椭圆知识点归纳总结和经典例题

椭圆的基本知识

1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2

)的点的轨迹叫做椭

圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).

2.椭圆的标准方程：

焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：

定义法、待定系数法、相关点法、直接法

例1如图，已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的

解:

段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•

关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.

2

x o 2

+ y o 2

= 4,

得 x 2+ (2 y ) 2

= 4,

即- y 2

1.所以点M 的轨迹是一个椭圆

4

2 2 2 2

4.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.

5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —

a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：

A ( — a , 0)、A(a , 0)、

B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.

y

| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .

在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2

, AZ b

即 c 2 = a 2 — b 2

.

x

7.椭圆的几何性质:

mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考

2 2

a b

2 2

a b

椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐

和召

Hi

¥

厂

1,

J /

1 .

Pj

A

J

4j

对 关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称

荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称

(K 点

Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —

At tO-B — a J » A* a }

(CXr-CI) a

几点说明:

(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。

8.直线与椭圆:

直线I : Ax By C 0 ( A 、B 不同时为0)

2

2

标系无关的本身固有性质, 如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,

y b 2

(a b 0)

2 的有关性质中横坐标 x

和纵坐标y 互换，就可以得出 冷

a 2

b 2

1 (a

b 0)的有关性质。总结如下:

(2) 对于离心率e ,因为 a>c>0,所以0

由于

,所以e 越趋近于1, b 越趋近于0,椭圆越扁平；e 越趋近于0,

b 越趋近于a ，椭圆越圆。

(3)观察下图，|0B 2|

b,| OF 2 | c ,所以IB 2F 2I a ，所以椭圆的离心率 e = cos / OFR

31

x y

椭圆C :二2 1 (a b 0)

a b

那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组, 通过方程组的解的个数来判断

直线和椭圆交点的情况。方法如下:

A X By C 0

2 2

x y “

消去 y 得到关于 x 的一兀二次方程，化简后形式如下

i

2

.2

1

a b

2

mx nx

p 0(m 0),

n 2 4mp

(1)

当0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点；

(2) 当

0时，方程组有一解，直线与椭

圆有一个公共点(相切)

；

(3)

当0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。

注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为

A(x i ,y i ), B(X 2, y 2)，那么线段AB 的长度(即弦

长)为|AB| ■. (X i X 2)2

(y i y 2)2

，设直线的斜率为k ，

可得：|AB| .. (^ X 2)2

[k(x i X 2)]2

、1 k 2

|x i X 2 |，然后我们可通过求出方程的根或用韦达 定理求出。

椭圆典型例题

例i 已知椭圆mx 2

3y 2

6m 0的一个焦点为(0, 2)求m 的值.

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,

求出参数a 和b (或a 2

和b 2

)的值，即可求得椭圆的标准方程.

当焦点在y 轴上时，设其方程为

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由

c 2，根据关系a 2 b 2 c 2可求出m 的值.

解：方程变形为

2

丄 I .因为焦点在y 轴上，所以2m 6，解得m 3 .

2m

又c 2，所以2m 6

22, m 5适合.故m 5.

例2已知椭圆的中心在原点，且经过点

P 3,0 , a 3b ，求椭圆的标准方程.

解: 当焦点在X 轴上时，设其方程为 2 2 x y

2

,2

a

b

由椭圆过点 P 3,0，知弓2

1 .又a

a 2

b 2

2

X

2

1.

y

9

i a b 0 .

3b ，代入得b 2 i , a 2

9，故椭圆的方程为

2 2