第一章 量子论基础

第五章 近似方法

一、概念与名词解释

1. 斯塔克效应

2. 跃迁概率

3. 费米黄金规则

4. 选择定则

二、计算

1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r 0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.

2. 转动惯量为I ，电矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正.

3. 转动惯量为I ，电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场E 中，电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正.

4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 ,a E b b a E 0201⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++a 、b 是实数.

(1) 用微扰公式求能量至二级修正；

(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解，并与(1)的结果比较.

5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是)E (E E E 0 0 E 010

202*

b *

a b 01a 01>⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛λλλλ， (1) 用简并微扰方法求能量至二级修正；

(2) 求能量的准确值，并与(1)的结果比较.

6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级

修正.

7. 线谐振子受到微扰aexp(-βx 2)的作用，计算基态能量的一级修正，其中常数β>0.

8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为

, 1/2)a (a H

ˆ0ω+=+ 此体系受到微扰ω+λ=+ a)(a 'H ˆ的作用，求体系的能级到二级近似. 已知升与降算符对0H

ˆ的本征态|n>的作用为. 1n n n a ; 1n 1n n a －=++=+

9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场i E ε=的作用，利用微扰

论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.

10. 一维非简谐振子的哈密顿量为H=p 2/2m+m ω2x 2/2+βx 3. β是常数，若将3x H'β=看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本征函数至一级修正.

11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+p y 2)/2μ+μω2(x 2+y 2)/2+λxy. 若λ<<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.

12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 , bz axy H'2+=求第一激发态的一级能量修正.

13. 一维无限深势阱(0

⎩⎨⎧<<<<λ=a)

x (a/2 x/a)-2x(1a/2)x (0 x/a 2H'作用，求基态能量的一级修正. 14. 处于一维无限深势阱(0

⎩⎨⎧<<<<<<=2a/3)x (a/3 V -a)x a/3,2a/3x (0 0H'1

的作用，计算基态能量的一级修正. 15. 在一维无限深势阱(0

⎩⎨⎧<<<<=a)

x (a/2 b a/2)x (0 b H'＋－作用，求波函数至一级修正. 16. 一个粒子处在二维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<=)(

a)y x,(0 0y)V(x,其他中运动，现加上微扰 a),y x,xy(0H'≤≤λ=求基态能量和第一激发态的能量修正值.

17. 粒子在如下势阱中运动, a)x 0,(x

a)x (0 a x/a)/80sin(V(x)222⎩⎨⎧><∞≤≤μππ= －求其基态能量的一级近似.

18. 粒子处于如下势阱中, a)X 0,(x a)x (a/2 a /80a/2)x (0

0V(x)222⎪⎩

⎪⎨⎧><∞≤≤μπ<<= 求其能级的一

级近似值.

19. 自旋为ħ/2的粒子处于一维无限深方势阱(0

扰⎩⎨⎧><≤≤πλ=a)x 0,(x

0a)x (0 s ˆx/a)cos(2H'y 的作用，求基态能量至一级修正，其中λ为一小量.

20. 两个自旋为ħ/2，固有磁矩算符分别为2211ˆˆˆˆσβ=μσα=μ

和的粒子，处于均匀磁场k B B 0 =中，若粒子间的相互作用21ˆˆσ⋅σ

γ 可视为微扰，求体系能量的二级近似，其中α、β、γ为实常数.

21. 类氢原子中，电子与原子核的库仑作用为U(r)=－Ze 2/r ，当核电

荷增加e(从Z →Z+1)，相互作用增加/r -e H'2=，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.

22. 设氢原子处于均匀的弱电场k 0 ε=ε和弱磁场k B B 0 =中，不考虑自

旋效应，用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况.

23. 求氢原子n=3,简并度n 2=9时的斯塔克效应.

24. 设在t=0时，电荷为e 的线性谐振子处于基态. 在t>0时起，附加

一与谐振子振动方向相同的恒定外电场ε，求其处在任意态的概率.

25. 一个自旋为ħ/2，磁矩为s

ˆg ˆ =μ的粒子处于如下弱旋转磁场中 , k B j t)sin(B i t)cos(B B 00 +ω+ω=粒子与磁场的作用为 .B s ˆg ⋅－若粒子

开始处于s z = ħ/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率.

26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.

27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等

于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.

28. 一个粒子在吸引势V(r)= -g 2/r 3/2中运动，试用类氢原子的波函数

作为尝试波函数，求基态能量.

29. 以)exp(-cr (r)2=φ为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其

中c>0.

30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为 , x /2p ˆH ˆ42x λ+μ=以

/2)x exp(-a a/(x)22π=φ为试探波函数，a 为变分参数，求其基态能量.

31. 取尝试波函数为 ,Ce 2

-ax C 为归一化常数，a 是变分参数，试用变分

法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数C.

32. 设粒子在中心力场V(r)= -Ar n (n 为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-βr)

为试探波函数，求其基态能量. 进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.

33. 试用Φ=exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f 为变分参数，

求势场为V(x)=g 2(x 2-1)2/2的基态能量，其中g 是个很大的常数.