第三章 经典需求理论2

max u ( x) s.t. p x w x0
命题3.D.2 假定u()是一个连续效用函数，代表定义在 X上的局部非饱和偏好关系，则瓦尔拉斯需求对应 X(p,w)具有下述性质： 1. 在(p,w)上具有零次齐次性； 2. 瓦尔拉斯定律 3. 凸性/惟一性。
Kuhn-Tucker条件
最优解满足的一阶条件
*
3.E.2 3.E.3
x * [ p u ( x * )] 0
对偶问题
UMP与EMP是对偶问题
命题3.E.1 假设u()是一个连续效用函数，代表定义在 消费集X上的局部非饱和偏好关系，且价格向量p>0， 则有： 1.如果当财富水平w>0时，x*在UMP中最优，那么当 要求效用水平为u(x*)时，x*在EMP中也是最优的。且 在这一EMP中的最小支出水平是w，即
如果u()连续可微，最优解 x* x( p, w) 的一阶条件（KT） 是：（必要？充分？）
u ( x* ) pl , l 1, xl
* l
,L
3.D.1
u ( x* ) if x 0, then pl xl
u( x* ) p 内点最优： 边际替代率等于边际交换率。
希克斯（补偿）需求函数
命题3.E.3 假设u()是一个连续效用函数， 它代表定义在消费集X上的局部非饱和偏 好关系，则对任意p>0，希克斯需求对应 h(p,u)具有下述性质： 1.在p上零次齐次； 2.没有超额效用； 3.凸性/唯一性。
h( p, u ) x( p, e( p, u )) x( p, w) h( p, v( p, w))
max ln x1 (1 ) ln x2 s.t. p1 x1 p2 x2 w
3.D.6
一阶条件

x1
p1
1 p2 x2
解得
x1 ( p, w)
w
p1
, x2 ( p, w)
(1 ) w p2
习题3.D.1 证明上面导出的瓦尔拉斯需求函数满足 命题3.D.2中的三个性质。 关于x(p,w)的比较静态分析（财富效应、价格效应） ，与前面类似。例题中的瓦尔拉斯需求的财富效应 和价格效应。
注意：间接效用函数依赖于被选中的效用函数形式。 例3.D.2 效用函数 u( x1 , x2 ) ln x1 (1 ) ln x2
习题
某消费者具有如下形式的效应函数
u( x1, x2 ) u( x1 ) x2
其中物品1是一个离散的物品，其可能的消费水平是
x1 0 or x1 1 假设u(0)=0，p2=1 该消费者具有何种类型的偏好；价格p1低于何种水平 时，消费者才会明确选择x1=1；其相关的间接效应 函数的代表形式是什么？
一阶条件中的Khun-Tucker乘子λ 表示最优点上消费者 财富的边际效用价值。财富的边际增加导致的效用 变化为
u ( x( p, w)) u ( x( p, w)) Dw x( p, w) w p Dw x( p, w)
例3.D.1 从C-D效用函数导出需求函数。L=2时，C-D 效用函数为 u( x1, x2 ) Ax1 x1 UMP问题是 2 , A 0, (0,1)
第三章 经典需求理论
3.D 效用最大化问题UMP
假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏 好关系，u(x)是代表偏好关系的一个连续效用 L 函数。假定消费集为 X R
消费者在给定价格p>0和财富w>0下选择她最偏好的 消费束，可以表示成效用最大化问题(UMP)
max u ( x) s.t. p x w x0
习题
1.某消费者具有下列形式的间接效应函数
w v( p1 , p2 , w) min{p1 , p2 }
求支出函数。
支出函数
命题3.E.2 假设u()是一个连续效用函数， 代表定义在消费集X上的局部非饱和的偏 好关系，则支出函数e(p,u)： 1.在p上一阶齐次； 2.在u上严格递增，对任意l，在pl上非递减； 3.在p上是凹的； 4.在p和u上连续。
2.若偏好是严格凸的和拟线性的。则商品2，…，L的 瓦尔拉斯需求函数与财富无关，希克斯需求函数不依 赖于u。
xl ( p, w) xl ( p) v( p, w) w ( p) hl ( p, u ) hl ( p) ~( p) e( p , u ) u e
习题

x( p, w) h( p, v( p, w)),e( p, v( p, w)) w
2. 如果当要求达到效用水平为u>u(0)时，x*在EMP 是最优的，那么当财富为px*时，x*在UMP中也是最优 的。且在这一UMP中的最大效用就是u。即
h( p, u ) x( p, e( p, u )) v( p, e( p, u )) u x( p, w) h( p, v( p, w)) e( p, v( p, w)) w
间接效用函数－最优值函数
对于每个(p,w)>0，UMP的效用值表示为
v( p, w) u( x( p, w)) R
是(p,w)的函数，称为间接效用函数。 命题3.D.3 假设u()是连续效用函数，代表定义在消费 集X上的局部非饱和偏好关系，则间接效用函数v(p,w) 是： 1.零次齐次的； 2.在w上严格递增，且对于任意l，在pl上非递增； 3.拟凸； 4.在p和w上连续。
(3.E.5)
例3.E.1 由科布－道格拉斯效用函数导出的希克斯需求 函数及支出函数。
p 2 h1 ( p, u ) ( 1 ) p 1
来自百度文库1
u

(1 ) p1 h2 ( p, u ) u p 2 1 e( p, u ) [ (1 ) 1 ] p1 p2 u
希克斯需求和补偿需求法则
希克斯需求满足补偿需求法则：对于伴随着希克 斯财富补偿的价格变化，需求和价格反向变动。 命题3.E.4 假设u()是一个连续效用函数，代表一 个局部非饱和的偏好关系，则希克斯需求函数 h(p,u)满足补偿需求法则：对所有p’和p’’，有
( p' ' p' ) [h( p' ' , u) h( p' , u)] 0
Gross v Net Substitute
1.若u是一次齐次的，则瓦尔拉斯需求函数x(p,w)和 间接效用函数v(p,w)也是一次齐次的，h(p,u)和e(p,u) 在u上是一次齐次的。 x( p, w) wx( p,1), v( p, w) wv( p,1)
h( p, u ) uh( p,1), e( p, u) ue( p,1)
3.E.4
h(p,u)描述：当价格变化时，如果消费者财富同时调整 ，以保持效用水平不变，则h(p,u)给出了相应的需求 变化。这一类型的财富补偿，称为希克斯财富补偿。 需求函数h(p,u)是在价格变化时保持消费者效用水平 不变，而瓦尔拉斯需求函数则是保持货币财富不变而 允许效用水平变化。
补偿需求法则
预算集
Bp,w {x R | p x w}
L
命题3.D.1 若p>0，且u(x)连续，则效用最大化问题 一定有解。 因此我们要研究： UMP问题的最优解（瓦尔拉斯需求）和最优值（最大 效用）的求法及各项性质。
瓦尔拉斯需求对应/函数－最优解
每一个价格－财富水平(p,w)>0对应一个最优解（集） x(p,w)，这是一个集值映射。？集值映射的性质 求解UMP问题
3.D.3, 3.D.4, 3.D.8 3.E.5, 3.E.7
u ( x* ) / xl pl u ( x* ) / xk pk
3.D.4
3.D.5
* x 任何 x( p, w) 都必须满足条件(3.D.2)和(3.D.3)。 （即一阶条件是必要条件）
如果u()是拟凹的和单调的，则一阶条件就是充分条件 。即满足(3.D.2)和(3.D.3)的x是UMP的最优解。
3.E 支出最小化问题
UMP是在给定财富w下所能达到的最大效用水平， 而EMP是为达到效用水平u所需的最小财富水 平。
min p x s.t. u ( x) u x0
最优解称为希克斯需求h(p,u)，最优值称为支出函数 e(p,u)=ph(p,u)。
若u()可微，一阶条件是
p u ( x )