于任何一组实数
4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义
1.定义4 设有 n 维向量组
A : 1 , 2 ,
, m ,若存在一组不全为零的数
k1 , k2 ,
A : 1 , 2 , A : 1 , 2 ,
, k使 m
k 11 k22
kmm 0,则称向量组
则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组
2.定理1
可由向量组 A 线性表示 的充分必要条件是
矩阵 A (1 , 2 ,
, m ) 的秩等于矩阵 B (1, 2 , , m , ) 的秩
注：设
A (1 , 2 ,
, m )
B (1, 2 ,
, m , )
4.1.4 向量组的等价 1.定义3 设两个向量组
A : 1 , 2 , , r , B : 1, 2 ,
, s
若向量组 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表示， 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 可以互相线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价
向量组与线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性
4.3向量组的秩
4.4 线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.1.1
n 维向量的概念
n个有次序的数 a1, a2 , , an 组成的数组称为
维向量，这
1． 维向量的定义
n
n 个数称为该向量的分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量（或第 i 个坐标）．
2.定理2 设
A : 1 , 2 , , r , B : 1, 2 ,
, s
, s )
A (1,2 , ,r ) , B (1 , 2 ,
向量组 推论： 向量组
A A
可由向量组 B 线性表示 R( B) R( A, B) 与向量组 B 等价 R( A) R( B) R( A, B)
0 1 0 0 2 0 B ( A, T ) ( T , T , T ) 3 1 7 0 1 0 0 2 4 0 0 1
因为,
R( A) 2, R( B) 3
所以,
不能由 , 线性表示
试问 能否由1 , 2 , 3 线性表示？若能，写出具体表示式 解
R( A) R( B) 3
所以 能否由1 , 2 , 3 惟一线性表示，且
1 2 3
例 (2, 3,0), (0, 1, 2), (0, 7, 4)