数学分析幂级数3
幂级数判断收敛
幂级数判断收敛幂级数是数学中一类重要的级数，它由一系列幂函数的和组成。
判断幂级数的收敛性是数学分析中的重要问题。
在本文中，我们将讨论如何判断幂级数的收敛性，并给出一些常用的判断方法。
我们来回顾一下幂级数的定义。
一个幂级数可以写成以下形式：S(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，a0, a1, a2, a3, ...是系数，x是变量。
幂级数可以在某个收敛域内求和，也可以在该收敛域外发散。
因此，判断幂级数的收敛性就是要确定它的收敛域。
接下来，我们介绍一些常用的判断幂级数收敛的方法。
1. 比值判别法比值判别法是判断幂级数收敛的一种常用方法。
对于幂级数S(x)，我们计算相邻两项的比值：lim(n->∞) |an+1 / an|如果这个极限存在，并且小于1，则幂级数收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则判定不出结论。
2. 根值判别法根值判别法是另一种常用的判断幂级数收敛的方法。
对于幂级数S(x)，我们计算每一项的n次方根的极限：lim(n->∞) |an|^1/n如果这个极限存在，并且小于1，则幂级数收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则判定不出结论。
3. 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法是判断幂级数收敛的另一种方法。
对于幂级数S(x)，我们计算相邻两项的比值的极限：lim(n->∞) |an+1 / an|如果这个极限存在，并且小于1，则幂级数收敛；如果大于1，则幂级数发散；如果等于1，则判定不出结论。
4. 积分判别法积分判别法是判断幂级数收敛的一种常用方法。
对于幂级数S(x)，我们对其进行积分：∫[0, ∞] |S(x)| dx如果这个积分存在并且有限，则幂级数收敛；如果积分为无穷大，则幂级数发散。
除了上述方法外，还有一些其他的判断幂级数收敛的方法，比如比较法、绝对收敛法等。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体问题选择合适的方法进行判断。
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
数学分析第十四章幂级数
第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ）§1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和∑∞=0n n nx a的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散.证∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nnxa 和∑-n nx x a)(0的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ1=; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .证 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间: ) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.例1 求幂级数∑2n x n的收敛域 . ( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域:⑴ ∑∞=0!n n n x ; ⑵ ∑∞=0!n nx n .例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域 .Ex[1]P 50—51 1.二． 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n nn x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在], [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑nnxa 在区间) , (R R -内闭一致收敛.Th 4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证 nnn nn R x R a x a ⎪⎭⎫⎝⎛=.∑nn R a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn xa 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna , *)∑⎰∞==1n xnn dt t a *)*11,1∑∞=++n n n x n a*) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与∑nn xa 有相同的收敛半径 . ( 简证 )注: *) 和 **)与∑n nxa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nn x .2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. Th 6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .Th 7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则ⅰ>∑∑=nn n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— 常数， 0≠λ.ⅱ>∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.ⅲ> (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.3. 和函数的性质: Th 8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;ⅳ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a . 注:当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n nx a在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a 在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n nR n a . 推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a , ……+++=+x a n a n x fn n n 1)()!1(!)(.注: 由系1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='== 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.验证 所给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x . ⇒ )(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入, ⇒ 02=-'-''y y y .例6 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x . ,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x .⎰∑⎰∑∞=∞=+++++++=+==-=-x n xn n n n n x x x n x dt t dt t x 00001211211111ln ,)1,1(-∈x Ex [1]P 50—51 4 , 5， 6 .§2 函数的幂级数展开（ 4 时 ）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式和Maclaurin 公式.Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式:Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= ,（只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x fn 存在）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x fθ1<<θ.积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x nn dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项 )(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f, 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n n x .而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点,是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外,函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数. ⑵ 若幂级数∑∞=-0)(n nn x x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.3． 函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式.4. 可展条件: Th 1 (必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .Th 3 (充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x ⅰ> 按x 幂; ⅱ> 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 ( , 1) 0 (=-'='f f46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f 0)()4(==== n ff.所以,ⅰ> 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. ⅱ> 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x . Ex [1]P 58 1， 3⑴.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开. 1. =xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=xa ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .2. =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.3. 二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, mx )1(+为多项式, 展开式为其自身;m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=n x n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1]P 56.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.): 当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如 取1-=m , 得 +-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112， ) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得 +⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x .] 1 , 1 (-∈x .事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰=+=+xt dt x 01)1ln( ∑⎰∞==-00) 1 (n x n n dt t ∑∞=++-011) 1 (n n n n x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ) 1 , 1 (-∈x . 验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.5. =+-+-= 753753x x x x arctgx ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x . 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x n n n n n dt t dt t t dt arctgx 00002022)1()1(1 =∑∞=++-012,12) 1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立.例4 展开函数1431)(2+-=x x x f . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∑∑∞=∞=+0013211131321)(n n n n n x x x x x f ∑∞=+<-=0131 || , ) 13 (21n n n x x . 例5 展开函数xe x xf )1()(+=. 解 =+=x x xe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n n n n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n n n x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n n x x n n .Ex[1]P58 2 ⑴―⑼, 3⑵(提示) .友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
数学分析2课件：14-1 幂级数
n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证 设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
函数的级数与幂级数
函数的级数与幂级数级数是数学中一个重要的概念，而函数的级数又是级数中的一种特殊形式。
在本文中，我们将探讨函数的级数以及与之相关的概念和应用。
1. 级数的定义与性质首先，我们回顾一下级数的定义。
对于给定的一列实数 {a_n}，级数可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中，S表示级数的和。
级数的部分和可以表示为：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n级数收敛的定义是它的部分和序列 {S_n} 收敛，即存在一个有限的实数 L，使得当 n 趋向正无穷时，S_n 逐渐接近 L。
如果部分和序列不存在极限，那么级数就是发散的。
对于级数的性质，我们有以下重要的结论：1.1 收敛级数的部分和序列是有界的。
1.2 若级数收敛，则其中每一项的极限必须为0。
1.3 若级数收敛，则级数的任意子级数也必定收敛。
1.4 若级数发散，则无法确定其总和。
2. 幂级数的定义与收敛区间在函数的级数中，幂级数是一种特殊的级数形式，可以表示为：f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...其中，a_n 是系数，x 是变量。
幂级数在某一区间内通常具有收敛性质。
幂级数的收敛区间是指满足幂级数收敛的所有 x 的取值范围。
对于给定的幂级数，我们可以利用求和公式、比值测试或根值测试等方法来确定其收敛区间。
3. 幂级数的收敛域与收敛半径收敛域是幂级数收敛的所有点构成的集合，通常可以是开区间、闭区间、半开半闭区间或单个点。
我们可以通过求和公式或收敛性测试来确定幂级数的收敛域。
对于收敛域内的每个点 x，幂级数都收敛；而对于超出收敛域的每个点 x，幂级数都发散。
收敛域的边界上的点需要额外的讨论，可能有收敛或发散的情况。
收敛半径是收敛域的一种度量，通常用 R 表示。
对于给定的幂级数，其收敛半径可以通过求和公式、比值测试或根值测试等方法来确定。
4. 幂级数的应用幂级数在数学和物理学中有广泛的应用。
它们可以用于近似计算、数值求解和函数扩展等方面。
精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
,
f (n)(0) (1)n1(n 1)! ,
所以 ln(1 x)的麦克劳林级数是
x x2 x3 x4 (1)n1 xn .
(5)
234
n
用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径 R 1, 且 当 x 1 时收敛, x 1 时发散, 故级数(5)的收敛域 是 (1, 1]. 下面讨论在 (1, 1] 上它的余项的极限. 当 0 x 1 时, 对拉格朗日型余项, 有
x n1 (0
1).
显见
|
Rn (
x)
|
e|x| (n 1)!
|
x
|n1
.
y
对任何实数 x, 都有
6
lim e|x| | x |n1 0,
4
n (n 1)!
2
因而
lim
n
Rn
(
x)
0.
1 O 2
y ex
(n 2) (n 0)
1
2x
ex 1 1 x 1 x2 1 xn , x (, ).
x)(1
)n
x n1 , 0
1.
二、初等函数的幂级数展开式
例2 求k次多项式函数 f ( x) c0 c1x c2 x2
的幂级数展开式. 解 由于
ck xk
f
(
n
)
(0)
n!cn , 0,
n k, n k,
总有
lim
n
Rn
(
x
)
0,
因而
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
充分条件是: 对一切满足不等式 | x x0 | r的 x , 有
lim
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数实变函数的幂级数、泰勒级数和洛朗级数是数学中常见且重要的概念，它们在数学分析和实际应用中都有着重要的作用。
本文将从浅入深地探讨这些级数的定义、性质和应用，希望能够帮助读者更全面地理解这一主题。
一、实变函数的幂级数1.1 什么是幂级数在数学中，幂级数是指形如∑(an * (x - a)^n)的无穷级数，其中a是常数，an是系数，x是变量。
这种级数在数学分析和微积分中有着重要的应用，可以用来表示各种函数。
1.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性是指在何种情况下幂级数能够收敛于某一函数。
对于幂级数∑(an * (x - a)^n)，我们可以使用收敛域的概念来定义其收敛性。
一般来说，收敛域是指在何种范围内幂级数可以收敛于某一函数，而在范围之外则发散。
1.3 幂级数的应用幂级数在数学分析、微积分、物理学和工程学等领域有着重要的应用。
通过幂级数，我们可以将各种函数进行展开，并且可以用幂级数逼近复杂的函数，从而简化计算和分析过程。
二、泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将一个函数表示为一个无穷级数的形式。
泰勒级数的系数由函数的各阶导数决定，因此可以通过泰勒级数来对函数进行近似和展开。
2.2 泰勒级数的收敛性与幂级数类似，泰勒级数也有其收敛性的问题。
对于给定的函数，我们需要确定其在何种范围内泰勒级数能够收敛于该函数，这可以通过收敛域的概念来加以解释。
2.3 泰勒级数的应用泰勒级数在数学分析、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过泰勒级数，我们可以对各种函数进行近似和展开，从而简化复杂函数的计算和分析。
三、洛朗级数3.1 洛朗级数的定义洛朗级数是一种可以表示在一个环形区域内解析的函数的级数表示法。
它是将一个函数在有限正负无穷远点处展开成一个大量项的和的一种方式。
3.2 洛朗级数的收敛性与泰勒级数类似，洛朗级数也需要考虑其在何种范围内能够收敛的问题。
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|， 根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)， 对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ， 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1， 且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1， 且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1， 又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散， 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +； 又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-幂级数(圣才出品)
第14章幂级数§1幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：解：（1）因故收敛半径R＝1，收敛区间为（－1，1）．又时，级数与级数均发散，故收敛域为（－1，1）．（2）因为故收敛半径收敛区间为（－2，2）．当时，级数收敛，故收敛域为[－2，2]．（3）记所以，则收敛半径R＝4．当时，级数为，通项为u故，即时级数发散，故收敛域为（－4，4）．（4）因故收敛半径为收敛域为（5）设则故对任取定的x，有＜1，故级数的收敛半径为收敛域为（6）设，则故级数收敛半径故，从而收敛区间为当时，原级数可化为对于级数，因为故级数收敛，又收敛，故时，原级数收敛．当时，原级数可化为因级数收敛，而级数发散，故时原级数发散，从而收敛域为（7）设故收敛半径，故时，原级数是发散的，从而收敛域为（－1，1）．（8）设，则因此级数在时收敛，时发散，从而可得收敛半径R＝1，收敛区域为[－1，1]．2．应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：解：（1）设时，级数收敛，故原级数的收敛半径R ＝1．又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为（－1，1）．设内逐项求导，得故和函数（2）记因为所以，收敛区域为（－1，1）．因为所以（3）记则收敛区域为（－1，1）．因为所以所以，因此3．证明：设在内收敛，若也收敛，则（注意：这里不管在x＝R是否收敛），应用这个结果证明：证明：因在内收敛，所以有又x＝R时，级数收敛，从而由定理14．6知的和函数在x＝R 处左连续，从而又因为内收敛，且级数收敛，所以4．证明：（1）满足方程（2）满足方程证明：（1）设故，从而幂级数的收敛区间为，且y可在内任意阶可导，所以（2）设，故所以幂级数的收敛区间为且和函数y在具有任意阶导数，由，可得所以又由5．证明：设f为幂级数（2）在（－R，R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项．证明：由可得当f（x）为奇函数时，故此时有当f（x）为偶函数时，，故此时有6．求下列幂级数的收敛域：解：（1）设故收敛半径，又当故原幂级数在|x|＝R时发散，收敛域为（－R，R）．（2）设，则，故收敛半径为时，所以原级数在时发散，故收敛域为7．证明定理14．3并求下列幂级数的收敛半径：证明：对任意的x，据定理12．8推论2可得：。
幂级数的系数
幂级数的系数摘要：一、幂级数的定义与性质1.幂级数的定义2.幂级数的收敛性3.幂级数的性质二、幂级数系数的计算方法1.常见幂级数的系数2.幂级数系数的计算公式3.幂级数系数的递推方法三、幂级数系数的应用1.幂级数在数学分析中的应用2.幂级数在工程领域中的应用3.幂级数在其他领域中的应用正文：幂级数是数学中一种重要的级数形式，具有独特的性质和广泛的应用。
本文将围绕幂级数的系数展开讨论，首先介绍幂级数的定义和性质，然后探讨幂级数系数的计算方法，最后分析幂级数系数的应用。
一、幂级数的定义与性质幂级数是一种形式为a_n = a^n * r_n的级数，其中a是常数，n是正整数，r_n是级数的系数。
幂级数的收敛性是研究幂级数性质的基础，只有收敛的幂级数才具有实际意义。
幂级数具有许多性质，如和函数的连续性、可微性、可积性等。
二、幂级数系数的计算方法幂级数系数的计算是幂级数研究中的重要问题。
对于一些常见的幂级数，如正弦级数、余弦级数等，可以直接得出其系数。
此外，幂级数系数的计算公式也是一个有效的方法，通过该公式可以求解任意幂级数的系数。
对于某些幂级数，还可以采用递推方法求解其系数。
三、幂级数系数的应用幂级数在数学分析中有着广泛的应用，如在级数收敛性分析、级数求和、级数求导等方面发挥着重要作用。
同时，幂级数在工程领域中也有着重要的应用，如在信号处理、控制系统等方面具有实际意义。
此外，幂级数在其他领域，如物理学、生物学等也有着一定的应用价值。
综上所述，幂级数作为一种重要的级数形式，其系数的研究具有重要的理论和实际意义。
数学物理方法第3章幂级数-2016
1. 根式法 2.比值法 3.奇点法 4.逐项微分或逐项积分法
44
1. 根式法
由根式判别法可知，若 (3.2.4)
(3.2.5)
45
46
2. 比值法
由比值判别法得
(3.2.7)
47
3. 奇点法
既然幂级数在收敛圆内解析(见幂级数在收敛 圆内的性质1)，因此幂级数在收敛圆周上或 在收敛圆周外(无限接近收敛圆周）必有奇 点．
若级数 则称级数
在z点收敛， 在z点绝对收敛.
9
2. 绝对收敛级数的判别法
级数
的每一项是正实数，故
绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法:
达朗贝尔(d’Alembert)判别法;
柯西判别法; 高斯(Gauss)判别法
10
11
3. 绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得 级数仍绝对收敛且级数和不变． 两个绝对收敛级数 和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数， 且收敛于S'S" ，即
由魏尔斯特拉斯定理可得， 在D内解析，且可逐项求导任意多次． 这表明，幂级数 代表一个解析函数
42
在收敛圆内
性质2 幂级数可沿收敛圆内任意曲线 l 逐项积分
证明 既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性 质2要求的条件：
(1)、幂级数在收敛圆内的任意曲线l 上一致收敛于 S(z)(根据阿贝尔定理）；
则称
在D(或l上)一致收敛于S(z)．
注意： N(e) 与 z 无关。
16
设级数
定义在区域D(或曲线l)上．
2. 级数一致收敛的充要条件： 任给 e>0，存在与z无关的正整数N(e)，使当 n>N(e)时，对任意自然数p,有
幂级数的概念和收敛性
幂级数的概念和收敛性幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关的性质和定理。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为变量，a为常数，n为正整数。
幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。
例如：f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）其中an为常数系数，可以是实数或复数。
二、幂级数的收敛性对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上收敛。
根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对收敛。
对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改变其和。
例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。
2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数条件收敛。
条件收敛级数的和依赖于项的次序。
例如幂级数∑(-1)n(x-1)n就是一个条件收敛的级数。
3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。
例如幂级数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。
三、幂级数的收敛半径对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数在该区间内收敛。
这个区间被称为收敛区间。
而收敛区间的两个端点分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。
幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup |an|^(1/n)其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。
收敛半径的求解对于判断幂级数在哪些点上收敛至关重要。
当x在幂级数的收敛半径内时，幂级数绝对收敛；当x在收敛半径的两个端点上时，需要分别讨论；当x超出收敛半径时，幂级数发散。
四、幂级数的性质和定理1. 幂级数具有线性性质：若幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n绝对收敛，则幂级数∑(an+bn)(x-a)n也绝对收敛，并且有∑(an+bn)(x-a)n = ∑an(x-a)n + ∑bn(x-a)n。
数学分析教案(华东师大版)第十四章幂级数(20200511214912)
第十四章幕级数教学目的：1.理解幕级数的有关概念，掌握其收敛性的有关问题； 2.理解幕级数的运算，掌握函数的幕级数展开式并认识余项在确定函数能否展为幕级数时的重要性。
教学重点难点：本章的重点是幕级数的收敛区间、收敛半径、展开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别。
教学时数：12学时§ 1幕级数（4时）幕级数的一般概念.型如\亠二二一和农心的幕级数.幕级数由系数数列…•唯一确定.幕级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如工陽才的幕级数.幕级数是最简单的函数项级数之一.一. 幕级数的收敛域：1. 收敛半径、收敛区间和收敛域：Th 1 ( Abel )若幕级数、厂在点:;收敛,则对满足不等式|x|<|z|的任何X,幕级数升*收敛而且绝对收敛；若在点I = x发散，则对满足不等式| x|〉|]|的任何X,幕级数工兔才发散•收敛,{%}有界.设I \<M,有定理的第二部分系第一部分的逆否命题定义幕级数的收敛半径R.收敛半径R的求法.八若血幼知=p,贝Ui > 一「' "■时…—；ii > " _ .时…一 "；iii > "二丨二时丄〔一..证血竽务F =血町盘| x\= p\x ,(强调开方次数与X的次数是JO) W & JO) 7 R ' 1致的).Th 2 对于幕级数幕级数和■的收敛域的结构.由于lirn。
和=p, n lim戈忙厂=口，因此亦可用比值法求收敛半径n今a a ”71'幕级数的收敛区间：幕级数的收敛域：一般来说，收敛区间_收敛域•幕级数的收敛域是区间上、厂、—E.F.或「-匚门之一.例2求幕级数- ■■■…的收敛域. f - J ,2 n例3 求下列幕级数的收敛域2.复合幕级数、宀:- ：令「-厂二I ,则化为幕级数•设该幕级数的收敛区间为•山./■. I，则级数的收敛区间由不等式- .■:■二确定•可相应考虑收敛域•求幕级数\'二的收敛域.([-U])特称幕级数(无为正整数)为缺项幂级数.其中职(x) = / .应注意数中为第「项的系数0 1'' •收敛区间为•厂■: I . — _；时,宀匕I 3广 中if f •由几何级数的敛M-0 / ―叫丄丿 u f 汁■2〈f 〈2时级数工丁 收敛•因此当且仅当1F 1<2,即|x-l|》号时级数乂 -仆收敛•所以所论级数的收敛域2 x 2 (x -1)为—求幕级数\ *的收敛半径•、为第二项的系数并应注意缺项幕级数 、厶并不是复合幕级数该级求幕级数 333 33 3*总 + 1厂是缺项幕级数n-Ci 》通项—.因此， 该幕级数的收敛域为 (需用).求级数 4jr的收敛域-,所论级数成为幕级数 散性结果，当且仅当1心3 33的收敛域解二二W -■ -1.Is幕级数的一致收敛性:Th 3若幕级数、.厂的收敛半径为二，则该幕级数在区间内闭一致收敛•证2； . J； I ,设…「| ■,则对八一，有|,级数工％x绝对收敛,由优级数判别法,n 幕级数工寂在［a,b］上一致收敛.因此，幕级数工寂在区间（-R,R）内闭一致收敛.Th 4 设幕级数的收敛半径为….,且在点一：（或x = -R）收敛，则幕级数才在区间［0，们（或［-&0］）上一致收敛函数列在区间［川〕上递减且一致有界，由Abel判别法，幕级数\工「叮在区间「J |上一致收敛易见，当幕级数「的收敛域为」，二（….时，该幕级数即在区间1-R.R］上一致收敛.三.幕级数的性质：命题3 设幕级数 工陽於和丫如F 的收敛半径分别为x-0x-O1.逐项求导和积分后的级数*）和**）仍为幕级数.我们有值得注意的是，*）和**）与 虽有相同的收敛半径（因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域，例如级数' 一.2. 幕级数的运算性质：定义 两个幕级数、爲■'和 \ ■"在点T -::的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数•■' - \「，二心-二一丨■■'.（由以下命题4系2） " 3-0八，| 鳥一 —Const , ■ II .设二叵八、丁川生」：’命题1*）和**）与 ;有相同的收敛半径（简证）命题2ii> £叔+ 以/二矢，, “心•7 7 7祷耨 B 左iii> （工叔）（工沐）二》八厲・》点鼻，|利<乩R—0 蛊—D 舉■（）Jt-03.和函数的性质：命题4 设在〔-汇.劝（—i ：内\八「-「*•则«-0i> 一厂在,,. 内连续；ii>若级数、「打〔或 ^.：, I 5."收敛，则；二在点；'-/■'（或「-- ■）是左（或右）连续的；i> 对，「_ . ..I,.' .「在点：可微且有一；H-1iv>对V XE（-R R）,/（力在区间［0^］上可积,且“CM"《数学分析》教案推论1 和函数在区间(-乩① 内任意次可导，且有1 - . ■ ■... ■ •■ .…，.........■ IH 1」」I 「’….由系1可见，.:是幕级数的和函数的必要条件是」「任意次可导.推论2 若\ \，则有0 /验证函数匸'、满足微分方程■"-1< .当级数\、U收敛时,无论级数台血+ 1工陽F在点x=R收敛与否，均有.这是因为:由级数》」收敛,得函数严(0)」一在占于二卑左连续,因此有《数学分析》教案验证 所给幕级数的收敛域为：-一一 V 一」I .n-l:-<.■.'，代入，：/§ 2 函数的幕级数展开函数的幕级数展开：1. Taylor 级数：设函数 m 在点，有任意阶导数.Taylor 公式和 Maclaurin 公式.2! 丹！余项二;…的形式：Pea no 型余项:（只要求在点■的某邻域内有】1阶导数，|存在）("1)10 ^M +1 h夕Taylor 公式:《数学分析》教案Lagrange型余项:- 在丄与「1之间.（讯+ 1丿！或J 一——J\n + Ij!积分型余项：当函数在点〔的某邻域内有1阶连续导数时，有Cauchy 余项:在上述积分型余项的条件下,有Cauchy余项:. 九！特别地，'- -.时，Cauchy余项为W「在.与丄之间.n\Taylor级数：Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时，得/（心）+八％）（厂州）+与!（畫-心尸+…+£^（L；V『+•—2! n\恥）0,称此级数为函数；.「在点‘-的Taylor 级数.只要函数；.「在点 匚无限次自然会有以下问题：对于在点 丄无限次可导的函数I .-.I ,在」「的定义域内或在点 ・的某邻域内，函数：二和其Taylor 级数是否相等呢？2.函数与其Taylor 级数的关系:例1函数一在点x = 0无限次可微•求得1 ■■ ?. ■■■ .■: …_ \ .该幕级数的收敛域为 ■-'. 仅在区间 内有；二=!'■ .而在其他点并不相等，因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点,是否必有丨和其Taylor 级数相等呢？ 回答也是否定的.①在点无限次可导且有^ = 0严(0)皿因此其可导,就可写出其Taylor 级数.称 ■二 时的Taylor 级数为Maclaurin 级数,严(沪諾葫("1),严(0)"其Taylor 级数为Taylor级数—「I，在'-.■-内处处收敛.但除了点｛-〔夕卜，函数；二和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章§1命题4推论2 （和函数的性质）知：在点匚的某邻域内倘有- ■,则；二在点无限次可导且级数.「「一必为函数：二在点L的Taylor级数.综上，我们有如下结论：⑴对于在点'无限次可导的函数;：i ,其Taylor级数可能除点一外均发散，即便在点一的某邻域内其Taylor级数收敛，和函数也未必就是厂门.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.◎⑵若幂级数二|,在点，冷的某邻域内收敛于函数/工，则该幕级数就是函数，二在点■的Taylor级数.于是,为把函数「I二I在点,的某邻域内表示为关于".丄| |的幂级数, 我们只能考虑其Taylor级数.3.函数的Taylor展开式:若在点'的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为门，则称函数丁 .「在点'可展开成Taylor级数（自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数；二在点〔的Taylor展开式或幕级数展开式.简称函数；二在点•可展为幕级数.当匚=0时，称Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.4. 可展条件:Th 1 （必要条件）函数」J在点L可展，；工在点L有任意阶导数.Th 2 （充要条件）设函数工在点有任意阶导数.贝U「工在区间..」」-| - ■ . |内等于其Taylor级数（即可展）的充要条件是：对L.「二丨1一二,有.其中是Taylor公式中的余项.1ST宿证把函数F展开为卜阶Taylor公式，有=> 临血必⑴，O lirn心⑴丸.Th 3 （充分条件）设函数在点|有任意阶导数，且导函数所成函数列•.「「：•：计一致有界，则函数可展.证利用Lagrange型余项,设.小二一工，贝U有I^WI=（母+ DI 0--：＜ ＜初等函数的幕级数展开式：例3展开函数 ；二-.-i ＞按丄幕；＞按雲匚：」幕.解y (p,-?-2?+x + 3,严（0）巧,严（一1）・一1;八仁4"1, 广(0)“ 7(-1)=3;广讥-4, 广（o ）7 r （-n=-io ；所以，i 可见ii厂（0）弋>:雹=「：vl ■■1：^.■ I :…—：■；：.:.的多项式丄.丄丨的Maclaurin 展开式就是其本身初等函数的幕级数展开式才是其本质上的解析表达式为得到初等函数的幕级数展开式 ，或直接展开，或间接展开.区间|丄」.（或［）上有界，得一致有界•因此可展）.|l| < +B •3. 二项式「-厂的展开式：匸为正整数时，「一 f '为多项式，展开式为其自身;为不是正整数时，可在区间 :I |内展开为:.■- - ■ I .(验证对•R 「--'在2.⑶+1)1COM 吃(T)・(201"J-■- 内一致有界.可展是因为对余项的讨论可利用Cauchy 余项.具体讨论参阅[1]P56.■ < -|时，收敛域为：-].'':;- '« '.时，收敛域为 -1,1 ;■■,■ ' II 时，收敛域为 丨|.禾|」用二项式的展开式,可得到很多函数的展开式•例如取v 1， 得亠十「22八*宀…,71 + x 22*4276间接展开：利用已知展开式，进行变量代换、四则运算以及微积运算，可 得到一些函数的展开式.利用微积运算时，要求一致收敛.幕级数在其收敛区 间内闭一致收敛，总可保证这些运算畅通无阻.4. ■：!： - ■(1+卄1卄空叫+…2!m(m -1)(^ - 2)，*•(用-旳 + 1) a«!心 J1).gJl].狀（-1川.事实上，利用上述;的展开式,两端积分,就有弑（TJ ）.F X sarct^i = x-— + 一357If ■由，_:、’*■?■ ' -1.两端积分，有1 + x M验证知上述展开式在点：，一-收敛,因此该展开式在区间_ : .■- ■上成立.（这里应用了习题中第2题的结果,）力二 V(-l)“jy.O验证知展开式在点「「- ］收敛, 因此，在区间「1」，上该展开式成立.2»+1二工（F2沙15.T2K +1展开函数_ !：例2求幕级数 於的收敛域.例5展开函数 几沪（1+诃.求收敛区间或收敛域：1-2<^的收敛区间.n-0«41例1求幕级数\《数学分析》教案解设亠 \ -，注意到1 :二:■. - - ■-,有山一 1 I - 刃1.：■ - z 1 时,函数展开:例3 把函数 * 展开成：的幕级数T3Y5T2«+1A A A=2 x+ —+ — + …+-------- + ■3! 5! (2«+1)!i»+l0 X 2**1.与―的展开式比较-|x|< + co兰丄…+ 土2! 3! 划|x|< + co《数学分析》教案例6 把函数'.'.| _ ,:i ' ' .J 展开成-?的幕级数.解23«例4 展开函数；.-i - ?；.丁 -；.因此,90 A 11 r^a.■ - ' I .i ®cos 1+工(-1)/—n㈣1+解因此,例5 展开函数 11 二 4fl z ia1 -2]K r ia「二—，的二|l|<!.1 11-1 13'720心 5,9].三.函数展开式应用举例1. 做近似计算例7计算积分-■ - J < ,精确到.上式最后是Leibniz 型级数，其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 .为使，可取，；•故从第 项到第;项这前7项之和达到要求(2讯 + 1闵 1000的精度.于是xe(-U].ln(5+x) =ln(7 + x - 2)-ln 1 + -------------------二£(T 严阡纽H-lTn解1 'U n\因此,&I /®/ =1 1 1 ---- -- ------ + -------- 52 7 6 9-24一…二 ............. ........................... . ._.2.利用展开式求高阶导数：原理.例8 设/W = J x 'f证明对V 叭严)(0)存在并求其值•1, x = O.?L直接验证可知上式当 二-.时也成立.因此在 一一--内有函数」..「作为一的幕级数的和函数，对'./ "存在，且smx = V(-l)K时，心;亠-―十⑵a+ 1)1(2« +1)1⑵a + 1)1四.幕级数求和：原理：对某些幕级数，有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式（特别是化为函数和「lr'的展开式），借以求和•(1)气亦)! (2w + 1)1y H (o )= 0,戲三 0,1,2 ,**'w = 2ws + 1.例9求幂级数二:的和函数并求级数内有的收敛域为［-二:,设和函数为」丄,则在 :I IK-11-X注意到口:山-：，则对二丨有0 Q S+1和Leibniz 级数的和.幕级数又门』：在点一1连续,于是在区间_ ［」1内上式成立•即有n' J'：；1'咗」.3例10 求幕级数的和函数.并利用该幕级数的和函数求幕级数H-1、二的和函数以及数项级数的和.»-1 3 心1 2解该幕级数的收敛域为..】.在 ..】内设n-L R-1现求....对. ，有由m：连续,有"IP'-'- <■——打1-7..取一-，有'亠二八——_.曲20 |-有J=2斗弓=21n 3因此，、二—「二一二-H-1I.作代换例11 求幕级数解法一收敛域为；- -- + -」J ,设和函数为：T上,贝U有解法寮出、兽丄打台対幺创幺卅幺也T)!例12求幂级数[——的和函数.V[ - ] ] K R 解 该级数为Leibniz 型级数,因此收敛.考虑幕级数\注意到MW ，对一厂I].有'T：：-'： ；： 厂’「| + …二，.-..壬（-叮 胡2K T 于是， 「 •. 解tr «!2i^ 臥例13® n s求数项级数]”[的和.K …2»+1其2«+1收敛域为 设和函数为J 工，在 内有盼）产■弘M—1.。
幂级数收敛域的论述
幂级数收敛域的论述
幂级数的收敛域利用比值判别法，
r=lima/a=lim[(1+1/n)^(n^2)]/{[(1+1/(n+1)]^[(n+1)^2]}=lime^n/e^(n+1)=1/e，x=1/e 时级数化为∑1;x=-1/e时级数化为∑(-1)^n，收敛域x∈(-1/e,1/e)。
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数数学分析就是解常微分方程的一种方法，特别就是当微分方程的求解无法用初等函数或或其分数式抒发时，就要谋求其他解方法，尤其就是对数解方法，幂级数数学分析就是常用的对数解方法。
用幂级数数学分析和广义幂级数数学分析可以求解出来许多数学物理中关键的常微分方程，比如:贝塞尔方程、尔使德方程。
绝对收敛级数：
一个绝对发散级数的正数项与负数项所共同组成的级数都就是发散的。
一个条件收敛级数的正数项与负数项所共同组成的级数都就是收敛的。
对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。
幂级数的系数
幂级数的系数（实用版）目录1.幂级数的定义与一般形式2.幂级数系数的性质3.常见幂级数及其系数4.幂级数系数的计算方法5.幂级数在数学分析中的应用正文一、幂级数的定义与一般形式幂级数是指形如 a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 +...+ anx^n +...(x 为自变量) 的函数序列，其中 an 是系数，n 是非负整数。
幂级数分为正幂级数和负幂级数，当所有 an 都大于等于 0 时，称为正幂级数；当存在an 小于 0 时，称为负幂级数。
二、幂级数系数的性质幂级数系数具有以下性质：1.系数 an 是序列 a0, a1, a2,..., an,...的第 n 项；2.系数 an 的取值范围为实数集；3.幂级数的收敛性可以通过其系数来判断；4.幂级数可以通过系数求和得到。
三、常见幂级数及其系数1.麦克劳林级数：e^x = 1 + 1/1! * x + 1/2! * x^2 + 1/3! * x^3 +...，系数为 1, 1, 1/2, 1/6,...；2.泰勒级数：sin(x) = -cos(x) + cos^2(x) - cos^3(x) +...，系数为 -1, 1, -1, 1,...；3.高斯级数：(1 + x)^(-1) = 1 - 1/1! * x + 1/2! * x^2 - 1/3! * x^3 +...，系数为 1, -1, 1/2, -1/6,...。
四、幂级数系数的计算方法计算幂级数系数的一般方法为：1.根据幂级数的定义，展开幂级数；2.对照展开式和一般形式，得到系数；3.利用递推关系式计算后续系数。
五、幂级数在数学分析中的应用幂级数在数学分析中有广泛应用，如求函数的近似值、求极限、研究函数的性质等。
常见的幂级数展开
常见的幂级数展开常见的幂级数展开是数学分析中常用的一种展开方法，它可以将一个函数表示为幂级数的形式。
在本文中，我们将介绍几个常见的幂级数展开，包括泰勒展开、麦克劳林展开以及常见函数的幂级数展开。
一、泰勒展开泰勒展开是最常见的幂级数展开方法之一，它可以将一个函数在某个点附近展开成幂级数。
泰勒展开的公式如下：\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots\]其中，\(f(x)\)是要展开的函数，\(a\)是展开点，\(f'(a)\)、\(f''(a)\)等分别表示函数在\(a\)点的一阶、二阶导数。
二、麦克劳林展开麦克劳林展开是泰勒展开的一种特殊情况，它将一个函数在原点附近展开成幂级数。
麦克劳林展开的公式如下：\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x ^3+\cdots\]麦克劳林展开将函数展开成了以\(x\)为自变量的幂级数，适用于一些特殊的函数展开。
三、常见函数的幂级数展开1. 指数函数的幂级数展开：指数函数的幂级数展开如下：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots\]这是一个非常常见的幂级数展开，它可以用来计算指数函数的近似值。
2. 正弦函数的幂级数展开：正弦函数的幂级数展开如下：\[\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]这个展开式是非常有用的，可以用来计算正弦函数的近似值。
3. 余弦函数的幂级数展开：余弦函数的幂级数展开如下：\[\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]这个展开式也是非常有用的，可以用来计算余弦函数的近似值。
幂级数的性质与应用
幂级数的性质与应用一、幂级数的定义与性质幂级数是数学分析中一种重要的级数形式，它是一系列幂函数的和。
幂级数可表示为：$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$$其中，$a_n$是常数系数，$a$是幂级数的中心。
幂级数具有以下性质：1. 收敛域性质：幂级数可能在某个特定区间内收敛或发散。
如果幂级数在$x=a$处收敛，那么它在该收敛区间内的任意点$x$也收敛，这被称为收敛半径。
收敛区间可能为开区间、闭区间或半开半闭区间。
2. 系数唯一性：一个幂级数在给定收敛区间内的每个点上的函数值都是唯一确定的。
也就是说，若两个幂级数在某个收敛区间内完全相同，则它们的各项系数必须一一对应相等。
3. 绝对收敛性：如果幂级数在其收敛区间内的所有点上都收敛，且收敛绝对值级数$\sum_{n=0}^{\infty} |a_n(x-a)^n|$也收敛，则称该幂级数为绝对收敛。
4. 幂级数和的可积性：如果幂级数在收敛区间内每个点上都可积（即广义积分存在），则称该幂级数是可积的。
5. 导函数与积分的性质：幂级数在其收敛区间内可导和可积。
幂级数的导函数和积分具有以下性质：- 给定一个幂级数$f(x)$，则$f'(x)$的系数$a'_n = n\cdot a_n$，$f''(x)$的系数$a''_n = n(n-1)\cdot a_n$，以此类推。
- 给定一个幂级数$f(x)$，则$f(x)$的积分$\int f(x)dx$的系数$b_n= \frac{a_n}{n+1}$。
二、幂级数的应用幂级数广泛应用于多个数学和物理学领域，以下介绍其中几个重要的应用：1. 函数逼近：通过适当选择幂级数中心和系数，可以用幂级数来逼近和展开各种函数。
例如，泰勒级数是一种特殊的幂级数，可以用来逼近函数在某个点的近似值。
在实际计算中，我们可以利用幂级数展开，将复杂函数转化为简单的多项式计算。
幂级数收敛区间
幂级数收敛区间1. 引言幂级数是数学分析中的一个重要概念，经常被应用在微积分、数值分析、物理学、工程学等学科中。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来，而在哪些范围外的数值则无法计算。
本文将详细阐述幂级数的收敛性以及如何求解幂级数的收敛区间。
2. 幂级数的定义幂级数是一个形如 $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 的级数，其中 $ a_0, a_1, a_2, ... $ 是一系列常数，$ x $ 是变量。
幂级数通常是一种无限级数，也就是说，级数中的项数可以无限增加。
如果变量 $ x $ 取某个值 $ x_0 $ 时，级数$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 收敛，那么这个值 $ x_0 $ 称为幂级数的收敛点。
幂级数的收敛点可以是一个实数、一个复数或者 $ x\to \infty $ 的情况。
幂级数的收敛性是指级数在什么条件下可以收敛。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来。
如果幂级数在所有数值上都收敛，那么这个幂级数的收敛区间为全体实数或复数。
3. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性可以用收敛定理来判断。
下面介绍几个常用的收敛定理。
3.1 比值判别法比值判别法是幂级数收敛性最基本的定理之一。
比值判别法的表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。
3.2 根值判别法根值判别法是比值判别法的一种变形，表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。
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(3) 当 时,R 0 .
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
加减法
an xn bn xn cn xn .
n0
n0
n0
x R, R
(其中 cn an bn )
乘法
( an xn ) ( bn xn ) cn xn .
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
解 (n 1)(x 1)n 的收敛半径为 R 1, n0 收敛域为 1 x 1 1, 即 0 x 2,
设此级数的和函数为 s( x), 则有
s( x) (n 1)(x 1)n . n0
两边逐项积分
x
x
s( x)dx (n 1)(x 1)n dx
1
1
n0
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
f (n) (0)x n称为 f ( x) 在点x 0 的麦克劳林级数.
n0 n!
(2) 充要条件
定理 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x
)
在U(x0)内lim nRn
(
2n1
n1
(2n 1)!
成 ( x 1) 的幂级数．
解 分析 (1)n1
x 2n1
是 sin x 的展开式，
n1
(2n 1)!
设法用已知展开式来解．
(1)n1
x 2n1
2
(1)n1 ( x )2n1
2n1
n1
(2n 1)!
n1 (2n 1)! 2
n0
n0
n0
x R, R
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
除法
(收敛域内 bn xn 0)
n0
an xn
n0
cn xn .
bn xn n0
n0
b.和函数的分析运算性质:
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内可积,且对x ( R, R) 可逐项积分.
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导任意次.
2、幂级数展开式
(1) 定义
如果 f ( x)在点x0 处任意阶可导,则幂级数
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(
x
1)n1
x 1
( x 1)n1
n0
n0
x1 1 ( x 1)
x 1, 2 x
两边再对 x 求导，得
s( x) ( x 1) 1 . 2 x (2 x)2
例2 将 f ( x) x arctan x ln 1 x2 展开成麦
克劳林级数.
解 ln(1 x) x x2 x3 , 23
(1 x)
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n!
x (1,1)
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
eix cos x i sin x,
eit eit
sin t
,
2i
cos t eit eit , 2
例1 求级数 (n 1)( x 1)n 收敛域及和函数. n0
(1 x 1)
(1)n
x 2 n2
1
(1)n1 x2n
n0
2n 1 2 n1
n
(1)n
x 2 n2
1
(1)n
x 2 n2
n0
2n 1 2 n0
2n 2
(1)n
x 2 n2 .
n0
(2n 1)(2n 2)
(1 x 1)
例5 将级数 (1)n1 x2n1 的和函数展开
x)
0
.
(3) 唯一性
定理 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内能展开成( x x0 )
的幂级数, 即 f ( x) an ( x x0 )n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的.
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
ln(1 x2 ) x2 x4 x6 (1)n1 x2n ,
23
n
又
x
arctan x
1
dx
0 1 x2
(1 x 1)
x
[1
x2
x4
x6
(1)n x2n
]dx
0
x x3 x5 x7 (1)n x2n1
357
2n 1
故 x arctan x ln 1 x2
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
第十四章 幂级数 习题课
1、
幂级数
(1) 定义
形如 an ( x x0 )n 的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时,
an xn
n0
其中an 为幂级数系数.
(2) 收敛性
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛;
2!
n!
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x (,)
ln(1 x) x 1 x2 1 x3 (1)n1 xn
23
n
x (1,1]