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量子力学复习提纲

一、简答题

1、什么是黑体？

答：在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。

2、简述光的波粒二象性。

答：吸收、发射以微粒形式，传播 c 。描述波动性的力学量λν,与描述粒子的

力学量p E ,之间的联系为νh E =，λ

h

p =。

3、试简述Bohr 的量子理论。 答：（1）定态假设：电子只能在一组特殊的轨道上运动，在这组轨道上电子处

于稳定状态，简称定态。

（2）频率条件：当电子从一个定态跃迁到另一个定态时，吸收或发射的辐射

频率满足：νh E E n m =- 。

（3）量子化条件：电子在轨道上运动时，其角动量必须是h 的整数倍。

4、简述德布罗意假设。

答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。

νh E =，λ

h

p =

。

5、粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短?

答：由基本假设p

h =λ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。

6、波函数模的平方()2

,t r ψ的物理意义是什么？

答：()2

,t r ψ表示在t 时刻r 点附近单位体积中粒子出现的概率，即概率密度。

7、按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件。 答：波函数应满足的条件是：连续，有限，单值。

8、简述态叠加原理。

答：若n ψψψ,,,21 是体系的可能状态，则n n C C C ψψψψ+++= 2211也是体系的可能状态。这一结论称为态叠加原理。

9．何谓定态？

答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数()()

iEt

e r t r -=ψψ,描写。

10、简述定态的特性。 答：定态的特性有：

①能量具有确定值。

②几率密度及几率流密度不随t 变化。

③任何力学量（不含t ）的平均值不随t 变化。

④任何力学量（不含t ）取各种可能测量值的几率分布不随t 变化。

11、简要解释一维线性谐振子的零点能。

答：一维线性谐振子的零点能为ω 2

1

0=E ，它是谐振子基态的能量，是一种量

子效应，是测不准关系所要求的最小能量，是粒子具有波粒二象性的具体体现，谐振子永远不会静止。

12、一维定态解包括几个量子数？量子数数目取决于什么？

答：一维定态解只是有一个能量量子数。一般说来，量子态的量子数数目等于体系的自由度数目，也即等于描述体系状态的力学量完全集中所包含的力学量数目。

13、量子力学定态解在什么条件下过渡到经典解？

答：量子力学的定态解在量子数∞→n 时，即过渡到经典解，此即玻尔对应原理。

14、什么是束缚态？它有何特性？

答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。束缚态的能级是离散的。 15、是否当入射粒子由低势能区射向高势能区时会在交界面发生反射，而由高势能区射向低势能区时不会发生反射？

答：无论粒子由低势能区射向高势能区，或由高势能区射向低势能区，都会发生反射。

16、何谓势垒贯穿？ 答：微观粒子在能量E 小于势垒高度U 0时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。

17、为什么表示力学量的算符必须要求是线性厄米算符？

答：表示力学量的算符必须是线性算符。这是由态叠加原理所要求的。真实力学量的任何测量值当然必须是实数，这就决定了力学量必须由厄米算符来表达。

18、什么是算符的本征值方程、本征值和本征函数？

答：含有算符F ˆ的方程n

n n F ϕλϕ=ˆ称为算符F ˆ的本征值方程，而n λ则称为算符F ˆ的本征值，函数n ϕ则称为属于本征值n λ的本征函数。

19、厄米算符有那些特性？ 答：厄米算符有如下性质：

（1）厄米算符的本征值是实数；

（2）厄米算符在任何态的平均值也为实数；

（3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交； （4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系。

20、简述算符与力学量的关系。

答：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。

当体系处于算符F

ˆ的本征态n ϕ时，测量力学量F 的数值是确定的，恒等于n λ；当体系处于波函数∑=n

n n C ϕψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必

定是算符F ˆ的本征值之一，测得n λ的概率是2n

C 。

21、试述力学量完全集的概念。

答：能够完全描述体系状态的、彼此相互对易的一组力学量称为力学量完全集。它的特点是：（1）力学量完全集的共同本征函数系构成一个希尔伯特空间；（2）力学量完全集所包含力学量的数目等于量子数组（ ,,21n n ）所包含的量子数数目，即体系的自由度数；（3）力学量完全集中所有力学量是可以同时测量的。

22、试给出不确定关系（测不准关系）的数学表达式。

答：若ik G F =]ˆ,ˆ[，则：4

)ˆ()ˆ(222k G F ≥∆⋅∆，称为不确定关系（测不准关系）。

23、如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由。

答: 矩阵表示一般用于本征值为分立谱的表象（相应希尔伯特空间的维数是可数的）。具体说，如果力学量A 的本征函数为n ϕϕϕ ,,21，相应本征值为n A A A ,,21。任意态矢ψ可展开为

∑=n

n n a ψψ

态矢ψ在A 表象的表示为展开系数{}n a 组成的一列矩阵

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=n a a a 21ψ

其意义是：在ψ态中，力学量A 取值n A 的几率为2

n a ，与坐标表象波函数的意义相类似。

力学量用厄密矩阵表示

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=nn n n n n A A A A A A

A A A A 2122221

11211 ),(j i ij A A ϕϕ= 可见列矩阵与方阵维数与希尔伯特空间维数相同。