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高等量子力学复习纲要
高等量子力学复习纲要2012级硕士生高等量子力学期末考试复习纲要 1. 会证明矢量空间中矢量的一些基本运算性质和定理;由右矢空间中矢量的关系证明左矢空间中相应的关系;有限维空间中各种不同的完全集所含矢量数目相同。
2. 会利用Schmidt正交化方法构造基矢;会利用直积基矢来展开波函数。
3. 会证明一些重要的公式与定理，比如:算符有逆定理;Glauber公式;厄米算符的性质定理;幺正算符的性质定理;投影算符的性质;本征矢量的完全集等。
定理4. 会证明幺正变换不改变矢量和算符的关系式;有逆算符不改变矢量的相关性。
5. 掌握量子力学的五个基本原理。
6. 会利用Levi-Civita符号及算符的基本对易关系证明角动量算符各分量与其它算符各分量的对易关系。
7. 会利用作用在位置和动量本征矢量上的升降算符的定义证明动量算符的本征矢量在坐标表象中的表示。
8. 会利用角动量的升降算符讨论对给定的角量子数j相应磁量子数m的取值范围;利用轨道角动量的本征函数所满足的本征值方程求解。
Y(,,,)Y(,,,)lm009. 试述绘景变换与表象变换的关系;三种绘景的区别和联系;会证明Heisenber方程;相互作用绘景中态矢量和算符所满足的方程。
10. 试给出薛定谔绘景中密度算符的表达式，并由此推导Liouville方程;会证明密度算符是厄米算符。
11. 会判断纯态和混合态;会由态的密度矩阵求力学量的平均值或者相反;会由不正交参与态构成的混合态构造正交参与态构成的混合态。
12. 能写出真空和电磁场中电子的所满足的Dirac方程及其协变形式;给出其中各物理量的含义;给出并证明自由电子体系的守恒量;会说明为何自由电子的哈密顿的本征矢量为何是高度简并的。
13. 会推导位置算符和动量算符在空间反演下的变换性质;能写出空间平移和空间转动算符的形式;会区分标量和矢量算符;会区分真标量和赝标量以及真矢量和轴矢量算符。
14. 理解系统在某一空间对称变换下具有不变性的含义，能写出系统在空间变换Q下具有不变性的明确数学表达式。
量子力学复习提纲
量⼦⼒学复习提纲`2010级材料物理专业《量⼦⼒学》复习提纲要点之⼀1. 19世纪末到20世纪初，经典物理学在解释⿊体辐射、光电效应、原⼦的光谱线系和固体的低温⽐热等实验结果时遇到了严重的困难，揭露经典物理学的局限性。
2. 普朗克提出“ 能量⼦ ”（内容是能量单位hv?）的假设，解决了⿊体辐射问题；爱因斯坦在普朗克“ 能量⼦ ”假设的启发下，提出了“光量⼦” （内容是以速度c 在空间运动的粒⼦?）的假设，成功解释了光电效应现象。
爱因斯坦的的光量⼦理论1924年被康普顿效应（内容是散射光中除了有原波长λ0的x 光外，还产⽣了波长λ>λ0 的x 光，其波长的增量随散射⾓的不同⽽变化。
这种现象称为康普顿效应(Compton Effect)?）证实，被物理学界接受。
3. 德布罗意在光的波粒⼆象性的启⽰下，提出⼀切微观粒⼦（原⼦、电⼦、质⼦等）也具有波粒⼆象性的假说，在⼀定条件下，表现出粒⼦性，在另⼀些条件下体现出波动性。
德布罗意的假说的正确性，在1927年为戴维孙（Davission ）和⾰末（Germer ）所做的电⼦衍射实验所证实。
4. 描述光的粒⼦性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率ν波⽮K由 Planck- Einstein ⽅程联系起来，即：ων ==h E （其中的各物理量的意义？）。
5. 描述微观粒⼦（如原⼦、电⼦、质⼦等）粒⼦性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率ν（或⾓频率ω）和波长λ，它们间的关系可⽤德布罗意关系式表⽰，即：ων ==h E（其中的各物理量的意义）；。
7. 正⽐例，即描写粒⼦的波可认为是⼏率波，反映了微观粒⼦运动的统计规律。
8. 波函数在全空间每⼀点应满⾜单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在⽆穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表⽰为)(0*n m dx n m ≠=?ψψ。
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学复习提纲
第六章
1、散射态与束缚态的区别。
散射
2、三个基本概念：微分散射截面，总散射截面，散射振幅。 3、两种基本方法：分波法、玻恩近似法的适用范围和精髓。
第七章
1、掌握提出电子自旋的实验根据。 2、掌握电子自旋假设的表述内容。
自旋与全同粒子
3、掌握电子自旋算符的对易和反对易关系式。 4、掌握电子自旋算符及其本征态和本征值。 5、掌握泡利矩阵。 6、掌握简单塞曼效应、复杂塞曼效应和光谱的精细结构产生的原因。 7、掌握无耦合表象和耦合表象的描述方式。 8、掌握全同粒子的概念、全同性原理的表述内容。 9、掌握波色子和费米子的概念以及全同波色子和费米子波函数的对称性要求。 10、掌握自旋单态与三重态的表达式。 11、掌握微扰法下求氦原子的能级和波函数。
入射波 i
z
ˆ ˆ Lz f , 0, Lz i f , 0 f f
ˆ （2）入射波虽然是 Lz的本征态，但却不是 式看出
e e
ikz ikr cos l 0
ˆ L2 的本征态，这可从平面波的一般展开
确定关系。
接着，采用 5 条假设：波函数假设、基本方程假设、算符假设、测量假设、
全同性原理假设，就能逻辑地支撑起非相对论量子理论框架。
第一章 绪论
1、掌握微观粒子（光和实物粒子）的波粒二象性，并举例说明。 （如：普 朗克黑体辐射理论、光电效应、康普顿效应等） 2、掌握普朗克的能量子假设的表述。
四 次 飞 跃
2 2 2 es4 es2 1 En n , n 1, 2, En n , n 0,1, 2, En 2 2 2 2 2 a 2 2 2 n 2n a0
2 n x n ( x ) sin ,0 x a a a
量子力学期末复习资料教学提纲
简答第一章 绪论什么是光电效应？爱因斯坦解释光电效应的公式。
答：光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。
这些逸出的电子被称为光电子用来解释光电效应的爱因斯坦公式：221mv A h +=ν第二章 波函数和薛定谔方程1、如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c +=（1c ，2c 是复数）也是这个体系的一个可能状态。
答，由态叠加原理知此判断正确4、（1）如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性迭加：2211ψψψc c += （1c ，2c 是复数）是这个体系的一个可能状态吗？（2）如果1ψ和2ψ是能量的本征态，它们的线性迭加：2211ψψψc c +=还是能量本征态吗？为什么？答：(1)是（2）不一定，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值相等，则2211ψψψc c +=还是能量的本征态，否则，如果1ψ，2ψ对应的能量本征值不相等，则2211ψψψc c +=不是能量的本征态1、 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变；6、若)(1x ψ是归一化的波函数， 问： )(1x ψ， 1)()(12≠=c x c x ψψ )()(13x e x i ψψδ= δ为任意实数是否描述同一态？分别写出它们的位置几率密度公式。
答：是描述同一状态。
)()()()(1*1211x x x x W ψψψ== 212*22*22)()()()()()(x x x dx x x x W ψψψψψ==⎰ 213*33)()()()(x x x x W ψψψ==第三章 量子力学中的力学量2能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。
《量子力学》课程考试大纲
《量子力学》课程考试大纲
一、课程的任务、性质和作用
本课程的性质：量子力学是物理学专业的一门重要专业必修课程，是物理相关专业本科生必修的四大理论课之一，是他们今后继续提高物理专业水平的一门专业基础理论课程。
同时，量子力学是近代物理学两大支柱之一，是描述微观世界运动规律的基础理论，已成为当今科学技术的基础，凡是涉及到微观粒子（比如分子、原子、电子等）的各门学科和新兴技术，都必须掌握量子力学。
本课程的任务是：（1）使学生了解微观世界的特殊性，了解经典物理不能正确描述微观粒子的运动规律，认识到创立微观世界的理论——量子力学的必然性。
（2）使学生初步掌握量子力学的基本概念、原理和基本方法，能求解量子力学的一些基本问题。
（3）使学生熟悉量子力学在现代科学技术中各种重大应用。
二、教材
周世勋.量子力学.高等教育出版社，1979年
三、试卷结构与题型
1.试题类型
填空题、选择题、证明题、计算题。
2.试卷难易比例
容易题约占40%，中等难度题约占40%，难题约占20%。
3.试卷内容比例
填空题约占15%，选择题约占15%，证明题约占20%，计算题约占50%。
四、考核的知识点及参考题型。
第16章量子力学基础复习
h
c
动量 p mV h c h
c2
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4
四、康普顿散射:
康普顿公式
0
h m0c
(1
cos )
2h m0c
sin 2
2
康普顿波长
c
h m0c
2.43 10 12 m
2.43 10 3 nm
(
8
2 0
h
2
)
E1 n2
13.58 n2 eV
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6
氢原子光谱
~ 1 En Ek c hc
me4
8 02h3c
1 (k2
1 n2
)
1 R(k 2
1 n2
)
R=1.096776×107m-1
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五、玻尔氢原子理论三假设：
1、定态假设
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5
2、频率假设
h En Ek
3、轨道角动量量子化假设 L n h
2
六、对氢原子光谱的解释：
轨道半径量子化
rn
n2 (m0he22
)
0.53n2
0
A
能量量子化和原子能级
En
1 n2
me4
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7
教务处量子力学复习提纲
《量子力学》总复习一. 波粒二象性---微观粒子特性（1） 态的描述经典态（),P r →量子态（态矢—一般表示）或波函数：),...,(),,(t P t x Φψ（不同的具体表象）),(t x ψ的意义：t 时刻，x 附近，单位体积内找到粒子的几率幅 ),(t x ψ的性质：1）单值，2）连续，3）归一（2） 力学量的描述QQ ˆ→，对易关系，测不准问题 （3） 德布洛意关系 k P E ==,ω （粒子量与波量）二.力学量算符（1）Qˆ 出现的场合：Q ˆ ，（2）Q ˆ的性质：1）线性性 nnn n Q CC Q ψψ∑∑=ˆˆ（态的叠加原理的要求） 2）厄米性 Q Q ˆˆ=+ 或⎰⎰=τψψτψψd Q d Q **)ˆ(ˆ （Qˆ的本征值、平均值为实数的要求） （3）Qˆ的表示：不同表象有不同的表示 x 表象中：,ˆ,ˆxi P x xx∂∂== P 表象中：,ˆ,ˆxx xP P P i x=∂∂-= n 表象中：ˆˆˆ)xaa +=+， 注：1）<Qˆ>与表象的选择无关！ 2）算符相等的定义：ψ=ψB A ˆˆ（ψ为任意态），则B Aˆˆ= （4） 力学量算符的对易关系2ˆˆˆˆˆ[,],[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆˆ[,]ˆˆ[,]0j k j kj kj k llxy z yz x zx yix P i L L i LL L i L L L i L L L i L L L δε==⎧=⎪⎪↔=⎨⎪=⎪⎩= ，其中110ijkε⎧⎪=-⎨⎪⎩当下标排列(,,)i j k 为偶排列时ijk ε值为1；为奇排列时ijk ε值为-1；当下标(,,)i j k 中有两个下标相同时ijk ε值为0 注：对易关系与表象的选择无关！ （5） 测不准关系222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A -≥∆∆ 表明：1）0]ˆ,ˆ[≠B A，B A ˆ,ˆ无共同的本征态，B A ,不可能同时测准； 2）0]ˆ,ˆ[=B A，B A ˆ,ˆ有共同的本征态，B A ,有可能同时测准,即 在它们的共同本征态上可同时测准。
量子力学复习资料
《量子力学》复习资料第一章 绪论1、经典物理学的困难：①黑体辐射；②光电效应；③氢原子线性光谱；④固体在低温下的比热。
2、★★★普朗克提出能量子假说：黑体只能以νh E =为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，⋯⋯==,3,2,1 n nh E n ν，能量的最小单元νh 称为能量子。
意义：解决了黑体辐射问题。
3、★★★（末考选择）爱因斯坦提出光量子假说：电磁辐射不仅在发射和吸收时以能量νh 的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速c 传播，这种粒子叫做光量子，也叫光子。
意义：解释了光电效应。
【注】光电效应方程为0221W hv v m m e -= 4、★★★玻尔的三个基本假设：①定态假设：原子核外电子处在一些不连续的定常状态上，称为定态，而且这些定态相应的能量是分立的。
②跃迁假设：原子在与能级m E 和n E 相对应的两个定态之间跃迁时，将吸收或辐射频率为ν的光子，而且有m n E E hv -=.③角动量量子化假设：角动量必须是 的整数倍，即 ,3,2,1,==n n L意义：解决了氢原子光谱问题。
（末考选择）5、★★★玻尔理论后来也遇到了困难，为解决这些困难，德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说。
6、德布罗意公式：⇒⎪⎩⎪⎨⎧===k n h p h Eλν意义：将光的波动性和粒子性联系起来，两式的左端描述的是粒子性（能量和动量），右端描述的是波动性（频率和波长）。
7、（填空）德布罗意波长的计算：meUhmE h p h 22===λ 8、★★★康普顿散射实验的意义：证明了光具有粒子性。
（末考填空）同时也证实了普朗克和爱因斯坦理论的正确性。
9、★★★证实了电子具有波动性的典型实验：戴维孙-革末的电子衍射实验（也证实了德布罗意假说的正确性）、电子双缝衍射实验。
10、微观粒子的运动状态和经典粒子的运动状态的区别：（1）描述方式不同：微观粒子的运动状态用波函数描述，经典粒子的运动状态用坐标和动量描述；（2）遵循规律不同：微观粒子的运动遵循薛定谔方程，经典粒子的运动遵循牛顿第二定律。
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8.波长增量A X=X z -X随散射角增大而增大.这一现象称为康普第一章知识点:1. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体.2. 处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等 时，辐射达到热平衡状态。
3. 实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
4. 光电效应…光照射到金属上,有电子从金属上逸出的现5. 光电效应特点：1.临界频率vO 只有当光的频率大于某一定值vO 时，才有光电子发射 出来.若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有电子产生.光的 这一•频率V0称为临界频率。
2.光电子的能量只是与照射光的频率有关,与光强无关, 光强只决定电子数目的多少（爱因斯坦对光电效应的解释）3.当入射光的频率大于v 0时，不管光有多么的微弱，只要光一照上，立即观察到光电子（10-9s ）6. 光的波粒二象性：普朗克假定a.原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡；b.黑体只能以E = hv 为能量单位不连续的发射和 吸收能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的 发射和吸收能量.7. 总结光子能量、动量关系式如下：［E=hv=ha ） 把光子的波动性和粒子性联系了起来\Eh v h _p=—h ———n=—n=—n = tikICC2XIngA2 = 220 sin 2 — 其中 20 = ------- = 2.4 x I 。
-" cm称为电子的 Compton 波长。
m 0C散射波的波长入'总是比入射波波长长（V >入）且随散射角0增大而增大。
9. 波尔假定：1.原子具有能量不连续的定态的概念.2.量子跃迁的概念. 10. 德布罗意：假定：与一定能量E 和动量p 的实物粒子相联系的波（他称之为“物质波”）的频率和波长分别为：E = hvn v = E/hP = h/X=>X = h/p该关系称为de. Broglie 关系.德布罗意波：T = A exp —(p»r — Et)\ I de Broglie 关系：v = E/h n(0 = 2K v = 2丸E/h = E/力2 = h/p =>k = 1/ X = 2冗 / 4 =p 〃第二章知识点：.1.描写自由粒子的平面波波函数: T = Aexp -(p»r-Et) h2. 在电子衍射实验中，照相底片上r 点附近衍射花样的强度~正比于该点附近感光点的数 目，~正比于该点附近出现的电子数目，~正比于电子出现在r 点附近的几率.3. |W (r)|2的意义是代表电子出现在r 点附近单位体积内的几率。
量子力学复习资料
量子力学复习资料一、基本概念1、波粒二象性这是量子力学的核心概念之一。
它表明微观粒子既具有粒子的特性，如位置和动量，又具有波动的特性，如波长和频率。
例如，电子在某些实验中表现出粒子的行为，如碰撞和散射；而在另一些实验中，如双缝干涉实验，又表现出波动的行为。
2、量子态量子态是描述微观粒子状态的方式。
与经典物理学中可以精确确定粒子的位置和动量不同，在量子力学中，粒子的状态通常用波函数来描述。
波函数的平方表示在某个位置找到粒子的概率密度。
3、不确定性原理由海森堡提出，指出对于一个微观粒子，不能同时精确地确定其位置和动量，或者能量和时间。
即：＼（＼Delta x ＼cdot ＼Delta p ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），＼（＼Delta E ＼cdot ＼Delta t ＼geq ＼frac{＼hbar}｛2}＼），其中＼（＼hbar\）是约化普朗克常数。
二、数学工具1、薛定谔方程这是量子力学中的基本方程，类似于经典力学中的牛顿运动方程。
对于一个质量为＼（m\）、势能为＼（V(x)＼）的粒子，其薛定谔方程为：＼（i\hbar\frac{＼partial ＼Psi(x,t)｝｛＼partial t} ＝＼frac{＼hbar^2}｛2m}＼frac{＼partial^2 ＼Psi(x,t)｝｛＼partial x^2} ＋ V(x)＼Psi(x,t)＼）。
2、算符在量子力学中，物理量通常用算符来表示。
例如，位置算符＼（＼hat{x}＼）、动量算符＼（＼hat{p}＼）等。
算符作用在波函数上，得到相应物理量的可能取值。
三、常见量子力学系统1、一维无限深势阱粒子被限制在一个宽度为＼（a\）的区域内，势能在区域内为零，在区域外为无穷大。
其能量本征值为＼（E_n ＝＼frac{n^2\pi^2\hbar^2}｛2ma^2}＼），对应的本征函数为＼（＼Psi_n(x) ＝＼sqrt{＼frac{2}｛a}｝＼sin(＼frac{n\pi x}｛a}）＼）。
量子力学总复习
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第七章 1 表象的定义 2 态和力学量算符的矩阵表示 幺正变换 3 s方程 平均值 本征方程的矩阵表示 4 Dirac符号 完备性关系 第九章 1 粒子数算符，产生，湮灭算符的定义 和相关性质 2 产生，湮灭算符对粒子数本征态的作用 3 角动量的本征值和本征态的一般形式，各种量子数 的取值方式 ， 上升，下降算符的作用
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第十章 1 微扰论的主要思想，适用条件 2 非简并态微扰理论 能级一级，二级修正公式 波函 数的一级修正 3 简并态微扰理论 能级的一级修正 零级波函数的选 取 4 变分法 变分原理（了解）
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 考试说明
1 闭卷 120分钟 A B C卷随机抽取 2 填空题 3分一题 7题 共21分 简答题 10分一题 2题 共20分 证明题 10分一题 2题 共20分 计算题 13分一题 3题 共39分 3 没讲的肯定不考 讲了的也不一定会考,课堂上讲过 的习题应该要掌握 4 卷面成绩60%
12.3 分子结构
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第四章 1 守恒量的概念，证明，守恒量和定态的区别 2 海森堡方程 3 全同粒子波函数应满足的性质 全同性原理 泡利不 相容原理 两个全同粒子波函数的构造（玻色子， 费米子） 第五章 1 中心力场中角动量守恒的证明 2 氢原子的能级公式，能级简并度，本征态下标的含 义
量子力学教程(第二版） 复习纲要
第一章 1 普朗克能量量子化 爱因斯坦的光电效应解释 玻 尔的原子结构理论 德布罗意的波粒二象性 2 玻恩的波函数统计解释 波函数的标准化条件 常见 的力学量算符（动量，动能） 3 s方程应满足的基本条件 s方程的最基本形式 定 态s方程（即能量本征方程） 定态的概念和性质 定 域几率守恒的证明 4 量子态叠加原理
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲一波函数一、波函数的意义及性质在量子力学理论体系中，体系的状态用波函数来描述，一般记为),(t rψ=ψ，其物理意义是玻恩的几率解释：在时刻t ，在),,(z y x 附近体积元dxdydz 内发现粒子（体系）的几率为dxdydz t r 2|),(|ψ。
对波函数，要认识一下几个问题： 1、关于波函数的归一化问题（1）几率描述中实质问题是相对几率，即要求任意两点的几率比值相同即可，因此),(t r ψ和),(t r Cψ描述的是同一个几率波。
这导致波函数总有一个不确定的常数因子。
（2）根据（1），我们一般要求波函数归一化，即选择常数C ，使1||2=ψ?τd C不过这样选择的常数C ，还有一个不确定的相因子，我们把满足这个条件的常数C ，叫归一化常数。
（3）由于我们关注的是相对几率，因此在某些情形下，我们也使用一些非归一化的波函数，如自由粒子平面波函数r p i e r=2/3)2(1)(πψ 粒子的位置本征函数)()(0r r r-=δψ2、波函数的标准化条件（1）既然波函数是几率波，因此要求波函数模方为有限，是必然的。
即=ψ2||有限值。
但实际上，只要波函数满足=ψτd 2||有限就可以了。
例如对粒子位置本征函数就是这样。
而这种放宽的条件会导致波函数在某点的值变为无穷大。
这也是允许的。
（2）波函数的连续性要根据定态薛定谔方程来确定。
)()()](2[222x E x x V dx d ψψμ=+- 因此，如果)(x V 是x 的连续函数，则)(x ψ和dxd ψ必为x 的连续函数。
如果><=ax V a x Vx V 21)(，其中21,V V 是常数，且)(12V V -有限，则波函数及其一阶导数连续。
证明：将薛定谔方程在a x =邻域积分，得0)(])([2)0()0(2l i m''=-?→?=--+?+-dx x E x V a a a a ψμψψεε所以，)('x ψ连续，从而)(x ψ也连续。
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示形式。
量子力学复习提纲
2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲要点之一1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。
爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。
2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P与描述其波动性的频率（或角频率）和波矢K由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ；K n h P ==λ。
3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。
4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P，描述其波动性的物理量为频率（或角频率）和波长， 它们间的关系可用德布罗意关系式表示，即：ων ==h E ； K n h P==λ。
5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。
描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -⋅=ψ。
6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。
7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。
8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*n m dx n m ≠=⎰ψψ。
9. 设G ˆˆ和F的对易关系为k i G F ˆ]ˆ,ˆ[=，且G G G F F F -=∆-=∆ˆˆ,ˆˆ，则G ˆˆ和F 的测不准关系式为：4)ˆ()ˆ(222k G F≥∆⋅∆；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着Fˆ和G ˆ不能同时测定。
量子力学讲授纲要4综合复习.
海森堡测不准关系 xpx 2
几种常见的算符：动量算符、角动量算符与自旋算符
（注意：讨论的出发点是对易关系）
2．3 运动方程及其绘景
给定一种态矢和算符与时间相关的方式，就给出一种绘景。
1、薛定谔S-绘景
基本假设之三（公理三）：微观体系的状态 (t) 随时间 演化的规律服从薛定谔方程
i (t) H (t)
在推导中，没有用到量子化条件，量子化是通过在相位中引入 来实现的，说明路径积分量子化与正则量子化是等价的。
8．3 矩阵元的路径积分表示
矩阵元的路径积分表示 iS x,t T[x(ti )x(t j )] x,t N D[x]xi x je
算符的编时乘积在基态中的期望值
0 T[x(tk )...x(t1)] 0
t
t0 H (t)U0 (t, t0 )dt
时间演化算符的性质：
U0 (t0 , t0 ) 1
U
0
(t,
t0
)
U
1 0
(t
,
t0
)
U0 (t0 , t1)U0 (t1, t) U0 (t0 , t)
U
0
(t,
t0
)
U
1 0
(t0
,
t)
平均值随时间的变化
d
A dt
(t)
态矢量随时间的变化规律
i I (t)
t
H
I i
I
(t)
力学量算符随时间的变化规律
dAI (t) dt
i
[H0,
AI
(t)]
i
[H0,
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲1. 粒子的双缝实验的结论是什么？ 答：粒子具有波动性2. 在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？答：量子力学中波函数的波动方程是),()](2[),(22t r r V mt r t i →→→+∇-=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形式是：)()](2[)(22→→→+∇-=r r V mr E ψψ3. 波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？答：单值、连续、有限。
4. 写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。
答：5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。
222220,0(),ˆ,()()2()sin(),1,2,3,,1,2,3ˆ(2,2ˆ)n n n n nx x a U x x others H x E x n xx n a an E n P U x a H ψψπψπμμ<<⎧=⎨∞∈⎩=⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭==+=6. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？ 答：动量算符的本征函数是：)ex p()2(1)(23r p ir p ⋅=πψ，其本征值为p 。
其只能归以为函数δ函数，即)()()('*'p p d r r pp -=⎰∞δτϕϕ。
7. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和本征值是什么？答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆxz y yx z zy x L yp zp i y z z y Lzp xp i z x xz L xp yp i x y yx ⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-=-- ⎪∂∂⎝⎭ 动量算符的本征函数和本征值如上。
8. 在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？答：()22222222222222222222ˆˆˆˆ,11sinsin sinˆ11ˆsinsin sinx y zL L L Lctg ctgDDθϕθθθϕϕθθθθθθϕθθθθθϕ=++⎛⎫∂∂∂∂=-+++⎪∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦=⎡⎤∂∂∂⎛⎫=-+⎪⎢⎥∂∂∂⎝⎭⎣⎦22ˆ(,)(1)(,)ˆ(,)(,)lm lmz lm lmL Y l l YL Y m Yθϕθϕθϕθϕ=+=l表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l＝０，１，２，……m则称为轨道角动量的磁量子数，对应于一个l的值，m可取(2l+1)个值，m=l,l-1,l-2,…,1,0,-1,-2,…,-l9.在球坐标系中，角动量在极轴上的投影算符如何表达？其本征函数和本征值是什么？其中什么是轨道角动量磁量子数（磁量子数）？取值范围是哪些数值？答：答案如上10.量子力学中关于波函数与力学量的两个假设，告诉你什么结论，试用你自己的语言归纳出5条结论。
量子力学主要知识点复习资料全
量⼦⼒学主要知识点复习资料全量⼦⼒学主要知识点复习资料全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN⼤学量⼦⼒学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量⼦化辐射⿊体中分⼦和原⼦的振动可视为线性谐振⼦，这些线性谐振⼦可以发射和吸收辐射能。
这些谐振⼦只能处于某些分⽴的状态，在这些状态下，谐振⼦的能量不能取任意值，只能是某⼀最⼩能量的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,对频率为的谐振⼦, 最⼩能量为: νh =ε2.波粒⼆象性波粒⼆象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒⼦的特质。
波粒⼆象性是量⼦⼒学中的⼀个重要概念。
在经典⼒学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒⼦。
前者的典型例⼦是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量⼦解释，⼈们开始意识到光波同时具有波和粒⼦的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光⼀样，⼀切物质都具有波粒⼆象性。
根据这⼀假说，电⼦也会具有⼲涉和衍射等波动现象，这被后来的电⼦衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2 λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量⼦⼒学中，引⼊⼀个物理量：波函数，来描述粒⼦所具有的波粒⼆象性。
波函数满⾜薛定格波动⽅程0),()](2[),(22=-?+??t r r V mt r t i ψψ粒⼦的波动性可以⽤波函数来表⽰，其中，振幅表⽰波动在空间⼀点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表⽰粒⼦出现在点(x,y,z )附件的概率⼤⼩的⼀个量。
从这个意义出发，可将粒⼦的波函数称为概率波。
⾃由粒⼦的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归⼀化，单值性，连续性 4. 波函数的归⼀化及其物理意义常数因⼦不确定性设C 是⼀个常数，则和对粒⼦在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
量子力学复习提要
量子力学内容提要一、量子力学的研究对象和应用领域量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。
它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和在旧量子论的基础上建立起来的。
它不仅在近代物理学中占有极其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、材料学、现代光学、计算机、天体物理等许多现代科技领域，凡是涉及到微观粒子（比如分子、原子、电子等）的各门学科和新兴技术，都几乎离不开应用量子力学的基本原理。
二、目的要求量子力学是20世纪自然科学的重大进展之一，也是近代物理学两大支柱之一。
设置量子力学课程的主要目的是：⑴了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，深入理解微观粒子的运动特性；(2)初步掌握量子力学的基本概念、基本原理、基本方法及量子力学的数学描述形式，并能运用量子力学基本理论和方法处理简单的微观体系问题。
(3) 了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩展在普通物理中学过的有关知识，为以后从事物理教学或进一步深造打下扎实的学科基础。
三、主要内容I.绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，早期的量子论，微观粒子的波粒二象性。
II.波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，态迭加原理，薛定谔方程，一维定态问题。
III.力学量的算符表示：表示力学量的算符，算符的本征值和本征函数，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交归一完备性，算符与力学量的关系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系，力学量期望值及其随时间的变化，对称性与守恒律。
电子在库仑场中的的运动，氢原子。
IV.态和力学量的表象：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述，幺正变换。
V.近似方法：定态微扰理论，变分法的基本原理及方法，含时微扰理论（跃迁几率、光的发射和吸收、选择定则）。
VI.电子自旋与角动量：电子自旋，自旋算符和波函数，角动量耦合，涉及自旋-轨道耦合时的处理方法。
量子力学复习提纲.doc
量子力学复习提纲.doc量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体？答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。
描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =，λhp =。
3、试简述Bohr 的量子理论。
答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处于稳定状态，简称定态。
（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射频率满足：νh E E n m =- 。
（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。
答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
νh E =，λhp =。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?答：由基本假设ph =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2,t r ψ的物理意义是什么？答：()2,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。
7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。
答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。
8、简述态叠加原理。
答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。
这一结论称为态叠加原理。
9．何谓定态？答：能量具有确定值的状态称为定态。
它用定态波函数()()iEte r t r -=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。
答：定态的特性有：①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。
③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。
④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。
答：一维线性谐振子的零点能为ω 210=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。
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量子力学复习提纲一、简答题1、什么是黑体？答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。
2、简述光的波粒二象性。
答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。
描述波动性的力学量λν,与描述粒子的力学量p E ,之间的联系为νh E =，λhp =。
3、试简述Bohr 的量子理论。
答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处于稳定状态，简称定态。
（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射频率满足：νh E E n m =- 。
（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。
4、简述德布罗意假设。
答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。
νh E =，λhp =。
5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?答：由基本假设ph =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。
6、波函数模的平方()2,t r ψ的物理意义是什么？答：()2,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。
7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。
答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。
8、简述态叠加原理。
答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。
这一结论称为态叠加原理。
9．何谓定态？答：能量具有确定值的状态称为定态。
它用定态波函数()()iEte r t r -=ψψ,描写。
10、简述定态的特性。
答：定态的特性有：①能量具有确定值。
②几率密度及几率流密度不随t 变化。
③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。
④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。
11、简要解释一维线性谐振子的零点能。
答：一维线性谐振子的零点能为ω 210=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。
12、一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？答：一维定态解只是有一个能量量子数。
一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学量数目。
13、量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？答：量子力学的定态解在量子数∞→n 时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。
14、什么是束缚态？它有何特性？答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。
束缚态的能级是离散的。
15、是否当入射粒子由低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。
16、何谓势垒贯穿？ 答：微观粒子在能量E 小于势垒高度U 0时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。
17、为什么表示力学量的算符必须要求是线性厄米算符？答：表示力学量的算符必须是线性算符。
这是由态叠加原理所要求的。
真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。
18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函数？答：含有算符F ˆ的方程nn n F ϕλϕ=ˆ称为算符F ˆ的本征值方程，而n λ则称为算符F ˆ的本征值，函数n ϕ则称为属于本征值n λ的本征函数。
19、厄米算符有那些特性？ 答：厄米算符有如下性质：（1）厄米算符的本征值是实数；（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交； （4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。
20、简述算符与力学量的关系。
答：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。
当体系处于算符Fˆ的本征态n ϕ时，测量力学量F 的数值是确定的，恒等于n λ；当体系处于波函数∑=nn n C ϕψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符F ˆ的本征值之一，测得n λ的概率是2nC 。
21、试述力学量完全集的概念。
答：能够完全描述体系状态的、彼此相互对易的一组力学量称为力学量完全集。
它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组（ ,,21n n ）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。
22、试给出不确定关系（测不准关系）的数学表达式。
答：若ik G F =]ˆ,ˆ[，则：4)ˆ()ˆ(222k G F ≥∆⋅∆，称为不确定关系（测不准关系）。
23、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。
答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。
具体说，如果力学量A 的本征函数为n ϕϕϕ ,,21，相应本征值为n A A A ,,21。
任意态矢ψ可展开为∑=nn n a ψψ态矢ψ在A 表象的表示为展开系数{}n a 组成的一列矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a 21ψ其意义是：在ψ态中，力学量A 取值n A 的几率为2n a ，与坐标表象波函数的意义相类似。
力学量用厄密矩阵表示⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A AA A A A 212222111211 ),(j i ij A A ϕϕ= 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。
用矩阵表示力学量，理由如下：（1）可以反映力学量作用一个量子态而得到另一个量子态的事实。
设)()(x A x ψϕ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21 简记为Aa b =；（2）矩阵乘法一般不满足交换律，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求；（3）厄密矩阵的性质能体现力学量算符的厄密性。
24、算符（力学量）在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么?答：力学量本征值是分立谱时，它在其自身表象中的表示是对角化的，对角元素就是它的本征值。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A A A A00000021本征矢为单一元素列矩阵。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011ϕ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102 ϕ ………25、狄拉克符号中，引入了右矢>，为什么又引入左矢<，右矢和左矢能够相加吗？答：在量子力学中，态空间是具有内积的矢量空间，类似于希尔伯特空间波函数ϕ和ψ的内积⎰=τψϕψϕd *),(，>ϕ|和>ψ|的内积记为><ψϕ|，|ϕ<是对应于>ϕ|的左矢，属于伴随空间的一个矢量。
由于左矢和右矢是分属于不同空间的矢量，它们不能相加。
26．简述定态微扰论的基本思想。
答：量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。
除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。
求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧∧∧'+=H HH )0( ||||)0(∧∧'>>H H，其中 )0()0()0()0(n n n E Hψψ=∧，即∧)0(H的本征值)0(n E 和本征函数)0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。
满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。
将能级和波函数以λ的幂级数展开⎩⎨⎧+++=+++=)2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ )0(nE与)0(nψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。
27．非简并定态微扰论的适用条件是什么？答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)0()0(m n mnE E H -<<'，一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)0()0(m nE E -较大。
28．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简并能级情况可用非简并态微扰处理？答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。
对于f 度简并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||，此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。
29、研究微观粒子间的碰撞现象有什么意义？答：微观粒子（单一的及复合的）间的碰撞实验是量子物理中最重要的实验技术，是研究物质结构、深刻认识微观过程的重要手段。
历史上，由于α粒子散射实验，建立了原子的有核模型。
电子与原子的碰撞实验（夫兰克-赫兹实验）证实了原子中定态能级的存在。
原子核及基本粒子的许多重要性质都是经过各种碰撞实验得出的，并且碰撞实验也是产生基本粒子的主要方法。
量子碰撞理论是量子物理中一个非常重要的分支。
30、一维势垒贯穿中，是否存在散射截面的概念？答：一维势垒问题中，只有两个方向，所以，不存在散射截面的概念，与之相当的概念为反射系数。
31．自旋可在坐标空间中表示吗？它与轨道角动量性质上有何差异？答：（1）自旋是内禀角动量，它不能在坐标空间中表示出来。
（2）轨道角动量是微观粒子的外部空间角动量，它可在坐标表象中表示出来，量子数为整数，本征态为球谐函数；自旋是内禀角动量，量子数为整数或半奇整数，自旋函数需用多分量波函数表示。
此外，二者的旋磁比不同。
32．量子力学中，角动量是如何定义的？答：量子力学中，角动量是按下式定义Jˆ×J ˆ=i J ˆ 任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量。
此定义较之角动量的仿佛经典定义Lˆ=r ˆ×p ˆ更具普遍性。
后者只能适用于轨道角动量而不能适用于自旋。
33．电子z S 的本征态常被写为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10β；它们的含义是什么？ 答：z S 的本征态是自旋波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a χ的特例。
由于在z S 的本征态中，本征值仅有2±与量子数21±=s m 对应，分别记为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01)(21αχz s ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-10)(21βχz s ；βα,是电子的两个线性独立的自旋态，组成一组正交完备基矢，以此为基矢的表象为z S 表象。