扬大高等代数北大三版--第五章二次型

5) f (x1, x2, …, xn) = X/AX 是 P 上的 n 元二次型，经线性替换 X = CY 化成 f (x1, x2, …, xn) = Y/BY ，则 B = C/AC .
证明： f (x1, x2, …, xn) = X/AX = (CY)/A(CY) = Y/(C/AC)Y = Y/ BY.
二 次 型
c11 c12 L
C
c21
c22
L
M M
c1n
c2
n
,
M
x1
X
x2
,
M
y1
Y
y2
.
M
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cn1 cn2 L cnn课件
xn
yn
8
高 *2 性质：
等
4) 若C可逆，则X = CY是可逆线性替换，且Y = C－1X也是可逆的线
代
性替换；
数
b x x
y1
n
x1
n
n
a111a1 j x j
令5
j2ij i j
i2 yj22 x2
M
二
yn xn
x1
y1
n
a111a1 j y j
j2
x2 y2
M
xn yn
X C1Y ，
次 1
型其中C1
0 M
a111a12 1 M
L L
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0 0 L
a111a1n 0
5 分以下情形讨论：
1) aii ( i =* 1, 2, …, nA)2中+至2A少B有+ 一B2个=非(A0+，B)如2 a11≠0 →
n
nn
二 f (x1, x2, L , xn ) a11x12 2 a1 j x1x j
aij xi x j
次
j2
i2 j2
型
a11[ x12
2x1
a 1 11
代
逆矩阵 C，使得 B = C/AC .
数 *1 合同的性质：
7) 矩阵合同是Mn(P) = {A│A为P上n阶矩阵} 上的等价关系, 即 (1) 合同具有自反性 （ A = E/AE，即A与A合同 ）；
(2) 合同具有对称性 （ B = C/AC → A = (C－1)/BC－1 ）；
5
(3) 合同具有传递性 （ A1 = C1/AC1，A2 = C2/A1C2 →
高
第五章 二次型
等
代 数
学时：10学时。 教学手段：
讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。
基本内容和教学目的：
基本内容： 二次型的矩阵表示、标准型、唯一性、正定二次型。
教学目的：
1、了解二次型的概念，二次型的矩阵表示。
5
2、会化二次型为标准型，规范性。
3、掌握二次型的惯性定理，正定二次型。
a/x/2 + b/y/2 = d/ (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数
确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；
➢ 空间解析
5 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)；
二次曲面： （平移后不含一次项）→
二
Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表 示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简
5 事实上，当X = C/ Y 是非退还的线性替换时， 可得
Y = C －1X
成立，
二
故原二次型 X/AX 与变换后的二次型 Y/BY 是可以互化的，
次
这样就使我们从变换所得二次型 Y/BY 的性质可以推知原来 二次型X/AX的性质.
型
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11
高
等
代 数
5.2标准型
中心问题：
讨论用非提化的线性替换化二次型成最简形式，
次
型
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定义2
高 等 代 数
将变量 x1, x2, …, xn 用 y1, y2, …, yn 线性表示的变换
x1 c11 y1 c12 y2 L c1n yn
x2
c21 y1 c22 y2 L LLLLLLL
c2n yn L
xn cn1 y1 cn2 y2 L cnn yn
A2 = C2/ (C1/AC1)C2 = (C1C2)/A(C1C2) ）.
二
8) 线性替换X = CY下 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY, 因B = C/AC,
次 故： X = CY为可逆线性替换时，二次型 X/AX 与 Y/BY的矩阵合同; → 为用矩阵来研究这类二次型的变换奠定了基础，提供了思路；
aij xi x j
高 j2
j2
i2 j2
n
n
nn
等 a11(x1
a111a1 j x j
)2
a 1 11
(
a1 j x j )2
aij xi x j
代 j2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j2
i2 j2
数为a11
(xx21,L
j
n
,2
x 的 a111a1 j n
xnj
)2
nn
1元i2二j2次bij x型i x j,故表示为
二设A是数域P上任一n阶对称矩阵，则X/AX的展开式显然是数域 次P上的n元二次型，即σ是满射，而σ为单射则是显然的，故σ是 型双射. □
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2 线性替换
高 ➢ 平面解析中，当坐标原点和中心重合时，有心二次曲线一般
等 方程为ax2 + 2bxy + cy2 = f (例：13x2 – 10xy +13y2 = 72), 将坐标轴
5
即平方和的形式：
d1x12 + d2x22 + … + dnxn2
二 次 型
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高定理1 数域 P 上任一二次型都可经过非退化的线性替
等代数f换(x变1, 成x2平, …方, 和xdn1)的x=12形a+1式1dx122x2++22+aa12…22xx12+x22
d++n22xana21233xx12xx33
二 → B = C/AC , C可逆 → A，B的秩相同，即二次型X/AX 与 Y/BY
次 的秩相同 → 题设结论成立.
□
型 ➢ 性质5给出矩阵之间的一种相互关系，故引入以下概念 →
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高 三 矩阵的合同关系
等 定义2 数域P上 n 阶矩阵 A，B 称为合同的，如果存在P上的 n 阶可
+…+2a1n(x11x) n +…+2a2nx2xn
证明： （配方法） 对 n 进行数学归纳. …………………
n = 1： f (ax11)x1=2 a+112xa121,2x已1x是2 +(12)的a13形x1式x3 ，+ 命…题+成2a立1nx.1xn
假定= an1－1[x112时+命2a题11成－1立(a，12x现2 证+ an13时x3 命+ 题…成+ 立a1n.xn)] + annxn2
次
为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲
型 面的分类
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高 更一般的问题： 数域P上含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式如何
等
化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题
代 数
→ 本章中心问题: n元二次型化标准型（平方和）的问题.
由于 B/ = (C/AC)/ = C/A/C// = C/AC = B → Y/BY 是 P 上 n 元二次
型，且 B = C/AC 成立.
□
5
6) 二次型的秩在变量的线性替换下保持不变（性质5的推论）
证明： 如5), 在线性替换X = CY下f (x1, x2, …, xn) = X/AX = Y/BY
(4)
(
xi
n
cij y j ,
j 1
i 1, 2,L
,n )
cij P,
i, j 1, 2,L , n
称5*当(为41)C由为可x退1线,逆x化性2,时…（替，, 非换xn称到可的(4y逆矩1),为y）阵2,非线…表退,性示y化n替xx：的xM1n2（线换X可性，=替cc逆cCM其12n111换Y）中，（ccc线M1n2简222C性称称LLL替变为量换线ccc的M12n；nnn性线C替性yy不yM1n2换替可换(4逆）)X的时. 矩，C阵Y称；
3)
f (x) = a11x12 = (x1)/(a11)(x1) = X/AX； 数域P上， f (x1, x2, …, xn) 与n阶对称矩阵一一对应.
证明分析： 由*2可知，任一二次型都对应某对称矩阵A，即*2给
出对应法则σ： f (x1, x2, …, xn) →A . 设f (x1, x2, …, xn) 在σ下对 应5 的对称矩阵为A，B，即 f (x1, x2, …, xn) = X/AX = X/BX，故知 A = B，即σ是 n 元二次型与 n 阶对称矩阵之间的映射.
L
a2n
x2
X
/
AX
M M
f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12axn11x2 a+n2…L+ 2aan1nnx1xxnn
二次 其中
A (aij ),
且
aij
a
ji
+
(i, j
a22x22
1, 2,L ,
n+), ……X…++…a2xnxaM…n122xnnxn2.xn
型
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高 等
9) 合同的矩阵具有相同的秩； 10) 与对称矩阵合同的矩阵仍是对称矩阵.
代 证明：
数
9) 设A, B合同，即B = C/AC, 且C可逆，故A, B同秩.
10) 设A/ = A，B = C/AC，
C可逆→ B/ = (C/AC)/ = C/AC = B. □
*2 为什么在变换二次型时，总要求用非退化的线性替换（即 C为可逆矩阵）？
……………
二
+ ann xn2
次
称为P上n元二次型，简称二次型；当P = R时，为实二次型、
型 当P = C时，为复二次型.
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4
高等**12 代
f (x1, x2, …, xn) 是 Pn→P 的n元函数； f (x1, x2, …, xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + … + a1nx1xn
二 本章的重点和难点： 重点：化二次型为标准型，规范性 。
次
难点：正定二次型。
型
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1
高 等 代 数
5.1二次型的矩阵表示
5
二 次 型
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2
高 一 问题提出
等 ➢ 平面解析
代 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)；
数
二次曲线：Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化成为 au2 + buv + cv2 = d → 经旋转变换化成为
型
xn
称A为 f (x1,
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x2 ,
L
,
xn
)的矩阵，A的秩r(A)称为 课件
f
(
x1
,
x2 ,
L
,
xn )的秩. 5
*3 性质：
高 1) 在二次型 f (x1, x2, …, xn) = X/AX中，矩阵A为对称矩阵；
等 2）把一阶矩阵A = (a)看成数a, 则一元二次型
代 数
可逆，故
M
X
C1Y
课件
14
1
nn
高 f (x1, x2 , L , xn ) a11y12
bij yi y j 归纳假定 存在非退
等
i2 j2
1 0 L 0
代
数
化的线性替换 平方和 d2 z2
z2
c22 LL
zn cn2
L dnzn
yyL22 L存LLL在L非cc2nnn退yynn化使的得C线2以C2性上 00M替i100Mn2换ccccj0MnMn2n222222 biLLLjLLyi
二、二次型的概念及性质
1.定义1 数域P上n元二次齐次多项式（近代表示式）
f (x1, x2, …, xn) = a11x12 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2a1nx1xn
5
+ a22x22 + 2a23x2x3 + … + 2a2nx2xn
+ a33 x32 + …+ 2a3n x3xn
代 逆时针旋转θ0 (例：450),即有坐标旋转公式
y
数
y/
x/
x x/ cos y/ sin
y
x/
sin
y/
cos
x x/ cos 45o y/ sin 45o
5
(
y
x/
sin
45o
y/
cos
) 45o
代入原方程，将其化成标准方程
（4x/2 +9y/2 =36）
二
→ 称如上旋转公式为线性替换.
(a12
x2
L
a1n xn
)
a 2 11
(a12
x2
L
a1nxn )2
nn
a (a x 2
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L
a1n xn )2 ]课件
aij xi x j
13
i2 j2
n
n
nn
a11[(x1
a111a1 j x j )2
a 2 11
(
a1 j x j )2 ]
+ a21x2x1 + a22x2x2 + … + a2nx2xn
……………………………
数
+ an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxnxn =
a11 a12 L a1n x1
5
n n aij xi x j
i1 j1
x1, x2 , L , xn
a21
M
a22 M