第3章-正弦交流电路总结与提高
《电路基础》教材第3章 单相正弦交流电路
第 3 章单相正弦交流电路正弦交流电是日常生活和科技领域中最常见、应用最广泛的一种电的形式。
正弦交流电路的理论在电路基础课程中占有极其重要的位置，学习和掌握好正弦交流电路的基本概念和基本分析方法，是本课程中的一个重要环节，应给予足够的重视。
本章将在分析直流电阻性电路的基础上，探讨正弦交流电路的分析方法。
学习的主要内容有：正弦交流电路的基本概念，正弦量的三要素和正弦量的有效值，正弦交流参量的基本运算，电抗元件在交流电路中的基本性质及电阻元件、电感元件、电容元件上的电压、电流关系及功率关系。
本章教学要求深入了解正弦交流电的诸多基本概念，重点理解正弦交流电的三要素和正弦交流电有效值的概念；熟悉和掌握正弦交流电的解析式表示法和波形图表示法；深刻理解和牢固掌握单一电阻元件参数电路、单一电感元件参数电路、单一电容元件参数电路的电压、电流关系及其功率情况，在此基础上，掌握多参数组合的简单正弦交流电路的分析与计算方法。
掌握正弦交流电路中电路参数的测量方法，学会交流电压表、交流电流表、单相功率表的正确使用方法。
3.1 正弦交流电路的基本概念学习目标：深刻理解正弦交流电的三要素，熟悉相位、相位差及同频率正弦量之间超前、滞后的概念；掌握正弦交流电有效值的概念及有效值与最大值之间的数量关系；理解和掌握频率、周期、角频率的概念及其三者之间的数量关系。
1820年奥斯特发现了电能生磁的现象后，又经过十多年，英国学徒出身的物理学家法拉第在1831年通过大量实验证实了磁能生电的现象，向人们揭示了电和磁之间的联系。
从此，开创了普遍利用交流电的新时代。
电磁感应现象奠定了交流发电机的理论基础。
现代发电厂（站）的交流发电机都是基于电磁感应的原理工作的：发电机的原动机（汽轮机或水轮机等）带动磁极转动，与固定不动的发电机定子绕组相切割从而在定子绕组中感应电动势，与外电路接通后即可供出交流电。
3.1.1 正弦量的三要素1.正弦交流电的周期、频率和角频率发电厂的发电机产生的交流电，其大小和方向均随时间按正弦规律变化。
电工学课件--第三章 正弦交流电路
U • o I= U =U 0 ∠ R
• •
u =Um sinω t u Um i = = sinω = Im sinω t t R R
U =I R
U =I R
•
•
可见： 可见：电压与电流同相位 ui
i
u
•
IU
•
I
•
U
+−
2．功率关系
ui
i
⑴ 瞬时功率
•
u
IU
p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)
角频率ω: 单位时间里正弦量变化的角度 称为角频率。单位是弧度/秒 （rad/s）. ω=2π/T=2πf 周期，频率，角频率从不同角度描 述了正弦量变化的快慢。三者只要知 道其中之一便可以求出另外两时值， 瞬时值中最大的称为最大值。Ｉm、 Ｕ m 、Ｅ m 分别表示电流、电压和电动 势的最大值. 表示交流电的大小常用有效值的概 念。
单位是乏尔（Var） 单位是乏尔（Var）
第四节 RLC串联交流电路 串联交流电路 一.电压与电流关系
i R u L C
uR uL
u =uR +uL +uC
U =UR+UL+UC
• • • •
uC
以电流为参考相量， 以电流为参考相量， 相量图为： 相量图为：
•
UL UL+UC
φ
• • • •
•
U I
•
U
φ UR
UL-UC
UR
UC
2 可见： 可见： U = UR +(UL −UC)2
U L −UC X L − XC = arctg = arctg UR R
第3章 正弦交流稳态电路(1.2.3.4节)
φ 'i<0。对于同一电路中的多个相关的正弦量，只能选择一个共同的计时
零点确定各自的初相位。
3.相位差
相位差描述的是两个同频率正弦量之间的相位关系。 假设两个正弦电流
分别为
i1 i2
2 I1 sin(t 1 ) 2 I 2 sin(t 2 )
其中，设φ 1>φ 2，它们的波形如下图所示。 （两电流的相位差）
由于正弦量按周期性变化360°，所以正弦量的相量是旋转相量。 正弦电流i=Imsin(ω t+φ i)在任一时刻的值，等于对应的旋转相量该时 刻在虚轴上的投影，如图3．2-2所示。
将一个正弦量表示为相量或将一个相量表示成正弦量的过程称为相 量变换。由图3．2-2可知，该相量只表示了对应正弦量的两个特征量—
—幅值和初相位。故相量只是用于表示正弦量，并不等于正弦量。
相量在复平面上的图称为相量图。相量图可以形象地表示出各个相 量的大小和相位关系。
例3．2-1： 已知电流
i1 5 2 sin(t 30o ) A, i2 10 2 sin(t 60o ) A 试画出这
两个正弦量的相量和相量图。
2 是220V，而其幅值为
³220=311V。在我国，民用电网的供电电压为
220V，日本和美国的供电电压为110V，欧洲绝大多数国家的供电电压也为 引入有效值后，正弦电流和电压的表达式也可表示为 220V 。
i I m sin(t i ) u U m sin(t u )
弦量的初相位，计时零点在右为正，即φ i>0，如图3．1-2(a)所示初相位
为正。初相位的取值范围为|φ i|≤180°。
在电路中，初相位与计时零点的选择有关。对于同一正弦量，如果其 计时零点不同，其初相位也就不同，对于图3．1-2(a)中所示的正弦量，如 果按图3．1-2(b)所示坐标建立计时零点，则正弦量 的初相为负，即
第3章 正弦交流电路
Um 正弦交流电压的有效值为 U = = 0.707U m 2 正弦交流电压的有效值为 E = Em = 0.707 Em 2
i = I m sin (ω t + ψ i )时，可得 也可以写为 i = 2 I sin (ω t + ψ i )
当电流
e = E m sin ( ω t + ψ e ) 时，可得 E = 2 也可以写为 e = 2 E sin ( ω t + ψ e )
1 1 T= = = 0.02s f 50
我国工业和民用交流电源的有效值为220V，频率为50Hz, ，频率为 我国工业和民用交流电源的有效值为 因而通常将这一交流电压简称为工频电压 频率称为工频 工频电压， 工频。 因而通常将这一交流电压简称为工频电压，频率称为工频。
例：已知正弦交流电流为i=2sin(ωt-30˚) A。电路中的电阻 已知正弦交流电流为 。电路中的电阻R=10Ω， ， 试求电流的有效值和电阻消耗的功率。 试求电流的有效值和电阻消耗的功率。 解：电流有效值 电阻消耗的功率 I=0.707×Im=0.707×2=1.414A × × P=I2R=20W
已知一正弦电流的有效值为5A，频率为50Hz,初 例：已知一正弦电流的有效值为 ，频率为 , 相为50˚，试写出其解析式。 相为 ，试写出其解析式。 由题目可知， 解：由题目可知，m = 5 2V，ψ=50˚ I 又频率f=50Hz，则角频率 又频率 ， ω=2πf=2×3.14×50=314rad/s × × 则该电流解析式为
（三）相位与相位差 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 相位角 初相位： 时的相位 时的相位， 初相位：t=0时的相位，用ψ表示。
第3章 正弦交流电路
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
1.纯电阻电路 (1) 电压与电流的关系
+
u iR
u
i I m sin t
_
u iR I m R sin t U m sin t
i R
对于正弦交流电路中的电阻电路(又称纯电阻 电路)，一般结论为：
1)电压、电流均为同频率的正弦量。
2)电压与电流初相位相同，即两者同相。
y
i
ω
Im
i1
ωt1 φ
Im
i0
90
o
x
o
ωt1
ωt
φ
t t1 i1 I m sin(t 1)
对于一个正弦量可以找到一个与其对应的旋转矢量，反之， 一个旋转矢量也都有一个对应的正弦量。
3.2.2 复数及复数的运算 1、复数
A a jb
A r cos r sin
e j cos j sin
作相量图时要注意： 只有同频率的正弦量才 能画在一个相量图上，不 同频率的正弦量不能画在 一个相量图上。
+j
U
Φu
o
Φi
+1
I
3.3正弦交流电路的简单分析与运算
电阻元件、电感元件与电容元件都是组成 电路模型的理想元件。
所谓理想元件，就是突出元件的主要电磁 性质，而忽略其次要因素。如电阻元件具 有消耗电能的性质（电阻性），其它的电 磁性质如电感性、电容性等忽略不计。。
f = 1/T T = 1/f
i
角频率是指交流电在1s内变化的电 Im
角度。正弦量每经过一个周期T，
o
对应的角度变化了2π弧度，所以
φ
ωt
T
2f 2
第3章单项正弦交流电路概要
( t i )称为正弦量的相位角
或相位。它表明了正弦量的进程。
i
0
t
初相： t=0 时的相位角 i 称为初相角或初相位。
（用 1800的角度表示） 若所取计时时刻（时间零点的选择）不同，则 正弦量初相位不同。
相位差：同频率正弦量的相位角之差或是初相角之
差，称为相位差，用 表示。
设正弦量： i Im sin( t i ) u Um sin( t u )
解： 工频电的角频率： 314
电压瞬时值表达式为：u 220 2 sin(314t 60 ) 电流瞬时值表达式为：i 22 2 sin(314t 30 ) 相位差为： 60 (30 ) 90
所以电压超前电流 90 ，二者相位关系为正交。
例： 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形式为：
三者间的关系示为：
f =1/ T ω =2 /T=2 f
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
3.1.3 正弦交流电的瞬时值、振幅和有效值
瞬时值、振幅和有效值是
i
描述正弦量数值大小的参数。
瞬时值:正弦量任意瞬间的值 称为瞬时值，用小写字母表示 0
i、u、e
振幅 Im
Ｔt
振幅:正弦量在一个周期内的 最大值，用带有下标m的大写字母表示: Im、Um、Em
有效值：一个交流电流的做功能力相当于某一数值的 直流电流的做功能力，这个直流电流的数值就叫该交
流电流的有效值。用大写字母表示： I、U、E
有效值与幅值的关系推导如下：
以电流为例：设同一个负载电阻R，分别通入
由于交流电的大小和方向都是随时间不断变化的， 所以在分析和计算交流电路时，必须先设定参考方 向。当交流电的实际方向与参考方向一致时，其值 为正，反之为负。
电工学-第3章交流电路
j ( ω t u )
]
+j
Um=√2 U
Um
U
2 Im[U e
= √2 Im[U = √2 Im[U]
j u
]
O
ψ ] u
+1
第 3 章 交 流 电 路
设正弦量 u U msin( ω t ψ ) 电压的有效值相量 用相量表示: 相量的模=正弦量的有效值 jψ
O
ψ
ωt1
ωt
正弦交流电可以用 一个固定矢量表示 最大值相量 Im 有效值相量 I
O
ωt2 +j I +1 Im ψ
大连理工大学电气工程系
11
第 3 章 交 流 电 路
一、复数的基础知识 1. 复数的表示方法
+j
几何法
b
ψ
p 模 a +1 辐角
O
Op = a + j b
= c (cosψ + j sinψ ) = c e jψ
瞬时值最大值
i Im
角频 初相位 率
ψ
O
ωt
最大值 角频率 初相位
正弦交流电的三要素
3
第 3 章 交 流 电 路
正弦交流电的波形:
i ψ = 0° i 0＜ψ＜180°
O
ωt
O ψ
ωt
i
－180°＜ψ ＜ 0°
i
ψ = ±180°
O ψ
ωt
O
ωt
4
第 3 章 交 流 电 路
一、交流电的周期、频率、角频率
u
2 I R sin (ω1t i )
U I 。 R
(1) 频率相同。 (2)大小关系:对电阻而言，电压有效值 与电阻有效值之间符合欧姆定律。 相位差 ： (3)相位关系 ：
《电工基础与测量》第3章-正弦交流电路- 正弦交流电路的功率要点
1 T 1 T P pdt UI (1 cos 2t )dt T 0 T 0 2 U UI RI 2 R
（3.47）
平均功率P反映了外施电源对电路作功的平均值，也是电阻元件消耗的功 率，所以也称为有功功率。电器设备上标注的功率都是指平均功率，如电视机 的功率为200W、日光灯的功率为30W等 2. 电感元件上的功率 图3.27所示电感元件正弦交流电路，设i = Imsinwt，则 关联参考方向下有u = Umsin(wt + 90°)，电感元件中的瞬 时功率为
u
t
6
在第一个和第三个 4 周期内， p为正，电感元件从电源吸收电能，转变为 1 磁场能量储存起来；在第二个和第四个 4 周期内， p 为负，电感元件将储存 的磁场能量全部退还给电源。所以，电感元件不消耗电能，是储能元件。 在电感元件的正弦交流电路中，平均功率
ห้องสมุดไป่ตู้
1
1 T 1 T P pdt UI sin 2tdt 0 T 0 T 0
从图3.28（a）的功率波形也容易看出，p的平均值为零，即平均功率为零。 从上述可知，在电感元件的正弦交流电路中，没有能量消耗，只有电源与 电感元件间的能量交换。且不同的电感元件与电源交换能量的规模不同。这种 能量交换的规模，工程上用无功功率来衡量。无功功率是指元件 L （或元 件 C ）与外界交换能量的最大瞬时值，用 Q表示，即
第3章
正弦交流电路
广东水利电力职业技术学院 电力工程系-供用电技术专业
1
第 3章
正弦交流电路
正弦交流电路是指电路中所含电源（激励）与产生 的各部分电压和电流（稳态响应）都是按同一频率正弦 规律变化的线性电路。正弦交流电动势是由交流发电机 所产生的。由于正弦交流电容易产生、传输经济、便于 使用，因此在工农业生产以及日常生活中得到了最为广 泛的应用，是目前供电和用电的主要形式。 正弦交流电路是电工学中很重要的一个部分。本章 所讨论的一些基本概念、基本理论和基本分析方法是后 面学习交流电机、电器及电子技术的理论基础。
电路分析基础第3章 正弦交流电路
20 图3.2.4 不同初相时的正弦电流波形
21
在正弦交流电路的分析中，有时需要比较同频率的正弦 量之间的相位差。例如在一个电路中，某元件的端电压u和 流过的电流i
u=Umsin(ωt+ψu) i=Imsin(ωt+ψi) 它们的初相分别为ψu和ψi，则它们之间的相位差(用φ表 示)为 φ=(ωt+ψu)-(ωt+ψi)=ψu-ψi (3.2.7) 即两个同频率的正弦量之间的相位差就是其初相之差，相位 差φ
以复数运算为基础的，复数的表示如图3.3.1所示。
32 图3.3.1 复数的表示
33
一个复数A可以用下述几种形式来表示。
1.代数形式
A=a+jb
(3.3.1)
式中， j 1 2.三角形式
A=rcosψ+jrsinψ=r(cosψ+jsinψ)
(3.3.2)
式中，r a2b2, t gb,arctban
28
I B I Bm 7 .07 5 A 22
A
100
π
1 300
π 60 3
B
100
π
1 600
π 30 6
A
B
π 3
π 6
π 2
90
(2)
iA=14.1sin(314t+60°)A
iB=7.07sin(314t-30°)A
29 图3.2.6 例3.2.5的波形图
a
a
ψ称为A的辐角。
34
3.指数形式
根据欧拉公式
ejψ=cosψ+jsinψ
第3章正弦交流电路
3）指数形式
A =r (cos jsin) = re j
4）极坐标形式
A=r∠
从图中可以看出，复数A的实部a、虚部b与模r构成一个直角三角形。
三者之间的关系为
r a2 b2
arctan b
个正弦量同相，如图4.2 (b)所示；
(4) 当 12 = 时，一个正弦量到达正最大值时，另一个正弦量到达
负最大值，此时称第1个正弦量与第2个正弦量反相，如图4.2 (c)所示；
(5) 当 12 = /2时，一个正弦量到达零时，另一个正弦量到达正最
大值(或负最大值)，此时称第1个正弦量与第2个正弦量正交。如图4.2 (d) 所示。
U1 U1 1
U U1 U 2
U 2 U 2 2
u(t ) 2 U cos( t )
故同频正弦量相加减运算变成对 应相量的相加减运算。
i1 i2 = i3
I1 I2 I3
3.2 单一参数正弦交流电路的分析
一、纯电阻元件电路
1. 电阻元件 在正弦电路中，电流、电压虽然都是随时间变化
= 311sin(30°)= 115.5V
i= 5sin(314t 90°) = 5sin(314×0.00333 90°) = 5sin(150°)
= 2.5A
可见，当两个同频率正弦量的计时起点变化时，各自的相位将发生
变化，但其相位差不变。说明相位的大小与计时起点的选择有关，
而相位差与计时起点的选择无关。
(2)、 乘除运算——极坐标为例
若 A1= r1 1 ，若A2= r2 2
则
A 1
第3章 单相正弦交流电路
单相正弦交流电路本章主要介绍了正弦交流电的基本概念、正弦交流电路的分析方法和正弦交流电路功率因数问题。
本章要求：1、 掌握正弦交流电基本概念，特别是有效值，初相位和相位差2、 掌握正弦量表示方法，特别是相量表示方法。
3、 熟悉单一参数电路的电压、电流关系及能量转换关系4、 了解电路基本定律的相量形式5、 能够对一般正弦交流电路进行分析和计算，掌握交流电路的功率及其计算。
6、 了解功率因数提高的意义及方法 引言：电路的物理量（电压、电流等），按其波形类型，大致可分为正弦交流电路：若电路中的电源（电动势）及由此产生的电压、电流均为正弦交流量，则这样的电路称为正弦交流电路。
若电源是单相的，就是单相正弦交流电路（举几个实例如日光灯电路、电风扇电路等），三相电源供电的则是三相正弦交流电路。
交流电应用很广，举例说明。
周期量交流量（大小、方向均做周期性变）非周期量（如电容充电电压）脉动量（大小做周期性变化，而方向不变）如：i 非正弦交流量，如：i正弦交流量i§３-1正弦交流电的基本概念概念：大小、方向均随时间作正弦规律变化的饿电流、电压、电动势等物理量均称为正弦交流电，简称交流电或正弦量 正弦量的波形图如下：三角函数表示：u=U m sin(wt+ϕu ) i=I m sin(wt+ϕi ) u 、i 为电流、电压的瞬时值周期、频率、角频率周波：变化一个循环称为一个周波周期T ：正弦量变化一个周波所需的时间单位S频率f ：每秒钟变化的周波数，单位：Hz, f=1/T,工作频率f=50Hz,周期T=0.02S 角频率w ：每秒钟变化的弧度数，单位：弧度/秒（rad/s ）,w=2πf=Tπ2f=50Hz 时,w=314rad/s一、幅值：最大的瞬时值，用大写字母加下标m 表示，如U m 、I m 二、初相：u=U m sin(wt+ϕu )正弦量三要素U m 、I m —最大值（最值），表示正弦量大小w —角频率，反映正弦量变化快慢 ϕu 、ϕi —初相位，反映t=0时刻正弦量的瞬时值大小，即正弦量初始值大小。
第3章 正弦交流电路的稳态分析
第3章正弦交流电路的稳态分析本章的主要任务是学习正弦量、正弦交流电路和相量法的基本概念、正弦交流电路的稳态分析与计算、正弦交流电路功率的概念和计算。
在此基础上理解和掌握功率因数提高的意义，和谐振的概念。
本章基本要求(1) 正确理解正弦量和正弦交流电路概念；(2) 正确理解相量法引入的意义；(3) 正确理解有功功率和功率因数的概念；(4) 掌握相量法；(5) 掌握电路定律的相量形式和元件约束方程的相量形式；(6) 分析计算正弦稳态电路；(7) 了解功率因数提高的意义；(8) 了解谐振的概念。
本章习题解析3-1 已知正弦电压和电流的三角函数式，试用有效值相量表示它们，并画出它们的相量图。
（1）A，V（2）A，V（3）A，V解 (1)A，V，相量图如图3-1（a）所示。
(2)A，V，相量图如图3-1（b）所示(3)A，V，相量图如图3-1（c）所示3-2 已知电压、电流的相量表示式，试分别用三角函数式、波形图及相量图表示它们。
（1） V， A（2） V ， A（3），解 (1)=，V=，A波形图相量图如图3-2（a）所示。
(2)=，V=，A波形图相量图如图3-2（b）所示。
(3)=，V=，A波形图相量图如图3-2（c）所示。
3-3 已知电感元件的电压，电感mH，电源频率Hz。
求电流的瞬时表达式，并画出电压和电流的相量图。
解电流相量A瞬时值A相量图如图3-3所示。
3-4 已知电容元件的电容，当电容两端加上频率为电压时，产生的电流。
求电容电压的瞬时值表达式并画出电压和电流的相量图。
解角频率rads-1电容电压V相量图如图3-4所示。
3-5 电路如图3-5所示，，且已知电源电压和两端电压的波形如图所示，并设电源电压。
试求该无源网络在此特定频率的等效阻抗。
解设和的相位差rad==若电源电压相量V，无源网络的等效阻抗。
则V而，所以整个电路的电流mA则Ω∴ Ω3-6 图3-6为测量感性负载功率的电路。
已知，，，。
第3章正弦稳态交流电路
p 2
UC IC
图3－8c
图3－9c
3.电容 方 程
正弦量
duC iC = C dt
相 量
IC = jwCU C
电路模型
图3－9a
相量图：如图3-9c
图3－9b
p wCU C ? (y u ) = IC y i 2 ì 1 ï ï UC = IC ï wC í ï ïy i = y u+ p ï 2 ï î
= 0.707 I m 9
通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。 譬如民用交流电压220V、工业用电电压380V等，交流测 量仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效 值。但是，各种器件和电气设备的耐压值应按最大值考 虑。
3.2 正弦量的相量表示及相量图
前面学的正弦量的两种表示方法，即 三角函数：反映正弦量的三要素 波形图：反映正弦量随时间变化的规律 但这两种方法不便于正弦量的计算，因此引入正弦量的 第三种表示方法——相量表示法（用复数表示正弦量）
i
& I = Ie jy i = I j
16
二、正弦量的相量运算 同频正弦量进行加、减、微分、积分运算,运算结果 仍为同频率的正弦量，所对应的相量运算如何？ 1. 同频率正弦量的代数和
证明： = i1 + i2 + 鬃 i
17
2.正弦量的微分 i = 2 I sin(w t + j i ) 故：
θ
b F 辐角： arg tan( ) (a,b) a
a | F | cos , b | F | sin
2 2
b
θLeabharlann | F |b a b , arg tan( ) a
正弦交流电路
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
P=UI
=I2R=i U2/2RI
sint
Uu =IRR
u 2U sint
P1 Tpd t1Tuidt
T0
T0
大写 1 T 2UIsin2t dt
T0
1
T
UI(1cos2t)dtUI
T0
§ 3.4 理想电感元件上的正弦稳态响应
一、电压电流关系
即：瞬时值和相量满足基尔霍夫定律，有效值不满足
I1I2I30
I1
I3
I1-I2+I3= 0
I2
U 3
U 4
U 2 U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 0 U 1
U 5
U 6
例： i162si nt (3)0
i282si nt (6)0
求i=i1+i2
i
解： I 1 6 3 0 5 .1 9 j3 6
Im[Ime ji e jt ]
复指数函数中的一个复常数
复常数定义为正弦量的相量，记
为
Im
相量 的表示
Im 为“最大值”相量
Im Im eji Im i
I 为“有效值”相量 IIeji Ii
相量是一个复数
注意
1）相量可以代表一个正弦量，但不等于该
正弦量。
U 50ej15° 50
2
sin(
实部是余弦量 虚部是正弦量
则 I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
I[ m Im e j( t i)] Im sitn ( i)
正弦量可以用上述形式复数函数描述
北航电工电子学第3章正弦交流电路
u i ωt
u
u = Ldi/dt, 设 i =ImSin(ωt) ， 则 u = Ldi/dt= ωLImCosωt, = UmSin(ωt +π/2)
∴对于电感，有如下结论：
(1) u 、i 同频, 并且 u 超前于 i 90o (2) Um =ωLIm =XLIm , XL=ωL= Um/Im = U/I ——感抗(Ω)
j
A
rejφ ejα –j=1/j= ej–π/2
4。极坐标式 A = r φ 旋转因子的概念
+1
特殊旋转因子 j=ejπ/2,
一、复数与正弦量的关系
i
B
ω t1
A
B
A O φi
φi
ωt1
ωt
二、相量表示法
j 优点： 1。把的正弦量＋、－、×、÷ 变为复数的＋、－、×、÷ 2。关系简单，一一对应，直接写出 注意：相量仅表示正弦量，不等于正弦量！ φ I +1 I
φZ = tg－1 (XL –XC )/R ——阻抗角
阻抗角
φZ = tg－1 (XL –XC )/R——阻抗角 ——决定电路性质 当 XL >XC 时， φZ > 0 ， u 超前于 i ——感 性 性
当 XL<XC 时， φZ < 0 ， i 超前于 u ——容 当 XL=XC 时， φZ = 0 ， u 、i 同相
XC = 1/(2πfC) = 0.159 (Ω) I= U/ XC = 1380 (A) QC = I2XC = 304 (kVar)
四、R、L、C 的 u – i 关系小结
1. 相量表示
电阻元件 电感元件 电容元件
U=RI U = jωL I I = jωC U
第3章 正弦交流电路
Z φ 电抗
2
( R jபைடு நூலகம் ) I ZI
Z
XL-XC
R
阻抗
Z R (XL XC)
XL XC arctan R
阻抗角
2
阻抗三角形
阻抗模
相量图
UL UC
U UL＋ UC UR I
电压三角形
2 U UR (U L U C ) 2 I R 2 ( X L X C ) 2
2.RL串联电路
u uR uL
I R U R
jX I U L L
U U U R L
i
R
u
L
Z R jX L
Z R X
2 2 L
XL arctan R
例
在RLC串联电路中，
R 30 Ω X L 40Ω X C 80Ω
若电源电压
平均功率
P0
无功功率 能量互换的规模 ，瞬时功率的最大值为无功功率。
QC UI I X C
2
U
2
XC
把电容量为40µ F的电容器接到交流电源上，通过电 容器的电流为
i 2.75 2 sin(314t 30 )A
o
试求电容器两端的电压瞬时值表达式。
解
o I 2.7530 A
u U m sin(t )
有效值相量
U m U m U U
i I m sin(t )
正弦量的相量表示:
I m I m I I
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
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第3章 单相正弦交流电路复习一、内容提要本章主要讨论正弦交流电的基本概念和基本表示方法，并从分析R 、L 、C 各单一参数元件在交流电路中的作用入手，进而分析一般的R 、L 、C 混联电路中电压和电流的关系（包括数值和相位）及功率转换问题。
最后对于电路中串联和并联的谐振现象也作概括的论述。
交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础，同时也要为电子电路做好理论准备，它是工程技术科学研究和日常生活中经常碰到的。
所以本章是本课程中重要的内容之一。
二、基本要求1、对正弦交流电的产生作一般了解；2、掌握正弦交流电的概念；3、准确理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值的定义及表达式；4、掌握正弦交流电的各种表示方法及相互间的关系；5、熟悉各种交流电气元件及才参数；6、在掌握单一参数交流电路的基础上，重点掌握R 、L 、C 串、并联电路的分析与计算方法；7、掌握有用功功率和功率因数的计算，了解瞬时功率、无功功率、视在功率的概念 8、理解提高功率因数的意义；掌握如何提高功率因数； 9、了解谐振电路的特性。
三、 学习指导1. 正弦量的参考方向和相位1)、大小和方向随时间按正弦函数规律变化的电流或电压称为正弦交流电。
正弦交流电的参考方向为其正半周的实际方向。
2）、正弦交流电的三要素一个正弦量是由频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位三个要素来确定。
（1）频率与周期：正弦量变化一次所需的时间（S ）称为周期T 。
每秒内变化的次数称为频率ｆ，单位：Z H 。
频率与周期的关系为：Tf 1= 角频率ω：每秒变化的弧度，单位：s rad /。
f Tππω22==（2）幅值与有效值瞬时值：正弦量在任一时刻的值，用i u e ,,表示。
幅值（或最大值）：瞬时值中的最大值，用m m m I U E ,,表示。
有效值：一个周期内，正弦量的有效值等于在相同时间内产生相同热量的直流电量值，用I U E ,,表示。
幅值与有效值关系：I I U U E E m m m 2,2,2===。
注意：符号不能混用。
（3）初相位：正弦量的相位（i t ϕω+）是反映正弦量变化进程的，初相位用来确定正弦量的初始值。
画波形图时，如果初相位为正角，t=0时的正弦量值应为正半周，从t=0点向左，到向负值增加的零值点之间的角度为初相位的大小；如果初相位为负角，t=0时的正弦量值应在负半周 ，从t=0向右，到向正值增加的零值点之间的角度为初相位的大小。
相位差：两个同频率的正弦量的相位之差等于初相位之差。
21ϕϕϕ-=2. 相量表示应注意:相量只能表示正弦量，而不能等于正弦量。
只有正弦周期量才能用相量表示，否则，不可以用；只有同频率的正弦量才能画在同一向量图上，否则，不可以。
倘若画在一起则无法进行比较与计算的。
3.“j ”的数学意义和物理意义1)、数学意义：1-=j 是虚数单位2)、物理意义：j 是旋转090的算符，即任意一个相量乘以±j 后，可使其旋转±90度。
4. 电压与电流间的关系各种形式的电压与电流间的关系式，是在电压、电流的关联方向下列出的，否则，式中带负号。
5. R 、L 、C 串联电路中，当R ≠O 时，L X 与C X 的大小对于电路的性质有一定影响。
1)、当C L X X >，则C L U U >，0>ϕ电路中的电流将滞后于电路的端电压（感性电路）；2)、当C L X X <，则C L U U <，0=ϕ，电路中的电流将超前于电路的端电压（容性电路）6. R 、L 、C 并联电路在R 、L 、C 并联电路中，当电路的参数和电源的频率使得；1)、CL 11X X >时，则C L I I >，0>ϕ，电路的总电流滞后于电路的端电压（感性电路）2)、CL 11X X <时，则C L I I <，0<ϕ，电路的总电流超前于电路的端电压（容性电路）；3)、CL 11X X =时，则C L I I =，0=ϕ，电路的总电流与电路的端电压同相（电阻性电路）---并联谐振。
7. 在R 、L 、C 电路中，如何选择参考相量一般情况下，选公共量或已知量作为参考相量，比如在R 、L 、C 串联电路中通常选电流作为参考相量；在R 、L 、C 并联电路中，通常选电压作为参考相量。
但在已知某个电气量的情况下，应选其作为参考相量。
参考相量选定之后，即可由电路中参数的性质及其电压电流的相位关系画出相量图。
8. 复杂正弦交流电路的分析与计算在复杂的文正弦交流电路中，将电压和电流用相量表示之后，即可用支路电流法、回路电流法、节电电压法、叠加原理、戴维南定理和诺顿定理等方法进行分析与计算。
9. 谐振在具有电感和电容元件的交流电路中，通过调节电路的参数或电源的频率而使电压与电流同相，这时电路中就发生谐振现象（分为串联谐振和并联谐振）。
1)、串联谐振条件C L X X =或fCfL ππ212=LCf π210=， LC10==ωω，0arctanCL =-=RX X ϕ 2）、串联谐振的特性（1）电路的阻抗|Z|=2C L 2)(X X R -+=R ，其值最小。
在U 不变得情况下，电流最大，==0I I RU 。
（2）ϕ=0（电源电压与电路中电流同相），电路对电源呈现电阻性。
电源供给电路的能量全部被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量的互换，能量的互换只发生在电感线圈与电容器之间。
（3）|L •U |=|C •U |且在相位上相反，互相抵消，对整个电路不起作用，因此R U U ••=。
但L L L X R U IX U ==及C C C X RUIX U ==的单独作用不容忽视（因为当R X X >=C L 时，U U U >=C L ，电压过高可能会击穿线圈或电容器的绝缘）。
串联谐振也称电压谐振。
电力工程中一般应避免之。
3）、品质因数RL CR U U U U Q 00L C 1ωω====称为电路的品质因数，简称Q 值。
其物理意义： （1）表示谐振时电感或电容上的电压是电源电压的Q 倍； （2）值越大，则谐振曲线越尖锐，选择性越强。
4）、通频带宽度 在0021%7.70I I I ==处频率上下限之间的宽度称为通频带宽度，即12f f f -=∆（见图4-1）通频带宽度越小，表明谐振曲线越尖锐，电路的选频性越强；而谐振曲线的尖锐程度与Q 值有关。
5）、并联谐振电路的特性（1）电路发生并联谐振时的频率LCL R LC f ππ21121220≈-=（2）•U 与•I 同相位，电源只供给电阻消耗的有功功率，而无功功率的交换只在电感支路之间进行。
（3）•L I 与•C I 的无功分量相等而相位相反，2C 2L 0I I I -=，当R=0时，0C L I I I >>≈。
（4）在谐振点附近，电路呈现高阻抗值：RCLZ =。
在电压U 保持一定时，则在谐振点附近电流值很小。
10．功率因数的提高1）、交流电路的平均功率为：ϕcos UI p =称为电路的功率因数，它决定于电路（负载）的性质，其值介于0与1之间。
当1cos ≠ϕ时，出现无功功率ϕsin UI Q =，电路中发生能量的互换。
从而引起两个问题：(1) 发电设备的容量不能充分利用；（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗。
通常要求功率因数为0.9～0.95。
功率因数不高的原因由于电感性负载的存在，电感性负载的功率因数之所以小于1，是由于负载本身需要一定的无功功率。
提高功率因数的意义在于解决这个矛盾，即减少电源与负载之间的能量互换，又使电感性负载取得所需的无功功率。
按照供用电规则，高压供电负荷平均功率因数不低于0.9，其它负荷不低于0.85。
2）、功率因数的提高提高功率因数常用的方法就是在保持用电设备原有的额定电压、额定电流及功率不变，也即工作状态不变。
在电感性负载并联静电电容器（设备在用户或变电所中）,其电路图和f707.0I 0I 图4-1相量图如图4-2所示。
图4-2 并联电容器以后，电感性负载的电流2L211XR I +=和功率因数2L21cos XR R +=ϕ均未变化，这是因为所加电压和负载参数没有改变。
但电压U 和线路电流i 之间的相位差ϕ变小了，即ϕcos 变大了。
这里所讲的提高功率因数，是指提高电源或电网的功率因数，而不是指提高某个电感性负载的功率因数。
因此，在选择静电电容器的容量时，必须了解补偿前同载的平均功率因数，它可根据一年的电能消耗量来计算：2Q2PP 22221)8760()8760(8760cos WW W P Q P PQ P S P +=+=+==ϕ式中P 和Q 分别是年消耗有功率（kW ）和无功功率（kvar ）；P W 和Q W 分别为年有功电能消耗量)(h kW ⋅和无功电能消耗量（h k ⋅var ），可由有功电度表和无功电度表读取；8760是全年的总时数。
然后根据下式计算所需静电电容器的容量)tan (tan 1max ϕϕγ-=P Q式中m ax P 是负载的最大有功功率；γ是负载系数，一般取0.85；1ϕ是补偿前的相位差；ϕ是补偿后的相位差。
或由相量图4-2b ）推出该电容器的电容值)tan (tan 212ϕϕω-=U pC 电容器的安装常采用高压集中补偿和低压分散补偿两种方式，也可以二者结合。
3.1 已知,A )30314sin(210,A )45314sin(21521-=+=t i t i （1）试问i 1与i 2的相位差等于多少？（2）画出i 1与i 2的波形图；（3）在相位上比较i 1与i 2谁超前谁滞后。
解：（1）021753045=+=-=ϕϕϕ （2）（3），超前21i i 。
滞后12i i3.2 已知,A )30200sin(210,A )20100sin(21021-=+=t i t i ππ两者的相位差为50，对不对？答：错3.3 已知正弦电流I =15A ，且t =0时，I 为3A ，频率f =50H Z 。
试写出该电路的瞬时值表达式，并画出波形图。
解： A )314sin(2150ϕ+=t i ，当0=t 时，A 3=I ，则 1414.0arcsin ,1414.0sin sin 2153000==⇒=ϕϕϕ3.4 下列两组正弦量，写出它们的相量，画出它们的相量图，分别说明各组内两个电量的超前、滞后关系。
（1）,A )152513sin(28,A )452513sin(21021-=+=t i t i （2）,A )1402000sin(210,V )1201000cos(221 -=--=t i t u解：（1）A,45210A,45100101∠=∠=••m I Iω t题4-3 i 曲线图ω t题4-1 21i i 、曲线图A,158A,1580202-∠=-∠=••m I I，超前02160i i 或。