第9章马尔可夫分析

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【答案】由已知得第一年市场份额=(0.5,0.5),第二年对应的概率矩阵为
0.7 0.3
P=
0.4
0.6
0.7 0.3 0.4 所以第二年末的市场份额为T2= T1P=(0.5,0.5) 0.6
=（0.55,0.45） 【解析】预测未来一个周期的市场份额为现在市场份额与转移概率的乘积。
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第九章 马尔科夫分析
9.1 马尔科夫分析的数学原理
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在20世纪初（1907年）俄国数学家马尔科夫发现：在某些事 物的概率转换过程中，第N次试验的结果，常常由第N-1次 的试验结果所决定。
概率向量★：任意一个向量u=(u1,u2,…,un),如果它内部的各 个元素为非负数，且总和等于1，则称此向量为概率向量。
【答案】A 【解析】概率矩阵要满足：方阵、每行都是概率向量。 【知识点】概率矩阵定义
3、平衡概率矩阵（或固定概率矩阵）：
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p11 p12 ... p1n
设有概率矩阵，
P
p21
p22
...
p2n
... ... ... ...
pn1 pn2 ... pnn
z1 z2 ... zn
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1、（11月7月）对于概率矩阵P，当n→∞时，Pn称之为
P的( A )
A.固定概率矩阵
B.马尔柯夫向量
C.概率向量
D.概率方阵
2、（11年4月）任意一个向量，如果它内部的各个元素
均为非负数，且总和等于1，则该向量称之为( C )
A.固定概率矩阵 B.马尔柯夫向量
C.概率向量
D.概率矩阵
【选择题】下列向量中为概率向量是（ ） A．（1,0,0,0） B．（0.1,0.5,0.1,0.5） C．（0.2,0.4,0,0.5） D．（0.6,0.1,0.8,-0.1）
【答案】A 【解析】概率向量满足各元素非负且其和等于1。 【知识点】概率向量定义
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2、概率矩阵★：一方阵每一行都是概率向量，则称为概率 矩阵。 【选择题】下列矩阵属于概率矩阵的是( )
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3、（10年7月）在概率矩阵中，下列哪一项的各元素之和
必等于1？( A )
A.每个行向量
B.每个列向量
C.每个行向量和列向量
D.全部矩阵元素
4、（10年4月）在某些事物的概率转换过程中，第n次试
验的结果常常由第n-1次试验的结果所决定。这样的过程
称之为( B )
A.随机过程
B.马尔柯夫过程
Fra Baidu bibliotek
C.迭代过程
D.渐趋过程
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5、（09年7月）下列矩阵属于概率矩阵的是（ B ）
6、（09年4月）任意一个方阵，如果其各行都是概率向 量，则该方阵称之为( D )
当
n
，必有：Pn
z1
...
z2 ...
... ...
zn
称作平衡（固定）概率矩阵
...
z1
z2
...
zn
9.2 马尔科夫分析问题的要求
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1、马尔科夫问题的阶：一阶马尔科夫过程在确定事件周期 的选择概率时，只考虑前一周期的选择情况，二阶马尔科夫 过程在确定事件周期的选择概率时，考虑前两 周期的选择 情况。 2、转移概率：某个销售者保持、获得或失去消费者的概率。 3、转移概率矩阵：把转移概率排列成矩阵。 4、未来市场份额的确定★ 设第一周期的市场份额为T1,转移概率矩阵为P, 则第二周期的市场份额为T2=T1*P,以此类推可以得出任意 周期的市场份额。
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【例题·计算题】 某商场对甲,乙,丙三种品牌服装的顾客作 调查：原穿甲牌仍然继续穿甲牌的人占75%，改穿乙牌的人 占10%，改穿丙牌的人占15%。原穿乙牌仍然继续穿乙牌的 人占60%，改穿丙牌的人占20%，改穿甲牌的人占20%。原 穿丙牌仍然继续穿丙牌的人占90%，改穿乙牌的人占5%， 改穿甲牌的人占5%。试问：最终这三种品牌服装的市场占 有率分别为多少(保留三位有效数字)？
组为
0.05 0.05 0.90
0.75X1+0.20X2+0.05X3=X1
0.10X1+0.60X2+0.05X3=X2
0.15X1+0.20X2+0.90X3=X3
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且由题意得X1+X2+X3=1 解方程组得：X1=0.236，X2=0.137，X3=0.627
即三种品牌的服装最终市场占有率分别为：甲：23.6%， 乙：13.7%，丙：62.7%。 【解析】考察最终市场份额的间接求法。 在这里解方程组有点难度，建议带好计算器。
9.3 马尔科夫分析在管理工作中的应用 Page 12
参考上面解题方法，对照教材例题，熟练掌握即可。其中 P172页例1和P173页例2为重点。
本章总结
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本章内容选择、填空和名词解释都会涉及（马尔科夫基本概 念、概率向量和概率矩阵特殊注意）；计算题考察主要有两 个知识点：1、预测下一周期或下二周期的市场份额；2、计 算最终的市场份额，本章9.3中例题特殊注意，考原题考过 若干次。
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【答案】由已知的该问题的转移概率矩阵为：
0.75 0.10 0.15
0.20 0.05
0.60 0.05
0.20 0.90
设最终这三种品牌服装的市场占有率分别为X1,X2,X3
0.75 0.10 0.15
由 （X1,X2,X3） 0.20
0.60
0.20
=（X1,X2,X3）得方程
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【例题·计算题】甲、乙两家啤酒厂同时向市场投放一种啤 酒，初时，它们所占市场份额相等。第二年，两啤酒厂为吸 引顾客，都改换了各自的产品包装，其结果是：甲保持其顾 客的70%，丧失30%给乙；乙保持其顾客的60%，丧失40% 给甲。第三年，假设顾客的购买倾向与第二年末相同，但甲、 乙都为自己的产品大做广告，其结果是：甲保持其顾客的 90%，丧失10%给乙；乙保持其顾客的80%，丧失20%给甲。 问：第二年末，两家啤酒厂各占多少市场份额?
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5、最终（平衡）市场份额的确定★★ 不同销售者在销售过程中的市场份额每个周期都在改变，若 消费者的选择概率不变，那么市场份额在经过一个较长时期 的转换后会一直不变，我们称为最终（平衡）的市场份额。 计算方法：最终平衡时，可推导出公式T=TP,利用该公式列 出线性方程组，在加上概率向量T本身的特点即非负且之和 为1，解出未知数来即可。