导数的计算(二)导学案
高中数学 1.2导数运算2导学案 苏教版选修22
学习目标1. 掌握导数的运算规则；2. 掌握导数运算法则的应用.重难点：导数的运算规则及其应用.课前准备（预习教材P21~ P22，完成以下内容并找出疑惑之处）一、知识梳理、双基再现函数的和差积极商的求导法则：（1）/[()()]f x g x ±= ；（2）〔f(x)g(x)〕/= ；（3）/()[]()f x g x =二、小试身手、轻松过关1. P22----练习12. P22---练习23. P84----练习3三、基础训练、锋芒初显1. P22----练习42.已知函数)0,(1sin )(≠∈-=x R x x x x f ，则)1(f '值为（）A 、1cos 1+B 、1cos 1-C 、1cos 1+-D 、1cos 1-- 3．曲线12-=x x y 在点（1,1）处的切线方程为（ ） A ．20x y --= 02.=-+y x B 054..=-+y x C D. 450x y --=4．曲线()23-+=x x x f 在0P 点处的切线平行于直线y =4x -1,则0P 点的坐标为（ ）()0,1.A ()8,2.B ()()4,10,1.--和C .D ()和8,2（-1，-4）5. P22----练习5四、举一反三、能力拓展1．已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=__________2．若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f =________3.设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．求()f x 的解析式。
江苏省邳州市第二中学高中数学2-2导学案：函数的和、差、积、商的导数(2)
函数的和、差、积、商的导数（2)教学目的：1。
理解两个函数的积的导数法则、和(或差)的导数法则，学会用法则求复杂形式的函数的导数2.能够综合运用各种法则求函数的导数教学重点：灵活应用函数的和、差、积、商的求导法则教学难点:函数的积、商的求导法则的综合应用．授课类型：习题课教学过程:一、复习引入：函数的差、积、商的求导法则：（1）(2)(3)（4)二、讲解新课：例1.求下列函数的导数（1)42356=--+(2）y=x x sin2y x x x（3）(1)(2)(3)y x x x =+++ （4）1sin 1cos x y x-=+（5)423335x x y x +-= （6)sin (cos 1)y x x =+例2： 在曲线31y xx =+-上求一点P ，是过点P 点的切线与直线47y x =-平行。
变式：已知函数f （x)=x 3+bx 2+cx+d 的图象过点P(0,2),且在点M 处(-1，f （—1）)处的切线方程为6x-y+7=0,求函数的解析式例3求满足下列条件的函数()f x（1)()f x 是三次函数,且(0)3,'(0)0,'(1)3,'(2)0f f f f ===-= (2）'()f x 是一次函数， 2'()(21)()1x f x x f x --=三：课堂练习1．函数2cos x y x =的导数为 。
2．已知32()32f x axx =++，若'(1)4f -=，则a 的值为3．曲线212y x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为四：课堂小结五：作业1． 求下列函数的导数（1）23(2)y x x =+ （2) 2cos y x x =(3）12cos sin 3y x x =+- （4） cos sin x y x =（5)2(2)1x y x -=+ （6）23()(9)()f x x x x =+-2． 若曲线4y x =的一条切线与直线480x y +-=垂直,求该直线的方程。
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案(二)
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 和、差的导数已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 思考2 试求y ＝Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数． 答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx－(x ＋1x ) ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ). ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0[1－1x (x ＋Δx )]＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x 2. 思考3 Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？答案 Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和．H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差． 梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．知识点二 积、商的导数已知f (x )＝x 2，g (x )＝sin x ，φ(x )＝3.思考1 试求f ′(x )，g ′(x )，φ′(x )．答案 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝cos x ，φ′(x )＝0.思考2 求H (x )＝x 2sin x ，M (x )＝sin x x 2，Q (x )＝3sin x 的导数． 答案 H ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x ，M ′(x )＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2＝x 2cos x －2x sin x x 4＝x cos x －2sin x x 3， Q ′(x )＝3cos x .梳理 (1)积的导数①[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．②[cf (x )]′＝cf ′(x )．(2)商的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． (3)注意[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x ).类型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数．(1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x； (2)y ＝x 2＋1x 2＋3； (3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x sin x －2cos x. 解 (1)∵y ＝322x －123x-＋x －1＋32x -， ∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -. (2)方法一 y ′＝(x 2＋1)′(x 2＋3)－(x 2＋1)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝2x (x 2＋3)－2x (x 2＋1)(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. 方法二 ∵y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，∴y ′＝(1－2x 2＋3)′＝(－2x 2＋3)′ ＝(－2)′(x 2＋3)－(－2)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝4x (x 2＋3)2. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23.方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5)＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23.(4)y ′＝(x sin x )′－(2cos x)′ ＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2(cos x )′(cos x )2＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x. 反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 (1)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，则a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c )＝ . 答案 0解析 ∵f ′(x )＝(x －a )′(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －b )′·(x －c )＋(x －a )(x －b )(x －c )′ ＝(x －b )(x －c )＋(x －a )(x －c )＋(x －a )(x －b )，∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，f ′(b )＝(b －a )(b －c )＝－(a －b )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )＝(a －c )(b －c )．∴a f ′(a )＋b f ′(b )＋c f ′(c ) ＝a (a －b )(a －c )－b (a －b )(b －c )＋c (a －c )(b －c ) ＝a (b －c )－b (a －c )＋c (a －b )(a －b )(b －c )(a －c )＝0.(2)求下列函数的导数．①y ＝x 2－sin x 2cos x 2； ②y ＝e x －1e x ＋1； ③y ＝x tan x .解 ①∵y ＝x 2－12sin x ， ∴y ′＝2x －12cos x . ②y ′＝(e x －1)′(e x ＋1)－(e x －1)(e x ＋1)′(e x ＋1)2＝e x (e x ＋1)－e x (e x －1)(e x ＋1)2＝2e x(e x ＋1)2. ③f ′(x )＝(x tan x )′＝(x sin x cos x)′ ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝sin x cos x ＋x cos 2x＝12sin 2x ＋x cos 2x＝sin 2x ＋2x 2cos 2x.类型二 导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln x x＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系； (2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln x x 2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln 11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1. ∴f (x )＝ln x x －2x .∴f (e)＝ln e e －2e ＝1e－2e ，f (1)＝－2， 由f (e)－f (1)＝1e－2e ＋2<0，得f (e)<f (1)． (2)由已知得f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f (x )的解析式，需要求出f ′(1)，注意f ′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a ，b ，c ，d 的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 函数f (x )＝x 2x －1＋f ′(1)，则f ′(1)＝ . 答案 －1解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝2x －1－2x (2x －1)2＝－1(2x －1)2， 则f ′(1)＝－1.命题角度2 与切线有关的问题例3 (1)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 ． 答案 (e ，e)解析 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，∴k ＝1＋ln x 0. 又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝2x －8.①求a ，b 的值；②设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 ①因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.②由①可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7.又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点(π2，2)处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝ .(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 ．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵y ′＝sin 2x －(2－cos x )cos x sin 2x ＝1－2cos x sin 2x， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cos π2sin 2π2＝1. 又直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a， ∴－1a＝－1，即a ＝1. (2)因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2. 又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x答案 C解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2k x，若f ′(1)＝1，则k 等于( ) A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3答案 A解析 ∵f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e 2， 故选A.4．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是 ．答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x 2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72. 由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋b 2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2， 则a ＋b ＝－3. 5．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线的方程为 ． 答案 3x －y －11＝0解析 ∵y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴当x ＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)，∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n )．3．积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[c ·f (x )]′＝c ·f ′(x )；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )[g (x )]2； (3)当f (x )＝1时，有[1g (x )]′＝－g ′(x )[g (x )]2.课时作业一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋3x )′＝1＋3x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x答案 B解析 选项A ，(x ＋3x )′＝1－3x 2，故错误； 选项B ，(log 2x )′＝1x ln 2，故正确；选项C ，(3x )′＝3x ln 3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误．故选B.2．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 答案 C解析 ∵f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，∴f ′(4)＝e 4(sin 4＋cos 4)．∵π<4<32π，∴sin 4<0，cos 4<0，∴f ′(4)<0. 由导数的几何意义得，切线的倾斜角为钝角．3．若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( )A ．24B ．－24C ．10D ．－10答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x －1)′[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′ ＝(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)＋(x －1)[(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)]′，∴f ′(1)＝(1－2)·(1－3)·(1－4)·(1－5)＋0＝24.4．函数f (x )＝x cos x －sin x 的导函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 B解析 f ′(x )＝(x cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x＝－x sin x .令F (x )＝－x sin x ，x ∈R ，则F (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x ＝F (x )，∴f ′(x )是偶函数．5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2，∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.6．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2 015(x )等于( )A ．－sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x －cos xD ．sin x ＋cos x 答案 A解析 因为f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，所以f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，由此发现f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，并且周期为4，每个周期的和为0，所以f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f 2 015(x )＝f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＝cos x －sin x ．故选A.7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)等于( )A.13B ．－13 C.73D ．－13或53 答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上，故其图象必为第三个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且对称轴－a >0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f (x )＋2g (x )，则h ′(5)＝ . 答案 516解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，∵h ′(x )＝f ′(x )g (x )－[f (x )＋2]g ′(x )[g (x )]2， ∴h ′(5)＝f ′(5)g (5)－[f (5)＋2]g ′(5)[g (5)]2＝3×4－(5＋2)×142＝516. 9．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝ . 答案 1解析 ∵f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.10．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0， 解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.11．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ . 答案 8解析 由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x， 得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，所以a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题12．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 解 ∵f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2. 依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，即e c c ＋e c (c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，得c ＝12. 13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解 ∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ①∵y ′＝2ax ＋b ，当x ＝2时，y ′＝4a ＋b .∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.四、探究与拓展14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ . 答案 4 096解析 ∵f ′(x )＝x ′(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 1)′(x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)′＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x (x －a 2)…(x －a 8)＋…＋x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 7)，∴f ′(0)＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1a 8)4＝84＝4 096.15．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12， ① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74， ②由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
高中数学选修2-2导数导学案
§1.1.3导数的几何意义导学案【知识要点】1．导数的几何意义（1）割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝__________________.当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________【问题探究】探究点一 导数的几何意义例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况．跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )探究点二 求切线的方程问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？例2 已知曲线y ＝x 2，求：（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程．跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．【当堂检测】1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．22．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______【课堂小结】1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 2．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为§1．2.1 常数函数与幂函数的导数导学案 §1．2.2 导数公式表及数学软件的应用导学案【知识要点】12【问题探究】探究点一 求导函数问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【当堂检测】1．给出下列结论：其中正确的个数是 ( )①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12xD ．323．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.【拓展提高】1．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0° B ．锐角 C ．直角 D ．钝角2．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为___________§1.2.3导数的四则运算法则(一)导学案【知识要点】导数的运算法则【问题探究】探究点一 导数的运算法则例1 求下列函数的导数： （1）y ＝3x－lg x ；（2）y ＝(x 2＋1)(x －1)；（3）y ＝x 5＋x 7＋x 9x.跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x1＋sin x.探究点二 导数的应用例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12B.12C ．－22 D ．22【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．§1.2.3导数的四则运算法则(二)导学案【知识要点】【问题探究】探究点一 复合函数的定义例1 指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y ＝(3＋5x )2； （2）y ＝log 3(x 2－2x ＋5)； （3）y ＝cos 3x .跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y ＝ln x ； （2）y ＝e sin x ； （3）y ＝cos (3x ＋1)．探究点二 复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：（1）y ＝(2x －1)4； （2）y ＝11－2x；跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x ； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2) 4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________§1.3.1利用导数判断函数的单调性导学案【知识要点】一般地，在区间(a，b)【问题探究】探究点一函数的单调性与导函数正负的关系例1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．例2求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；(2) f(x)＝3x2－2ln x.（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1) f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝e xx－2；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．探究点二函数的变化快慢与导数的关系跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．【当堂检测】1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，6上是减函数 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，1a B ．⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0，a )4．（1）函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为___________ （2）函数y ＝x 3－x 的增区间为_______________________，减区间为_____________【课堂小结】1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为 （1）确定函数f (x )的定义域； （2）求导数f ′(x )；（3）在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.【拓展提高】1．已知函数53123-++=ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 . （2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是2．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，)(x f ' >1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______ 3．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______ 4．设函数f (x )＝x －1x－a ln x .（1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值；§1.3.2利用导数研究函数的极值导学案【知识要点】1．极值的概念已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个．极大值与极小值统称为．极大值点与极小值点统称为2．求可导函数f(x)的极值的方法（1）求导数f′(x)；（2）求方程的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)【问题探究】探究点一函数的极值与导数的关系例1求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．跟踪训练1 求函数f (x )＝3x＋3ln x 的极值．探究点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． （1）试确定常数a 和b 的值；（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R . （1）求函数f (x )的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．【当堂检测】1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 33．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－1或a >2 D ．a <－3或a >6 4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为__________5．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________【课堂小结】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【拓展提高】1．已知三次函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 和1-=x 时取极值，且4)2(-=-f ． （1）求函数)(x f y =的表达式；（2）求函数)(x f y =的单调区间和极值2．若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 极值34-， （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围§1.3.3利用导数研究函数的最值导学案【知识要点】1．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： （1）求f (x )在开区间(a ，b )内所有使 的点；（2）计算函数f (x )在区间内 和______的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【问题探究】探究点一 求函数的最值问题1 如图，观察区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？问题2 观察问题1的函数y ＝f (x )，你能找出函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a ，b )，f (x )在(a ，b )上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 问题3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？ 例1 求下列函数的最值：（1）f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]； （2）f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]跟踪训练1 求下列函数的最值：（1）f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，x ∈[－3,1]； （2）f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．探究点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．（1）若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．（2）求f (x )在区间[0,2]上的最大值．跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．问题 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？例3 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1恒成立，求a 的取值范围．跟踪训练3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．【当堂检测】1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上 ( )A ．极大值一定比极小值大B ．极大值一定是最大值C ．最大值一定是极大值D ．最大值一定大于极小值2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) ( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋14．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为_______【课堂小结】1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．2．含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.【拓展提高】1．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（1）若函数)(x f 在2-=x 处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[]1,3-上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[]1,2-上单调递增，求实数b 的取值范围§1.3.4导数的实际应用导学案【知识要点】1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的 _____或 ．这些都是最优化问题．【问题探究】题型一面积、体积的最值问题例1如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？跟踪训练1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．题型二强度最大、用料最省问题例2横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？跟踪训练2挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？题型三省时高效、费用最低问题例3如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C 选在何处可使运输时间最短？跟踪训练3如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？跟踪训练4某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【当堂检测】A ．4B ．6C ．4.5D ．82．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为多少？3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【课堂小结】1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系； （2）列模型：列出实际问题的数学模型；（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )； （4）求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；（5）比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； （6）结论：根据比较值写出答案．2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等.习题课导学案【学习要求】1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．【双基自测】1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．有最大值 D ．有最小值 2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为 ( )A ．－1B ．0C ．－239D ．334．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为 ( )5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．【问题探究】题型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()跟踪训练1已知R上可导函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1,2)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．（1）求g (x )的单调区间和最小值． （2）讨论g (x )与g (1x )的大小关系．跟踪训练2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ∈. （1）求f (x )的单调区间与极值；（2）求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.题型三 导数的综合应用例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．跟踪训练3 （1）若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，12，则实数a 的值是多少？（2） 若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？【当堂检测】1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是 ( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( )A ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎤－∞，13 3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )4．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) 5．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是__________【课堂小结】导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.【拓展提高】1．等差数列{}n a 中的40051a a 、是函数321()4613f x x x x =-+-的极值点，则22013log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．函数21()2ln 2f x x x x a =+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是_____3．已知函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c R ∈），若函数()f x 在区间[1,0]-上是单调减函数，则22a b +的最小值是4．已知函数.ln )(,2)23ln()(x x g x x x f =++=（1）求函数()f x 的单调区间；（2）如果关于x 的方程m x x g +=21)(有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程)()(x kg x f =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由.§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一) 导学案【知识要点】1．曲边梯形：曲线与 和 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S ＝____________克服弹簧的拉力的变力所做的功：W ＝____________.【问题探究】探究点一 求曲边梯形的面积问题1 如何计算下列两图形的面积？问题2 如图，如何求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S?思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )上的值近似地等于右端点in 处的函数值f (i n )，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意ξi ∈[i －1n ，i n ]处的函数值f (ξi )作为近似值，情况又怎样？例1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12x 2所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积．探究点二 求变力做功问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m 处，求克服弹力所做的功．跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S (单位：km)是多少？【当堂检测】1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度均为 ( ) A ．1nB ．2nC ．3nD ．12n2．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小3．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．4．弹簧在拉伸过程中力F (x )＝5x (x 为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________【课堂小结】求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n 等分区间[a ，b ]；（2）近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； （3）求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an ；（4）取极限：S ＝lim n →＋∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).§1.5.2定积分的概念导学案【学习要求】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质．【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.【知识要点】1．定积分：设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0<x 1<x 2<…x n －1<x n ＝b ，把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f (ξi )Δx i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎰badx x f )(＝_________.2．在定积分⎰badx x f )(中， 叫做被积函数， 叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做被积式．3．如果函数f (x )在[a ，b ]的图象是 ，则f (x )在[a ，b ]一定是可积的． 4．定积分的性质 （1）⎰badx x kf )(＝ (k 为常数)；（2）[]⎰±badx x fx f )()(21＝ ± ；（3）⎰badx x f )(＝ ＋ (其中a <c <b ).【问题探究】探究点一 定积分的概念问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．问题2 怎样正确认识定积分⎰badx x f )(?利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .探究点二 定积分的几何意义问题1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么⎰badx x f )(表示什么？问题2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，⎰badx x f )(表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？例2 利用几何意义计算下列定积分：（1）ʃ3－39－x 2d x ； （2）ʃ3－1(3x ＋1)d x .跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：（1）ʃ1－1x d x ； （2）ʃ2π0cos x d x ； （3）ʃ1－1|x |d x .探究点三 定积分的性质问题1 定积分的性质可作哪些推广？问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例2 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： （1）ʃ203x 3d x ； （2）ʃ416x 2d x ； （3）ʃ21(3x 2－2x 3)d x .【当堂检测】1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑i ＝1n i 3n 3·1n ；②ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n(i －1)3n 3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n →＋∞∑i ＝1n i 3n 3·1n .A ．0B ．1C ．2D ．3 2．定积分⎰badx x f )(的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：（1）ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； （2）ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .4．已知⎰2πsin x d x ＝⎰π2πsin x d x ＝1，⎰2π0x 2d x ＝π324，求下列定积分：（1）ʃπ0sin x d x ； （2）⎰2π(sin x ＋3x 2)d x .【课堂小结】1．定积分⎰badx x f )(是一个和式∑i ＝1nb －an f (ξi )的极限，是一个常数．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．§1.6微积分基本定理导学案【学习要求】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【学法指导】微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.【知识要点】1．微积分基本定理：如果f (x )在区间[a ，b ]上可积，并且_________，那么ʃb a f (x )d x ＝ ． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则（1）当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃba f (x )d x ＝ ．（2）当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃba f (x )d x ＝_______．（3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则ʃb a f(x)d x＝，若S上＝S下，则ʃb a f(x)d x ＝.【问题探究】探究点一微积分基本定理问题1如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？问题2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)?例1计算下列定积分：（1）ʃ211x d x；（2）ʃ31(2x－1x2)d x；（3）ʃ－π(cos x－e x)d x.跟踪训练1计算下列定积分：（1）ʃ1025x4d x；（2）ʃ31(x＋1x)26x d x.探究点二分段函数的定积分。
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)导学案
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）【学习目标】1．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；2. 会求曲线的切线.【学习探究+课堂例题】探究1 已知切点，求曲线的切线方程例1 求曲线314y x =在点(2,2)A 的切线方程.探究2 已知过曲线上一点，求曲线的切线方程 例2 求曲线314y x =过点(2,2)A 的切线方程.探究3 已知过曲线外一点，求曲线的切线方程例3 求曲线314+33y x =过点4(2)3A ，的切线方程.【课堂练习】1. 下列求导数运算正确的是（ ）A 211()1x x x '+=+B 21(log )ln 2x x '=C 3(3)3log x x e '=⋅D 2(cos )2sin x x x x '=-2. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为（ ）A 3B -3C 5D -5 3. 曲线32153y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为（ ） A 6π B 34π C 4π D 3π 4.已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=_________.5.（选做题）已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点，则k 的最大值为_______________.6.求过曲线3()2f x x x =-+上一点(1,1)A --的切线方程.7. 求曲线()2ln f x x =上的点到直线230x y -+=的最短距离.【课后作业】1. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =-D ()1f x x =- 2. 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A 193B 103C 163D 1333. 曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A 19B 29C 13D 234. 点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围 是（ ）A [0,]2πB 3[0,)[,)24πππC 3[,)4ππD 3(,]24ππ 5. 设函数sin cos y x x x =+的图象上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为（ ）6.（选做题）设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ⋅⋅⋅=___________________.7. 求下列函数的导数（1）1sin 1cos x y x -=+ (2) 1111x x y x x +-=+-+ (3) tan y x x =⋅8. 求曲线sin x y x =在点(,0)M π处的切线方程.9. 已知曲线3()3f x x x =-，过点(0,16)A 作曲线的切线，求切线方程.10.（选做题）设函数()b f x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为C A B D74120x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值.。
(2021年整理)高中数学选修2-2导数导学案
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1 函数的平均变化率导学案【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义。
【知识要点】1．函数的平均变化率:已知函数y＝f(x），x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝,Δy＝y1－y0＝f(x1）－f（x0）＝ ,则当Δx≠0时，商xx fx xf∆-∆+)()(0＝____叫做函数y＝f(x）在x到x0＋Δx之间的．2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义：错误!＝__________表示函数y＝f(x）图象上过两点（x1,f（x1)），(x2,f(x2)）的割线的 .【问题探究】在爬山过程中,我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时,气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一函数的平均变化率问题1如何用数学反映曲线的“陡峭"程度？问题2什么是平均变化率,平均变化率有何作用？例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．问题3平均变化率有什么几何意义？跟踪训练1 如图是函数y＝f(x）的图象，则：（1）函数f(x）在区间［－1,1］上的平均变化率为________；（2）函数f（x)在区间[0,2］上的平均变化率为________．探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f（x）＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：(1）［1，3］；（2）[1，2］；（3）［1，1。
《23计算导数》导学案.doc
导函数/(x) = ./V)=《2.3计算导数》导学案课程学习目标1 •理解导数的概念2 •掌握导数的怎义求法.3 •熟记基木初等函数的导数公式并能求一些简单•函数的导函数.课程导学建议重点:基本初等函数的导数公式及会求一些简单函数的导函数.难点:导数公式的应用.第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境根据导数的概念，我们知道可以用定义法求函数/(x)=f 的导数，那么是否有公式法來求 它的导数呢?知识导学问题1：由导数的定义求/(x)=x, ./W=，，./W=的导数对于/⑴=兀，/(x)===1, B|J/(x)=x r =l. 对于哭力乞乙/(x )====2x ,BP/(x)=( x\= lx .对于何=，/«=====・即几x )=()，=・.问题2:(1)导函数的概念:如果一个函数/⑴在区间(0, b)上的每一个点x 处都有导数,导数值记为/W ，/(x)=,则厂⑴是关于x 的函数，称/V)为心)的导函数，简称导数.(2) 儿个常用函数的导数.原函/(x)=c/(X )=X,/U)=x问题3:基本初等函数的导数公式.(1)c'= 0 (cWR)；(2)(/) - nx n l (nWQ)；(3)(s加x) - cos x , (cos x) - -sin x；⑷(y)，= e , (a)'= a-In a；(5)(加x\= , (JogQ'= log a e =.问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.知识链接变化是无处不在的，变化的快慢也是不断变化的，因此导数具有非常广泛的应用.比如我们在其他学科中学习过密度、压强、比热容、功率、工作效率等概念，我们在生活中经常用到脉搏、心率、降雨强度、车流量等概念，这些概念刻画的都是事物的变化率，在非均匀变化状态下，对这些概念的精确刻画必须借助于导数.基础学习交流1.物体自由落体的运动方程为s(t)=gt2, g=9.8 m/s2,若列(1)==9.8 mis,那么下列说法中正确的是().A.9.8 〃於是物体从0 $到1 $这段时间内的速度B.9.8 〃加是物体从1 s到(1+如)s这段时间内的速度C.9.8 〃於是物体在/=1 s这一-吋刻的速度D.9.8 〃於是物体从1 s到(1+加)s这段时间内的平均速度【解析】根据导数的意义可知C1E确.【答案】C2.已知/(x)二，则的值是().A.-B.C.・D.【解析】【答案】A3.函数尹X在兀=处切线的斜率为【解析】y,=cos x, k=cos=.【答案】4.求下列函数的导数.d)W5；(2心伽0)；(3)夕*0)；(4妙=(時0).【解析】(l)y-15x14；(2)/二3x"(x#))；(3)_/=(兀>0)；(4)：>==,・第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一函数在一点处的导数计算(用定义)已知/(x)=<・3.(1 )求心)在x=2处的导数；⑵求/(X)在x=a处的导数.【方法指导】用导数的定义求解.【解析】⑴：'==4+/兀，・：/(2)==(4+Jx)=4.(2)：・===2Q+/X,・：/(a)==(2d+zk)=2a.【小结】计算函数y=/(x)在处的导数步骤是:①求函数的改变暈少；②求平均变化率;③取极限，得导数/仇)=.探究二导数公式表的应用求下列函数的导数：(\)y=sin； (2)y=5x；(3”=x；(4)y=lox.【方法指导】用导数公式求导.【解析】(1>-0.(2)_/=(5了=5% 5.(3)J=x=, Zy(4)_/==・.【小结】熟记基本初等函数的导数公式.探究三导数及其儿何意义的应用已知函数ZW二l(a>0)的图像在"1处的切线为/,求/与两坐标轴围成的三角形面枳的最小值.【方法指导】首先利用公式求出函数在处的切线斜率，然后求出切线方程，最后利用不等式的性质求面积的最值.【解析】：：％)=，・：.几1)=.又心)二1，•：./(x)在X二1处的切线/的方程是尹-+1 =(x-1).・：/与坐标轴围成的三角形的面积5=1-1 |-||=(a++2)>x(2+2)=l.当且仅当“，即a=l时, 直线/与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.【小结】本小题主要涉及求导公式导数的几何意义、切线的求法以及三角形的面积公式.思维拓展应用应用一求函数在点“4处的导数(用定义求).【解析】==-1,・7W==(-1)=-.应用二求函数几工)=在处的导数.【解析】./V)=()'=()'=・=・=・，・：/(1 )=・=・，•:函数心)在火=1处的导数为・.应用三若曲线在点(Q,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面枳为18,求实数Q的值.【解析】”二，・：£二，切线方程是尹亠令“0,尸；令尸0, X=3Q.•:三角形的面积是S=・3Q・=18,解得G=64.第四层级技能应用与拓展基础智能检测1.下列结论屮正确的个数为().d)y=ln 2,贝1|/=；站=，贝'JA3)=-；助=2",贝^y,=2x ln 2；@y=logixy则尹=C.2D.3A.OB.1【解析】根据导数的计算公式知③④正确.Vy f=(ln 2"0,・：①误.VfM=(y=(x2y=-2x~3=-f・欲3)=・，・：②正确.【答案】D2.过曲线尹=上一点P的切线的斜率为・4,则点P的坐标火/().A.(, 2) C.(, 2)或(・，・2)C.(・,-2)D.(, -2)【解析】”=()'=・，设尸(Xo，yo),贝!j-=-4,解得兀0=士.【答案】B3.己知/(x)=x",若/\・1)=-4,贝ija的值等于【解析】J\x)=ax(,'\又f(・l)二4,・：处1)心二4—4.【答案】44•求曲线尸在点M(3, 3)处的切线方程.【解析】：”=・，・：当“3时，/=-1,•:切线方程为y-3 =-(x-3), B|Jx+y-6=0.全新视角拓展(2009年・陕西卷)设曲线尸『5址N*)在点(1, 1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x “，令a”=/g X”，贝巾1+。
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 1.2导数的概念及其运算
1.2导数的概念及其运算一、学习目标掌握导数的求导公式及运算法则。
能利用导数的几何意义求切线方程。
二、知识梳理1、基本初等函数的导数公式2、导数运算法则（1）/[()()]f x g x ±= ；（2）/[()()]f x g x = ； （3）/()[]()f xg x = [()0].g x ≠ 3.简单复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .三、热身训练1. 1、求下列函数的导数：（1）3sin y x x =+ （2）222354y x x x =-+-（3）2(23)(32)y x x =+- （4）n xy x e =（5）tan y x = （6）ln xy x= 2．已知函数nm mxx f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm ________3．函数2)1)(1(+-=x x y 的导数为_____________4．若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f =_________ 5．已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=__________四、例题分析例1、 求下列函数的导数：(1)y=(2x 2-1)(3x+1) (2)x x y sin 2= (3)求2sin xy x=的导数；(4) ()ln 32y x =+ (5)y=sin(2)3x π+变式训练：设ln(1), 0()0, 010x x f x x x x⎧⎪+>⎪==⎨⎪⎪<⎩ 求()f x '.例2 已知曲线34313+=x y 。
（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程； （3）求曲线斜率为4的切线方程。
例3.设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．五、巩固训练1.函数()()()y x a x b x c =---的导数是 。
导数的计算导学案
1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
高中数学《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)》导学案
1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成□01x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作□02y ＝f [g (x )]．在复合函数中，内层函数u ＝g (x )的值域必须是外层函数y ＝f (u )的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y x ′＝□03y u ′·u x ′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x )′＝2cos2x ，不能得出(sin2x )′＝cos2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( )(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x.() 答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________.(2)函数f(x)＝2sin x－cos x，则f′(x)＝________.(3)函数f(x)＝－2x＋1，则f′(x)＝________.答案(1)2(2)2cos x＋sin x(3)2 (x＋1)2探究1简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数．(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)；(3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝3x＋5.[解](1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴y x′＝y u′·u x′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.(2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴y x′＝y u′·u x′＝(ln u)′·(6x＋4)′＝6u＝66x＋4＝33x＋2.(3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(sin u)′·(2x＋1)′＝2cos u＝2cos(2x＋1)．(4)函数y＝3x＋5可以看作函数y＝u和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y x′＝y u′·u x′＝(u)′·(3x＋5)′＝32u ＝323x＋5.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． 解 (1)设y ＝u12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12u － 12 ·(－4x ) ＝12(1－2x 2) － 12(－4x )＝－2x 1－2x2.(2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＞0)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[解] (1)y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.(2)设y ＝u 2，u ＝sin ν，ν＝2x ＋π3， 则y x ′＝y u ′·u ν′·νx ′＝2u ·cos ν·2 ＝4sin νcos ν＝2sin2ν＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. [解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] (1)因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ， 所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·[ sin (2x ＋π3) ]′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. 拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量； (2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数．【跟踪训练2】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2. 解 (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2.(2)∵y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4＝－12sin4x －2x cos4x . 探究3 导数的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可．利用f (x )上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积．高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．【跟踪训练3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解 因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′| x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2. 又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0.因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14. 因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x ＋1 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln x D ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u 的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A ．2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x)．3．函数f (x )＝π2x 2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝2πx C ．f ′(x )＝2π2x D ．f ′(x )＝2πx 2＋2π2x 答案 C解析 由f (x )＝π2x 2得f ′(x )＝2π2x ，故选C ．4．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.答案 18解析 f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－13，－4－2a －b ＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13⇒a ＋b ＝5＋13＝18.5．设f(x)＝ln (x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝32x在(0,0)点相切．求a，b的值．解由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝ln (x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝1x＋1＋12x＋1＋a，则f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意知32＋a＝32，故a＝0.A级：基础巩固练一、选择题1．函数y＝(3x－4)2的导数是()A．4(3x－2) B．6xC．6x(3x－4) D．6(3x－4) 答案 D解析∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．2．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0 B．－1 C．1 D．2 答案 B解析∵f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.3．函数y＝f(2e x)，则导数y′＝()A．2f′(2e x) B．2e x f′(x)C．2e x f′(e x) D．2e x f′(2e x)答案 D解析∵y＝f(2e x)，∴y′＝(2e x)′·f′(2e x)＝2e x f′(2e x)．故选D．4．曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．e C．2 D．1答案 C解析 由题意可得y ′＝e x －1＋x e x －1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率等于2，故选C ．5．要得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导函数f ′(x )的图象，只需将f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) B ．向左平移π2个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变) C ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)D ．向左平移π4个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) 答案 D解析 ∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3， ∴由f (x )得f ′(x )只需向左平移π4个单位，再把各点纵坐标伸长到原来的2倍． 6．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln (x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln (x 0＋a ) ①，对y ＝ln (x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a ，则1x 0＋a ＝1，则x 0＋a ＝1 ②，②代入①可得x 0＝－1，所以a ＝2.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ，则f ′(2)＝________. 答案 －53解析 ∵f (x )＝x 2·f ′(2)＋5x ， ∴f ′(x )＝2f ′(2)·x ＋5， ∴f ′(2)＝2f ′(2)×2＋5，∴3f ′(2)＝－5，∴f ′(2)＝－53.8．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．答案 2x －y ＝0解析 设x >0，则－x <0，因为x ≤0时f (x )＝e －x －1－x ，所以f (－x )＝e x －1＋x ，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝e x －1＋x ，f ′(x )＝e x －1＋1，f ′(1)＝e 1－1＋1＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.9．函数y ＝sin 2x 的图象在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．答案 32 解析∵y ′＝(sin 2x )′＝2sin x (sin x )′＝2sin x cos x ＝sin2x ，∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率为32.三、解答题10．求下列函数的导数． (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝3ln x ＋a x (a >0，且a ≠1)． 解 (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝x ·1x －x ＋1x －1＝－x ＋1x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ′＝－12x ＋－12xx＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －sin x 2cos x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′ ＝1－12cos x .(4)y ′＝(3ln x ＋a x )′＝3x ＋a x ln a (a >0，且a ≠1)．B 级：能力提升练11．求函数y ＝1(1＋3x )4在x ＝2处的导数． 解 函数y ＝1(1＋3x )4＝(1＋3x )－4可以看作函数y ＝t －4和函数t ＝1＋3x 的复合函数，根据复合函数求导法则可得y ′x ＝y ′t ·t ′x ＝(t －4)′·(1＋3x )′＝－4t －5×3＝－12(1＋3x )－5.函数y ＝1(1＋3x )4在x ＝2处的导数为y ′|x ＝2＝－12×(1＋3×2)－5＝－1275. 12．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋C ．由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )、f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.要使方程对任意x都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1. 解得a＝2，b＝2，c＝1，所以f(x)＝2x2＋2x＋1.。
导数的四则运算法则导学案
导数的四则运算法则导学案导数的四则运算法则(一)【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+qp q f p f a。
导数运算法则导学案
课题
学习 目标
§3.2.3 导数的运算法则
课型
探究课
掌握导数的四则运算法则， 并能利用公 审批 式求简单函数的导数； 人 导学过程 一、知识前测： (3) y 2 求函数 y x 在 (2,4) 处的导数切线方程。 二、结论探究： （1）导数的四则运算法则： 1、 2、
知识解读
x sin x
f ( x) g ( x) f
( x) g ( x)
(4) y
x 4x
f ( x) g( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x)
1 ln x f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) y ． ( g ( x) 0) (5) 3、 1 ln x 2 g ( x) g ( x)
方法总结：
sin x x cos x cos x x sin x
y x3 2 1 x 1 x
方法总结：
（3） y
x sin x ；
（4） 变式 2：过曲线 y f ( x )
1 上点 x
y
x 4x
；
1 （2， ）且与过这点的切线垂直的 2 直线方程是
（2）推论：
cf ( x) cf ( x)
(6)
（常数与函数的积的导数， 等于常数乘函数的导数） 三．范例探究：1X1 思维导练
y (2 x 2 5 x 1) e x ；
知识点 1：导数的运算 例 1： 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则， （7） y 求下列函数的导数． (1)
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章 计算导数(第4讲)
4．基本初等函数的导数公式：
函数
导数
函数
导数
■合作探究（对学、群学）
例1:（1）求函数 在x=2处的导数；
（2）求函数 在x=a处的导数；
（3）求函数 的导数。
【教学流程】
■自主学习（课前完成，含独学和质疑）
阅读教材内容，完成下列问题：
1．函数f(x)在x=x0处的导数的定义是。
2．求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤：
（1）求函数的改变量 _______________
（2）求平均变化率 _______________
（3）取极限得导数 _______________
例2:（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求过曲线 上点P 且与过点的切线垂直的直线方程。
例3：求下列函数的导数：
（1）y=3 (2) (3) (4) (5)
■知识总结（评价提升）
1.讨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ“导函数”与“函数在一点x0处的导数”的区别与联系。
2.根据函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤写出求函数y=f(x)导函数的步骤。
A.2B. C.－1D.0
3.曲线3x2－y＋6=0在x=－ 处的切线的倾斜角是（）
A. B.－ C. πD.－ π
4．设曲线 在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（）
A．（1，1）B．（－1，1）C．（ , ）D．（- , ）
5.函数y= 图像上一点P，以P为切点的切线L的倾斜角范围是__________
6.求函数 的导函数 ，并利用导数 求 ， 的值。
1.2 导数的计算 导学案(教师版)
§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。
导学案015导数的应用(二)
导数的应用（二）【2013年高考会这样考】 1．利用导数求函数的极值． 2．利用导数求函数闭区间上的最值． 3．利用导数解决某些实际问题． 【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与 比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2．生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：双基自测 1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1) ( )A ．有最大值，但无最小值B ．有最大值，也有最小值C ．无最大值，也无最小值D ．无最大值，但有最小值2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x －x3在区间[－3,3]上的 最小值是 ( ) A ．－9 B ．－16 C ．－12 D ．－113．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 （ ）A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 4．(教材习题改编)函数g(x)＝ln(x ＋1)－x 的最大值是______． 5．面积为S 的一矩形中，其周长最小时的边长是______．典例分析考点一、函数的最值与导数[例1] (2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k －1)＝－ek －1； 当k －1≥1时，即k ≥2，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．[文](2012·济宁模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋b 的图象在点 p(1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行． (1)求a ，b ；(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值． (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2 f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)由f(x)＝f(0)解得x ＝0，或x ＝3 因此根据f(x)的图象当0<t ≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2 最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t ≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2； 当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为 f(2)＝－2. 反思：考点二、实际生活中的优化问题与导数例2. (2012·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(x >6)，年销售为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．(1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2， ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18， ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6) ＝－2x 3＋33x 2－108x －108.(x >6)． 2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(∵x >6，舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′>0； 当x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是增加的；在(9，＋∞)上是减少的， ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 反思：考点三、恒成立问题与导数例3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值，(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 反思：一、选择题1．函数f (x )＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1eC.4e 4D.2e2 2．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数3．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1 D ．0<a <124．做一个圆柱形锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.a bB.a 2bC.b aD.b 2a 二、填空题5．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋3，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤a ，则a 的取值范围为________． 6．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(学、教案)
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(学、教案)D§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一． 预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 预习内容1．基本初等函数的导数公式表 2.导数的运算法则函数 导数 y c =*()()n y f x x n Q ==∈sin y x=cos y x=()x y f x a == ()x y f x e == ()log a f x x=()ln f x x=导数运算法则复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x=的导数公式填写下表（二）。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx -=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
（三）、【合作探究】 1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表函数 导数 y c = y x =2y x =1y x = y x = *()()ny f x x n Q ==∈函数导数 y c ='0y =*()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -= sin y x= 'cos y x= cos y x= 'sin y x=- ()x y f x a =='ln (0)x y a a a =⋅>（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2xy =（2）3xy =与3log y x =2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y xx =-+()x y f x e == 'xy e =()log a f x x='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a==>≠且()ln f x x='1()f x x=（2）sin y x x =⋅； （3）2(251)xy xx e =-+⋅；（4）4x x y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． （四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是： 解： 变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表： （2）导数的运算法则：四．当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2xy e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数 （1）ln y x x = （2）ln xy x= 课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18B14C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为nx ，则12nx x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1nn + D 14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------ 6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
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导数的计算(二)
班级 小组 姓名
【学习目标】
1、 记住导数的和、差、积、商的求导法则.
2、会运用导数的四则运算解决一些函数的求导问题.
重点：运用四则运算求导数； 难点：复杂函数的求导. 【预习导学】 导数的运算法则
①[]'
()()f x g x ±= ； ②[]'
()c f x ⋅= （c 为常数） ③[]'()()f x g x ⋅= ； ④'
()()f x g x ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
(()0)g x ≠ 预习交流
（1）你能用文字语言叙述上述运算法则吗？ （2）应用导数公式和四则运算法则求导有哪些注意点？
【预习检测】
1、已知函数()1sin x f x x e =-+，则'()f x = .
2、已知函数51()5f x x -=
，则'1
()2
f = . 3、函数cos x
y x
=的导数（ ） A.2sin x x -
B.sin x -
C.2sin cos x x x x +-
D.2
cos cos x x x
x +-
4、曲线()ln f x x x =在1x =处的切线方程为（ ）
A.22y x =+
B. 22y x =-
C.1y x =-
D.1y x =+
【课堂探究】
1、 求下列函数的导数
（1）sin cos 22x x y x =-； （2）3
22x y e x =-⋅； （3）233x y x +=+； （4）2sin x y x
=
2、求下列函数的导数 （1
）y =+
（2）(1)(2)(3)y x x x =+++
（3）cos sin 2x y e x x =++ （4）ln 21
x x
y x =-+
3、求过点(1,1)-与曲线3
2y x x =-相切的直线方程.
【课堂练习】
1、求下列函数的导数
（1）232ln 1y x x =-+； （2）2
cos y x x =； （3）tan y x =；
（4）2
2(1)x
y x e x =--； （5）2
1x
e y x =+
2、曲线2
x
y x =+在点(1,1)--处的切线方程为（ ） A.21y x =+ B.21y x =- C.23y x =-- D.22y x =-+
3、设2
()sin ,f x ax b x =-且''1(0)1,()32
f f π==，则a = ，b = .
4、已知抛物线2
y ax bx c =++过点(1,1)P ，且在(2,1)Q -处于直线3y x =-相切，求,,a b c 的值.。