概率条件分布
《概率论》第3章§3条件分布
G
第三章 多维随机变量及其分布
§3
条件分布
12/17 12/17
设 ( X ,Y) 服从圆域 G : x2 + y 2 ≤ 1 上的均匀分布. 服从圆域 上的均匀分布. 求条件概率密度 f X|Y (x | y) f X |Y (x | y)表示固定 Y = y时 ( X ,Y)的密度及 Y的边缘密度分别为 y 2 , 1 y 2 ) ~ y 2 X y 2 U( 1 1/ π, x + ≤1 1 f (x, y) = y 其它 0,
p13 P{X =1| Y = 3 = p. = 0 = 0 } 3 7/ 48 p23 P{X = 2| Y = 3 = p. = 0 = 0 } 3 7/ 48 即在 Y = 3的条件下 ,Y = 3} = p33 = 1/12 = 4 P{ X = 3| X的条件分布律为 p.3 7/ 48 7 X=k 1 p43 2 3 4 1/163/ 73 P{{X=k | YY 3}3 = p.0 =4/ 7 = PX = 4| = = } 0 第三章 48 7 3 7/ 多维随机变量及其分布
P(B)
在形式上很相似! 在形式上很相似!
f (x, y) fY| X ( y | x) = f X (x)
(∞ < y < ∞)
F | X ( y | x) = ∫∞ fY| X (v | x)dv (∞< y < ∞) Y
x
第三章 多维随机变量及其分布
§3
f X |Y (x | y) ≥ 0
y
y=x
y {x>0.5,0.5<0.5 x y<
∫∫ f (x, y)dxdy
∫∫
x 1dxdy
条件分布律
条件分布律条件分布律是概率论中的一条重要定律，它定义了两个事件之间联系的概率在另一个事件给出条件后，有何变化。
这表明，当一个事件指定给出另一个事件时，概率也会随之变化。
条件分布律的应用非常广泛，它可以帮助我们研究特定条件下的不同概率。
条件分布律又称作Bayes定理，它是概率论中一项重要的定理，用来计算后验概率。
也就是说，在某个条件下，一个事件的发生的概率的计算，往往需要依赖其他信息。
该定理包括一个叫做“条件概率”的概念，也就是说，一个事件发生的概率可以从已知信息中独立出来，或者从已知概率中计算出来。
条件分布律的应用主要在以下几种情形中：1）用来计算一系列给定参数的概率；2）用来计算已知条件下不同概率的值；3）用来计算一定条件下的后验概率，也就是根据证据推断结果的概率；4）用来提高判断的准确性。
条件分布律也被称为“贝叶斯定理”或“贝叶斯公式”，它是概率论中的一种定理，它允许我们以某个事件发生的概率为前提，来推断另一个事件发生的概率。
其数学公式为：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)。
在条件分布律中，P(A|B)表示给定B发生的条件下，A发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示A发生的条件下，B发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件分布律的应用广泛，在医学领域尤其如此。
例如，在研究肿瘤时，将条件分布律应用于可以给出确切结果的检测标准，使得现有的数据能够更客观准确地表达出来，从而使医务人员更好地判断患者的病情和预后。
另外，条件分布律还可以帮助进行疾病预测和疾病分类，提高疾病靶向治疗的效果。
此外，条件分布律在机器学习领域也得到了广泛应用。
例如，在文本分类中，条件分布律可以用于计算文本中某个词出现的概率，从而实现对文本的准确分类。
同样，还可以用条件分布律来应用在语义分析和文本推理中，以及机器学习中的分类性算法等。
综上所述，条件分布律是概率论中重要的定理，它可以帮助我们计算出不同条件下各种事件发生的概率，从而为我们提供了实际的应用价值。
条件分布律
条件分布律
条件分布律是数理统计学中一种重要概念，它主要用来描述概率变量在满足一定条件下的分布特征。
这种条件可以指定概率变量在一定范围内，也可以指定概率变量的特定值，也可以指定其他的一些可能的情况。
这种概念可以帮助我们深入分析和理解复杂的概率变量的分布及其变化规律。
条件分布律是由条件概率（conditional probability）推出的，而条件概率在数学上可以用条件概率公式来描述，即：P（A|B）=P （A∩B）/P（B）,其中A和B都是事件，P（A|B）表示B发生的条件下A发生的概率，P（A∩B）表示A与B同时发生的概率，P（B）表示B发生的概率。
条件分布律还可以用条件分布函数来描述，其中包括三种情况：一是全概率公式，二是贝叶斯公式，三是期望值公式。
首先，全概率公式指明在给定条件下，指定概率函数的概率分布，即P（X）=∑P （X|C）P（C）；其次，贝叶斯公式可以描述在给定已知的观测数据下判断可能性大小，即P（C|X）=P（X|C）P（C）/P（X）；最后，期望值公式可以表示在给定条件下概率变量的期望值，即E[X]=∑XP（X|C）P（C）。
条件分布律及其与条件概率、条件分布函数之间的关系为我们提供了一种有效的统计方法，可以用来分析不同的概率变量的分布特征及其变化规律。
在实际应用中，可以用它来推断某一特定的小样本的结果，研究不同的观测数据的关系，从而使统计研究具有客观性。
最后，条件分布律也可以用于解决实际问题，可以用来分析特定情况下不同组分的分布特征，以便更好地理解和改善现状，并对未来进行预测。
归根结底，利用条件分布律可以更深入地调查和研究概率起伏变化情况，从而更好地应用统计学原理来解决各种实际问题。
条件概率,条件分布,条件期望
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明
fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.
二
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下，另一事件B发生的概率，记用 P（B|A）.
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为（男孩记为“b”，女孩记为“g”） (b，b) (b，g) (g，b) (g，g) 设A={ 至少一个男孩}， B ={ 至少一个女孩}， 考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定
条件概率分布
条件概率分布条件概率分布（Conditional Probability Distribution）是描述一个随机变量Y在给定随机变量X后的概率分布，它是随机变量X关于随机变量Y的条件概率分布。
条件概率分布（ConditionalProbability Distribution）广泛应用于统计学，它为统计学家分析和识别潜在的因果关系提供了强大的工具。
条件概率分布（Conditional Probability Distribution）可以概括为一个函数，例如P（Y＝y|X＝x），它表示在X=x时概率Y=y的概率。
此外，作为特定情况下Y的概率分布函数，条件概率分布（Conditional Probability Distribution）也可以概括为一个函数，例如，P（Y|X），它表示在给定X时，Y的概率分布。
条件概率分布（Conditional Probability Distribution）具有很多应用场景。
例如，可以使用条件概率分布来判断不同温度下的气压，或者在其他条件相同的情况下，体积的变化也可以通过条件概率分布来表示。
此外，条件概率分布也可以用于预测未来某一时间段内机率性事件的发生情况，以及对比历史某一时间段内机率性事件的发生情况。
另外，条件概率分布也可以用于估计具有不同参数的不同变量的关系。
条件概率分布（Conditional Probability Distribution）可以用来计算动态系统的解析解，可以用来识别系统间的相互关系，以及衡量不同变量之间的相互关系。
例如，在统计学中，条件概率分布（Conditional Probability Distribution）可以用于分析两个变量之间的因果关系，以及给出相关性强弱的证据。
总之，条件概率分布（Conditional Probability Distribution）是统计学中一个非常重要的概念，它可以帮助统计学家分析和识别潜在的因果关系，以及估计不同变量之间的关系，从而为相关系统提供宝贵的决策参考。
第9讲条件分布
f X ( x)
f ( x, y)dy
2
1 21 2 x y d y , | x | 1 , x 4 0, 其他 .
21 2 4 8 x (1 x ), | x | 1, 0, 其他 .
当 x(-1,1)时，fX(x)>0，
定义2：设X和Y是随机变量，给定 y, 若对 任意固定正数ε，P( y-ε<Y ≤ y+ε) > 0，且对任意 实数 x，极限 P{ X x, y Y y } lim 0 P{ y Y y }
存在，则称此极限为在条件 Y=y下X的条件分 布函数，记成 FX|Y(x|y)。若存在 fX|Y(x|y), 使得
2y 2 f ( x, y ) 1 x 4 , x y 1, fY | X ( y | x ) f X ( x) 0, 其他 .
2y 2 1 x 4 ， x y 1， 1 将 x 代入 fY | X ( y | x) 2 0， 其他，
3.5.2 离散型随机变量的条件分布 定义1: 设 (X, Y) 是二维离散型随机向量， 对固定的 j，若 P(Y=yj) > 0，则称
P(X=xi |Y=yj)=
P ( X xi , Y y j ) P (Y y j )
pi j p j
，i=1,2, …
为在Y=yj 条件下, 随机变量X的条件概率分布。
对固定的 i，若P(X=xi) > 0，则称
P(Y=Yj |X=xi)=
P ( X xi , Y y j ) P ( X xi ) pi j pi
，j=1,2, …
概率论-3-3 条件分布
值.求 Y 的概率密度 fY ( y). 解 由题意知 X 具有概率密度
1, 0 x 1, fX ( x) 0, 其它. 对于任意给定的值 x(0 x 1), 在X x的条件下,
Y 的条件概率密度为
fY
X
(
y
x)
1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
X1= -1 1/12 2/12 3/12
X2=1 0 1/12 1/12
X3=2 3/12 1/12 0
求条件分布律P{X=xi|Y=2}.
解：X与Y的边缘分布如表：
Y X X1=-1 X2=1 X3=2
p.j
Y=0 1/12
0
3/12
4/12
Y=3/2 2/12 1/12 1/12
4/12
Y=2 3/12 1/12
FY X ( y x) P{Y y X x}
y
f (x,t) d t.
fX (x)
★ 条件分布函数与条件密度函数的关系
x
x
FX Y ( x y)
fX Y ( x y)d x
[ f (x, y)
fY ( y)]d x.
y
y
FY X ( y x)
因此 X 和 Y 的联合概率密度为
f ( x, y) fY X ( y x) fX ( x)
1
1
x
,
0,
0 x y 1, 其它.
故得 Y 的边缘概率密度
fY ( y)
f (x, y)d x
y1 0 1
条件分布概率和边际概率
条件分布概率和边际概率概率论是一门研究随机现象的数学分支，其中条件分布概率和边际概率是重要的概念。
条件分布概率指的是在给定某些条件下，事件发生的概率；而边际概率是指在不考虑其他条件的情况下，事件发生的概率。
条件分布概率是通过考虑其他条件来计算事件的概率。
例如，考虑一个骰子的例子，我们想要计算在投掷骰子时出现6的概率。
如果我们知道骰子是均匀的，那么在没有任何其他条件的情况下，出现6的概率是1/6。
然而，如果我们知道在投掷骰子时，只有前面一半的数字是可见的，那么在这个条件下出现6的概率将会有所不同。
这就是条件分布概率的概念，它考虑了其他条件对事件发生的影响。
边际概率与条件分布概率相反，它是在不考虑其他条件的情况下计算事件的概率。
继续上面的骰子例子，如果我们知道在投掷骰子时只有前面一半的数字是可见的，那么我们可以计算在这个条件下每个数字出现的概率。
这些概率将是边际概率，因为它们不考虑其他条件。
条件分布概率和边际概率在许多领域都有应用，特别是在统计学和机器学习中。
在这些领域中，我们经常需要计算事件发生的概率，并根据条件来进行推断和预测。
例如，在医学领域中，我们可能需要根据患者的年龄、性别和病症来计算他们患某种疾病的概率。
这就是条件分布概率的应用。
另一方面，边际概率在统计学中被广泛应用，例如计算某个事件在总体中发生的概率。
为了更好地理解条件分布概率和边际概率，我们可以考虑一个更复杂的例子。
假设我们有一组数据，包括人们的年龄、性别和收入水平。
我们想要计算在给定某个年龄段和性别的条件下，人们的收入水平的概率分布。
这就是条件分布概率的应用。
同时，我们还可以计算不考虑年龄和性别的条件下，人们的收入水平的概率分布。
这就是边际概率的应用。
总结起来，条件分布概率和边际概率是概率论中重要的概念。
条件分布概率是在给定某些条件下计算事件概率的方法，而边际概率是在不考虑其他条件的情况下计算事件概率的方法。
它们在统计学和机器学习中有广泛的应用，并帮助我们进行推断和预测。
条件概率分布(精)
E{X[Y E(Y )]} E[ XY XE( y)]
E[ X 3] X 3 f (x)dx 1 x3 dx 0
1 2
Ex2 : X : N (0, 2 ) , Let a 1/ 2 2 ,
f (x, y)dx
1 exp( y2 / 2)
2
若 0 , f (x, y) fX (x) fY ( y) , 则 X , Y 独立 .
ex 3 : 已知
f XY
( x,
y)
1
2
2
exp(
x2 y2
2 2
)
R2 X 2 Y 2 , tg 1 (Y / X ) ,
求 R , Θ 的联合概率密度及各自的边缘概率密度 。
解:
fR (r, )
f XY (x, y)
(x, y)
(r, )
r exp( r2 )
2 2
2 2
雅可比 ( Jacobian ) 因子
J (x, y)
(r, )
x x
r
y y
cosθ -r sinθ
f (x, y) 1 exp( x2 y2 ) ,
2 2
2 2
Z X /Y
求随机变量 Z 的概率密度 。
解 :
fZ (z)
f (z, y)dy
dx
f (x, y) dy
dz
y f (x, y)dy
1
2
y
2
exp(
条件概率及条件分布知识点整理
条件概率及条件分布知识点整理
1. 条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
用符号表示为 P(A|B)，表示在事件 B 已经发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的计算公式为：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
其中，P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
2. 条件分布
在概率论和统计学中，条件分布是指在给定某个条件下，随机变量的概率分布。
条件分布可以通过条件概率来计算。
给定随机变量 X 和随机变量 Y，条件分布可以表示为
P(X|Y=y)，表示在事件 Y=y 发生的条件下，随机变量 X 的概率分布。
条件分布的计算公式为：
P(X|Y=y) = P(X∩Y=y) / P(Y=y)
其中，P(X∩Y=y) 表示随机变量 X 和事件 Y=y 同时发生的概率，P(Y=y) 表示事件 Y=y 发生的概率。
3. 应用
条件概率和条件分布在概率论和统计学中有广泛的应用。
一些
常见的应用包括：
- 贝叶斯定理：用于计算后验概率，即在已知观测数据的情况下，更新先验概率。
- 马尔科夫链：用于建模状态转移过程，在给定当前状态的情
况下，预测未来状态的概率分布。
- 事件独立性检验：通过计算条件概率是否等于边缘概率，来判断事件是否独立。
- 条件随机场：用于序列标注、自然语言处理等任务，通过建模给定条件下，序列输出的概率分布。
以上是关于条件概率和条件分布的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的概率模型和方法来进行推断和计算。
概率统计8——条件分布
已知(X,Y)的联合分布律为
XY0 10 Nhomakorabea0.3 0.3
1 0.3 0.1
求X=1条件下,Y的分布律.
P( X 1, Y 0) 0.3 3 P(Y 0 X 1) P( X 1) 0.3 0.1 4
P( X 1, Y 1) 0.1 1 P(Y 1 X 1) P( X 1) 0.3 0.1 4
1 2 1 2 1 e 2
1 ( x 1 )2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 2 2 2 2 1 2 2 (1 ) 1 2
1 e 2 2
( y 2 )2 2 2 2
f ( x, y ) f Y X ( y x ) f X ( x ) f X Y ( x y) fY ( y ) fY ( y )
f ( x, y ) f X Y ( x y ) f Y ( y ) fY X ( y x) f X ( x) f X ( x)
例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀 分布,求 f X Y ( x y ), fY X ( y x). r 2 x2 解 1 2 2 2
(1) 在Y = 0 的条件下，X 的分布律； (2) 在 X = 2 的条件下，Y 的分布律.
解:可利用条件概率含义直接计算,也可
以用联合分布求. 用联合分布律计算： 联合分布与边缘分布如下表所示
P( X xi , Y 0) P( X xi Y 0) P(Y 0)
pij X
律为（也可根据条件概率的含义直接计算：）
概率论：条件分布
条件分布
一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 三、小结
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的 条件下，求X的概率分布. 这个分布就是条件分布.
y
f ( x , v )dv f X ( x)
y
f ( x, v ) dv f X ( x)
对y求导，得到在条件X=x下Y的条件概率密度
f ( x, y) fY X ( y x ) f X ( x)
类似地，在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概 率密度为源自FX Y ( x y )
x 0
lim [ F ( x x , y ) F ( x , y )] / x
x 0
lim [ FX ( x x ) FX ( x )] / x
FY X ( y x ) P{Y y X x}
F ( x , y ) dFX ( x ) x dx
三、小结
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , pij ( i , j 1, 2,) 为其联合分布律, 在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为 P { X xi ,Y y j } pij P { X xi Y y j } , P {Y y j } p j
1 πr 2 , x 2 y 2 r 2 , f ( x, y) 其它, 0,
f X ( x)
f ( x, y )dy
随机变量的独立性和条件概率分布
随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。
独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。
首先来看独立性。
在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。
具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。
即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。
举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。
我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。
如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。
因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。
现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。
我们可以用独立性来计算。
因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。
接下来看条件概率分布。
条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。
具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。
条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。
它可以通过原始的概率分布计算得到。
具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。
概率论-条件分布
y
0
ey,
0 y
于是对y>0,
fX (x | y)
f (x, y) ex y , fY (y) y
故对y>0, P(X>1|Y=y) ex y dx
1y
ex
y
e 1
y
1
x0
例6 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到 X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.
求Y 的概率密度.
)2
)
关于Y在X=x条件下的条件分布密度为
fY ( y x)
1
2 2
1
2
exp(
1
2 22 (1 2 ) [ y
(2
2 1
2
(x 1))] )
即二维正态分布的条件分布仍然是正态分布
N (2
2 1
(x
1 ),
22 (1
2
))
证明见教材
运用条件概率密度，我们可以在已知某 一随机变量值的条件下，求与另一随机变量 有关的事件的条件概率.
写出 ( X1, X 2 )
分布以及在 X 2
的联合分布，关于X
的边缘
1
1条件下关于 X1的条件分布。
X2 0
1
X1
2
pi.
0
0.25 0.25
0.0625 0.5625
1
0.25 0.125 0
0.375
2 0.0625 0
0
0.0625
p.j
0.5625 0.375 0.0625 1
例2 一射手进行射击，击中目标的概率为
p，(0<p<1)， 射击进行到击中目标两次为
条件概率分布和联合概率分布
条件概率分布和联合概率分布
条件概率分布和联合概率分布是概率论中的两个重要概念。
条件概率分布是指在已知一些条件下，某个事件发生的概率分布。
例如，在已知某个人生日是在某个月的情况下，他或她的星座是某个特定的星座的概率分布。
联合概率分布是指多个随机变量同时取某些值的概率分布。
例如，在掷骰子的情况下，同时出现两个特定的数字的概率分布。
条件概率分布和联合概率分布之间有密切的关系。
可以通过条件概率分布来计算联合概率分布，反之亦然。
其中，联合概率分布可以通过条件概率分布进行拆分和重组，从而得到更加复杂的概率分布。
在实际应用中，条件概率分布和联合概率分布经常用于预测和分析各种事件。
例如，在医学领域中，可以利用条件概率分布来预测某种疾病的发病率，利用联合概率分布来预测多种疾病同时发生的概率。
在金融领域中，可以利用条件概率分布来预测某种证券的涨跌概率，利用联合概率分布来预测多种证券同时涨跌的概率。
总之，条件概率分布和联合概率分布是概率论中的两个重要概念，它们在各种领域中都有广泛的应用。
掌握它们的基本原理和方法对于进行各种预测和分析具有重要的意义。
- 1 -。
条件概率分布和决策函数
条件概率分布和决策函数条件概率分布和决策函数是信息论中重要的概念：#### 一、条件概率分布1. 概念：条件概率分布是概率论中这个概念，它表示当已知条件之后，某一随机变量出现某一结果的概率。
条件概率分布的结构如下：P(Y|X)表示X确定的条件下，Y的概率密度，即在X确定的情况下，Y有多大的可能性发生。
2. 计算：计算条件概率分布也比较容易，只需要用古典概率论中常见的公式就能得到。
条件概率计算公式为：P(Y|X)=P(X,Y)/P(X) 其中P(Y|X)所表达的是在X确定的条件下，Y出现的概率；P(x,y)表示的是二者都发生的概率，P(x)表示的是X发生的概率。
3. 应用：条件概率分布在日常生活中十分常见，在概率与统计学的领域里，它的应用前景十分广泛，用来时经济预测、气象模拟等都有着良好效果。
#### 二、决策函数1. 概念：决策函数是一种描述性方法，它表示一个个体在不同情境下采取不同行动的函数，也就是根据不同的情形，采取不一样的行动策略。
决策函数的形式为D(X)表示根据环境的X的不同，做出的动作也是不一样的，集合X是可以表示为一个庞大的状态集合。
2. 计算：决策函数的计算要求我们知道不同状态下，采取不同行为所带来的收益函数，一旦我们拥有了这些收益函数，我们就可以得到最优的策略，从而对决策函数进行计算。
3. 应用：决策函数在各种环境下都有其应用，它可以应用于科学研究、金融投资、决策系统等方面，它可以帮助人们在多种不同信息的场景中，得到较好的行动结果，从而使得解决问题更容易。
以上就是条件概率分布和决策函数的介绍，他们对信息论的理解，以及实际应用都有重要作用，我们实际应用学习的经验证实，它们是我们把握信息研究的重要方法之一。
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1 , fY | X ( y | x ) 1 x 0,
x y 1 其它
概率论
X 和Y 的联合密度为
f ( x, y) f X ( x) fY | X ( y | x)
1 , 0 x y 1 1 x 其它 0,
已知边缘密度、 条件密度，求 联合密度
m n-1 n 1 2 ……………….
n次射击
击中
击中
概率论
m n-1 n 1 2 ……………….
n次射击
不论m(m<n)是多少， P{X=m,Y=n}都应等于
2
击中 每次击中目标的概率为 p P{X=m,Y=n}=？
n 2
击中
P X m ,Y n p 1 p
由此得X和Y的联合分布律为
概率论
五、布置作业
《概率统计》习题册
这个分布就是条件分布.
概率论
例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽 取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X 和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 身高Y 体重X 的分布
身高Y 的分布 体重X
概率论
现在若限制 1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求 X 的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高 在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出 的学生中求其体重的分布.
PX x, y - Y y lim 存 在, ε 0 Py - Y y
ε 0
称此极限为在条件 Y y下X的 条 件 分 布 函 数 .记 作 FX|Y (x | y)或PX x | Y y
进一步可以化为:
概率论
F(x,y) y d FY ( y ) dy
概率论
f X ( x)
2 1 x 2 , | x | 1 f ( x, y )dy | x | 1 0,
当|x|<1时,有
f ( x , y) fY |X ( y | x ) fX ( x)
y
1 (2 ) 1 x
2
1 2 1 x
2
,
容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布 会很不一样. 例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著 增加 .
概率论
一、离散型随机变量的条件分布
设(X, Y)具有分布律 P{ X x i , Y y j} pij , i,j 1, 2, X和Y的边缘分布律分别为 P{ X x i } pi pij , i 1, 2, ,
x
o
x
x x
1 x2 y 1 x2
概率论
X作为已知变量
即 当 |x|<1 时,有
1 2 2 , 1 x y 1 x fY |X ( y | x ) 2 1 x 2 y 取其它值 0,
X已知的条件下 Y 的条件密度
这里是y的取值范围
概率论
2
n m 1
p (1 p)
2
p
2
m 1 2
n m 1
(1 p)
n2
( m=1,2, … )
概率论
Y的边缘分布律是：
P Y n P X m ,Y n
m 1
n 1
p (1 p)
2 m 1
n 1
n2
(n 1) p (1 p)
y
于是得Y的概率密度为
1 y
y
yx
fY ( y) f ( x, y)dx
o y
x
y 1 dx ln( 1 y ), 0 1 x 0,
0 y 1 其它
概率论
四、小结
这一节，我们介绍了条件分布的概念和计 算，并举例说明对离散型和连续型随机变量如 何计算条件分布. 请课下通过练习进一步掌握.
概率论
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的 一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的 一切性质.
例如：
P X xi Y y j 0 i=1,2, …
P X xi i 1
Y yj 1
概率论
例1 一射手进行射击，击中目标的概率 p 0 p p 1 , 射击进行到击中目标两次为止. 以 X 表示首 次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数 . 试求 X 和 Y 的联合分布及条件分布. 解 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目 标 , 且在前n-1次射击中有一次击中目标. {X=m} 表 首次击中目标时射击了m次 .
概率论
第三节
条件分布
离散型随机变量的条件分布
连续型随机变量的条件分布
课堂练习
小结 布置作业
概率论
在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
P ( AB) P ( A | B) P ( B)
推广到随机变量
设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值 的条件下，求X的概率分布.
概率论
例2 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为
1 , f ( x , y ) 0, x2 y2 1 其它
求 fY |X ( y | x )
解 X的边缘密度为
f X ( x)
y
o
x
2 1 x 2 , | x | 1 f ( x, y )dy | x | 1 0,
j 1
,
P{Y y j} p j pij , j 1, 2,
i 1
,
设pi 0, p j 0, 有 : P{X xi |Y y j}
P{X xi , Y y j} P{Y yபைடு நூலகம்j}
pij p j
, i 1, 2,
（3.1 ）
例3 设数 X 在区间 (0, 1) 均匀分布，当观察到 X = x (0 < x <1)时，数Y 在区间 (x, 1) 上随机地取值 . 求: Y 的概率密度. 解: 依题意，X具有概率密度
1, 0 x 1 f X ( x) 0, 其它
对于任意给定的值 x (0 < x <1)，在X = x 的条件下, Y 的条件概率密度为
2
n2
( n = 2,3, … )
概率论
于是可求得：
当n=2,3, …时，
P X m Y n
联合分布 边缘分布
P{ X m, Y n} P{Y n}
2 n2
p (1 p) 2 n2 (n 1) p (1 p) 1 , m=1,2, …,n-1 n1
概率论
当m=1,2, …时，
P X n Y m
P{ X m, Y n} P{ X m}
p (1 p) m 1 p(1 p)
2
n2
p(1 p)
n m 1
,
n=m+1,m+2, …
概率论
二、连续型随机变量的条件分布
设 (X,Y) 是二维连续型 r.v ， 由于对任意 x, y,
x
-
f(u,y)du f Y (y)
f(u,y) du - f (y) Y
x
f(x,y) 则f X|Y (x | y) 为 在 条件 Y y下X的 条 件概 率 密 度 , f Y (y)
f(x,y) 类似地有 FY|X (y | x)和f Y|X (y | x) f X (x)
P X m ,Y n p 1 p
2
n 2
( n=2,3,
…; m=1,2, …, n-1)
概率论
为求条件分布，先求边缘分布. X的边缘分布律是：
P X m
P X m ,Y n n m 1
n2
(1 p) m 1 p p(1 p) 1 (1 p)
P{X=x}=0, P{Y=y}=0 ，所以不能直接用条件概
率公式得到条件分布，下面我们来讨论一下条 件概率密度的定义.
概率论
首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.
(1)条件分布函数的定义 :
给定y, 0, P{y - Y y } 0, 若 lim PX x | y - Y y