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(整理)级数审敛法小

结

级数审敛法小结

不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概

有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的

内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢.

首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法.

第一节:正项级数

(当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方

法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全

部变成正的就可以了)

(注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，

若Un的极限不为0，级数发散。)

A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞

Un收敛⇔部分和数列{Sn}有界，针

n

=1

对这个东西，用的地方不多后面会有介绍。

B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针

对正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能

力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性）

例1：设k ，m 为正整数，.0,000>>b a （这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数

∑∞=--++++++1110110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。 解：设k

k k m m m n b n b n b a n a n a u ......110110+++++=--。取m k n n v -=1，因为00lim b a v u n n n =∞→，所以∑∑∞=∞=1

1,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-

m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1.

（这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数

∑∞=---+13235523)()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设

0→n u ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。

大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：

（1）);1tan()3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13222112-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∞=∞=∞

=n N n n a n n a n a n （通过上面的一点，大家感悟一下，有没有什么收获，这只是如何一眼看出敛散性的其中一个，接下来会继续介绍，但希望大家先消化一下刚刚说的内容。）

C. 比值审敛法：比值审敛法的内容与书中所说并无差异。关键

是我们要能够灵活运用，这需要我们能多做一些习题。

先看一下几个例子：判断下列级数的敛散性

∑∑∑∞=∞=∞

=111!)3(!)2()1(n n n n n n k n n n a a n 解答是利用比值审敛法即可，（由于这个公式好多有点难打就不打了啊，请原谅）大家应该都懂得就是n

n n u u 1lim +∞→判断其和1的关系。以上结果为全部收敛。（小结：1，在级数一般项Un 中，若含有!.,,n a n n n n k 的因子时，适用于比值审敛法,2，我们可以得到如下常用函数的级别大小（a>1，k>1,）n n k n n a n n n <<<<<<<<<

D. 根值审敛法。这里由于和书上无太多差别，就不多做介绍了。

根值判别法，主要适用于一般项中含有n 次方的时候。他与比值判别法属于同一类型的审敛法，当用根植判别法不行时，不要再去用比值判别法做了，效果一样。

对于根值判别法有一点需注意：当遇到一般项含n 次方时里应用根植判别法，而n n n u ∞

→lim 不存在时，可以改用如下的方法：若n 从某个标号起存在r 使得1<≤r u n n （注意此处并无极限符号），则级数必收敛。因为n n r u ≤，且∑∞

=1

n n r 收敛。（简单地说就是进行一点放缩）

当比值审敛法，根植审敛法失效时，一般应考虑比较审敛法，寻找同阶或是等价的无穷小。另外，我们要积累一些简单的级数如

几何级数，调和级数，p-级数，以及∑∞

=1

) (ln

1

n

p

n

n

（p>1时收敛，

p<=1时发散，这个可以当做定理用的）

第二节交错级数

对于交错级数而言，它分为条件收敛和绝对收敛两类。对于判断绝对收敛时，我们可以利用正项级数的判别方法去判定。而对于条件收敛的判定课本上给出了一个方法（除此，并无其他较好的方法去解决此类问题）：莱布尼兹判别法。

A.莱布尼兹判别法：（注意运用此方法千万要慎重，注意观察An的单调性是否递减，以及最终是否趋近于0等，一旦有一个条件不满足，我们便不能再去用此方法。而在我们做题时总会有那么几题不适用，这就要求我们要懂得一些小技巧）一，泰勒公式（此法对于我们来说有一定的难度，建议不到万不得已不想此法）：利用泰勒展开式判断敛散性；

例判别级数：

()

∑∞

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡-

+

1

1

1

ln

n

n

n

的敛散性。

（对于这个交错级数，我们不能判定单调性，因此无法利用

莱布尼兹判别法。要掌握一般项

()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡-

+

=

n

u

n

n

1

1

ln的级别，我们

运用泰勒公式。）