数学分析幂级数3

(1 x 1)
(1)n
x 2 n2
1
(1)n1 x2n
n0
2n 1 2 n1
n
(1)n
x 2 n2
1
(1)n
x 2 n2
n0
2n 1 2 n0
2n 2
(1)n
x 2 n2 .
n0
(2n 1)(2n 2)
(1 x 1)
例5 将级数 (1)n1 x2n1 的和函数展开
第十四章 幂级数 习题课
1、
幂级数
(1) 定义
形如 an ( x x0 )n 的级数称为幂级数.
n0
当x0 0时,
an xn
n0
其中an 为幂级数系数.
(2) 收敛性
定理 1 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛;
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n称为 f ( x) 在点x0
的泰勒级数.
f (n) (0)x n称为 f ( x) 在点x 0 的麦克劳林级数.
n0 n!
(2) 充要条件
定理 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x
)
在U
(
x0
)
内lim n
Rn
(
2n1
n1
(2n 1)!
成 ( x 1) 的幂级数．
解 分析 (1)n1
x 2n1
是 sin x 的展开式，
n1
(2n 1)!
设法用已知展开式来解．
(1)n1
x 2n1
2
(1)n1 ( x )2n1
2n1
n1
(2n 1)!
n1 (2n 1)! 2
(
x
1)n1
x 1
( x 1)n1
n0
n0
x1 1 ( x 1)
x 1, 2 x
两边再对 x 求导，得
s( x) ( x 1) 1 . 2 x (2 x)2
例2 将 f ( x) x arctan x ln 1 x2 展开成麦
克劳林级数.
解 ln(1 x) x x2 x3 , 23
(1 x)
1 x ( 1) x2 ( 1) ( n 1) xn
2!
n!
x (1,1)
(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
eix cos x i sin x,
eit eit
sin t
,
2i
cos t eit eit , 2
例1 求级数 (n 1)( x 1)n 收敛域及和函数. n0
如果级数 an x n 在x x0处发散,则它在满足
n0
不等式 x x0 的一切x 处发散.
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
ln(1 x2 ) x2 x4 x6 (1)n1 x2n ,
23
n
又
x
arctan x
1
dx
0 1 x2
(1 x 1)
x
[1
x2
x4
x6
(1)n x2n
]dx
0
x x3 x5 x7 (1)n x2n1
357ห้องสมุดไป่ตู้
2n 1
故 x arctan x ln 1 x2
n0
n0
n0
x R, R
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
除法
(收敛域内 bn xn 0)
n0
an xn
n0
cn xn .
bn xn n0
n0
b.和函数的分析运算性质:
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
x)
0
.
(3) 唯一性
定理 如果函数 f ( x)在U ( x0 )内能展开成( x x0 )
的幂级数, 即 f ( x) an ( x x0 )n,
n0
则其系数
an
1 n!
f
(n)( x0 )
(n 0,1,2, )
且展开式是唯一的.
(3) 展开方法
a.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
解 (n 1)(x 1)n 的收敛半径为 R 1, n0 收敛域为 1 x 1 1, 即 0 x 2,
设此级数的和函数为 s( x), 则有
s( x) (n 1)(x 1)n . n0
两边逐项积分
x
x
s( x)dx (n 1)(x 1)n dx
1
1
n0
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内可积,且对x ( R, R) 可逐项积分.
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导任意次.
2、幂级数展开式
(1) 定义
如果 f ( x)在点x0 处任意阶可导,则幂级数
2!
n!
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n x2n1
3! 5!
(2n 1)!
x (,)
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n x2n
2! 4!
(2n)!
x (,)
ln(1 x) x 1 x2 1 x3 (1)n1 xn
23
n
x (1,1]
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式.
(4) 常见函数展开式
e x 1 x 1 x2 1 xn x (,)
(3) 当 时,R 0 .
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
加减法
an xn bn xn cn xn .
n0
n0
n0
x R, R
(其中 cn an bn )
乘法
( an xn ) ( bn xn ) cn xn .
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
定理 2 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
设
lim an1 n an
n0
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;