向量组与线性方程组的解的结构
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km 0
, m 线性相关，否则称为线性无关．换言之，若 , m 线性无关，则上式当且仅当 k1 k2
时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关 齐次线性方程组 x 11 x22 xmm 0 有非零解 R( A) R(1 , 2 , ,m ) m
向量组与线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性
4.3向量组的秩
4.4 线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.1.1
n 维向量的概念
n个有次序的数 a1, a2 , , an 组成的数组称为
维向量，这
1． 维向量的定义
n
n 个数称为该向量的分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量（或第 i 个坐标）．
k1 , k2 ,
, km ,表达式 k11 k22 kmm 称为向量组 , km 称为该线性组合的系数
kmm
A 线性Βιβλιοθήκη Baidu示
k1 , k2 , A 的一个线性组合， k1 , k2 , , km
(2)给定向量组 A : 1 , 2 , , m 和向量 ,如果存在一组实数 ,使 k11 k22
T (a1, a2 , , an )
a1 a2 an
行向量 即 1 n 矩阵
n
列向量
即 n 1 矩阵
2．零向量
3．负向量
0 (0,0,
,0)
(a1, a2 , , an ), (a1, a2 , , an )
0 1 0 0 2 0 B ( A, T ) ( T , T , T ) 3 1 7 0 1 0 0 2 4 0 0 1
因为,
R( A) 2, R( B) 3
所以,
不能由 , 线性表示
4.1.4 向量组的等价 1.定义3 设两个向量组
A : 1 , 2 , , r , B : 1, 2 ,
, s
若向量组 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表示， 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 可以互相线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价
4．向量的相等
(a1, a2 , , an ),
5．向量组
(b1 , b2 , , bn )
ai bi (i 1, 2, , n)
同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组
4.1.2
n
维向量的线性运算
1．加法与数乘
(a1, a2 , , an ),
2.定理2 设
A : 1 , 2 , , r , B : 1, 2 ,
, s
, s )
A (1,2 , ,r ) , B (1 , 2 ,
向量组 推论： 向量组
A A
可由向量组 B 线性表示 R( B) R( A, B) 与向量组 B 等价 R( A) R( B) R( A, B)
k 为任意实数，则
(b1 , b2 , , bn )
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ) k (ka1 , ka2 , , kan ),
注：利用向量的运算，对于方程组 Ax b A (1 , 2 ,
a1 j a2 j j , ( j 1, 2, a mj
试问 能否由1 , 2 , 3 线性表示？若能，写出具体表示式 解
R( A) R( B) 3
所以 能否由1 , 2 , 3 惟一线性表示，且
1 2 3
例 (2, 3,0), (0, 1, 2), (0, 7, 4)
则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组
2.定理1
可由向量组 A 线性表示 的充分必要条件是
矩阵 A (1 , 2 ,
, m ) 的秩等于矩阵 B (1, 2 , , m , ) 的秩
注：设
A (1 , 2 ,
, m )
B (1, 2 ,
, m , )
可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是
R( A) R( B) m
例
1 (1,2,3)T ,2 (2,3,1)T ,3 (3,1,2)T , (0,4,2)T
1 0 0 1 1 2 3 0 B (1 , 2 , 3 , ) 2 3 1 4 0 1 0 1 0 0 1 1 3 1 2 2
4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义
1.定义4 设有 n 维向量组
A : 1 , 2 ,
, m ,若存在一组不全为零的数
k1 , k2 ,
A : 1 , 2 , A : 1 , 2 ,
, k使 m
k 11 k22
kmm 0,则称向量组
2．加法与数乘的运算规律（略）
x1 x2 , n) x xn
, n )
则
b1 b b 2 bm
Ax b x11 x22
xnn b (1,2,
,n) x = b
4.1.3 向量组的线性组合与线性表示 1.定义2 (1) 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ,对于任何一组实数
4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 定理3 向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关 R( A) m
, m 线性相关，否则称为线性无关．换言之，若 , m 线性无关，则上式当且仅当 k1 k2
时才成立． 2.由定义4可知， (1) 仅含一个零向量的向量组必线性相关; (2) 仅含一个非零向量的向量组必线性无关; (3) 任何包含零向量在内的向量组必线性相关; (4) 向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关 齐次线性方程组 x 11 x22 xmm 0 有非零解 R( A) R(1 , 2 , ,m ) m
向量组与线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.2向量组的线性相关性
4.3向量组的秩
4.4 线性方程组的解的结构
4.1向量组及其线性组合 4.1.1
n 维向量的概念
n个有次序的数 a1, a2 , , an 组成的数组称为
维向量，这
1． 维向量的定义
n
n 个数称为该向量的分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量（或第 i 个坐标）．
k1 , k2 ,
, km ,表达式 k11 k22 kmm 称为向量组 , km 称为该线性组合的系数
kmm
A 线性Βιβλιοθήκη Baidu示
k1 , k2 , A 的一个线性组合， k1 , k2 , , km
(2)给定向量组 A : 1 , 2 , , m 和向量 ,如果存在一组实数 ,使 k11 k22
T (a1, a2 , , an )
a1 a2 an
行向量 即 1 n 矩阵
n
列向量
即 n 1 矩阵
2．零向量
3．负向量
0 (0,0,
,0)
(a1, a2 , , an ), (a1, a2 , , an )
0 1 0 0 2 0 B ( A, T ) ( T , T , T ) 3 1 7 0 1 0 0 2 4 0 0 1
因为,
R( A) 2, R( B) 3
所以,
不能由 , 线性表示
4.1.4 向量组的等价 1.定义3 设两个向量组
A : 1 , 2 , , r , B : 1, 2 ,
, s
若向量组 A 中的每个向量都可由向量组 B 线性表示， 则称向量组 A 可由向量组 B 线性表示 若向量组 A 与向量组 B 可以互相线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价
4．向量的相等
(a1, a2 , , an ),
5．向量组
(b1 , b2 , , bn )
ai bi (i 1, 2, , n)
同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为向量组
4.1.2
n
维向量的线性运算
1．加法与数乘
(a1, a2 , , an ),
2.定理2 设
A : 1 , 2 , , r , B : 1, 2 ,
, s
, s )
A (1,2 , ,r ) , B (1 , 2 ,
向量组 推论： 向量组
A A
可由向量组 B 线性表示 R( B) R( A, B) 与向量组 B 等价 R( A) R( B) R( A, B)
k 为任意实数，则
(b1 , b2 , , bn )
(a1 b1, a2 b2 , , an bn ) k (ka1 , ka2 , , kan ),
注：利用向量的运算，对于方程组 Ax b A (1 , 2 ,
a1 j a2 j j , ( j 1, 2, a mj
试问 能否由1 , 2 , 3 线性表示？若能，写出具体表示式 解
R( A) R( B) 3
所以 能否由1 , 2 , 3 惟一线性表示，且
1 2 3
例 (2, 3,0), (0, 1, 2), (0, 7, 4)
则称 是向量组的线性组合，或称 可由向量组
2.定理1
可由向量组 A 线性表示 的充分必要条件是
矩阵 A (1 , 2 ,
, m ) 的秩等于矩阵 B (1, 2 , , m , ) 的秩
注：设
A (1 , 2 ,
, m )
B (1, 2 ,
, m , )
可由向量组 A 唯一线性表示 的充分必要条件是
R( A) R( B) m
例
1 (1,2,3)T ,2 (2,3,1)T ,3 (3,1,2)T , (0,4,2)T
1 0 0 1 1 2 3 0 B (1 , 2 , 3 , ) 2 3 1 4 0 1 0 1 0 0 1 1 3 1 2 2
4.2向量组的线性相关性 4.2.1线性相关与线性无关的定义
1.定义4 设有 n 维向量组
A : 1 , 2 ,
, m ,若存在一组不全为零的数
k1 , k2 ,
A : 1 , 2 , A : 1 , 2 ,
, k使 m
k 11 k22
kmm 0,则称向量组
2．加法与数乘的运算规律（略）
x1 x2 , n) x xn
, n )
则
b1 b b 2 bm
Ax b x11 x22
xnn b (1,2,
,n) x = b
4.1.3 向量组的线性组合与线性表示 1.定义2 (1) 给定向量组 A : 1 , 2 , , m ,对于任何一组实数
4.2.2 向量组线性相关的充分必要条件 定理3 向量组 A : 1 , 2 , , m 线性相关 R( A) m